专题10.1 整式（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制七年级上册

本讲义聚焦初中数学整式核心知识点，系统梳理单项式（定义、系数、次数）、同类项（定义、判定）、整式（定义、辨析）的概念，构建从单项式基础认知到同类项识别再到整式整体理解的递进式学习支架。 资料以“知识点+题型”双螺旋结构设计，含即学即练与多梯度变式题，如单项式规律题培养抽象能力（数学眼光），同类项求参数题发展推理意识（数学思维）。课中辅助分层教学，课后通过辨析与综合练习帮助学生查漏补缺，提升用数学语言表达代数式关系的能力。

专题10.1 整式 教学目标 1. 理解单项式、单项式的系数、次数的含义。 2. 理解同类项的含义，会判定两个单项式是否为同类项。 3. 理解整式和多项式的含义。 教学重难点 1.重点 理解单项式、同类项的含义。 2.难点 单项式、整式的辨析。 知识点01 单项式 1. 定义：数或字母的乘积叫作单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式. 2. 系数：一个含字母的单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数。如，6a²的数字因数为6,称6a²的系数是6；的可以理解成是，所以数字因数为，所以系数是. 3. 次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数.例如，6a²、a³b、vt的次数分别为2、4、2. 特别地，非零的数是零次单项式，如5、-5都是零次单项式. 【即学即练】 1. 在、、、中，单项式的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查单项式的识别，由数与字母的乘积组成的代数式是单项式，单独一个数或一个字母也是单项式，据此即可求解． 【详解】解：、、、中， 、是单项式；是多项式，分母中含字母，不是单项式， 因此单项式的个数有2个， 故选B． 2. 单项式的系数为 ，次数为 ． 【分析】本题主要考查了单项式的系数和次数，单项式的系数是指数字因数（包括常数），次数是指所有字母的指数之和．在初中课本里代表的是圆周率，所以视为一个数而不视为一个字母 【详解】解：单项式 中，数字因数为 ， 系数为 ； 字母部分的指数为，的指数为，指数之和为， 次数为3． 故答案为：，． 知识点02 同类项 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项，几个常数项也是同类项. 【即学即练】 1. 下列各组单项式是同类项的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查了同类项，解题的关键是熟练掌握同类项的定义． 根据同类项的定义求解即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，据此判断即可． 【详解】解：A：和的字母不同（前者只有x，后者有x和y）， ∴不是同类项，不符合题意； B：和的字母相同（a、b、c），但相同字母指数不同（a指数，c指数）， ∴不是同类项，不符合题意； C：是单项式，但是多项式，不是单项式， ∴不能是同类项，不符合题意； D：和的字母相同（u和v），且相同字母指数相同（u指数均为3，v指数均为1）， ∴是同类项，符合题意． 故选：D． 知识点03 整式 1. 整式：几个单项式的和叫作整式，也叫做多项式. 一个单项式也属于整式. 【即学即练】 1. 在0、x、、、、、这些代数式中，整式的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】此题考查了整式的定义，整式为单项式和多项式的统称，是有理式的一部分，在有理式中可以包含加、减、乘、除、乘方五种运算，但在整式中除数不能含有字母．据此进行判断即可． 【详解】解：在0、x、、、、、这些代数式中，整式有：0、x、、、，共5个， 故选：D 题型01 单项式的辨析 【典例1】下列各式属于单项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】单项式是指由数字与字母的乘积组成的代数式，或单独的数字或字母，根据单项式的定义逐项判断即可；本题主要考查了单项式的定义，熟练掌握单项式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、含有加法运算，是多项式，不符合题意； B、分母含有字母，不是单项式，不符合题意； C、分子含有加法运算，不是单项式，不符合题意； D、是数字与字母的乘积，符合单项式定义； 故选：D． 【变式1】代数式0，，，，，中，单项式个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查单项式的定义，根据单项式的定义求解即可． 【详解】解：单项式有：0，，，， 故选：D． 【变式2】在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查单项式的定义，解题思路为根据单项式定义逐个判断题干中的整式，统计单项式个数即可得到答案，单项式定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，几个单项式的和为多项式． 【详解】解：∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵，是两个单项式的差，属于多项式，不是单项式 ∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵是单独的一个字母，是单项式 ∵是单项式和单项式的和，属于多项式，不是单项式 综上，单项式共有个，因此选C． 【变式3】下列代数式中，不是单项式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式的概念，根据单项式的定义判断各选项即可，单项式是数或字母的乘积，单独的数或字母也是单项式，多个单项式的和为多项式． 【详解】解：A.是符合单项式定义，属于单项式； B.是数与字母的积，属于单项式； C.是与的积，属于单项式； D.是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式． 【变式4】下列代数式①，②，③，④0，⑤中，单项式有_____．（填序号） 【答案】 ①③④⑤ 【分析】明确是常数. 利用单项式的定义逐一判断即可. 【详解】解：由单项式的定义可知，数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式. ①是数与字母的积，属于单项式； ②可化为，是多项式，不属于单项式； ③是与的积，属于单项式； ④0是单独的一个数，属于单项式； ⑤是常数，不是字母，因此是与的积，属于单项式. 题型02 单项式的系数和次数 【典例1】a2b的系数是 _________，次数是 _________． 【答案】 3 【分析】根据单项式系数与次数的定义，确定单项式的数字因数得到系数，计算所有字母的指数和得到次数． 【详解】解：单项式，其数字因数为，因此系数为； 字母的指数为，字母的指数为，所有字母指数和为 ，因此次数为． 【变式1】下列各代数式中，是五次单项式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】单项式是数与字母的积组成的代数式，单项式的次数为所有字母的指数和，根据定义计算各选项即可判断． 【详解】解：A、的次数为 ，是六次单项式，不符合要求； B、 的次数为 ，是三次单项式，不符合要求； C、的次数为 ，是五次单项式，符合要求； D、不是单项式，不符合要求． 【变式2】下列说法中，正确的是（     ） A．不是单项式 B．的系数是，次数是 C．不是整式 D．的系数是，次数是 【答案】B 【分析】本题根据单项式、整式的定义，以及单项式系数、次数的计算方法，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵单独的一个数是单项式，∴是单项式，A选项错误； ∵的数字因数为，所有字母的指数和为，∴它的系数是，次数是，B选项正确； ∵是单项式，单项式属于整式，∴是整式，C选项错误； ∵的数字因数是，∴它的系数是，不是，D选项错误． 【变式3】下列说法正确的是（   ） A．符号相反的数互为相反数 B．绝对值越大的数离原点越远 C．一定是一个负数 D．单项式的次数是3 【答案】B 【分析】根据相反数、绝对值、单项式次数的概念，对每个选项逐一判断，即可得到正确结果． 【详解】解：A、互为相反数的定义是只有符号不同的两个数，故A错误； B、绝对值的几何意义是数轴上表示数的点到原点的距离，故绝对值越大的数，对应点离原点越远，B正确； C、当时，，故不一定是负数，C错误； D、单项式的次数是，故D错误． 【变式4】填表： 单项式 系数 次数 【答案】见解析 【分析】本题考查了单项式系数和次数，根据单项式系数和次数的定义，系数是单项式中的数字因数，包括符号；次数是所有字母的指数的和． 【详解】解：对于单项式，系数是，次数是； 对于单项式，系数是，次数是； 对于单项式，系数是，次数是； 对于单项式，系数是，次数是； 对于单项式，系数是，次数是； 对于单项式，系数是，次数是． 故填表如下： 单项式 系数 5 2 次数 1 3 3 2 5 3 题型03 列出符合条件的单项式 【典例1】 请写出一个含有字母m，n，且次数是3，系数为的单项式：______． 【答案】或（答案不唯一） 【详解】解：符合题意的单项式可以是或． 【变式1】若一个关于m，n的单项式的系数是，次数是5，则这个单项式可以是____________．（写出一个即可） 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据单项式系数是单项式中的数字因数，次数是所有字母的指数之和，即可写出符合要求的单项式. 【详解】解：由题意可知，单项式的系数为，次数为，即，的指数之和为； 故单项式可以为（答案不唯一） 【变式2】写出一个系数是负数，次数是4，且含有字母a，b的单项式可以是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查单项式的系数和次数的概念，系数是单项式中的数字因数且为负数，次数是所有字母的指数之和为4，进行解答即可． 【详解】解：根据题意，系数为负数，次数为4，且含有字母和，因此可构造单项式如，其中系数为，次数为；其他符合条件的有（系数为，次数为）或（系数为，次数为）等． 故答案为：．（答案不唯一） 【变式3】请写出一个只含字母的三次单项式：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】只要写出的单项式只含有字母，并且所有字母的指数和为即可． 【详解】解：∵只含的三次单项式， ∴只需满足和的指数和为，且系数不为即可， 例如中，指数为，指数为，指数和，符合要求． 【变式4】写出一个同时满足以下三个条件的单项式： ①系数是负数； ②次数是； ③至少含有个字母； 这个单项式可以是： ． 【答案】答案不唯一 【分析】本题考查单项式，根据单项式的系数、次数的意义进行解答即可． 【详解】解：符合条件的单项式可以是， 故答案为：答案不唯一． 题型04 单项式中规律题 【典例1】观察下列关于 的单项式，探究其规律：，按照上述规律，第2024个单项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题分别找出单项式系数和次数的规律，得到第n个单项式的表达式，代入即可求解． 【详解】解：∵第1个单项式为， 第2个单项式为， 第3个单项式为， …… ∴第 个单项式为， 当时，系数为，次数为， 因此第个单项式是． 【变式1】．按一定规律排列的代数式： ，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别分析代数式的系数和字母部分的变化规律，归纳即可得到第个代数式． 【详解】解：观察给出的代数式依次分析： ∵第1个代数式：， 第2个代数式：， 第3个代数式：， 第4个代数式： ，... ， 依次类推，所有代数式的字母部分均为 ，第个代数式的系数为， ∴第个代数式为． 【变式2】．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别归纳系数和的指数与项数的关系，得到第个代数式的通式，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 第1个系数为， 第2个系数为， 第3个系数为， ∴第个代数式的系数为， 又∵第1个中的指数为， 第2个中的指数为， 第3个中的指数为， ∴可得第个代数式中的指数为， ∴第个代数式为， 将代入得：系数为，的指数为， 因此第2026个代数式为． 【变式3】观察2，，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第10个式子为________． 【答案】/ 【分析】观察发现，奇数项为正，偶数项为负，分母为连续奇数，分子为连续偶数，x的指数为连续自然数，则式子规律可表示为（n为正整数），即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， …， 第n个式子为， ∴第10个式子为，即． 【变式4】一列代数式按以下规律排列：，，，，，…，第n个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别从系数、的次数两个部分分析规律，整合后即可得到第个代数式． 【详解】解：由题可知，系数分别是1，，，，，， 即第1项系数为1，第2项系数为，第3项系数为，第4项系数为，第5项系数为， 则系数规律为； 的次数分别是，，，，，， 即第1项次数为，第2项次数为，第3项次数为，第4项次数为，第5项次数为， 则的次数规律为； 第个代数式为． 题型05 同类项的辨析 【典例1】指出下列各题中哪两个单项式是同类项的，并说明理由． （1）与； （2）与； （3）与； （4）与． 【答案】与，与是同类项，理由见解析． 【分析】本题考查同类项的定义，掌握同类项的定义是解题关键． 依据同类项的定义，对每一组单项式进行验证． 【详解】解：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项，几个常数项也属于同类项． （1）与：所含字母相同，但相同字母的指数不相同，它们不是同类项； （2）与：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，它们是同类项； （3）与：所含字母不相同，它们不是同类项； （4）与：所有常数项都是同类项，它们是同类项． 【变式1】下列各组代数式中，属于同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据同类项的定义逐个判断即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式为同类项． 【详解】解：A、与所含字母相同，但相同字母x的指数不相等， ∴不是同类项，不符合题意； B、与所含字母都是，且相同字母的指数都相等，符合同类项定义， ∴是同类项，符合题意； C、只含字母，含字母和，所含字母不同， ∴不是同类项，不符合题意； D、含字母，含字母，所含字母不同， ∴不是同类项，不符合题意． 【变式2】下面不是同类项的是（     ） A．与4 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查同类项的定义，根据同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项是同类项，所有常数项都是同类项，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：∵ 选项A中，和4都是常数项，所有常数项都是同类项，因此A是同类项； ∵ 选项B中，与所含字母都是a、b，a的指数都是2，b的指数都是1，符合同类项定义，因此B是同类项； ∵ 选项C中，与所含字母都是x、y，x的指数都是2，y的指数都是2，符合同类项定义，因此C是同类项； ∵ 选项D中，所含字母为m，所含字母为n，所含字母不同，不符合同类项定义，因此D不是同类项． 【变式3】下列选项中，与是同类项的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数分别相同的单项式为同类项，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、与中字母的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意； B、符合同类项的定义，故选项符合题意； C、与中字母的指数不相同，不是同类项，故选项不符合题意； D、与中字母的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意． 【变式4】 下列各组中的两项是不是同类项？①与；②与；③－3与5；④与． 【答案】①③是同类项，②④不是同类项 【分析】本题考查了同类项的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项，据此逐个判断即可解答． 【详解】解：①与所含字母都是x、y，且x的指数都是2，y的指数都是1，所以是同类项； ②中x的指数是1，y的指数是2，中x的指数是2，y的指数是1，相同字母的指数不同，不是同类项； ③与5都是常数项，是同类项； ④中a的指数是2，b的指数是1，中a的指数是1，b的指数是2，相同字母的指数不同，不是同类项． 综上所述，①③是同类项，②④不是同类项． 题型06 根据同类项求参数 【典例1】若单项式与是同类项，则___________，___________． 【答案】 5 3 【分析】根据同类项的定义，相同字母的指数相等求解． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，． 【变式1】已知与是同类项，那么的值是（     ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据同类项相同字母的指数相等列出等式，即可求出的值． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， 对第一个等式移项得， 故的值为． 【变式2】若与是同类项，则的值为________． 【答案】 【分析】所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴相同字母的指数相等，即，， 解得，， ∴． 【变式3】代数式|a-3|的最小值是 _____|a|+3的最小值是 _____已知和是同类项，则的值是__________． 【答案】 【详解】解：和是同类项， ∴，， 解得，， ． 【变式4】若单项式与是同类项，则________，________． 【答案】 / 1 【分析】根据同类项的定义，即所含字母相同，相同字母的指数也相同，列出关于和的方程，求解方程即可得到结果． 【详解】解：单项式与是同类项， ，， 解得，． 题型07 整式、多项式的辨析 【典例1】下列说法正确的是（　　） A．x的系数为0 B．是整式 C．1是单项式 D．系数是4 【答案】C 【分析】本题考查单项式、整式的相关概念，需根据各概念的定义逐一判断选项正误． 【详解】解：x的系数为1，A选项说法错误； 整式的分母中不含字母，分母含字母，是分式不是整式，B选项说法错误； 单独的一个数是单项式，1是单项式，C选项说法正确； 的系数是，D选项说法错误． 【变式1】代数式，，，，中，是整式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的定义，表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，而整式是单项式和多项式的统称，据此可得答案． 【详解】解：代数式，，，，中，整式有，，，，共4个， 故选：D． 【变式2】在代数式，中，整式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握整式的定义（分母中不含字母）是解题的关键．本题需根据整式的定义（整式为单项式和多项式的统称，分母中不含字母），逐一判断每个代数式是否为整式，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：整式是单项式与多项式的统称，且整式的分母中不含字母， 对各代数式判断如下： 是多项式，属于整式； 是多项式，属于整式； 是单独的常数，属于单项式，是整式； 分母含字母，不是整式； 中分母含字母，不是整式； 是单独的常数，属于单项式，是整式； 是单项式，属于整式； 综上，整式共有5个． 故选：C． 【变式3】下列说法正确的是（   ） A．是多项式 B．是四次单项式，系数是 C．是二次单项式 D．是代数式 【答案】D 【分析】本题考查了代数式，单项式，多项式，单项式的次数等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据代数式，单项式，多项式，单项式的次数的概念分别判断即可． 【详解】解：A、不是整式，故不是多项式，故本选项错误，不符合题意； B、是四次单项式，系数是，故本选项错误，不符合题意； C、是多项式，故本选项错误，不符合题意； D、是代数式，正确，符合题意； 故选：D． 【变式4】下列说法：①0是最小的有理数； ②一个有理数不是正数就是负数； ③绝对值是它本身的有0，1；④ 的系数是；⑤是整式；⑥ 与是同类项，其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据有理数的分类、绝对值的性质、整式的定义、同类项的定义即可作出判断． 【详解】解：①没有最小的有理数，原说法错误； ②一个有理数是正数、0、负数，原来的说法错误； ③绝对值是它本身的有0和正数，原来的说法错误； ④ 的系数是，原来的说法错误； ⑤是整式，正确； ⑥ 与是同类项，正确； 正确的个数是2个． 1．下列式子中，是单项式的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：是单项式，，，不是单项式 2．下列说法正确的是（　　） A．是次单项式 B．的系数是 C．是单项式 D．的系数是 【答案】C 【分析】根据单项式的定义、单项式的次数与系数的定义，逐一判断选项即可． 