专题10.2 实数（高效培优讲义）数学新教材华东师大版八年级上册

本讲义聚焦初中数学“实数”核心知识点，从无理数定义切入，系统梳理实数分类、与数轴一一对应关系、相反数等相关概念，以及大小比较、无理数估算等内容，构建从有理数到实数的数系扩展学习支架。 资料通过“即学即练”即时巩固与多样题型设计，如数轴综合化简培养几何直观，规律探究题发展推理意识，助力学生提升抽象能力。课中辅助教师教学，课后便于学生查漏补缺，强化知识应用。

专题10.2 实数 教学目标 1.理解无理数和实数的概念，能正确识别无理数，会对实数进行分类。 2.了解实数与数轴上的点一一对应，能借助数轴比较实数的大小。 3.掌握实数的相反数、倒数、绝对值的求法，能熟练进行实数的混合运算。 4.能估算无理数的取值范围，会运用实数知识解决实际应用问题。 教学重难点 1.重点 （1）无理数的识别与实数的分类 （2）实数的相关概念与混合运算 （3）实数的大小比较与无理数估算 2.难点 （1）无理数的估算与整数、小数部分的求解 （2）实数与数轴结合的化简问题 （3）实数运算中的规律探究与综合应用 知识点01：无理数 1.定义：无限不循环小数叫作无理数。 2.常见形式： （1）开方开不尽的数的方根，如、等； （2）含有的数，如、等； （3）具有特定结构的无限不循环小数，如0.101 001 000 1…（两个1之间依次多一个0）。 3.辨析：带根号的数不一定是无理数，如是有理数；无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数。 【即学即练】 1．下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．从无理数的角度观察下列各数，符合无理数特征的数是（     ） A．0 B． C． D． 知识点02：实数的概念与分类 1.概念：有理数和无理数统称为实数。 2.按定义分类： 3.按正负性分类： 4.注意：分类需做到不重不漏，判断数的类型需先化简再分类。 【即学即练】 1．把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛                                ｝； 无理数：｛                                ｝； 整数：｛                                  ｝； 负实数：｛                                ｝． 2．将下列各数填入相应的括号里面．（每个数之间用逗号隔开） ，，，，， 分数：{                          }； 整数：{                          }； 无理数：{                          }． 知识点03：实数与数轴的关系 1.一一对应关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应。 2.大小比较的数轴法：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。 【即学即练】 1．实数在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列四个点中，表示原点的可能是（     ） A． B． C． D． 2．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上表示数，以点为圆心，长为半径作圆弧交数轴于点，若点在点的右侧，则点表示的数为（     ） A． B． C． D． 知识点04：实数的相关概念 实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内完全一致，具体如下： 名称 性质 示例 相反数 实数的相反数是；若互为相反数，则 的相反数是 倒数 非零实数的倒数是；若互为倒数，则 的倒数是 绝对值 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0 即 ， 【即学即练】 1．下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 2．我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．这个小数不能在数轴上表示出来 C．它大于 D．它是一个实数 知识点05：实数的大小比较 1.基本法则：正实数负实数；两个正实数，绝对值大的数大；两个负实数，绝对值大的数反而小。 2.常用方法： （1）平方法：适用于两个正的二次根式比较，被开方数越大，算术平方根越大； （2）立方法：适用于两个立方根比较，被开方数越大，立方根越大； （3）作差法：若，则；若，则；若，则； （4）近似值法：估算无理数的近似值后比较大小。 【即学即练】 1．比较大小：________．（填写“”或“”） 2．在实数、、、0中，最小的数是（     ） A． B． C． D．0 题型01无理数的识别与判断 先将含根号、含绝对值的数化简，再对照无理数的三种常见形式逐一判断，遵循“先化简，后辨析”的原则。 【典例1】. 下列实数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. 下列各数是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】. 给出下列六个数：，，，，，，其中无理数的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3】. 在实数，，，中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 题型02实数的分类 先对每个数进行运算化简，再按定义或正负性分类；注意0既不是正实数也不是负实数，分类做到不重不漏。 【典例2】. 将下列各数填在相应的集合里． ，，3.1415926，，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），0，，，， 有理数集合：{         …}； 无理数集合：{         …}； 正实数集合：{         …}； 整数集合：{           …}． 【变式1】. 把下列各数填在相应的括号内：，，，0，（每相邻两个5之间0的个数逐渐多1）． 整数集合｛                              } 分数集合｛                              } 无理数集合｛                             } 【变式2】. 数学文化节主办方邀请“实数”作为嘉宾，请仔细辨别并为它们安排合适的席位．到访的“实数”嘉宾名单如下： （每两个“1”之间依次多一个“0”）． (1)主办方需要准备__________个“无理数”的席位； (2)请为“实数”嘉宾们安排合适的席位，并填入对应的区域内． “整数”席：（   ）； “分数”席：（    ）． 【变式3】. 若用表示有理数，表示无理数，表示正整数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 题型03实数的大小比较 两个正根式优先用平方法或立方法；正负混合用“正负”法则；形式复杂的可选用作差法或近似值法。 【典例3】. 比较大小：______3（填“”，“”或“”） 【变式1】. 下列实数中，最大的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】. 在实数，，，中，最小的数是（     ） A． B． C．-2 D． 【变式3】. 在如图所示的数轴上表示下列各数：，，，，并用“”把它们连接起来． 题型04估算无理数的取值范围 采用夹逼法，找到被开方数相邻的两个完全平方数（或完全立方数），确定无理数在哪两个连续整数之间。 【典例4】. 已知m是无理数，且，请写出一个符合条件的m的值________． 【变式1】. 已知（为整数），则的值是__________． 【变式2】. 满足的整数的值是________． 【变式3】. 如图，数轴上有、、、四个点，则以下结论正确的是（     ） A．点表示的数可能是 B．点表示的数可能是 C．点表示的数可能是 D．点表示的数可能是 题型05无理数的整数与小数部分求解 先用夹逼法确定整数部分；小数部分$=$原数$-$整数部分，代入代数式时注意整体化简。 【典例5】. 如图是我国古代所用的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为．则的整数部分为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】. 若和互为相反数，的平方根是它本身． (1)求的值； (2)若是的整数部分，求代数式的算术平方根． 【变式2】. 已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为2，是的整数部分． (1)________； (2)求的算术平方根． 【变式3】. 【阅读材料】，即，，的整数部分是，的小数部分是． 【解决问题】 (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的值． (3)已知，其中是整数，且，求的值． 题型06实数与数轴的综合化简 根据数轴上点的位置判断各代数式的正负，结合绝对值、二次根式的性质去符号，最后合并化简。 【典例6】. 如图，正方形的面积为6，数轴上点A的坐标为0．以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴分别交于点M，N，的长为（     ） A．6 B．12 C． D． 【变式1】. 如图，数轴上两个点、表示的数分别为0和3，线段沿的方向平移到，点在线段上，的长为无理数，写出一个满足条件的长为____________． 【变式2】. 将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的数“”和“”，则表示的数为（     ） A． B． C． D． 【变式3】. 如图，正方形的四个顶点均在边长为的正方形网格的格点上，且点C在数轴上表示．以点为圆心，以的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点．小明利用割补法求出了正方形的面积是，请你解决下面问题． (1)正方形的边长是__________； (2)点表示的实数是__________； (3)能否将正方形纸片，沿着纸片边的方向裁出一块长方形纸片，使它的长与宽的比为，长比宽多2？若能，求出长方形纸片的面积；若不能，请通过计算说明理由； (4)将正方形纸片裁出一个圆形纸片，圆形纸片周长的最大值是__________（结果保留）． 题型07数值转换器类实数运算 按照程序流程图逐步运算，每次运算后判断结果是有理数还是无理数，若为有理数则继续循环，直到输出无理数。 【典例7】. 如图是一个数值转换器，当输入的为时，输出的是（     ）． A． B． C． D． 【变式1】. 有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为16时，输出的y的值是（     ） A．8 B．4 C． D． 【变式2】. 如图是一个数值转换器，当输入的为64时，输出的是（     ） 　 A． B．4 C． D．8 【变式3】. 在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 题型08新定义下的实数运算 准确理解新运算的规则，将实数代入定义式，转化为常规的实数运算求解，注意运算顺序与符号。 【典例8】. 对于实数，，定义的含义为：当时，，例如：．已知，，且和为两个连续正整数，则的值为_______． 【变式1】. 规定一种新的定义：，若，，则______． 【变式2】. 对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． (1)计算：______；______； (2)如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值． (3)计算． 【变式3】. 对于代数式，我们可以引入一种新的符号表示方式：，这种符号形式称为行列式．规定．例如．按照这种规定，请解答下列问题： (1)计算：______； (2)观察这两个行列式：与，你发现它们之间的数量关系是______． (3)若，求的值． 题型09实数运算的实际应用 结合几何、生活场景建立等量关系，通过实数运算求解，最后检验结果是否符合实际意义。 【典例9】. 有一块面积为平方米的正方形工料，李师傅准备用它沿着边的方向裁剪出一块面积为平方米的长方形工件，且要求长宽之比为，问李师傅能办到吗？若能，求出长方形的长和宽；若不能，请说明理由． 【变式1】. 如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B． C． D． 【变式2】. 陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【变式3】. 阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的． 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长宽__________． 请根据材料回答下列问题： (1)A5纸的面积是__________平方米． (2)A4纸的长宽__________． (3)按照图2的系列纸生成过程，经过探究发现，系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，） 题型10实数的规律探究 观察式子的数字变化、结构特征，总结周期或通项规律，结合裂项相消、递推等方法进行计算。 