15.1.2.1线段的垂直平分线的性质与判定课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦线段垂直平分线的性质、判定及互逆命题，通过类比角平分线引入，结合几何画板探究点到线段两端距离关系，搭建从已有知识到新知的学习支架。 其亮点在于以探究活动培养数学眼光（几何直观），通过性质判定证明发展推理能力（数学思维），用对比表格和规范几何语言强化数学表达。分层练习与母题变式助力学生巩固，教师可直接用于课堂教学提升效率。

人教版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月24日 15.1.2.1线段的垂直平分线的性质 与判定 第十五章 轴对称 15.1.2.1 线段的垂直平分线的性质与判定 同步练习题（人教版八年级上册） 核心知识点回顾：1. 线段垂直平分线定义：垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线；2. 性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；3. 判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；4. 核心结论：线段的垂直平分线是所有到线段两端点距离相等的点的集合。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 线段垂直平分线上的任意一点，到线段两个端点的距离（） A. 不等 B. 相等 C. 无法确定 D. 成倍数关系 2. 已知直线l垂直平分线段AB，点P在直线l上，若PA=8cm，则PB的长为（） A. 4cm B. 8cm C. 16cm D. 10cm 3. 若点M到线段AB两端点的距离MA=MB，则点M在（） A. AB的中点上 B. AB的垂直平分线上 C. AB的垂线上 D. AB的平分线上 二、填空题（每题4分，共20分） 4. 线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的________相等。 5. 判定：若一个点到线段两个端点距离相等，则该点在这条线段的________上。 6. 若直线l垂直平分AB，点P在l上，则PA________PB（填“＞”“＜”或“=”）。 三、解答题（共60分） 7.（20分）辨析填空：已知直线MN垂直平分线段CD，点P在MN上，若PC=5，求PD的长度，并写出依据。 8.（20分）已知：PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上。 9.（20分）在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且DB=DC，求证：AD垂直平分BC。 参考答案与解析 选择题：1.B（线段垂直平分线性质定理） 2.B（垂直平分线上的点到线段两端距离相等，PB=PA=8cm） 3.B（线段垂直平分线判定定理） 填空题：4. 距离 5. 垂直平分线 6. = 解答题：7. 解：PD=5，依据线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。 8. 证明：过点P作PO⊥AB于点O。∵PA=PB，PO⊥AB，∴O为AB中点，PO垂直平分AB，即点P在线段AB的垂直平分线上。 9. 证明：∵AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线上。又∵DB=DC，∴点D在BC的垂直平分线上。两点确定一条直线，∴直线AD垂直平分线段BC。 （总字数：805） 轴对称图形的对称轴是连接其对称点的线段的垂直平分线，为作出对称轴，需要研究线段的垂直平分线的性质. 我们类比角的平分线研究线段的垂直平分线.角的平分线的性质反映了角的平分线上的点到角两边的距离的关系，类似地，我们研究线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离的关系. 探究新知 如图，直线 l 垂直平分线段 AB，点 P1，P2，P3，…在 l 上，分别比较点 P1，P2，P3，… 与点 A 的距离和这些点与点 B 的距离，你有什么发现？ 【点击打开几何画板文件】 1.线段的垂直平分线的性质 探 究 A B l P1 P2 P3 P1A = P1B，P2A = P2B，P3A = P3B······ 1.线段的垂直平分线的性质 如果把线段 AB 沿直线 l 对折，线段 P1A 与 P1B，P2A 与 P2B，P3A 与 P3B··· 都重合吗？它们都分别相等吗？ A B l P1 P2 P3 都重合，都分别相等. 1.线段的垂直平分线的性质 P1A = P1B，P2A = P2B，P3A = P3B······ 猜想：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 已知： 一个点在一条线段的垂直平分线上. 求证： 验证 这个点到这条线段两个端点的距离相等. A B l P1 P2 P3 1.线段的垂直平分线的性质 如图，直线 l ⊥ AB，垂足为 C，AC = BC，点 P 在 l 上. 求证：PA = PB. A B l P C 证明：当点 P 与点 C 不重合时， ∵l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB . 又 AC = BC，PC = PC， ∴△PCA ≌△PCB (SAS). ∴ PA = PB. 当点 P 与点 C 重合时，显然成立 1.线段的垂直平分线的性质 几何语言： ∵直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = BC，点 P 在 l 上， ∴PA = PB. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 线段的垂直平分线的性质 A B l P C 2.线段垂直平分线的判定 思 考 把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？ 已知：如图，在△ABP 中 PA = PB. 求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 猜想：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 A B P 2.线段垂直平分线的判定 证明：过点 P 作线段 AB 的垂线 PC，垂足为 C．则∠PCA =∠PCB = 90°． 在 Rt△PCA 和 Rt△PCB 中， ∵PA = PB，PC = PC， ∴Rt△PCA≌Rt△PCB (HL)． ∴AC = BC． 又 PC⊥AB， ∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上． A B P C 2.线段垂直平分线的判定 A B P C 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 【点击打开几何画板文件】 线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合. 几何语言： ∵ PA = PB， ∴点 P 在 AB 的垂直平分线上. 名称 角平分线 线段垂直平分线 图示 性质 判定 角的平分线与线段的垂直平分线 C A B O D E P A B P C 角平分线上的点到角两边的距离相等 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 3. 互逆命题与互逆定理 思 考 分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？ 