同学们好，今天我们来学习充分条件和必要条件。这个是属于逻辑用语部分的一个内容，相对来说比较的重要。它的定义非常的简单。但是对于充分条件和必要条件与其他章节结合的题目，可以结合的很难，也可以结合的比较简单，这个就看命题人如何来出了。我们先来看一下这个岛屿，我们看不知道大家有没有这样的经历，在初中的某次考试如果没有考好，你们的爸妈就着急了，说初中不好好学习就考不上高中，考不上高中你就考不上大学，考不上大学就找不到工作，找不到工作你就找不到对象，那么你这一辈子就完了。我不知道有没有这样的家长去这样来说自己的孩子。当然这个说法，你只要静下心来想一想，一次没有考好跟后面的这些事情有没有关系呢？我们可以想一下。当然了这里面我们说了，它不是一个充要条件，所以说没有必然的那种联系。我们把几乎没有关系的两件事情理解成了充分条件。那么这个时候你的压力不小，你父母其实也有压力。所以说这里面我们来看一下，他们之间到底是一个什么样的条件。它是充分不必要，还是必要不充分，还是充要条件，还是既不充分也不必要。我们要好好来看一看，通过本节课的学习大家就能理解。这句话到底说的有没有道理，是不是符合逻辑的？首先我们来认识一下充分条件和必要条件。这里面有一个问题，咱们看一下如何理解神骏木断，水滴石穿。木段是否一定是因为绳锯，石穿是否一定是因为水滴？我们可以想一下，这里是木缎的方法肯定有很多种，所以我们来看一下绳距可以导致路段是不是这样，但是使得末端的方法有很多。你比如说你可以是电锯把它锯断了，你可以你的力气很大，也可以直接拍掰断。当然了水滴可以导致石穿，但是同样的是实穿的方法也有很多。所以说这个水滴可以导致石穿，反之失穿并不一定是水滴导致的这就是我们这个问题所展示的所所要理解的一个东西。好，我们来看一下问题2，观察下面几个命题，你能把它们变成若P则Q的形式吗？我们来看一下第一个若你们看他说两组对边分别相等的四边形是平行四边形，那我们看到若P则Q的形式，我们就是说若这里面我示范性的讲一个就是手写，一个就是若四边形的两组对边相等，两组对边相等。则这个四边形为平行四边形，这是改写成这种形式。至于这是真命题还是假命题，我们先不管。就是我可以把第一个命题可以改写成若P则Q的形式。同理第二句话，若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形。同理第三个，两条对角线互相平分的四边形是平行四边。我们可以写若两若一个四边形两个对称互相平分，则这个四边形是平行四边形。第四个我们改写数字，若四边形是平行四边形，则两组该四边形两组对边分别相等，456都1样。若四边形为平行四边形，则该四边形的一组对边平行且相等。第六个，若该四边形是平行四边形，则两组对角线互相平分。这就是我们所说改编的六个小问题，小小这个变的命题，所以说这里我们就会说此结论成立的条件并不唯一。数学中的每一条性质定理都给出相应结论的成立的一个必要条件，所以这个结论是不唯一的这是由这个六个我们得出了一些东西。好，我们来看一下引入这个概念。比如说对于若P则Q为真命题，那么就是说P能什么呢？推出这个QP这里面我们就规定P是Q的充分条件，Q是P的必要条件。如果P推不到QP不是Q的充分条件，反之我们就可以说成Q不是P的必要条件。如果说你这里看不出来，你可以反着写，这样写。你看QQ就是P推不到Q就是我倒着写，我倒着写的时候，我们就说Q不是P的一个必要条件，你看这个必要条件，我们可以这样来写，我们说QP可以推到QQ就是P的这个必要条件。我们看这个定理关系，所谓判定定理，一般来讲都是给出了相应数学结论成立的充分条件。而性质定理同时给出了相应数学结论成立的必要条件。这个大家要注意这个定理的关系，的闺女关系理解即可。如果说你的理解能力好，我我相相信我稍微点讲一下，你应该都能理解。比如说我们来举一个例子，后面我们会有例题的。比如说我们先举一个例子，比如说若X大于二则X一定大于一。我们看啊X大于2，只要你X比二大，一定可以推出X大于一，这个是P这是Q对吧？P能推出Q所以说X大于二是X大于一的充分条件。那么的反之，我们也把X大于一称之为X大于二的必要条件。要注意，反的方向说就可以了。所以说这里面有几个注意点。第一前提P能推了，Q有方向条件在前，结论在后。还有第二个要注意的是，P是Q的充分条件或Q是P的必要条件，这个两个说法是等价的。再有就是我们还可以换一个说法，大家看理解一下，注意这里面建议大家暂停思考一下，把它理解透。对，这里面我们我特地提醒你一定要注意理解透，不要慌着往后看视频。因为你是高一的学生，你现在是初三升高一。你一定要把这个课，把这个概念，尤其是我们讲的这个注意点，你把它吃透，保证真正理解。好，我们看啊如果P是Q的充分条件，那我们就说Q的一个充分条件就是P。这个大家能理解吧？