【典例10】. 观察下列各式： ，，… 请利用你所发现的规律， 计算，其结果为______． 【变式1】. 观察下列等式： ， ， ， …… 根据以上规律，请完成下面问题： (1)求的值； (2)比较与2026的大小，并说明理由． 【变式2】. 一组二次根式按如下规律排列： 第1行： ． 第2行： ． 第3行： ． 第4行： ． 第5行： ． …… 请根据上述规律，解答下面的问题： 我们规定一个二次根式落在第a行、第b列，可记作，如落在第2行、第4列，记作，则 可记作_____． 【变式3】. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式：______________________________； (2)写出第个等式：______________________________；（用含的等式表示） (3)根据上面的结论计算： ． 一、单选题 1．下列是无理数的是（     ） A． B． C．3.14 D．5 2．估计的值应在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 3．实数16的平方根是（     ） A．8 B． C．4 D． 二、填空题 4．比较大小：________（填“”，“”或“”）． 5．若n为正整数，且满足，则________． 6．按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于17”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于17，则用得到的这个数进行下一次操作． （1）若时，程序进行了_________次操作就停止了； （2）若时，则输出的数为_________； （3）若程序操作进行了两次才停止，则输入的x的取值范围是_________． 三、解答题 7．对于任意实数a、b，定义一种新运算：，例如：．若的结果小于2，请根据上述定义列不等式并求出的取值范围． 8．已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的算术平方根． 9．如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 1．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 2．对于实数a，b，定义新运算“※”，规定：，如，则的值为______． 3．已知一列数：，，，，，，，根据其规律，第35个数是___． 4．小明同学学完《实数》这章知识后，类比平方根、立方根知识探究四次方根的内容，，． (1)尝试给四次方根下定义：定义：如果，那么这个数叫作的四次方根，记作； 探究性质：的四次方根________； 的四次方根________； ________（填“存在”或“不存在”） (2)巩固应用： 比较________（填、或） 计算：； 解方程：． 5．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ……按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第5个等式：______________；第个等式：________________；（用含的等式表示） (2)请用（1）中你发现的规律计算：． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.2 实数 教学目标 1.理解无理数和实数的概念，能正确识别无理数，会对实数进行分类。 2.了解实数与数轴上的点一一对应，能借助数轴比较实数的大小。 3.掌握实数的相反数、倒数、绝对值的求法，能熟练进行实数的混合运算。 4.能估算无理数的取值范围，会运用实数知识解决实际应用问题。 教学重难点 1.重点 （1）无理数的识别与实数的分类 （2）实数的相关概念与混合运算 （3）实数的大小比较与无理数估算 2.难点 （1）无理数的估算与整数、小数部分的求解 （2）实数与数轴结合的化简问题 （3）实数运算中的规律探究与综合应用 知识点01：无理数 1.定义：无限不循环小数叫做无理数。 2.常见形式： （1）开方开不尽的数的方根，如、等； （2）含有的数，如、等； （3）具有特定结构的无限不循环小数，如0.101 001 000 1…（两个1之间依次多一个0）。 3.辨析：带根号的数不一定是无理数，如是有理数；无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数。 【即学即练】 1．下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数包含整数和分数，即可判断各选项． 【详解】解：、、是有理数，故ABD不符合题意； 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，故C符合题意． 2．从无理数的角度观察下列各数，符合无理数特征的数是（     ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】有理数是整数和分数的统称，无理数是无限不循环小数． 【详解】解：∵ 0是整数，是无限循环小数，可化为分数，是分数，都属于有理数； 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数 ∴ 符合无理数特征的数是D选项． 知识点02：实数的概念与分类 1.概念：有理数和无理数统称为实数。 2.按定义分类： 3.按正负性分类： 4.注意：分类需做到不重不漏，判断数的类型需先化简再分类。 【即学即练】 1．把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛                                ｝； 无理数：｛                                ｝； 整数：｛                                  ｝； 负实数：｛                                ｝． 【答案】有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 【分析】根据有理数包括整数和分数，有理数和无理数统称为实数，整数包括正整数，负整数和0，负实数包括负有理数和负无理数解答． 【详解】解：有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 2．将下列各数填入相应的括号里面．（每个数之间用逗号隔开） ，，，，， 分数：{                          }； 整数：{                          }； 无理数：{                          }． 