安徽滁州市定远县育才学校2025-2026学年高二下学期6月期末检测数学试题

**基本信息** 定远育才学校2025-2026学年高二（下）期末数学试卷，以真实情境（如高考安检、文艺汇演统计、企业利润优化）为载体，融合排列组合、概率统计、数列、导数等知识，突出数学眼光观察、思维推理与语言表达的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|排列组合（第1题）、两点分布（第2题）、散点图分析（第3题）|基础概念与简单应用结合| |多选题|3/18|药物浓度变化率（第9题）、随机变量分布列（第10题）|多维度辨析，考查数学思维严谨性| |填空题|3/15|数学归纳法递推（第12题）、等差数列求和（第13题）|聚焦关键能力，强调知识迁移| |解答题|5/77|正态分布与概率决策（第16题）、函数建模与优化（第18题）、函数极值与证明（第19题）|真实情境下的综合应用，体现数学语言表达与问题解决能力|

定远育才学校2025-2026学年高二（下）期末检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.高考入场安检时，某学校在校门口并排设立三个检测点，进入考场的学生只需要在任意一个检测点安检即可进入．现有三男三女六位学生需要安检，则每个检测点通过的男生和女生人数相等的可能情况有(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 2.若随机变量服从两点分布，其中，、分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是(    ) A. B. C. D. 3.将收集到的对数据制作如图所示的散点图点旁数据为该点坐标，由最小二乘法计算得经验回归方程：，样本相关系数为，决定系数为；残差分析确定点对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的组数据计算得经验回归方程：，样本相关系数为，决定系数为则以下结论中，不正确的是(    ) A. ， B. ， C. D. 4.已知数列设为的前项和，若，则(    ) A. B. C. D. 5.设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为(    ) A. B. C. D. 6.某宾馆安排，，，，人入住个不同的房间，每个房间至少住人，且，不能住同一房间，则不同的安排方法有(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7.设递增等比数列满足，，则(    ) A. B. C. D. 8.的展开式中，项的系数为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示则下列结论正确的是(    ) A. 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同 B. 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同 C. 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同 D. 在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同． 10.设随机变量的分布列为，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 11.已知函数，，则(    ) A. 函数存在唯一零点 B. 若方程在上有唯一解，则实数的取值范围是 C. 存在唯一，使得 D. 关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在数学归纳法的递推性证明中，由假设时成立推导时成立时，增加的项是          ． 13.已知数列，都是公差为的等差数列，其首项分别为，，且，，，设，则数列的前项和为          ． 14.有矩形铁板，其长为，宽为，现从四个角上剪掉边长为的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子，要使容积最大，则          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知． 若，求展开式中的常数项 若，求的值． 16.(本小题15分) 在“飞彩镌流年”文艺汇演中,诸位参赛者一展风采,奉上了一场舞与乐的盛宴.现从2000位参赛者中随机抽取40位幸运嘉宾,统计他们的年龄数据,得到样本平均数=. (1)若所有参赛者的年龄X服从正态分布N(,15.),请估计参赛者年龄在30岁以上的人数. (2)若该文艺汇演对所有参赛者的表演作品进行评级,每位参赛者只有一个表演作品且每位参赛者作品有a%(0< a<100)的概率评为A类,(1-a%)的概率评为B类,每位参赛者作品的评级结果相互独立.记上述40位幸运嘉宾的作品中恰有2份A类作品的概率为p(a),求p(a)的极大值点. (3)以(2)中确定的作为a的值,记上述幸运嘉宾的作品中的A类作品数为Y,若对这些幸运嘉宾进行颁奖,现有两种颁奖方式:甲:A类作品参赛者获得1000元现金,B类作品参赛者获得100元现金;乙:A类作品参赛者获得3000元现金,B类作品参赛者不获得现金奖励.根据奖金期望判断主办方选择何种颁奖方式,成本可能更低. 附:若X~N(,),则P(|X-|<)​​​​​​​. 17.本小题分 已知等差数列的前项和，数列满足，． 证明：数列是等比数列，并求数列与数列的通项公式； 若，求数列的前项和． 18.本小题分 某生产饮品的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量单位：万件与广告费单位：万元之间的函数关系为已知生产此产品的年固定投入为万元，每生产万件此产品需再投入万元，若每件售价为年平均每件成本的与平均每件所占广告费的之和． 试将利润单位：万元表示为年广告费单位：万元的函数，如果年广告费投入万元，企业是亏损还是盈利 当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大 19.本小题分 已知函数，． 当时，求的极值； 设，证明：与的图象恰有一个公共点； 当时，，求整数的最大值． 答 案 1.  2.  3.  4.  5.  6.  7.  8.  9.  10.  11.  12.  13.  14.  15.解：因为， 所以． 所以展开式中的常数项为． 对的两边同时求导， 得， 令，得， 因为，所以． 16.解:(1)因为XN(,),所以P(X>30)=P(X>-)+=,所以估计参赛者年龄在30岁以上的人数为2000=. (2)记x=a%,0< x<1,p(a)=f(x),设=100,其中为f(x)的极大值点. 依题意可得f(x)=,则(x)=[2x-38]=2x(1-20x),令(x)=0,因为0< x<1,所以x=,当0< x<时,(x)>0,当< x<1时,(x)<0, 所以f(x)在(0,)上单调递增,在(,1)上单调递减,所以f(x)的极大值点为,即=. 所以p(a)在()上单调递增,在(5,100)上单调递减,所以p(a)的极大值点=. (3)由题意知Y​​​​​​​B(40,),则E(Y)=40=. 记,分别为甲、乙两种颁奖方式各自所发奖金总额, 因为=1000Y+100(40-Y)=4000+900Y,=3000Y, 所以E()=4000+900E(Y)=4000+9002=5800,E()=3000E(Y)=6000, 所以E()< E(). 故选择甲种颁奖方式成本更低. 17.解：， 所以数列是公比的等比数列； ， 即，， 由，解得，， 所以． 由知， 所以， ， 得 ， 所以．  18.解：由题意，每年产销万件，共计成本为万元， 销售收入是， 年利润 ， 所求函数关系式为． 当时，，即当年广告费投入万元时，企业亏损． 由， 可得 ， 又时，；时，， 时，取得极大值，，也是最大值，万元， 当年广告费投入万元时，企业年利润最大，最大年利润为万元．   19.当时，，定义域为。 ， 令，解得． 当时，，单调递减；当时，，单调递增。 因此，在处取得极小值，极小值为，无极大值。 当时，，定义域为。 要证与的图象恰有一个公共点，即方程有唯一解， 即有唯一解。 设，， ， 令，，，所以， 令，， 所以在上单调递增，， 因此在时恒成立，在单调递增． 又，，故存在唯一使得， 因此与的图象恰有一个公共点． 当时，即，整理得： ， 因，，故，设，， ， 设，，则，故在单调递增。 又，，故存在唯一使得，即。 此时在上单调递减，在上单调递增，最小值为：， 因，故，因此整数的最大值为。  学科网（北京）股份有限公司 $