同学们好，这期。视频。我们来讲一下集合间的基本关系。前面的课我们已经学习过集合的定义，集合常见的表示方法，还有一些常见的书籍。像前面的课我们已经串讲过实数集的分类，包括分类讨论思想的三个原则。在上一期的课中已经讲过，本节课我们主讲子集真子集这样的两个概念，及其一些含参的一些小提醒。当然了这节课的难度也不是特别大，还是希望大家认真听。好，我们首先来看一下子集的概念。我们先看一下这样的。几个例子。首先看一下A集合，它是123，B集合是12345。由这个我们可以看出，A集合中的所有元素在B集合中都有。也就是对于任意的一个A集合中间一个元素B集合都有。这个时候我们就称A包含于B当然也可以说B包含几何A第二个C为立德中学高一二班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成集合。当然C集合的范围要小，C中有的D中都有啊，所以说我们称之为C包含于集合D或者叫做D集合包含C注意，这两个说法的区别，一个是含有一个余字，一个是不含。你像大家都应该都学过这个文言文，这个文言文，这个鱼就是在什么什么之中的意思，它有一个被动的意思。第三个，这个代表的是全体偶数，上节课我们已经讲了，这个是代表所有偶数记忆。所以说A中有的B中也都有，所以说A包含于B当然你也可以说成B包含于A你也可以说A包含B也可以说B包含A所以说这两个集合就是相等的，这个等一下概念里面我们还会再提。好，来看一下知识梳理部分定义。一般的对于两个集合AB如果集合A中的任意一个元素，注意这里面着重突出任意二字，任意一个元素都是集合B中的元素，我们就称集合A为集合B的子集，这是下的这个定义。好，大家看这个记号，这个记号如果你这样写是A包含于B就是A是B的子集，反着写就是B包含A这是图。这个图我们叫做伟人图。这个伟人图比较的重要，要靠主要是靠这个图形。我们画图形之后，有助于大家理解非常的形象。这里面有两个结论，任何一个集合是它本身的子集，就是子集里面有可能两个是相等的。第二个对于任意的集合ABCA包含于B之中，B包含于C中，B有A含于C之中。你看比如说我们画个原图，这个A在B之中，B又在C之中，之中C的范围就更大了，或者是B和C相等，那这个可以推出。最后A肯定也是C的自己，这就叫做集合的传递性。这里面有一个性质，我们叫做集合的传递性。第二个，一般的如果集合A的任何一个元素都是B的元素，同时GB集合，这个集合B它的任何一个元素都是A集合中的数，那么集合A与B相等，我们写记号的话就直接这样来写就行了。也就是说如果A是B的子集，B也是A的子集，它的互为子集的话，则A和B相等。这就是刚才我们所说那个偶数集，这里面要注意的第一个，A是B的子集的含义是什么呢？这个含义就是集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即对于任意的X属于A一定能推出X属于B这是第一个含义，这个一定要理解透啊不要使劲背。第二个，集合A和集合B相等，就是集合A与B元素完全一致。注意完全一致，集合A等于B可类比实数中的结论。比如说你A小于等于B，B又小于等于A，那么A和B就相等。你当然也可以这样，比如说A大于等于BB又大于等于A那我们就可以推出这个A和B相等一样了。所以说我们把这个性质，我们反着写，也就是对的。比如说你写这样写且你这样写这A和B相等，这个也是一样的。好，我们来看一下几个例题。第一个例题A集合有两个元素负一，大家看一下上节课我们讲过这个B集合，它实际上代表的是四个点。你想你这两个集合之间它根本就没有公共的东西，也就是我们所说没有交集，没有公共的元素。所以A和B是互不包含，这是第一个。第二个A集合是-1到4，B集合我们把它计算一下是X小于5。这个我们通过数轴来看就可以了。这个比较简单，大家看一下，负一对于A集合中任意一个元素，你挑出来，B集合都有。因为它比4小自然而然是比较小的，所以说A就是B的一个子集。刚才他也是真子集，这个等一下后面我们再说。第三个，A集合是所有的正方形，B集合是所有的矩形。那当然A是B的子集，这个比较好理解。因为所有的正方形，另一个正方形都是矩形，它是特殊的矩形。第四个X属于2N减1N属于N心。这个大N集合是2N加1XN属于N星N心。大家不知道还有印象没有？这个是代表的是非零自然数，就是正数。好，既然是这样的话，这个可以代表技术，这个也是代表技术。但是这个是从零一开始的，就是最少是一。而这个是从N取一的话，最少是3，就是大于等于3，所以说这个集合的范围要小一些。这个集合因为它含有1，所以说N是M的一个子集，这是第四小题。我们来看一下，就是由刚才所讲，我们来看一下判断集合间的常用方法。我们来总结一下，里面有这样几个重要的方法。第一个就列举观察法，也就是说你当集合中的元素比较少的时候，我们可以列出集合中的全部元素，通过定义得出集合点的关系。第二个叫集数集合元素特征法，你要看这个特征，你看是不是有这种包含关系，对吧？第三个属性结合就是通过韦恩图或者是数轴，所以这两个图来进行前面的例子我们都涉及到了，这个就不再多说了。我们来做几道小题，我们首先看跟踪训练一，这道题请大家还是一样的思考一下，你看一下你。选的对不对。这里面我把这个答案调出来，这个答案选B因为这个画图也比较简单，正整数肯定是最小的，正整数就属于正数中的一个小的子集，实数集范围最大对吧？这个比较简单，我们就不再多说了。第三个第二小题，这个答案是选D零组领主。因为一中的两集合含有相同的元素，故这两个集合是相等了。来看第二个，这个10中含有两个元素10，而集合10只含有一个元素，虽然两个集合不相等。对，这个是不相等的。第三个中两级和都是用描述法来表示的。但是它代表的元素是不一样的，代表的元素是不一样的，所以说这个答案是选C，答案选C。这个注意，这个位置是标错的，因为AB和BA，AB和BA这两个是相等的，所以满足相等的是一组，这个大家注意一下就行了。好。我们再看一下真子集的概念。第二个真子集通过学习这个子集的概念，我们发现一个非空子集合的子集有好多个。那我们来看一下怎么来进行分类。这里面对于一个含有多个元素的集合，它的子集的元素的个数大多比它本身小。但是有一个特殊就是他本身也是他本身的一个自己。这里我们等一下举个例子举个例子，我们来看一下这个定义是什么。如果说A是B的实际存在X属于B但是又存在就是属于B在又不在A之中，也就是说我这个A完全含于B之中，而且B中还有多余的元素，X不在A之中。我们就说A是B的一个增值值，就除了它相等的情况之外，这个符号大家注意这样来表示或者是反，就是叫真包含于注意读法叫做真包含于这个是真包含。就是在。前面的那个定义上，多加了一个真是真假的真。那图画的话就这样画，还有一样的仍然满足这个传递性。如果A真包含于B之中，B又真包含于C之中，则一定推出A真包含于C之中。还有如果说A和A是B的子集，且AB不相等，那就它的子集。第二个结论要靠理解，比较的重要。第二个一般的我们把不包含任何元素的集合叫做什么？空集这里面有一个空集的定义，这是以空集的技巧，就是画一个圆圈，画一个斜杠就可以了。空集这里面有一个规定，它是任何集合的子集，而且是任何非空集合的真子集来看第二个性质特性，它是任何非空集合，就是A集合。如果是不是空集，则空集一定是该集合的真子集，这是非常重要的一个定义。我们来看一下它的有一些性质，任何一个集合是它本身的子集。这个刚才前面咱们已经讲过了，这是叫反生性，这专门有一个专业名词叫反身性。还有刚才我们说的这个传递性不再说了，传递性。这一点在增子集的定义当中，如果A是B的真子集，首先要满足A是B的子集，但是至少存在一个。X属于B. X但且满足。X不属于A，这是要注意的。第二个你们看空积和这个区别，空集是集合。大家切记，这个是一个集合，而这个也是集合。但是这个集合中有一个元素，而空气是零个元素，所以说这两个是不一样的，这是不一样的。所以说我们只能说空集是这个非空集合的一个政治集。你看它的关系可以这样来写，这个大家一定要得理解透，这个还是比较重要的。我们刚才说了，我们来举个例子，写出它的所有的子集。大家可以动笔在草稿纸上写一写，看能不能写出来。你们可以暂停两分钟，可以写一下。好，我们来看一下答案。大家注意在讨论的时候可以按照元素的个数。这里我提示一下，可以按照元素的个数，就集合中元素的个数作为分类讨论的标准。比如说元素个数为零个，空集，元素个数为一个，分别为一个A一个B或者是一个C元素个数为两个，分别是ABAC和BC元素个数为三个，分别是一个就是ABC它只有一个。