就是Q的一个充分条件就是P所以说Q是如果说Q是P的必要条件，我们可以换成P的一个必要条件就是Q所以这个说法反着说的。好，我们再看一下这个例题指出下列哪些命题中P4Q的充分条件，就是P能推出Q我们的大边对大角，外面对大角。所以第一个例题比较简单，就是AC大于AB，所以说P是Q的充分条件，或者我们称之为Q是P的必要条件。第二个已知XY属于RP是X等于一。我们知道X当X等于一的时候，一定可以推出这个式为零。但是你右边这个为零不一定推出X等于一，有可能推出X等于2。大家注意这是小范围，小范围这个是大范围，你们发现一个规律没有？等一下后面我们还会再说。小范围一定可以推出大范围，但是大范围不一定就是小范围，一定要切记。如果说你P表示集合是A集合，Q表示集合是B集合，那么P能推出Q就说明A是B的子集，一定要切记，P是A的子集，所以说这里我们就说P4Q的充分条件。好，这个是例一。我们接着往后看这个第三小问，例一的第三小问，X大于一。刚才已经说过了，X大于一推不出X大于2，但是X大于二可以推出谁啊？X大于一，所以说P是Q的必要条件，这个叫必要条件。而P是Q必要条件，而Q是P的充分条件，一定要切记分清楚。好，接着我们往后进行第二个指出下列哪些命题中Q是P的必要条件。第一个比较简单，因为矩形的对角线相等，所以Q是P的必要条件。那么第二个P命题是A是B的子集，A加B是等于AA加BA加B如果等于A我们就说A含于什么呢？大家注意这个，这个我们在推的时候注意，A交B等于A那就说明A是B的一个子集，A是B所以说P能推到谁啊？Q那么有同学不理解了，说老师A加B等于A那A为什么不是反着推，能不能推出来呢？我们想一下，反着推能不能推出来？反倒推在这里面大家要注意，反倒推在一般情况下，它也是成立。因为这道题咱们研究的是哪些命题中Q是P的必要条件，Q是P的比较性，所以这道题它是成立的这题的它是成立的我们这个理解就可以了。我们再看一下下面一个小条件，A大于B则AC大于BCA大于B不一定能推出ac大于BC。为什么呢？因为这里面最人家说的是Q就是Q不是P这个就Q不是P必要条件，就是P推不到QQ也推不到谁啊，PQ推不到P这里面P就不是Q的那Q不是P的必要条件，这里面也比较好理解，因为为什么呢？因为这个C是正值，是负值还是零不知道。如果C大于0，那A等于B如果C小于0，A就小于B如果CC等于零了，这就不成立，要注意讨论。这里面当然了C有大于0和小于零两种情况，讨论C肯定不能为零，因为它是个大于号。我们看反思感悟充分必要条件判断方法，这里面有这样的两个小节。第一个判断P4Q的什么条件，主要判断若P成立能否推出Q成立。反过来若Q成立能否推出P成立。若P能推出Q为真，则P是Q的充分条件。若Q推出P为真，则P是Q的必要条件，这个要靠理解。当然第二个我们也可以利用集合的关系来判断。像比如说你条件甲是X除以A条件乙是X除以B看谁是谁的子集，对不对？小范围可以推到大范围就可以了。如果说甲是乙的必要条件，反倒可以乙能推到甲，甲就是乙的必要条件，对吧？这是我们前面的定义，所以说B一定是A的子集才是可以的，这个我们就解释到解释到这儿，我们来看跟踪训练，跟踪训练里面分析下列各项中P与Q的关系。首先第一个P为阿尔法为锐角，Q的阿尔法为45度。显然Q推了P对吧？写的时候是这样写，所以说P是Q的必要条件，这是第一个P是Q的必要条件，那么Q就是P的充分条件。这里面我们填的就是P4Q的必要条件，这是必要条件，而Q是P的充分条件。我们看第二个，第二个这个可以推出大范围，要么X加一等于0，要么X减二等于中间用或字来连接。所以说这个范围大，这个范围小。所以说P推不到Q但是Q能推到P所以跟第一个是一样的，这个就不再多说了。然后我们来看一下第二个知识点，条件和必要条件的应用。我们首先来看第二，大家还是一样的把视频先暂停一下，先思考一下这个是含参的范围问题。我们一起来审一下题，实数X满足X大于3，A小于A其中A小于0，QX大于等于-2，小于等于3。如果P是Q的充分条件P是Q的充分条件，那就说明P的听好了。P是Q的充分条件，那就说明P能推到Q所以P能推到Q那就说明P表示的集合。假设是A集合，Q的表示的集合是B集合，那就说明P的范围要小一些，那就是A是B的子集。一定要注意，这里面写的A是B的自己，就是小范围可以推到大范围，小范围可以推到大范围。这里面因为A是一个小于零的A是一个小于零的，所以这里我们画出数轴，这个是-2到3，这个是B集合，这个是B集合。如果说你3A到A在它的范围之内，因为A本身就是一个小于零的，所以只要满足3A比负二大相等也可以。因为这是个空心的，这个是实心的。所以说这道题我们只需满足第一个3A大于等于2，第二个A小于等于3，其实小于零这个是恒成立的，那个A小于0，把这个三个一解可以得出A的范围是大于等于负的3分之2，或者是选A。不难，那么后面这个变是一样的变式的话直接反着对吧？