安徽合肥市中国科学技术大学附属中学2024-2025学年高二下学期期末质量检测数学试题（I）

**基本信息** 中科大附中高二期末数学卷以创新情境与分层设问为特色，如反函数新定义问题（第8题）和投篮概率应用（第15题），融合数学抽象与模型意识，适配期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、正态分布、统计命题等|第8题反函数定义创新，考查数学抽象| |多选|3/18|向量、新定义函数|第10题“类余弦型”函数，强化逻辑推理| |填空|3/15|双曲线、概率|第14题正二十面体概率，结合空间观念| |解答|5/77|数列、立体几何、导数证明、椭圆|15题分层设问概率应用，18题导数证明体现数学思维，19题椭圆与几何综合，发展数学语言|

安徽省合肥市中国科学技术大学附属中学2024—2025学年高二下学期期末质量检测数学试题（I） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2 3. 设的整数部分为，则数列的前36项的和为（ ） A. 705 B. 702 C. 699 D. 703 4. 以下四个命题中，其中真命题为（ ） A. 在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好； B. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的越大； C. 若数据，，…，的方差为1，则，，…，的方差为； D. 对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握程度越大． 5. 圆与的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 4 6. 已知函数是定义域为的奇函数，是其导函数，，当时，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数（），有下列结论：①若，则在上单调递增；②若，则正整数ω的最小值为2；③若，函数的图像向右平移个单位长度得到的图像.则为奇函数；④若在上有且仅有个零点，则.其中正确的个数为（ ） A. B. C. D. 8. 在函数中，其定义域内每一个x都有一个确定的y值与之对应．而在绘制其反函数或的图象时可能会出现一个x对应多个y值的情况．此时取|y|最小时所对应的y值，并且在此条件下优先取正数．已知函数，则其定义域为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 若函数满足：对任意，恒有，则称函数为“类余弦型”函数.已知函数为“类余弦型”，若，且对任意非零实数，.则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 函数为偶函数 D. 若有理数，满足，则 11. 已知函数，则（ ） A. 函数有两个极值点 B. 函数在单调递增 C. ，函数恰有两个零点 D. ，函数在上有最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若双曲线的一条渐近线方程为．则_____． 13. 已知在直线上，则的最小值为_______． 14. 随机数表是人们根据需要编制出来的，由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成，表中每一个数都是用随机方法产生的，随机数的产生方法主要有抽签法、抛掷骰子法和计算机生成法．现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体（如图）的各面写上0~9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），这样就得到一个产生0~9的随机数的骰子．依次投掷这个骰子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲乙两人进行投篮，抛硬币决定谁先投篮，并约定：一人先投篮，若未命中，则换为对方投篮；若后投篮者还没命中，则由先投篮者再投篮，如此往复下去直到有人命中为止，先命中者胜，比赛结束.已知甲的命中率为，乙的命中率为，且甲乙是否命中相互独立. （1）假设，，求第2次投篮后比赛结束的概率； （2）已知甲先投篮，求甲获胜的概率； （3）从最终获胜的角度出发，根据与的大小关系，判断先投篮者的优势是否更大？说明理由. 16. 已知是数列的前项和，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 如图，在三棱柱中，平面，且，，，分别为，，，的中点，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 已知函数，且. （1）求; （2）已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有； （3）证明：对任意的，均有. 19. 椭圆的左、右焦点分别为，点P为椭圆E上动点．当P点在长轴端点时， ；当P点在短轴端点时，．过作直线的垂线，过作直线的垂线，直线的交点为Q． （1）求椭圆E的标准方程； （2）若四边形为平行四边形，求平行四边形的面积； （3）若点P在第一象限，点Q在椭圆E上，求点P坐标． 安徽省合肥市中国科学技术大学附属中学2024—2025学年高二下学期期末质量检测数学试题（I） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】3 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）； （2） （3） 设甲先投篮甲获胜为事件，为乙先投乙获胜， 则由（2）可得，， 同理，， 则先投占优等价于，即， 则先投不占优等价于或， 综上，当时，先投占优； 当或，先投不占优. 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） 证明：在中，因为，且为的中点，所以， 在矩形中，因为和分别为和的中点，可得， 因为平面，且平面，可得，所以， 又因为，且平面，所以平面. （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1） （2）证明：由（1）知，， 要证，即证， 进一步变形为证，即证. 因为，令，则需证（）， 即证（） 设，，， 当时，，在单调递增，所以，得证. （3）证明：由（1）知，且， 当时，，即； 令（），则. 要证，即证， 因为，所以， 而，得证. 【19题答案】 【答案】（1） （2）2 （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $