同学们好，今天的视频课我们来讲集合中的全集普及及其综合应用，这是集合理论的最后一节。我们首先来看一下这样一个问题，如果我们把某次活动中的客人看成集合中的元素，所有的客人组成的集合U先。到的客人。组成集合A未到的客人组成集合B请问这三个集合之间有什么样的关系？大家可以先思考一下，有同学估计已经看出来，客人组成的集合一和味道的客人组成集合0两个11加起来不就是这个G和U，确确实实是这样一个关系。因为这里面的集合U就是我们研究对象的全体，所以说A就是集合U的一个子集，B是集合U的一个子集。而且A和B之间它是没有就是说呢相交之后没有元素，相交是空集，A并B是全集，其中集合A和集合B是一种互补的关系。所以这里面我们就引入了一个全集和补集的概念。我们来看一下它的定义，什么是全集呢？就是一般的如果一个集合含有所研究的问题中涉及到的所有的元素，我们就称这个集合为全集。全集通常是用U来表示，就大写的字母U。我们来看一下第二个知识点是补集。五集我们看用三种语言分别来描述。首先文字语言对于一个集合A由于集合全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，我们称集合A相对于全集U的补集，简称集合A的补集。这个记号大家注意，这是一个C是这样的写的一个字母，和我们所理解那种C还有点不一样。这个全集U一定写在下方，这个是A你比如说你R级以下的A的补集是多少？就是全集代表是R级。有些时候我们研究的是整数级Z下的A的补给，所以说这个下面它是不断变化的，这个我们就看具体的题具体分析。所以说这个符号语言我们表示就是你这个X在全局优质中，就是在这个阴影部分中，但是X又不在这个A中，那是不是只能在做阴影部分了？所以说图形语言看起来非常的形象。这里面有这样几个性质，大家把我这个PPT上的四个性质先看一下，思考一下。我来解释一下，第一个A的补集，大家可以由这个维度来看一下，A的补集自然而然还在全集当中，所以说它是全集的子集。第二个补给的补给就是一个空，给你们看补给的补给他他的这个边儿它没有元素了，对不对？还有空给。那么全集就是空集的补集，那就是全集，对吧？这个注意，全集的补集就是空集。那么反过来就是说，你这个A的补集，不就是A就返回来，因为它是互为补给的对吧？这个要注意A并上一个A的补集，那不就A并且不就全部，对吧？就是全集，这两个香蕉是空气，这是本来普及的一个定义。第四个性质，这四个性质完全靠理解啊不要死记硬背。我跟大家说这个一定要注意，先理解透。这里有几个注意事项。第一个，全集它是一个相对的概念，并不是固定不变的。大家一定要注意，这个并不是固定不变的。还有一个，还有大家要注意，补集是集合之间的一种运算关系，所以它是一个运算关系。因为你要靠这个小运算的集合之间运算，所以求集合A的补集的前提一是全集U的一个子集才可以。所以随着你这个全局不同，你这个普及肯定也是不同的。因此他们是相互依存，不可分割，有全集就可能对应的有补给。这里谈到普及必然有全集，这个一定要来注意。所以说这个A的补集包含有三个含义。第一，A肯定是全集的一个子集。2、补集也是一个集合，而且补给也是全集的一个子集，补集是全集中所有不属于A的元素构成的集合，这是我们刚才那个定义，这个也比较好理解。好，我们下面来看例题。首先看例题一还是一样的，暂停之后先思考再看，这都是入门级的题，比较的简单。他说设全集U是小于七的自然数，A集合是234，B集合是156。这样的话我们可以先把全集小于7，从基站自然数是从零开始的，就0123456这样的七个数字，然后补A的补集。就是在圈地U的情况下，除了234这3个之外，剩下的都是A的补给。那就是0156是个同样B的补集，那就是0234。比较简单。好，我们看一下第二小题，这题可以用数轴来看，这个也比较简单。那么根据数轴我们来画就可以了。比如说我们现在画一个数轴，比如说A集合，那么A集合是0到9，注意是包含0，这个是九。而B集合是0到5，这是实心的这是B集合。好。那剩下的补集，那不就是从五开始吗？5到9注意，这里因为你这个是空心的，所以说零也是包含的。这个是例一的第二小题。我们来反思一下求补集的方法。一般来说有两种。第一种是借助于数轴，再根据定义来求解，就是一定要注意端点，像刚才那个零，它这个端点的取舍问题。第二个就用列举法，也可以用维恩图来求解。