【答案】分数：； 整数：； 无理数： 【详解】解：是分数；是分数；是无理数；是整数；是有限小数，属于分数；是无理数， ∴填空如下： 分数：； 整数：； 无理数：． 知识点03：实数与数轴的关系 1.一一对应关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应。 2.大小比较的数轴法：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。 【即学即练】 1．实数在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列四个点中，表示原点的可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由可知：实数在原点的同侧， 由数轴可知：当时，不满足，故舍去； ∴，即表示原点的可能是． 2．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上表示数，以点为圆心，长为半径作圆弧交数轴于点，若点在点的右侧，则点表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由正方形面积求出，由点在点的右侧，用代表的数加的长度，得到表示的数． 【详解】解：正方形的面积为， ，即， 点在数轴上表示数，点在点的右侧， 点表示的数为． 知识点04：实数的相关概念 实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内完全一致，具体如下： 名称 性质 示例 相反数 实数的相反数是；若互为相反数，则 的相反数是 倒数 非零实数的倒数是；若互为倒数，则 的倒数是 绝对值 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0 即 ， 【即学即练】 1．下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】本题考查实数、有理数的定义，解题的关键是掌握：有理数和无理数统称为实数，整数和分数统称为有理数．据此解答即可． 【详解】解：A．有理数和无理数统称为实数，实数包括正实数、负实数和0，原说法遗漏了0，故原说法不正确，故此选项不符合题意； B．有理数由正有理数、负有理数和0组成，而选项中的“正数”包含了无理数（如），故原说法不正确，故此选项不符合题意； C．有理数和无理数统称为实数，原说法不正确，故此选项不符合题意； D．无理数和有理数统称实数，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 2．我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．这个小数不能在数轴上表示出来 C．它大于 D．它是一个实数 【答案】D 【分析】本题考查了圆周率的基本性质、有理数与实数的定义、数轴与实数的对应关系以及实数的大小比较，解题的关键是熟记无理数、实数的概念及数轴的性质，通过逐一验证每个选项的正确性得出答案． 先明确圆周率是无限不循环小数，属于无理数；再根据有理数、实数的定义判断选项A和D；依据“实数与数轴上的点一一对应”判断选项B；通过计算的近似值（约）与的近似值（约）比较，判断选项C． 【详解】解：A、∵是无限不循环小数，属于无理数，而有理数是整数（正整数、、负整数）和分数的统称，   ∴此选项不符合题意；   B、∵实数与数轴上的点一一对应，是实数，   ∴能在数轴上表示出来，此选项不符合题意；   C、∵，，且，   ∴，此选项不符合题意；   D、∵实数包括有理数和无理数，是无理数，   ∴是实数，此选项符合题意；   故选：D． 知识点05：实数的大小比较 1.基本法则：正实数负实数；两个正实数，绝对值大的数大；两个负实数，绝对值大的数反而小。 2.常用方法： （1）平方法：适用于两个正的二次根式比较，被开方数越大，算术平方根越大； （2）立方法：适用于两个立方根比较，被开方数越大，立方根越大； （3）作差法：若，则；若，则；若，则； （4）近似值法：估算无理数的近似值后比较大小。 【即学即练】 1．比较大小：________．（填写“”或“”） 【答案】 【分析】利用作差法进行大小比较即可． 【详解】， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．在实数、、、0中，最小的数是（     ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】先化简各数，再根据实数大小比较规则：负数小于0小于正数，两个负数比较，绝对值大的数更小，即可得到结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ 最小的数是． 题型01无理数的识别与判断 先将含根号、含绝对值的数化简，再对照无理数的三种常见形式逐一判断，遵循“先化简，后辨析”的原则。 【典例1】. 下列实数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数都属于有理数，根据概念逐一判断即可。 【详解】解：A、，2是整数，属于有理数，故A不符合要求， B、是无限不循环小数，属于无理数，仍是无限不循环小数，是无理数，故B符合要求， C、是有限小数，属于有理数，故C不符合要求， D、是分数，属于有理数，故D不符合要求． 【变式1】. 下列各数是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，判断各选项即可得到答案． 【详解】解：选项A，是整数，属于有理数； 选项B，是分数，属于有理数； 选项C，是整数，属于有理数； 选项D，是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数． 【变式2】. 给出下列六个数：，，，，，，其中无理数的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：，，，是有理数， ，是无理数，共2个． 【变式3】. 在实数，，，中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数的定义可得答案． 【详解】解：， 由无理数的定义可知，四个实数中，只有是无理数． 题型02实数的分类 先对每个数进行运算化简，再按定义或正负性分类；注意0既不是正实数也不是负实数，分类做到不重不漏。 【典例2】. 将下列各数填在相应的集合里． ，，3.1415926，，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），0，，，， 有理数集合：{         …}； 无理数集合：{         …}； 正实数集合：{         …}； 整数集合：{           …}． 