而且这里面有一个结论，如果说集合中有N个元素，那么它的子集的个数就是N2的，这可以当做一个结论来记。这个推导我们可以放到以后学习排列组合的时候，我们再可以进行推导。这个大家可以先当做一个结论，这里面真子集除了最后一个之外，其他的全部就除了它本身之外，其他的集合都是它的真子集，这大家一定要能理解。好，我们来看一下，有两个要注意的，大家一定要注意的，两个特殊的值，一个是空集和它本身，这个以后不要搞漏了，尤其是大家听好了，尤其是这个空气一定要格外关注。很多同学在做子集的含参的题目中，空气都漏了。第二个按照集合中含有元素个数由少到多分类一一写出，一定要做到不重不漏。这个不再说了，这个跟踪演练大家试着来做一下。这道题含义就是M集合，注意是它的真子集，说明M中一定含有一和2。那么另外还有其他的元素，也就是说其他的元素要么有3四五里面挑一个，要么3四五里面挑两个，要么3四五里面挑三个。所以说分这样几种情况来讨论就可以了。那么我们来看一下，3四五里面含三个，就是含一个，就是多挑一个。就是M中就含有三个元素，那就是分别是对应的是挑个三调个四调到5就可以了。如果还有四个元素，就是挑两个，就35里面挑两个，然后分别就挑34、35和45，这三个再搭配就可以了。还有三含有五个元素，那就把35都选了，就只有一个。所以说最后这个数数之后，就是七个，这都是基础题型，比较的简单。我们看第三个，由集合间的关系求参，有带参数那就肯定难一些。所以说这第三类题型相对高端一些。我们看一下这个例子，大家可以尝试一下。这个题我想手写讲，不调这个解析了。好，我们来看一下这个例3。首先我们可以利用数轴来做，我先把这个草图画出来，先画一个数轴。有没有同学不会画数轴的？这个不会画数轴的那就麻烦了，这个课可能就听不懂了。我们这是-2到5，-2到5。如果说B是A的榛子集，注意这个符号我们知道是真子集，那也就是说必然完全含于例子中，这个是M加1，这个是2M减1，这个是B几何，我画这个红线的，这是B几何。有同学说老师你这样写，我可不可以让M加一等于-2 2M减一等于五呢？可以，如果说它俩要同时相等怎么办呢？那不就它俩不是相等了吗？相等它就不是真子集。对，你说的很对。所以这里面区间的端点我们可以单独讨论。你比如说你让M加一取这个-2的时候，那我们可以得出2M减1，我们看能不能同时成立。如果他俩能够同时成立，那你这个就要舍掉，看有没有解。第一个解出来M是等于-3，第二个方程式我们口算解出M等于N发现不相等，不相等就是说它俩不可能同时成立，所以说可以带等号。如果说你看你M取了一个二，使得这个值刚好为-2，这个值刚好为这个5，那就不行了，这个2一定要死掉。所以说你看，你这个M取负三的时候，你这边是-2-3，你这边的就是-3、-6、-7，这个是-7，-2到-7，当然这个是不成立的。你们看所以说这里面它就空集了。所以说此题，我们研究这道题首先要讨论空集的情况，就是B集合有可能是空集。所以这里面我们写一个解字，规范化解答。我们写个解字。第一种情况就是当B集合等于空集的时候，如果说你要是等于空气，就说明后一个比前一个要大对吧？那这样的话就不成立了，由M加1，我要大于2M减一得。得得的话。我们口算一下，这个M和2M相对，这个是M把负一为二，就是得出的是M小于2，这个是成立的。那么第二种情况就是当B集合不为空集，不为空集不就相当于上面这个相反的部分，对吧？所以说这个时候。我们可以由图。我们得到这样一个关系式。第一个M加一首先要小于等于2M减一对吧？你这个肯定要小于等于它才不是空集。第二个有图，M加。一。要大于等于-2，要注意，要大于等于-2，还有2M减一要小于等于5。这样的话我们把这个都写完了，写完之后我们看一下，所以最后取功部分，第一个我们可以推出M是大于等于2，第二个M是要大于等于-3。第三个M负一移过来是2，M小于等于6，这是M小于等于三好，我们看来取公共部分，我们画一个数轴，我们画个数轴，这个位置是-3，这个位置是二，这个位置是三，大于等于二在这里，小于等于三在这里。那么两个取功部分，就把一和这个两个，就取2和3部分，二和三再和M大于等于-3，取公共部分就是2到3。所以说此题的答案就是我们可以推出这一步，是M大于等于。我写一下中间的这个过程，在考试的时候可以坐在抽纸上，所以说可以解得这个是M大于等于2，小于等于3。所以说综上可知，那么这个和M小于二在接起来之后，最后只要满足M小于等于几就可以了，小于等于3小于等于三就可以了。取3的时候要一定要注意验证，取3的时候它也是成立的，也是成立的。好，那这个我们就进行到这里，我们来看一下下一个，我们来看一下延伸探究。延伸探究跟刚才是一样的，跟刚才是一样的，这里我们可以还是一样的。如果是改成-2到5，其他条件不变。现在跟刚才的这个解法是一样的。我们可以先讨论B集合为空集的情况，A大于三当然是成立的，不是M小于二当然是成立了。那么B集合如果不是空集的时候，这个里面那个等号就不能带了，对吧？一定要注意，这个是大于负二小于5，最后可以推出M大于等于二小于3，最后再一并起来就是M小于3。像刚才那个例子是带等号的，下面这个就不能带等号了，这个一定要注意。好，我们来看一下我们看一下反思这里面利用集合间的关系求参数范围的时候，大家一定要得切记，要首先要分析简化每个机构。你每个集合肯定要先把它求求到最简之后，对吧？再再研究。第二个此类问题通常进入数轴，这个数轴很重要。你空心的和实心的圆圈这个一定要注意，空心的代表是不包含，实心是代表是包含的。这个初衷应该大家都讲过，这个不再多说了。如果说没有初中没有学好的同学，这里我再点一下，比如说你X大于二这个位置标个2，是空心的圆圈，用这个符号来表示。如果大于等于2，这里面就用实心的点来表示，就代表你这个集合中含有2。还有一个就是最容易出错的就是空集，因为空集是任何集合的子集。这是我们感悟、反思的贡献。这就是高中数学的一个非常重要的学习方法。我们来接着看一下后面的看下这个跟踪训练3，大家注意你们可以也可以，我们一起来欣赏一下这个解题过程。集合A是X小于负一或X大于4，B集合是X大于等于2，A小于等于A加3，若AB是A的子集，求A的范围来看这个第一个图大于4小于负一，你们看有空心的。如果2A和A加三在这个范围之内就算离子自己了，或者是2A和到A加3，在这边当然还要讨论空集。如果你2A比A加3就小的比大的要大空集，对吧？所以说第一个空集显然是满足题意的，把它解出来。第二个不是空集的话，就第一个想法就是只要满足A加3小于一就可以了，对吧？当然还要满足它不是空气的条件。同理右边右边就是这个一个不等式，就只要满足它不是空集的条件和2A大于4。看2A大于4，就刚好这个区域完全在大于四的范围之中，最后解化通过速度把它解出来之后，两块的并起来就可以了。这个就比较不算很难。这个题是中的小重量题，因为毕竟你们刚开始学好。那这节课的题型我们就讲到这里，我们来看一下，我们进行一个小结。首先这里面我们涉及到三个小知识点，第一个是子集真子集的概念。第二个是子集的个数，证明子集的个数就是集合中如果有N个元素，那么它的个数就是二的N次方个，这是当做一个结论来记。第三个由集合间的关系求参数，这里面方法我们主要用的是有这样几个方法，像分析法、观察法、元素特征法，还有数形结合以及分类讨论这样5种方法。这里面易错的东西就是一个是不要遗忘这个空集，这里面我们说一个点一下。再有求含参的时候，端点一定要注意讨论，这是常见的误区，有这几个就行了。我们来看一下学堂的四个小练习，这是第一个小练习，还是一样的。暂停之后我给你对一下答案就行了。第一个。练习。这个答案是选还是一样的，是选这个错误的。有啊有第一个，因为这个是集合，这个也是一个集合集合之间只能用什么真子集或者是子集来表示，这个就错了，不能用属于这两个是相等的，这个是对的，012和102这个是对的。还有空集，空集是任何集合的子集，这个不能用数据表示，这个事实错了。那么这个空集也不能用水表示，因为它并不是它的元素，所以说这个错误的个数为几个？为三个，所以答案选C，答案是选C。我们来看一下第二题第二题，第二题我们来看一下，已知集合X小于-2或X大于0，这个B集合是0到1。我们来通过数轴来看一下，我们看下这个数轴，A集合小于-2，大于零大于零的这两段，然后B集合是0到1，刚好含于它之中，所以说B是A的真子集，这个比较简单。我们再看一下第0002468子集的个数，四个元素二的4次方，答案选D当然你一个个列也行，一个力也行，我就在我我就不再列了。第四题X是1到6，这个是小于A的，那么A是B的子集，那么A的取值范围这个是含参。你们这个可以画个数轴看这个我思路提示一下，这个是1到6. 这个是A集合。好，我现在换一个颜色的笔，我们看一下换一个颜色，我换一个紫色的。如果A在A在B之中，你假如说你这个A在这里，那你红色区域不可能在紫色区域范围之内。所以说A至少等于6或者比六大。你看这个时候才可以保证红色的区域在紫色的区域范围之内。所以说此题的答案就是A只要大于等于六行了。但是我们要写成集合的话，就这样来表示，这是咱们刚才所说的解析过程。好，剩下来我们来拓展一下，拔一下小高，你们看一下有这个提示，稍微难度大一点，我们来一起来思考一下。拓总从这节课开始，我们每节课加一个拓广探究的题。设集合A-1到1，集合B是一个含参的东西。他说若B不是空集，B又是A的真子集这个子集，那这A的值这里面就是一个相对复杂的题。我们在做的时候要分几种情况讨论。第一个，如果说这个式子人家没有说这个特征，你还要讨论B为空集的情况，就不要说小明的情况。所以我们就分一根和两根的情况。好，这里面我们来看一下解析。第一个，当B是集合中只含有负一的时候。把负一带进去。那你这个A的值只能是负一对不对？就是这个可以写成X加一的平方，对吧？等于0，这样的话A就取这个负一。当B等于一的时候，有两相等的时候，A只能取1，这个比较简单，完全平方公式。当B等于正负一的时候，我们发现不成立，为什么呢？你根据系数关系就可以了。如果负一和一是这个方程的两根，两根之积是等于A分之11，应该是等于负一，结果它后面是正一不可能，所以说这种情况不可能成立，所以说最后它只能是一个元素，所以说故A的值是等于正负一，选D好，我们来看一下变式，已知集合AAX大于一小于2，B集合是X大于负一小于一，求满足A是B的子集的实数A的取值范围。还是让大家暂停，暂停之后，然后再看这个解析。这个题我们来看，我们来看看一下，我还是先把思路讲一下，因为这个解析在第二面，干脆我直接把它讲一下算了。那个解析我们等一下就不用再翻面了，先把确定的画出来，这个是负一，这个是一。画出来之后我们来讨论一下A有没有可能为零，为零有可能是空集。所以说第一种情况，当A等于0的时候，A集合就是空集，成立满足其一。第二种情况我们来看一下，当A大于零的时候，你们想解这个1元1次不等式，不就对这个系数进行讨论，对吧？所以说我们看A大于零的数，A大于零的数，这个大A集合就变成了X艺术杠，X大于就两边同时除以A，小于A分之2就是A集合。好，你要满足A是B的子集，那你这个是A分之一，这边就是A分值。你看这个就是A集合，A集合完全含于这个B集合当中，这个是B集合，这个是阴影部分，是小于几何，对吧？所以说我们可以得到这样一个不等式，这个不等式就是A分之一首先要大于等于负一，然后相等也是可以的对吧？因为子集有可能相等的，还有A分之2小于等于一就可以了。然后解证一个不等式，解这不等式上面是恒成立的。因为A是一个正值，下面这个两边同乘以A依旧大于等于2，所以说解出来这个A就大于等于2，在大于等于二它是成立的。同理第三类情况就是当A小于零的时候，小于零的时候要变号，所以说这个时候A集合我们就变成了X小于A分之一。大于A. 分之2。又因为这个闭合使它，所以说这里我们在画数轴的时候，这个位置仍然化成-1到1。但是注意这两个都是负值的，比如说你这个是零，他实际上要画到这边来了，那这个是A分之2，这个是A分之一。所以说我们要满足这个条件，就是A分之一要小于等于一，A分之二要大于等于负一。上面这个是恒成立的，就是A取小于零就够了。下面这个两边同时乘以A要变号，这个我们怎么变呢？就是同时乘以编号就是二小于等于负A再乘个负号，所以说A就小于等于，本来是负A大于等于它乘个负号就小于等于-2。综上所述，最后再把三段范围合并起来。综上所述我们可以推出这个A的范围是A大于等于二这是一段，还有A等于零这是一段，还有一个A小于等于-2，最后是三段，就最后答案本节课我们就讲到这里，中间有什么样的听课，有什么疑问，可以还可以在评论区留言。好，感谢大家的收看，再见。