反过来的话P是Q是两个是反着推，那就是B是A的子集，BCA的子集，我调一下这个过程，给大家看一下就行了。这个跟前面的题型解法一模一样，没有任何区别，最后可以退出历史空寂。你们刚才暂停看了之后，看跟你们算的一样不一样就行了。好，我们接着来看这里面的充分条件和必要条件的应用技巧。这里面用技巧首先可以利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或者是取值范围问题。第二个你求解步骤一般来说是先把PQ等价转化，一定要注意，先把PQ这两个命题怎样转化。利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，我们在建立这个参数的不等式组进行求解。我们看一下这一道跟踪训练二这道题还是一样的。你们暂停思考一下，看一看这个答案是什么，我们来对一下这个答案，这个答案是A大于等于负一，小于等于5。如果说你做的没问题，可以直接往后快进。如果做的有问题，那你看一下我的讲解。如果X属于P我先把思路点一下，X属于P是X属于Q的必要条件，这个代表的是P集合，这个代表的是Q集合对吧？那就说明P推不到就是前面推不到后面，后面能推到前面就是Q能推出PQ能推出P那就说明Q是P的子集，这是解决此题的关键那得到这个条件之后，你就画数轴对吧？我让Q完全在P之中，那肯定你这个A减4要小于等于1 2加1加4大于等于3，然后解这个1元1次不等式组即可，这是跟踪训练2，我们对这节课进行一次小结。首先我们介绍了充分条件必要条件的概念。第二个我们介绍了充分条件与判定理，必要条件与性质定理的关系。第三个充分条件必要条件的判断。就是你看还有一个最主要的小范围可以推到大范围，还有他们的应用这个方法主要是一个考察了一个咱们四大思想方法之一的一个转化方向，转化思想。常见的误区就是充分条件必要条件不唯一。还有就是求参数范围能否取到这个端点值，这个端点大家一定要切记啊不要忽略了到底你是取等号还是不取等号，这个一定要再注意研究一下。好，下面我们来看一下随堂演练。这里首先看第一题，若P是Q的充分条件，则Q是P的必要条件是前面讲过，就这个定义比较简单。好，我们看一下第二个四边形的四条边相等是四边形是正方形的什么条件？我们知道四四边形四条边相等不一定是正方形的，但是反之它是已成立的。前面推不出后面，但是后面就是前面，前面就是后面的必要不充分条件，或者叫必要条件。因为他没有谈是不是不充分，反正它就是个必要条件，必要条件肯定是对的。我们再看一下第三题是X大于3，成立一个充分条，注意，是成立一个充分条件。那么既然这样的话，就是ABCD里面的某一个能推出它，就是它的范围要小一些，这个比X大于三的范围小一些，只有让这个值比3还要大，所以说这个答案就选A，比较的简单。我们再看第四小题，X大于一是X大于一的充分条件，那就是前面能推出后面，但是后面不一定能推出。前面也可以推出，也可能推推不出。不管他他只研究的充分条件就是X大于一是X大于三的，不是X大于A的，X大于一是X大于A的。什么急呢？子集你看小范围推到大范围，你可以画个数轴看一下。你这个是一大于一是这样的。这个小范围既然大于一，一定大于A那你A只能比一小，对不对？A只能比一小，当然取等号也可以，所以说答案是A小于等于一。这是刚才我们那个讲解员，那么后面我们来继续来看一下，拓广探究这个题答案选AB比较简单。必要条件什么是必要条件呢？就是X方小于四能推出下面四个选项的某一个某一个。所以它的一个必要条件是因为你这里面有X方小于等于4，我们可以推出X大于等于-2。不是说错了，是大于-2，小于几呢？小于二这个是原来条件，原来条件我们看小范围，推大范围内，这个A肯定可以，对吧？刚好推出来了，这个范围稍微大一点，那剩下的C和D范围都小一些，肯定不行。你是CD可以推出它，所以CD都是叫什么的充分条件，对吧？所以说这个题不是特别难。我们来看一下变式是否存在实数M使得2X加M小于0，是X小于-3 2-1或者X大于三的充分条件。画个数轴，你这个是负一，小于负一，你这个是三大于三小范围可以推出大范围。始终记住，小范围可以推出大范围。它就是这个你解出来是X小于负的二分之M把它解一下，也就是说你这个X小于负的二分之M要是X小于负一或X大于三的子集，那你这个负的二分之M只能是小于等于负一的。你看就这样的话才能完全含于它当中，对吧？你是肯定不能取负一，不能大于负一，所以我们可以推出这个负的二分之M这个小于等于负一，两边同时乘以-2，所以M只有大于等于2，那这个答案就是M大于等于2。好，今天的课我们就评讲，不就就讲解到这里。中间后面我们接着来学习这个逻辑用语，课程高考的这个数学，通过这几次课学完之后，相信你们对高中课堂也有一些了解了。希望后面再接再厉，争取把这63 60多节课把它听完好感谢大家的收看，再见。