【答案】，3.1415926，，0，，； ，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，； ，，3.1415926，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，，； ，0， 【分析】实数可以分为有理数和无理数，无限不循环小数称之为无理数，除了无限不循环小数以外的数统称有理数；正整数、0、负整数统称为整数；正实数是大于0的所有实数，由此即可求解． 【详解】解：，， 根据定义知：有理数有：，3.1415926，，0，，； 无理数有：，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，； 正实数有：，，3.1415926，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，，； 整数有：，0，． 【变式1】. 把下列各数填在相应的括号内：，，，0，（每相邻两个5之间0的个数逐渐多1）． 整数集合｛                              } 分数集合｛                              } 无理数集合｛                             } 【答案】整数集合｛， ｝ 分数集合｛｝ 无理数集合｛，（每相邻两个5之间0的个数逐渐多1）} 【分析】先将化简，再根据实数的分类，填入相应的集合即可求解． 【详解】解：0，是整数，是分数；，（每相邻两个5之间0的个数逐渐多1）是无理数． 【变式2】. 数学文化节主办方邀请“实数”作为嘉宾，请仔细辨别并为它们安排合适的席位．到访的“实数”嘉宾名单如下： （每两个“1”之间依次多一个“0”）． (1)主办方需要准备__________个“无理数”的席位； (2)请为“实数”嘉宾们安排合适的席位，并填入对应的区域内． “整数”席：（   ）； “分数”席：（    ）． 【答案】(1)3 (2)； 【分析】（1）根据无理数的定义解答； （2）根据有理数分类解答即可. 【详解】（1）解：由题可知，“无理数”有： 则共有无理数3个． （2）解：由题可知：“整数”席为：； “分数”席为：． 【变式3】. 若用表示有理数，表示无理数，表示正整数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实数的分类即可求解． 【详解】解：若用A表示有理数，B表示无理数，C表示正整数，则能正确表示它们之间关系的是 题型03实数的大小比较 两个正根式优先用平方法或立方法；正负混合用“正负”法则；形式复杂的可选用作差法或近似值法。 【典例3】. 比较大小：______3（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】根据，即可得出． 【详解】解：∵， ∴． 【变式1】. 下列实数中，最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 四个选项中最大的实数是． 【变式2】. 在实数，，，中，最小的数是（     ） A． B． C．-2 D． 【答案】D 【分析】利用“正数大于负数，两个负数比较，绝对值大的数更小”的规则求解即可． 【详解】解：∵ ，，，， ∴ 正数都大于负数，只需比较两个负数的大小， ∵，，且， ∴ 两个负数比较大小，绝对值大的数更小， ∴，即四个数中最小的数是． 【变式3】. 在如图所示的数轴上表示下列各数：，，，，并用“”把它们连接起来． 【答案】，在数轴上表示见详解 【分析】将各数化简后在数轴上表示出来，再将各数用“”连接起来即可． 【详解】解：，，，， 在数轴上表示各数： ∴． 题型04估算无理数的取值范围 采用夹逼法，找到被开方数相邻的两个完全平方数（或完全立方数），确定无理数在哪两个连续整数之间。 【典例4】. 已知m是无理数，且，请写出一个符合条件的m的值________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】无限不循环小数即为无理数，据此即可作答． 【详解】解：∵m是无理数，且， ∴一个符合条件的m为（答案不唯一）． 【变式1】. 已知（为整数），则的值是__________． 【答案】 【分析】先估算的大小，确定介于哪两个连续整数之间，再结合已知不等式即可求出整数的值． 【详解】解：，，且， ，即， 又，为整数， ． 【变式2】. 满足的整数的值是________． 【答案】 【分析】先估算出和的取值范围，再根据是整数确定的值． 【详解】解：，，且， ， 又，，且， ， ，且为整数， ． 【变式3】. 如图，数轴上有、、、四个点，则以下结论正确的是（     ） A．点表示的数可能是 B．点表示的数可能是 C．点表示的数可能是 D．点表示的数可能是 【答案】C 【分析】先估算出选项中无理数的值，然后结合数轴分析即可解答． 【详解】解：由数轴得：， A．，点A表示的数大于，故该选项说法错误，不符合题意； B．，点B表示的数在0和1之间，故该选项说法错误，不符合题意； C．，点C表示的数在2和3之间，故该选项说法正确，符合题意； D．，点D表示的数在3和4之间，故该选项说法错误，不符合题意． 题型05无理数的整数与小数部分求解 先用夹逼法确定整数部分；小数部分=原数-整数部分，代入代数式时注意整体化简。 【典例5】. 如图是我国古代所用的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为．则的整数部分为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为． 【变式1】. 若和互为相反数，的平方根是它本身． (1)求的值； (2)若是的整数部分，求代数式的算术平方根． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据立方根的性质，相反数，平方根的意义，解答即可； （2）利用无理数的估算，求代数式的值，求解即可； 【详解】（1）解：∵和互为相反数， ∴， ∴， 解得． ∵的平方根是它本身，只有0的平方根是它本身， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴，即的整数部分为2， ∴， ∴， ∴代数式的算术平方根是． 【变式2】. 已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为2，是的整数部分． (1)________； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得，解方程即可得到答案； （2）根据立方根的定义求出b的值，估算出的取值范围，可得c的值，求出的值，再根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， ∴； （2）解：∵的立方根为2， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴的整数部分为3，即， ∴， ∴的算术平方根为． 