两个命题的题设、结论正好相反. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 3. 互逆命题与互逆定理 我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 线段的垂直平分线的性质与判定 “对顶角相等”与“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角” 一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立. 两个命题的题设、结论正好相反. 3. 互逆命题与互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 线段的垂直平分线的性质与判定 角的平分线的性质与判定 “两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行” ······ 知识点1 线段的垂直平分线的性质 1.如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(　　) A.AB＝AD　　 B.CA平分∠BCD C.AB＝BD　　 D.△BEC≌△DEC 返回 C 基础提优题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 2.如图，在△ABC中，∠ABC＝52°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为(　　) A.104°　　 B.116°　　 C.128°　　 D.142° B 基础提优题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 【点拨】∵∠ABC＝52°，∴∠BMN＋∠BNM＝180°－∠ABC＝180°－52°＝128°.∵M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，∴MA＝MP，NP＝NC，∴∠MAP＝∠MPA，∠NPC＝∠NCP， 返回 基础提优题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 ∴∠BMN＝∠MAP＋∠MPA＝2∠MPA，∠BNM＝∠NCP＋∠NPC＝2∠NPC，∴∠MPA＋∠NPC＝∠BMN＋∠BNM＝×128°＝64°，∴∠APC＝180°－(∠MPA＋∠NPC)＝180°－64°＝116°. 返回 基础提优题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 3. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，若△BCD的周长为5，BC＝2，则边AB的长的取值范围为　　　　　　. 返回 1＜AB＜5 基础提优题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 【点拨】∵△BCD的周长为5，BC＝2，∴BC＋BD＋CD＝2＋BD＋CD＝5，∴BD＋CD＝3.∵AB的垂直平分线交AC于点D，∴AD＝BD，∴AC＝AD＋CD＝BD＋CD＝3.由三角形的三边关系得AC－BC＜AB＜AC＋BC，∴3－2＜AB＜3＋2，即边AB的长的取值范围为1＜AB＜5. 返回 基础提优题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 知识点2 线段的垂直平分线的判定 4.如图，AC＝AD，BC＝BD，则(　　) A.CD垂直平分AB　　 B.AB垂直平分CD C.CD平分∠ACB　　 D.以上结论均不对 返回 B 基础提优题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 5.［2026无锡期中］有三名同学在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，如果将三人视为三角形的三个顶点，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在三角形的(　　) A.三边中线的交点处 B.三边垂直平分线的交点处 C.三条角平分线的交点处 D.三边上高的交点处 返回 B 基础提优题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 6.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(5，5)，点B(1，1)，点C(7，1)，若点P到点A，B，C的距离相等，则点P的坐标为　　　　. 返回 (4，2) 【点拨】∵点P到点A，B，C的距离相等，∴点P是线段AB，BC垂直平分线的交点，如图，故点P的坐标为(4，2). 基础提优题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 知识点3 互逆命题(定理) 7.下列说法中错误的个数是(　　) ①任何一个命题都有逆命题； ②若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题； ③任何一个定理都有逆定理； ④若原命题是真命题，则它的逆命题也是真命题. A.4　　 B.3　　 C.2　　 D.1 返回 B 基础提优题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 8. 按要求解答下列各小题. (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是同位角； 【解】“相等的角是同位角”的逆命题：如果两个角是同位角，那么这两个角相等. 基础提优题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 ②如果a＋b＜0，那么ab＜0； 【解】“如果a＋b＜0，那么ab＜0”的逆命题：如果ab＜0，那么a＋b＜0. 基础提优题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 (2)判断(1)中①的原命题和逆命题是否互为逆定理. 返回 【解】因为定理首先是真命题，而(1)中①的原命题与逆命题都是假命题， 故(1)中①的原命题和逆命题不是互为逆定理. 基础提优题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 9. 如图，MN是线段AB的垂直平分线，点C在MN外，且与A点在MN的同一侧，连接BC交MN于点P，连接AP，则(　　) A.BC＞PC＋AP　　 B.BC＝PC＋AP C.BC＜PC＋AP　　 D.BC≤PC＋AP 返回 B 综合应用题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 10.如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O.若∠OEB＝46°，则∠AOC＝(　　) A.92°　　 B.88°　　 C.46°　　 D.86° B 综合应用题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 线段的垂直平分线 性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 集合 定义 线段的垂直平分线的集合定义： 线段的垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合 互逆命题 题设、结论相反的两个命题叫作互逆命题 课堂小结 $