我们后面有一些题型可以用文图，要注意这两种方法就行了。好，我们来训练一道题，大家看一下这个跟踪训练一若集合A它是-1到1，当U分别取下列集合的时候，求全集揪下的这个A的补集。你看他换换这个全集，第一个全集为实数集的时候，那时数集就是除了-1到1之外的所有的值，不就可以吗？当然你可以画个数轴，比如说我们画一个数轴，你这个A集合我们知道是-1到1。那么在它之外，那不就是相当于这个位置取实心的这边的值，然后这边的只画空心的对吧？不都可以吗？所以说这个第一问，这个A的补集，那么就是小于负一或者是X大于等于一，这是第一问。那我们来看第二问，如果说全局优势小于等于2，大家看啊全集U小于等于2，我这样来画，那么A仍然是-1到1。那么在这个之下的补给，首先小于负一这一段可以？把它补上。那么还有1到2之间要补上，就是X要大于等于一，小于等于二阶段也要补上，就是左边的这个就是X小于负一。因为A集合中有这个复议，所以这边不能再复议，所以这里面全A的补集可以表示成X小于负一，或者是X大于等于一，小于等于2。一定要注意，中间用或字来连接两段就可以了。好，我们再看一个小小训练题，三个。如果全题是-4到1，仍然是画图，仍然是画图，那这里我就不再细讲了，大家可以看这个草图就可以了。这个图由这个图我们知道这个全集是-4到1A集合是刚才我们说的是-1到1，你们看弄完之后，因为那边是开的，所以说这个一定要加上其他这一版比较好看。-4到-1是做那左边是带等号的，右边是不带等号的就可以了。中间有货值连接，这是第一类题知识点和题型。我们来看第二类，交集、并集、补集的综合运算。这里我们还是一样的，前面概念都介绍，我们直接来看这个题型。这道题比较的简单，首先我们一步一步求，先求ABB，ABBX小于等于0或X大于等于ABB，直接把它那个写起来就可以了。所以说这个第一步，我们先把两个集合的并集求出来，求出来之后再求在全集U上的补集。你小于等于0和大于等于一，中间不就0到1部分，所以说此题的单选D这个也比较好理解。好，我们再看后面的这个反思的，这个反思还比较简单，你也比较好理解，还总不会一个是用韦恩图，一个是数轴，这个我们就不再说了，我们来看一下这个跟踪训练2，跟踪训练二这一道题还是要大家先思考一下。这个题。都是比较基础的题。首先A集合是-4到2，我们由这个图来看，我们首先看-4到2，是从这里到这里，-4到2B集合是负一，从这里开始，就是-1到3。那么A交B那么公共部分就是。-1到2. 所以说这是第一段，A加B是-1到2，那么B的补集由图像可以看出来，你看你大于负一的这这边就小于等于负一，小于等于3，还有三的右端就是大于三把B的补集写出来，用B的补集去教P几何图。单独来画，单独来画图就可以了。所以说你要是这个线条多了看不出来，你就再画一个图对吧？线条太多了，那就小于等于负一。这样写一个小于等于负一大于3，这个是三，大于三是空心的。然后P是小于等于0，P0在这里，P是小的量量取功部分就这一段大于等于2分之5，2分之5比3小公共部分是在这里，所以阴影部分变阴影部分的东西。这里面阴影部如果是取交集就是公布，那就是阴影部分的。但是他现在取并集的，并集的我们就直接再扩展一下，对吧？或者就是X小于等于0或X大于等于2分之5，所以这里是并集的符号。如果说是交集的符，就是我们刚才第一次是X小于等于负一大于-3，大于三就可以了。如果改成交集的。好，我们再看一下最后一个，最后一个还是我把这两个图像画的。第一个A交B的，在这里是大于负一小于大于负负一小于2，这是A加B的。那么P的补集，P的补给我们这里可以观察是肯定是零到2分之5之间的对吧？零大于0小于2分之5的口算就可以了。所以取公共部分，那么就是临到日，你们可以看一下，这个写法就是这样，零到日，所以这个两个集合写交集时候可以这样来写，这个大家可以看一下。好，我们来看一下最后一类题型。第三类题型利用集合间的关系求参数，这个参数是大家最不喜欢的。我们老师其实讲课也不喜欢讲太复杂的，为什么呢？讲太复杂的这个比较累，同学们也不喜欢学。但是他选拔性考试你还必须讲讲这个拔高题，不讲拔高题还不行。我们来看一个例三，已知全集U是R集合，A是这个集合B很长，A的补集交B等于B，这里面有一个这样一个条件，大家可以思考一下。前面咱们讲过，如果A的补集交B等于B那就说明这里要注意第一步，没有说明B是A的补集的一个真子集。所以说这里面我们可以先把A集合的补集，你们通过数轴可以看一下，你这个位置是谁呢？是-2，这个位置是三，你这边是小于等于-2，那么它的补集就大于负二小于3。所以说我们写的话就是这样写，X大于负二小于三这个图像，而B在这个之间，B这个之间我们看这个是2M加1，这边应该写一个M加7。当然这里面还是跟上节课那个一样，我们首先要讨论必有可能为空集，对吧？就跟上节课的那个题型是一样的所以说这里后面的跟前面一样的我就不再细讲了。首先当B为空集的时候，你小的比大的要大或者相等。因为这里面都是小于号，这是一种情况。这个解出M大于等于6对吧，所以这个是符合条件的。第二个，如果不是空气怎么办呢？那就是2M减1比它小二M加一大于等于负，2M加7小于等于3两个1解算出来是无解。所以最后并起来之后，这个答案就是M大于等于6，这是例3。中档，这个题型中档不是特别难。当然了你要考211985这种题的难度是不够的。因为毕竟是入学，但是这个衔接课，所以说我们还有一些超难的题型，我们回头会在同步拔高课上会讲一些偏难题，让那个难题看一看集合论中的一些难题到底长什么样子。我们先延伸探究，若把本利的条件A的补集交B等于B改成A的五级，并B等于B那就说明反过来了，那就说明有这样一个条件，你们可以画维恩图，你像这个等于B那说明B肯定是大一些，A的补给在里面对吧？所以说这个可以说明A的补给是B的一个子集。那刚好调过来了，那调过来刚才它的那个范围我们就变了，对不对？刚好反过来写就行了，所以说这个写的过程刚好就是反着写。那这个小于等于-2，这个大于等于三就可以了。所以说最后解除这个范围是-4到负的2分之3。看一下跟你刚才暂停之后做的答案是否是一致的。好，我们来看一下有几何的补集求参数的常见方法到底是什么样子的。第一个有补集求参数问题的时候，若集合中元素个数有限的时候，我们可以用补集定义并结合集合知识求解，这是第一个。第二个与集合交并补运算有关参数问题的时候，我们看啊如果是有无限个的时候，一般利用的是数轴。你看我们这几节课核心的什么图，数轴列举对吧？还有区间就是我们那个集合的那个端点，就是大于还是大于等于，小于还是小于等于这样的字眼，这样的临界值处一定要注意多考虑一下。好，后面我们来训练一下，两个小题还是一样的。你们暂停之后来跟我一起来看一下这个解析。先做，一定要注意先做。不要直接听。好，我们来看一下这个过程。当A等于一的时候，B集合把一直接代进去，就是X小等于一。A集合知道画个数轴，一取交集就是这个答案，一取并集就是X小于等于一或X大于2，比较的简单，这个不再多说。我们看第二个，第二个就属于含参。先把A的补集给求出来，是-2到2，B是这个你就需要画一个数轴看一下，对吧？你把这个A的补集写成-2到2，那画出来之后，如果说你要让它的范围之内，那你这个A肯定是大于等于二的。你看这样的话才这个B集合才可以完全把这个A集合这个范围包含在里面，对吧？所以说大于等于2，等于二也是可以的，这个一定要注意。好，这个全体普及机器题型我们就讲到这里，下面我们来对本节课进行一个小结。这里主要讲三个小知识，一个是全集与补集及性质，这个前面性质都有。第二个是混合运算，第三个是利用集合间的关系，我们来求参数。你看刚才讲的这样的两个常见方法，对吧？像还是方法，还是这几类观察法。这个分析法大家注意，这个分析法就是自古熟，因就是由结论推条件，因就是条件，果就是结果，就是结论。还有数形结合的思想以及分类讨论的思想。这个常常见的易错点就是仍然是自然数据，一定要注意零含参问题，一定要注意空集。这个零和空集是咱们集合中很容易错认的量，尤其是空寂，一定要切记。好多同学在期中或者是期末考试做含参的题，示数都是败在这个上面，大家一定要再注意。好，下面我们来进行随堂练习。这个随堂练习我们来看四道小题。首先看第一题，第一题非常的简单，这个题我不再讲解了。这道题答案是选C. 你们自己对。第二题也比较简单，这个题我也不再讲解了，此题答案选A第三题我稍微点点讲一下，这道题的答案选A这题我稍微点一下也不算难。我们的全集是-1 13，那么A的补集是负一，说明A集合就只能取一和3。那么你就分别为让A加二等于一和A方加二等于一会发现A方加二等于一，不可能成立，只有A加二等于一，所以说A就等于负一可以解出来。也比较简单，第四个也很简单，我就不再讲解。第四个这个答案是X大于2，大于0，小于2或X大于等于6。好，那么我们来看一下拓展探究的。你们还是一样的先思考一下这道题，我不知道大家暂停之后选的是哪一个答案。我们来看一下，我们通常用cat a来表示有限集合A中的一个元素个数，全集等于A并BD是A的补集，B成B的补集。这个看的U是等于M看到D是等于N若A交B非空，那么问A加B它的元素个数到底是等于多少呢？这里大家可以用维恩图来表示，这里我们引入韦恩图，这个是A集合，这个是B集合。全集就是这两个的总和，就相当于面积对吧？如果说你看它是无限的位置就是面积，但所以这个阴影部分代表的是。A加B好。现在我们看一下，如果全集的个数是MD，是注意D是A的补集并上B的补集，那么A的补贴就是阴影部，这个是空白面积一区。假如这个阴影部分就是两个交集是二区这边的阴影，这个空白部分就是A中，除了阴影部分，像这个空白部分是三区，那么也就是说你这个一区加二区，那么就等于B集合的这个区域。那么一区不是二区加三区，注意，二区加三区，那么就等于3加2，就等于A集合的区域，也就相当于它的那个元素的个数。我画个圈，此一非彼，就是我们指代的是那个那个区域的面积。假如说就这个圈圈代表的个数，它这个面积好，那现在我们看一下地区，地区就是地区，那么就代表的是A集合在全集下的补集。你看你这个A集合的补集。那。不就是一吗？B集合的补集，那就代表的是三区。那全集代表是什么呢？全集代表A跟B就是1加2加3区对吧？好。那么D区D区ABB不是那个D和地区，不就是它俩并起来不就代表的是一区加三区。那现在我们看一下，U代表的是M就是你这个值，这个三个区域是总共的面积，相当于是M这个D一区加三区的面积是NA交B飞空了，问A交BAA交B不就是中间的二区，对吧？所以说A交B代表是二区，二区不就是用UU的U的面积减去D的面积，1加2加3减去1加3不就剩下2，对吧？所以说就是M减全。这样的话我们用原图来做就显得比较简单了，非常的巧妙。好，我们来看一道面试题，这个变式第一问M等于一比较简单，直接带进去解，用数轴来画就可以了。这种题我们不再多说了，我们来看一下这个第二个。第二个首先根据刚才前面的这个A集合，我把它再写下，这个A集合是负一小于X小于等于3。那考试时注意，这里面还有个X竖杠要加上。好，我现在画个数轴，这个是负一，这个位置是一个三，就是-1到3B集合。大家注意这个B集合，刚才我们B集合里面X范围是X大于等于M小于1加3M就是B几何。他说B如果是A集合的这个这A集合补集的一个子集，那我们还要把一集合的补集写出来。那不是这边两段吗？你这边这一段就是X小于等于负一，或者是还有这边这一段就是X大于三好，这样我们把A集合的补集写完了，A集合的补集写完了之后，我现在画一个数轴，继续画一个数轴，小于等于负一，这样的话大于三这样来画。好，他说如果说B集合是它的子集，那B集合有可能是空集，还是一样的讨论。然后不是空气的话，就是在这两端对吧？两端里面又是在这边，还有一种可能是在这边，它是左边是实心，右边是什么空心的对吧？所以说这个题就根据我们刚才的指示图就可以了。先讨论空集的情况，我们先来看第一种，当B为空集，GM要大于等于一加。所以一定要带等号，引导等号。如果他俩都带等号，就不要带等号了。如果他俩都带开机带等号，要有一个就是说其他的反应情况都带等号了，这个要来理解。这个时候解出M是小于等于负的2分之1，那么就满足B是它的自己。那第二种情况B不是空集，要使它成立，那就是两种情况。第一种情况你们看这个位置，这个位置就是1加3M这个位置是M所以说这是第二种情况。这个是第一种情况，前面这两个就代表它不是空集，1加3M你要准备最大的刚好小于零负一。因为这边是开的，也就是说这个是空心的，这个实心的套上也没关系，所以说可以取等。而后面这个是不能取等的，因为这边是实心的。如果说M和三相等的话，那你这个不是自己的，因为它含3，这个不含三对吧？好，最后再把这两个1元1次不等式组解出来，取交集就是M大于3，就是这个取交集和这个取值并起来就是M大于3。那最后的这个答案再把这两问的这个结两类的结果并起来，就是M大于3或者是M小于等于负的2分之1。这样的话我们这个集合的所有的内容，截止到今天我们全部都讲完了。后面我们会开这个逻辑用语，请大家继续关注听课，该做笔记做笔记。好，今天的课就讲到这里，再见。