【变式3】. 【阅读材料】，即，，的整数部分是，的小数部分是． 【解决问题】 (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的值． (3)已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用夹逼法估算无理数的大小即可； （2）夹逼法求出，再进行计算即可； （3）夹逼法求出，再进行计算即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是6，小数部分是； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分，小数部分， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 即， ∵，其中是整数，， ∴，， ∴. 题型06实数与数轴的综合化简 根据数轴上点的位置判断各代数式的正负，结合绝对值、二次根式的性质去符号，最后合并化简。 【典例6】. 如图，正方形的面积为6，数轴上点A的坐标为0．以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴分别交于点M，N，的长为（     ） A．6 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】根据算术平方根的概念可求，据此计算即可得到答案． 【详解】解：∵正方形的面积为6， ； ∵以A点为圆心，为半径，与数轴分别交于点M，N， ∴； ∴的长为． 【变式1】. 如图，数轴上两个点、表示的数分别为0和3，线段沿的方向平移到，点在线段上，的长为无理数，写出一个满足条件的长为____________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据平移的性质得出 ，由点在线段上确定的取值范围，在此范围内选取一个无理数即可 ． 【详解】解：由平移的性质可得， ∵数轴上两个点、表示的数分别为0和3，且点在线段上， ∴， ∴ ∵， ∴， 又∵的长为无理数， ∴的长可以为 ． 【变式2】. 将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的数“”和“”，则表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据数轴有：，则有：． 【变式3】. 如图，正方形的四个顶点均在边长为的正方形网格的格点上，且点C在数轴上表示．以点为圆心，以的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点．小明利用割补法求出了正方形的面积是，请你解决下面问题． (1)正方形的边长是__________； (2)点表示的实数是__________； (3)能否将正方形纸片，沿着纸片边的方向裁出一块长方形纸片，使它的长与宽的比为，长比宽多2？若能，求出长方形纸片的面积；若不能，请通过计算说明理由； (4)将正方形纸片裁出一个圆形纸片，圆形纸片周长的最大值是__________（结果保留）． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为， 根据题意，得， 解得：， ，， 正方形纸片的边长为，， 裁不出满足上述条件的纸片 (4) 【分析】（1）根据正方形的面积为，正方形的面积等于边长的平方即可得出正方形的边长； （2）由同圆半径相等得等于正方形边长，结合点在数轴上表示的数，向右平移对应长度，即可计算得出点表示的实数； （3）按长宽的比例设未知数，根据长比宽多列方程求出长与宽，再将宽与正方形边长比较，即可判断能否裁出符合条件的长方形； （4）明确正方形内最大圆为内切圆，其直径等于正方形边长，代入圆的周长公式计算即可得出圆形纸片的最大周长． 【详解】（1）解：∵正方形的面积是， ∴正方形的边长是； （2）解：点表示， 且在正半轴， ∴表示的实数为； （3）略 （4）解：正方形内最大圆直径等于正方形边长， ∴圆形纸片周长的最大值是． 题型07数值转换器类实数运算 按照程序流程图逐步运算，每次运算后判断结果是有理数还是无理数，若为有理数则继续循环，直到输出无理数。 【典例7】. 如图是一个数值转换器，当输入的为时，输出的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数值转换器示意图可得输入的数值首先求算术平方根，算术平方根若是有理数，则对所得算术平方根继续求算术平方根，直到得到的结果是无理数，就是输出的的值． 【详解】解：∵的算术平方根是，是有理数， ∴取的算术平方根是，是无理数， ∴输出. 【变式1】. 有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为16时，输出的y的值是（     ） A．8 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，，而4是有理数， 当时，，而2是有理数， 当时，，而是无理数，输出y， ∴输出的y的值是． 【变式2】. 如图是一个数值转换器，当输入的为64时，输出的是（     ） 　 A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】根据程序第一步计算，再次计算得，是无理数，直接输出即可． 【详解】解：当时，是有理数， 当时，是无理数， 故输出的y值为，选项C符合题意． 【变式3】. 在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的值是729时，取算术平方根得， 27是有理数，再取立方根得， 3是有理数，再取算术平方根得， 由于是无理数， 所以输出的值是． 题型08新定义下的实数运算 准确理解新运算的规则，将实数代入定义式，转化为常规的实数运算求解，注意运算顺序与符号。 【典例8】. 对于实数，，定义的含义为：当时，，例如：．已知，，且和为两个连续正整数，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据的定义得到，估算出的范围，结合为连续正整数得到的值，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴， ，， ， 和为两个连续正整数， ，， ． 【变式1】. 规定一种新的定义：，若，，则______． 【答案】 【分析】根据定义求出的值即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 【变式2】. 