【详解】解：、中是常数，所有字母的指数和为，因此它是次单项式，故本选项说法错误，不符合题意； 、的数字因数是，因此系数为，不是，故本选项说法错误，不符合题意； 、根据定义，单独的一个数是单项式，因此是单项式，故本选项说法正确，符合题意； 、的数字因数是，因此系数为，不是，故本选项说法错误，不符合题意． 3．下列说法中，正确的是（    ） A．m不是整式 B．的系数为2，次数为3 C．3是单项式 D．多项式的次数是5 【答案】C 【分析】根据整式、单项式、多项式的定义及相关性质，逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：整式包括单项式和多项式，单独的字母m是单项式，属于整式，故A选项错误； 的系数是，次数是，故B选项错误； 单独的一个数是单项式，3是单独的数，是单项式，故C选项正确； ∵多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，的次数是，的次数是2， ∴该多项式的次数是3，故D选项错误． 4．下列各式：，，，，，，，中，是单项式的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据单项式定义逐个判断即可，注意是常数不是字母，分母含字母的式子不是单项式，多项式不属于单项式． 【详解】解：根据单项式的定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式， ∵ 是数与字母的积，∴是单项式； ∵ 分母含有字母，∴不是单项式； ∵ 展开后为，是两个单项式的和，属于多项式，∴不是单项式； ∵ 是常数，是常数与字母的积，∴是单项式； ∵ 整理后为，是两个单项式的和，属于多项式，∴不是单项式； ∵ 分母含有字母，∴不是单项式； ∵ 是常数，是单独的常数，∴是单项式； ∵ 是单独的常数，∴是单项式； 综上，符合要求的单项式共有个． 5．下列说法不正确的是（   ） A．有理数0是单项式 B．代数式的系数是 C．单项式的次数是5 D．整式的系数是 【答案】C 【分析】本题考查单项式的定义、系数和次数的概念． 根据单项式的次数是所有字母指数的和，选项C中单项式的次数应为6，而非5，因此C选项不正确．其他选项均符合定义． 【详解】解：A． 有理数0是单项式，原说法正确； B． 代数式的系数是，原说法正确； C． 单项式的次数是，原说法不正确； D． 整式的系数是，原说法正确； 故选：C． 6．单项式的系数是________． 【答案】 【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，据此可得答案． 【详解】解：原单项式可改写为，其中数字因数为， 故系数是． 7．任意写出一个与单项式是同类项的单项式：__________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，可知只要改变单项式的系数，即可得到它的同类项，例如． 8．写出下列各单项式的系数和次数： 单项式 y 系数 ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ 次数 ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ 【答案】30，1；，3；1，1；1，6；，4；，2 【分析】本题主要考查单项式的系数与次数，熟练掌握单项式的系数与次数的定义是解决本题的关键． 根据单项式的系数（数字因数是系数）与次数（所有的字母的指数的和是次数）的定义解答此题． 【详解】解：的系数是30，次数是1； 的系数是，次数是3； 的系数是1，次数是1； 的系数是1，次数是6； 的系数是，次数是4； 的系数是，次数是2． 填表如下： 单项式 y 系数 30 1 1 次数 1 3 1 6 4 2 故答案为：30，1；，3；1，1；1，6；，4；，2． 9．已知单项式与的次数相同． (1)求的值． (2)当时，求单项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据单项式的次数的定义，即可得到一个关于 m的方程，解方程即可求得m的值； （2）首先根据（1）的结果求得代数式，然后把x，y的值代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：因为，所以． 当，时，原式． 【点睛】本题考查了单项式的次数的定义，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．根据定义求得m的值是解题关键． 10．观察下面依次排列的一串单项式： ，… (1)从第2个单项式起，计算每一个单项式与它前面的单项式的商，你有什么发现？ (2)如果按你发现的规律继续写下去，第10个单项式是什么？ 【答案】(1)从第2个单项式起，每一个单项式与它前面的单项式的商恒等于 (2) 【分析】（1）计算出从第2个单项式起，前五个单项式中一个单项式与它前面的单项式的商，即可解答； （2）根据（1）可得规律，即可求解． 【详解】（1）解： 由此发现从第2个单项式起，每一个单项式与它前面的单项式的商恒等于； （2）解：根据题意得：， 由（1）得：第10个单项式是． 1．下列说法正确的是（   ） A．单项式的次数为 B．是单项式 C．单项式的系数为 D．多项式的次数为 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的系数、次数定义及多项式的次数定义．单项式的次数是所有字母的指数和，单项式是数或字母的积，单项式的系数是数字因数（含这类常数），多项式的次数是最高次项的次数，根据相关概念逐一判断选项即可解答． 【详解】解：、单项式的次数是所有字母的指数和，单项式中字母的指数为，的指数为，次数为，故错误； 、单项式是数或字母的积，是整式，分母含字母，是分式不是单项式，故错误； 、单项式的系数是数字因数（含这类常数），的系数为，故错误； 、多项式的次数是最高次项的次数，多项式中最高次项的次数为，该多项式次数为，故正确； 故选：． 2．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别观察单项式的系数和字母a的指数，归纳得到第n个单项式的规律，即可选出正确答案． 【详解】解：第1个单项式为， 第2个单项式为， 第3个单项式为， 第4个单项式为， 第5个单项式为， 发现规律：第个单项式中，系数恒为，字母的指数为， 即第个单项式为． 3．按一定规律排列的代数式：，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察题干的代数式，找出系数和次数的规律，推导得到第个代数式即可． 【详解】解：观察已知代数式可得 第1个代数式：， 第2个代数式： 第3个代数式：， 第4个代数式：， …… 以此类推：第个代数式中，的次数为，系数为， ∴第个代数式为． 4．下列说法正确的是（   ） A．单项式是整式，整式也是单项式 B．与是同类项 C．单项式 的系数是，次数是4 D．的系数是 【答案】C 【分析】本题考查整式、单项式、系数和次数的概念，此处需要注意常数应视为系数的一部分，熟练掌握概念是问题求解的关键． 选项A错误，因为整式包括单项式和多项式，整式不一定是单项式； 选项B错误，因为常数项与字母项不是同类项； 选项C正确，系数包括常数，次数为变量指数之和； 选项D错误，系数应包含． 【详解】解：∵ 单项式的系数是数字部分，包括常数，∴ 系数为； ∵ 次数是所有字母指数的和，和的指数和为，∴ 次数为， 故C正确． 对于A：整式可以是多项式，不一定是单项式，故错误； 对于B：是常数项，是字母项，字母部分不同，不是同类项，故错误； 对于D：的系数应包含，即，而不是，故错误． 故选：C． 5．已知整式与的和是一个单项式，则_____，_________． 【答案】 3 2 【分析】两个整式的和为单项式，说明两个整式是同类项，根据同类项定义列出关于，n的方程，求解即可得到结果． 【详解】∵整式与的和是一个单项式， ∴这两个整式是同类项， ∴，， 解得，． 6．（1）已知关于，的单项式与的次数相同，求的值； （2）若是关于的四次单项式，求，的值，并写出这个单项式． 【答案】（1）；（2），， 【分析】本题考查了单项式，单项式的次数是字母指数的和． （1）根据单项式的次数，可得方程，根据解方程，可得答案． （2）根据单项式的定义列方程求解即可． 【详解】解：（1）关于，的单项式与的次数相同，单项式的次数是4， ， 解得； （2）是关于的四次单项式， ，，， 解得，． 单项式是． 7．对于有理数m、n，定义一种新运算☆：．例如：． (1)求的值； (2)已知x是绝对值为1的负整数，y是单项式的次数，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了定义新运算、有理数的混合运算，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新运算法则，进行计算即可； （2）由题意可知，，根据新运算法则，先求，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）根据题意可知，，， ， ． 8．类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“强同类项”，例如：与是“强同类项”． (1)给出下列四个单项式：①，②，③，④．其中与是“强同类项”的是______（填写序号）； (2)若与是“强同类项”，求m的值． 【答案】(1)①④ (2)或或5． 【分析】本题考查新定义，绝对值，单项式和同类项，理解新定义是解题的关键． （1）根据“强同类项”的概念判断即可； （2）根据“强同类项”的概念即可确定m的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴①与是“强同类项”， ∵， ∴②与不是“强同类项”， ∵， ∴③与是不“强同类项”， ∵，， ∴④与是“强同类项”， ∴①④与是“强同类项”， 故答案为：①④； （2）解：∵与是“强同类项”， ∴，，， ∴，，5． 9．用单项式填空，并指出它们的系数和次数． (1)国家速滑馆“冰丝带”采用了我国自有的二氧化碳跨临界直冷制冰系统，不仅安全，而且绿色环保．如果使用传统制冷剂，同等用量下的碳排放量是二氧化碳制冷剂的3985倍．若使用一批二氧化碳制冷剂的碳排放量为，则相同用量的传统制冷剂的碳排放量为________t． (2)某人经营一家网店，“五一”假期期间他对网店的某种商品进行促销．若每售出一件这种商品获利m元，则售出n件这种商品共获利________元． (3)测量降水量的基本仪器是雨量器．如图，一个雨量器的集雨斗是圆锥形状，其内部的底面半径为r，高为h，则这个集雨斗的容积为________． 【答案】(1)，系数为3985，次数为1 (2)，系数为1，次数为2 (3)，系数为，次数为3 【分析】本题考查列单项式，单项式的系数和次数，正确的列出单项式是解题的关键： （1）根据传统制冷剂，同等用量下的碳排放量是二氧化碳制冷剂的3985倍，列式即可，再根据单项式的系数为数字因式，次数为字母的指数和，进行判断即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列式，再进行说明即可； （3）根据圆锥的体积公式列出单项式，再进行说明即可． 【详解】（1）解：由题意，相同用量的传统制冷剂的碳排放量为； 故答案为：，系数为3985，次数为1； （2）售出n件这种商品共获利元； 故答案为：，系数为1，次数为2； （3）这个集雨斗的容积为； 故答案为：，系数为，次数为3． 10．如图，在数轴上，Ｏ为原点，点A表示的数是单项式的系数，．若点M以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴运动，同时，点N以每秒3个单位长度的速度从点B出发沿数轴运动，设运动时间是秒． (1)求出点B表示的数； (2)若点M，N沿相同的方向运动，当秒时，求出线段的长．（提示：分两种情况，向左或向右运动） 【答案】(1)20 (2)或 【分析】本题考查数轴上的动点问题，单项式的系数，两点间的距离： （1）根据单项式的系数为单项式中的数字因数，得到点表示的数为，进而得到，求出的长，即可得出结果； （2）分点M，N向左运动或点M，N向右运动两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵的系数为， ∴点表示的数为， ∴， ∴， ∴点表示的数为； （2）解：当点M，N向左运动时，则：当时，点表示的数为：，点表示的数为：， ∴； 当点M，N向右运动时，则：当时，点表示的数为：，点表示的数为：， ∴； 综上：或． 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.1 整式 教学目标 1. 理解单项式、单项式的系数、次数的含义。 2. 理解同类项的含义，会判定两个单项式是否为同类项。 3. 理解整式、多项式的含义。 教学重难点 1.重点 理解单项式、同类项的含义。 2.难点 单项式、整式的辨析。 知识点01 单项式 1. 定义：数或字母的乘积叫作______.单独的一个数或一个字母也是单项式. 2. 系数：一个含字母的单项式中的数字因数叫作这个单项式的______。如，6a²的数字因数为6,称6a²的系数是6；的可以理解成是，所以数字因数为，所以系数是. 3. 次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的______.例如，6a²、a³b、vt的次数分别为2、4、2. 特别地，非零的数是零次单项式，如5、-5都是零次单项式. 【即学即练】 1. 在、、、中，单项式的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2. 单项式的系数为 ，次数为 ． 知识点02 同类项 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作______，几个常数项也是______. 【即学即练】 1. 下列各组单项式是同类项的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 知识点03 整式 1. 整式：有限个单项式的求和得到的式子叫作整式，也叫做多项式 一个单项式也属于整式. 【即学即练】 1. 在0、x、、、、、这些代数式中，整式的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型01 单项式的辨析 【典例1】下列各式属于单项式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】代数式0，，，，，中，单项式个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】下列代数式中，不是单项式的是（     ） A． B． C． D． 【变式4】下列代数式①，②，③，④0，⑤中，单项式有_____．（填序号） 题型02 单项式的系数和次数 【典例1】a2b的系数是 _________，次数是 _________． 【变式1】下列各代数式中，是五次单项式的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】下列说法中，正确的是（     ） A．不是单项式 B．的系数是，次数是 C．不是整式 D．的系数是，次数是 【变式3】下列说法正确的是（   ） A．符号相反的数互为相反数 B．绝对值越大的数离原点越远 C．一定是一个负数 D．单项式的次数是3 【变式4】填表： 单项式 系数 次数 题型03 列出符合条件的单项式 【典例1】 请写出一个含有字母m，n，且次数是3，系数为的单项式：______． 【变式1】若一个关于m，n的单项式的系数是，次数是5，则这个单项式可以是____________．（写出一个即可） 【变式2】写出一个系数是负数，次数是4，且含有字母a，b的单项式可以是________（写出一个即可）． 【变式3】请写出一个只含字母的三次单项式：________． 【变式4】写出一个同时满足以下三个条件的单项式： ①系数是负数； ②次数是； ③至少含有个字母； 这个单项式可以是： ． 题型04 单项式中规律题 【典例1】观察下列关于 的单项式，探究其规律：，按照上述规律，第2024个单项式是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．按一定规律排列的代数式： ，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 【变式3】观察2，，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第10个式子为________． 【变式4】一列代数式按以下规律排列：，，，，，…，第n个代数式是（     ） A． B． C． D． 题型05 同类项的辨析 【典例1】指出下列各题中哪两个单项式是同类项的，并说明理由． （1）与； （2）与； （3）与； （4）与． 【变式1】下列各组代数式中，属于同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】下面不是同类项的是（     ） A．与4 B．与 C．与 D．与 【变式3】下列选项中，与是同类项的是（     ） A． B． C． D． 【变式4】 下列各组中的两项是不是同类项？①与；②与；③－3与5；④与． 题型06 根据同类项求参数 【典例1】若单项式与是同类项，则___________，___________． 【变式1】已知与是同类项，那么的值是（     ） A．1 B．3 C． D． 【变式2】若与是同类项，则的值为________． 【变式3】代数式|a-3|的最小值是 _____|a|+3的最小值是 _____已知和是同类项，则的值是__________． 【变式4】若单项式与是同类项，则________，________． 题型07 整式、多项式的辨析 【典例1】下列说法正确的是（　　） A．x的系数为0 B．是整式 C．1是单项式 D．系数是4 【变式1】代数式，，，，中，是整式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】在代数式，中，整式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【变式3】下列说法正确的是（   ） A．是多项式 B．是四次单项式，系数是 C．是二次单项式 D．是代数式 【变式4】下列说法：①0是最小的有理数； ②一个有理数不是正数就是负数； ③绝对值是它本身的有0，1；④ 的系数是；⑤是整式；⑥ 与是同类项，其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 1．下列式子中，是单项式的是(　　) A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（　　） A．是次单项式 B．的系数是 C．是单项式 D．的系数是 3．下列说法中，正确的是（    ） A．m不是整式 B．的系数为2，次数为3 C．3是单项式 D．多项式的次数是5 4．下列各式：，，，，，，，中，是单项式的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 5．下列说法不正确的是（   ） A．有理数0是单项式 B．代数式的系数是 C．单项式的次数是5 D．整式的系数是 6．单项式的系数是________． 7．任意写出一个与单项式是同类项的单项式：__________． 8．写出下列各单项式的系数和次数： 单项式 y 系数 ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ 次数 ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ 9．已知单项式与的次数相同． (1)求的值． (2)当时，求单项式的值． 10．观察下面依次排列的一串单项式： ，… (1)从第2个单项式起，计算每一个单项式与它前面的单项式的商，你有什么发现？ (2)如果按你发现的规律继续写下去，第10个单项式是什么？ 1．下列说法正确的是（   ） A．单项式的次数为 B．是单项式 C．单项式的系数为 D．多项式的次数为 2．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式是（     ） A． B． C． D． 3．按一定规律排列的代数式：，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（   ） A．单项式是整式，整式也是单项式 B．与是同类项 C．单项式 的系数是，次数是4 D．的系数是 5．已知整式与的和是一个单项式，则_____，_________． 6．（1）已知关于，的单项式与的次数相同，求的值； （2）若是关于的四次单项式，求，的值，并写出这个单项式． 7．对于有理数m、n，定义一种新运算☆：．例如：． (1)求的值； (2)已知x是绝对值为1的负整数，y是单项式的次数，求的值． 8．类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“强同类项”，例如：与是“强同类项”． (1)给出下列四个单项式：①，②，③，④．其中与是“强同类项”的是______（填写序号）； (2)若与是“强同类项”，求m的值． 9．用单项式填空，并指出它们的系数和次数． (1)国家速滑馆“冰丝带”采用了我国自有的二氧化碳跨临界直冷制冰系统，不仅安全，而且绿色环保．如果使用传统制冷剂，同等用量下的碳排放量是二氧化碳制冷剂的3985倍．若使用一批二氧化碳制冷剂的碳排放量为，则相同用量的传统制冷剂的碳排放量为________t． (2)某人经营一家网店，“五一”假期期间他对网店的某种商品进行促销．若每售出一件这种商品获利m元，则售出n件这种商品共获利________元． (3)测量降水量的基本仪器是雨量器．如图，一个雨量器的集雨斗是圆锥形状，其内部的底面半径为r，高为h，则这个集雨斗的容积为________． 10．如图，在数轴上，Ｏ为原点，点A表示的数是单项式的系数，．若点M以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴运动，同时，点N以每秒3个单位长度的速度从点B出发沿数轴运动，设运动时间是秒． (1)求出点B表示的数； (2)若点M，N沿相同的方向运动，当秒时，求出线段的长．（提示：分两种情况，向左或向右运动） 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $