北京市石景山区2025-2026学年第二学期期末统一检测高二数学试卷

**基本信息** 高二数学期末卷以真实情境与核心知识融合为特色，茶文化温度函数、金刚石晶体结构等情境题，结合三角函数、立体几何、统计概率等核心模块，实现基础巩固与创新应用的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|集合、函数定义域、三角函数符号|基础概念辨析，如第5题结合象限判断三角函数值符号| |填空题|5/25|复数、向量、抛物线、三角函数周期|分层设问，如第14题分周期计算与存在性问题| |解答题|6/85|三角函数图像性质、立体几何证明、统计概率、解析几何、导数应用、数列新定义|真实情境与综合应用，如第18题结合粮食生产数据考查分布列与期望；创新探究，如第21题以“性质P”新定义考查逻辑推理|

2025~2026学年度第二学期期末统一检测 高二数学试卷 2026.7 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合，集合，则集合 （A） （B） （C） （D） （2）下列函数中，定义域为的是 （A） （B） （C） （D） （3）已知函数，则对任意实数x，有 （A） （B） （C） （D） （4） 中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.一杯℃的热红茶置于℃的房间里，茶水的温度（单位：℃）与时间（单位：min）的函数的图象如图所示.下列说法正确的是 （A）若，则 （B）若，则 （C）若，则 （D）若，则 （5）在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边落在第一象限，则下列三角函 数值中一定大于零的是 （A） （B） （C） （D） （6）已知是各项均为正整数的无穷等差数列，其中的三项为，，，则的公差可以为 （A） （B） （C） （D） （7）已知函数，曲线在点处的切线方程为，设函数，则 （A）当时， （B）当时， （C）当时， （D）当时， （8） 已知，，则“”是“”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （9）金刚石是由碳元素组成的单质，具有极高的硬度，在工业中有广泛的应用，如图1所示，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的4个顶点A，B，C，D处，中间的碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置（点E处），如图2所示，设，则E到平面的距离为（    ） 金刚石是由碳元素组成的单质，具有极高的硬度，在工业中有广泛的应用，如图1所示，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的4个顶点A，B，C，D处，中间的碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置（点E处），如图2所示，设，则E到平面的距离为（    ） （A） （B） （C） （D） （10）已知集合，. 如果有且只有两个元素，则实数的取值范围为 （A） （B） （C） （D） 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）若复数满足，则 . （12）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正 方形的边长为，则_______； _______． （13）已知抛物线的焦点为，点为上任意一点，且总有，则的一个值可以为_______． （14）已知函数，若的最小正周期为，则 ；若存在，使得，则的最小值为　 ． （15）已知数列满足，且，给出下列四个结论： ① 若，当时，； ② 若，当时，； ③ 若，对任意正数，存在正整数，当时，； ④ 若，对任意负数，存在正整数，当时，． 其中正确结论的序号是_______． 3、 解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题13分） 已知函数的最小正周期为. （Ⅰ）若，，求的值； （Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定的解析式，并求函数的单调递增区间. 条件①：的最大值为2； 条件②：的图象关于点中心对称； 条件③：的图象经过点. （17）（本小题14分） 如图，在几何体中，四边形为平行四边形，平面平面，,，. （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）已知点到平面的距离为，再从条件①、条件②这两个条件中选一个作为已知，求的长. 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． （18）（本小题13分） 据国家相关部门统计，2023年华东地区、东北地区主要省份的水稻、小麦的播种面积和产量数据见表1. 　 水稻 小麦 　 播种面积（千公顷） 产量（万吨） 播种面积（千公顷） 产量（万吨） 华东地区 江苏省 2221.0 2003.2 2389.5 1373.5 浙江省 649.0 485.3 152.6 66.4 安徽省 2500.7 1609.8 2862.7 1740.7 福建省 601.1 394.6 0.1 0.0 江西省 3383.9 2070.7 11.3 3.5 山东省 101.0 86.1 4008.9 2673.8 东北地区 辽宁省 500.5 412.9 2.0 0.8 吉林省 828.8 682.1 5.0 1.7 黑龙江省 3268.5 2110.0 19.3 7.5 表1 （Ⅰ）从表1中的华东地区随机抽取1个省份，求该省水稻产量比小麦产量少的概率； （Ⅱ）从表1的 9个省份中随机抽取2个，设为水稻播种面积排在前5名且属于东北地区省份的个数，求的分布列与数学期望； （Ⅲ）在2023年华东地区、东北地区和华北地区主要粮食作物的播种面积及其采用新技术的播种面积占该作物总的播种面积的比值（简称新技术占比率）数据见表2. 粮食 作物 播种面积 （千公顷） 新技术 占比率 粮食 作物 播种面积 （千公顷） 新技术 占比率 华东地区 水稻 9456.7 0.7 小麦 9425.0 0.6 东北地区 水稻 4597.8 0.55 玉米 13800.0 0.65 华北地区 小麦 3184.5 0.65 玉米 9564.7 0.6 表2 记华东地区和东北地区水稻播种总面积的新技术占比率、华东地区和华北地区小麦播种总面积的新技术占比率、东北地区和华北地区玉米播种总面积的新技术占比率分别为，，. 依据表2中的数据比较，，的大小. （结论不要求证明） （19）（本小题15分） 已知椭圆的焦距为2，且过点． （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）设直线与椭圆E交于不同的两点A，B，直线与直线交于点N，若（O是坐标原点），求k的值． （20）（本小题15分） 已知函数． （Ⅰ）若，求函数在区间上的最大值； （Ⅱ）若在区间上存在单调递减区间，求的取值范围； （Ⅲ）若存在极值点，且，求的值． （21）（本小题15分） 已知有限数列满足．对于给定的，若中存在项满足()，则称有项递增子列；若中存在项满足()，则称有项递减子列．当既有项递增子列又有项递减子列时，称具有性质． （Ⅰ）判断下列数列是否具有性质； ① ； ② . （Ⅱ）若数列中有，证明：数列不具有性质； （Ⅲ）当数列具有性质时，若中任意连续的项中都包含项递增子列，求的最大值． （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 高二数学试卷 第 1 页 （共 9 页） 学科网（北京）股份有限公司 $