对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． (1)计算：______；______； (2)如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值． (3)计算． 【答案】(1)2， (2) (3)23 【分析】（1）先估算的大小，再由新定义可得结果； （2）根据数轴上两点的距离得到点C表示的数，代入求出的值，再根据题中新定义即可得结果； （3）先逐项化简并归纳规律，最终求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵点A表示1，点B表示，点A是的中点， ∴点C表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的值为． （3）解：，， ，…， ∵，， ∴ ． 【变式3】. 对于代数式，我们可以引入一种新的符号表示方式：，这种符号形式称为行列式．规定．例如．按照这种规定，请解答下列问题： (1)计算：______； (2)观察这两个行列式：与，你发现它们之间的数量关系是______． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据行列式的计算方法直接列式计算； （2）根据行列式的计算方法展开两个行列式，再写出数量关系； （3）根据行列式的计算方法展开，整理成一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ； （3）解：∵， ∴， 整理得， 解得． 题型09实数运算的实际应用 结合几何、生活场景建立等量关系，通过实数运算求解，最后检验结果是否符合实际意义。 【典例9】. 有一块面积为平方米的正方形工料，李师傅准备用它沿着边的方向裁剪出一块面积为平方米的长方形工件，且要求长宽之比为，问李师傅能办到吗？若能，求出长方形的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】能办到；长方形的长和宽分别为米和米 【分析】先求得长方形的长为，正方形的边长为，比较大小，即可求解． 【详解】解：设长方形的长为米，则宽为米， 则由题意得，解得（取正值）， 所以长为米，宽为米， 因为面积为平方米的正方形的边长为， 因为，所以， 所以李师傅能办到，长方形的长和宽分别为米和米． 【变式1】. 如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的面积公式求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设面积为1的正方形的边长为a，面积为2的正方形的边长为b， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】. 陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】(1) (2)能够裁出来，理由如下： 设圆形纸胚的半径为， 由题意得：， 解得：， ∵圆形纸胚的直径为，宣纸的宽为，且， ∴， ∴能够裁出来 【分析】（1）设这张宣纸的长为，宽为，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设圆形纸胚的半径为，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设这张宣纸的长为，宽为，由题意得： ， 解得：（负根舍去）， ∴这张宣纸的长为，宽为， ∴这张宣纸的周长为； 答：宣纸的周长为 （2）略 【变式3】. 阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的． 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长宽__________． 请根据材料回答下列问题： (1)A5纸的面积是__________平方米． (2)A4纸的长宽__________． (3)按照图2的系列纸生成过程，经过探究发现，系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，） 【答案】(1) (2) (3)A0纸的长为，宽为 【分析】（1）根据系列纸的面积规律即可求出答案； （2）根据折叠的性质和材料中得到的正方形的性质即可求出答案； （3）设纸的宽为，则长为，则，运算求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知， A0纸的面积为1平方米， A1纸的面积为平方米， A2纸的面积为平方米， A3纸的面积为平方米， A4纸的面积为平方米， A5纸的面积是平方米． （2）解：如图， 由折叠的性质可知，由材料一可知，在图3折叠得到正方形中， ，即A4纸的长宽之比为； （3）解：设纸的宽为，则长为， 依题意得， ， ∵， ∴， ∵（负值不合题意，舍去）， ∴， ∴， 答：纸的长为，宽为． 题型10实数的规律探究 观察式子的数字变化、结构特征，总结周期或通项规律，结合裂项相消、递推等方法进行计算。 【典例10】. 观察下列各式： ，，… 请利用你所发现的规律， 计算，其结果为______． 【答案】 【分析】根据已知等式总结规律，将所求算式各项展开后，利用裂项相消法计算即可． 【详解】解：由已知各式可得规律：， 因此 ． 【变式1】. 观察下列等式： ， ， ， …… 根据以上规律，请完成下面问题： (1)求的值； (2)比较与2026的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) ；见解析 【分析】（1）根据规律计算的值即可； （2）根据题意，找到前2025个等式求和，再与2026比较即可． 【详解】（1）解：； （2）解：，，， ， ， ， ∵， ． 【变式2】. 一组二次根式按如下规律排列： 第1行： ． 第2行： ． 第3行： ． 第4行： ． 第5行： ． …… 请根据上述规律，解答下面的问题： 我们规定一个二次根式落在第a行、第b列，可记作，如落在第2行、第4列，记作，则 可记作_____． 【答案】 【详解】∵， ∴是第行， ∵第行为偶数行，被开方数从左到右依次减小， ∴从左往右是第5个二次根式， 即位于第行第5列，记作． 【变式3】. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式：______________________________； (2)写出第个等式：______________________________；（用含的等式表示） (3)根据上面的结论计算： ． 【答案】(1) (2) （为正整数） (3) 【分析】（1）根据规律写出第个等式； （2）根据规律写出第个等式； （3）根据规律把各项展开，再根据运算法则进行计算． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ， 第个等式：； （2）解：第个等式：（为正整数）； （3）解： ． 一、单选题 1．下列是无理数的是（     ） A． B． C．3.14 D．5 【答案】A 【分析】根据定义判断各选项即可得到结果，无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称． 【详解】解：∵是开方开不尽的数，是无限不循环小数，∴是无理数. ∵是分数，属于有理数，3.14是有限小数，属于有理数，5是整数，属于有理数， ∴只有A选项符合要求． 2．估计的值应在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【分析】先估算出的大致取值范围，再利用不等式性质得到的范围即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，即， ∴的值在和之间． 3．实数16的平方根是（     ） A．8 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】解：根据平方根的定义，若，则是的平方根， ∵ ， ∴ 16的平方根是. 二、填空题 4．比较大小：________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【详解】解：， ． 5．若n为正整数，且满足，则________． 【答案】2 【分析】估算的取值范围，确定介于两个连续正整数之间，即可求解． 【详解】解：， ，即， 又，且为正整数， ． 6．按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于17”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于17，则用得到的这个数进行下一次操作． （1）若时，程序进行了_________次操作就停止了； （2）若时，则输出的数为_________； （3）若程序操作进行了两次才停止，则输入的x的取值范围是_________． 【答案】 2 【分析】（1）根据流程图计算即可得解； （2）根据流程图计算即可得解； （3）由题意得出一元一次不等式组，解不等式组即可得解． 【详解】解：（1）第一次操作：， ∵， ∴需要进行下一次操作， 第二次操作：， ∵， ∴输出的数为，即程序进行次操作就停止了； （2）∵， ∴第一次操作：， ∵， ∴输出的数为； （3）由题意可得：， 解得：， 故若程序操作进行了两次才停止，则输入的x的取值范围是． 三、解答题 7．对于任意实数a、b，定义一种新运算：，例如：．若的结果小于2，请根据上述定义列不等式并求出的取值范围． 【答案】 【分析】根据新运算的规则列出式子，再根据代数式的结果小于2，列出不等式，解出即可． 【详解】解：根据题意，得， ∵的结果小于2， ， 解得， ∴的取值范围是． 8．已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据平方根和立方根的定义列出等式求出，的值，再估算的范围得到整数部分； （2）把，，的值代入中计算，再解得它的算术平方根． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ∴， 解得， 检验，当时，，符合题意； 由题意可知，， ∴， 将代入上式，解得； ∵，即， ∴的整数部分； （2）解：由（1）可知，，，， ∴， ∴的算术平方根． 9．如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 【答案】(1)3， (2)阴影部分的面积为 (3)周长为 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确的识图，准确的列出算式，是解题的关键： （1）利用算术平方根进行求解即可； （2）用小长方形的面积减去小正方形的面积进行计算即可； （3）根据周长公式列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，大正方形的边长为；小正方形的边长为； （2）解：阴影部分的面积为； （3）解：长方形的周长为． 1．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，然后根据数轴与实数的关系即可求得答案． 【详解】解：∵正方形的面积为，且， ∴， ∵点表示的数为，点在点的右侧， ∴点所表示的数为． 2．对于实数a，b，定义新运算“※”，规定：，如，则的值为______． 【答案】 【分析】根据新运算的规则，按照规定代入数值计算即可． 【详解】解：， ∴． 3．已知一列数：，，，，，，，根据其规律，第35个数是___． 【答案】 【分析】分别从符号、分子的被开方数、分母三个维度寻找数字变化规律，归纳得到第n个数的一般形式，再代入化简计算即可. 【详解】解：，，，，，，， 观察可知，该列数的符号为“负，负，正”三个为一组进行循环，分子为，分母为， ∵， 故第35个数的符号为负，分子为，分母为， 故第35个数是. 4．小明同学学完《实数》这章知识后，类比平方根、立方根知识探究四次方根的内容，，． (1)尝试给四次方根下定义：定义：如果，那么这个数叫做的四次方根，记作； 探究性质：的四次方根________； 的四次方根________； ________（填“存在”或“不存在”） (2)巩固应用： 比较________（填、或） 计算：； 解方程：． 【答案】(1)；；不存在； (2)；；或． 【分析】（）根据四次方根即可求解； 根据四次方根即可求解； 根据四次方根即可求解； （）利用无理数的估算方法即可较大小； 根据四次方根和立方根定义即可求解； 根据四次方根即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的四次方根是， 故答案为：； ∵， ∴的四次方根是， 故答案为：； 不存在， 故答案为：不存在； （2）解：由， ∴，即， 由， ∴，即， ∴， 故答案为：； ； ， ∴或． 5．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ……按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第5个等式：______________；第个等式：________________；（用含的等式表示） (2)请用（1）中你发现的规律计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）观察3个等式得出第5个等式和第个等式； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：第5个等式：， 第个等式：； （2）解： ． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $