专题10.3 实数（高效培优讲义）数学华东师大版2024八年级上册

专题 10.3 实数 1.实数的概念（重点） 2.实数的运算（重点） 3.无理数概念的理解（重点） 4.实数运算中符号和绝对值的处理（难点） 5.实数与数轴的对应关系（难点） 无理数 1．定义 无限不循环小数叫做无理数． 判断标准：小数位数无限，小数形式为不循环。 2．三种常见形式 （1）开方开不尽的数，如 ； （2）含有 的一类数，如 ； （3）以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如 （每相邻两个 1 之间依次多一个 0 ）． 3.无理数与有理数的区别(1)有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数是无限不循环小数; (2)所有的有理数都可以写成分数的形式(整数可以看成分母为1 的分数)，而无理数不能写成分数的形式， 1．无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数．例如： 0.3 是无限小数，但不是无理数． 2．某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数不一定都是无理数．例如 就不是无理数． 实数 1.定义 有理数和无理数统称为实数特别解读:(1)在实数范围内，一个数不是有理数那么它一定是无理数，反之亦成立(2)引入无理数后，数的范围由原来的有理数扩充到实数，今后我们研究计算问题时，若没有特殊说明，就应在实数范围内进行 2.分类 (1)按定义分类: 实数 有理数 整数 正整数 0 负整数 分数 正分数 负分数 无理数 正无理数 负无理数 （2）按性质分类: 实数 正实数 正有理数 正无理数 0 负实数 负有理数 负无理数 1.实数的分类有不同的方法，但不论用哪一种分类方法都要按同一标准，做到不重复不遗漏 2.0既不是正实数也不是负实数 3.对实数进行分类时，某些数应先进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类，不能看到带根号的数，就认为是无理数，也不能看到有分数线的数，就认为是有理数 实数与数轴 1.实数与数轴上的点的对应关系 实数与数轴上的点是一一对应的 （1）“一一对应”包含着两层含义: ①每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示②数轴上的每一个点都表示一个实数, （2）数轴上两点间的距离可用两点所表示的实数来表示，即点 、点 在数轴上表示的数分别为 ，则 ． 2．利用数轴比较实数的大小 对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大． 1.在数轴上表示无理数时，一般只能通过估算标出其大致位置 2.借助数轴上的点可以把实数直观地表示出来，数轴上的任意一点表示的数，不是有理数就是无理数 实数的性质 1．相关概念 （1）相反数：实数 的相反数为 ，若a, b互为相反数，则 ； （2）倒数：非零实数 的倒数为 ，若a, b互为倒数，则; 绝对值： 2.比较实数的大小 (1)定义法:正数大于0，0大于一切负数。(2)性质法:两个正数，绝对值大的数大;两个负数 绝对值大的数反而小 1.在有理数范围内的一些基本概念(如相反数、倒数、绝对值)在实数范围内依然适用. 2.对实数的有关概念进行辨析时，错误的说法只需举一个反例即可 实数的运算 1.在实数范围内，进行加、减、乘、除、乘方和开方运算时，有理数的运算法则和运算律仍然适用;实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序一样，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号的先算括号里面的 2．实数的运算律 加法交换律： ； 加法结合律： ； 乘法交换律： ； 乘法结合律： ； 乘法分配律： 。 3.运算种类 运算级别 第一级 第二级 第三级 运算名称 加 减 乘 除 乘方 开方 运算结果 和 差 积 商 幂 方根 有理数的运算律在实数范围内仍然适用，在进行实数运算的过程中，要做到: 一“看”--看算式的结构特点能否运用运算律或公式: 二“用”--运用运算律或公式; 三“查”--检查过程和结果是否正确 题型一、无理数 例1（24-25八年级上·福建漳州·期中）下列各数中，无理数有（　　） （每两个2之间逐次增加1个0） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】此题考查了无理数的定义，算术平方根，根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断各数的类型． 【详解】， ∴无理数有（每两个2之间逐次增加1个0），共4个． 故选：C． 1-1（24-25八年级上·四川成都·期中）在实数，，（每两个1之间依次增加一个0），，中，无理数有（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的概念，含根号的实数要判断是否能开得尽方是本题的关键．根据无理数的概念，即无限不循环小数，依次判断即可得出答案． 【详解】解：是分数，是有理数；是无理数；（每两个之间依次多一个）是无理数；是有理数，是无理数； 故有个无理数； 故选：D 1-2（24-25八年级上·甘肃天水·期中）在实数中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查无理数，无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 【详解】解： 是分数，不是无理数； 是整数，不是无理数； 是无限循环小数，不是无理数； 是整数，不是无理数； 是无限不循环小数，它是无理数， 所以，无理数有1个， 故选：A． 1-3（23-24八年级上·广东梅州·期中）下列四个数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数或不能表示为整数之比． 【详解】解：由无理数的定义可得，四个数中只有是无理数， 故选：D． 1-4（24-25八年级上·四川成都·期中）下列实数中，属于无理数的是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数或无法表示为整数比的数． 【详解】A、，是整数，属于有理数． B、 是整数，属于有理数． C、，是整数，属于有理数． D、因为7不是完全平方数，属于无限不循环小数，故为无理数． 故选：D 题型二、无理数的大小估算 例2（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）a和b是两个连续的整数，，那么 ． 【答案】9 【分析】本题考查了无理数的估算，根据，得，即，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵a和b是两个连续的整数，， ∴， ∴， 故答案为：9 2-1（24-25八年级上·北京·期末）比较大小：（1） 6；（2） 3 【答案】 【分析】本题主要考查了实数大小比较及无理数的估算，根据，得到，，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：；． 2-2（2025·天津·模拟预测）估算 的值在（     ） A．2和3 之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的大小估算，先估算出的范围即可． 【详解】解：∵, ∴ ∴的值在4和5之间， 故选：C． 题型三、实数与数轴 例3（24-25八年级上·北京·期末）如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点表示的数为2，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，根据正方形面积计算公式可得，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】解：∵正方形的面积为3， ∴， ∴， ∵点表示的数为2， ∴点表示的数为， 故选：B． 3-1（2025·四川南充·中考真题）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的周长公式及数轴上点的移动规律，熟练掌握圆的周长计算和数轴上点的平移关系是解题关键．先根据圆的直径求出滚动一周的距离（即圆的周长），再结合点对应的数，通过逆向推理得到滚动前点对应的数． 【详解】解：由题意可得圆的直径，根据圆的周长公式，可得周长 ． 圆从点滚动到，滚动的距离是圆的周长，点对应数是，那么滚动前点对应的数是 ， 故选D． 3-2（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，设点表示的数为，根据点在数轴上的位置，判断出的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可． 【详解】解：设点表示的数为，由图可知：， ∵，即：，故选项A不符合题意； ∵，即：，故选项B不符合题意； ∵，即：，故选项C符合题意； ∵，即：，故选项D不符合题意； 故选C． 题型四、实数的混合运算 例4（24-25八年级上·北京·期末）计算 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算算术平方根和立方根，再去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 4-1（24-25八年级上·江西景德镇·期末）（1） 解方程组：      （2） 计算： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查实数的混合运算及解二元一次方程组，理解算术平方根、立方根、绝对值的定义，掌握二元一次方程组的解法是正确解答的关键． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）根据算术平方根、立方根、绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：（1） ①得， 解得, 把代入①得，, 解得, 所以方程组的解为 （2）原式， 4-2（24-25八年级上·陕西西安·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，解题的关键是先根据有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂将原式化简，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 4-3（24-25八年级上·广东河源·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值、算术平方根和立方根的意义化简，再算乘法，后算加减． 【详解】解： ． 4-4（24-25八年级上·全国·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查整数指数幂的性质和实数运算，解题关键是熟练掌握负整数指数幂的性质及绝对值的化简． 根据实数运算法则，负整数指数幂的性质进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4-5（24-25八年级上·重庆巴南·阶段练习）计算： ． 【答案】0 【分析】本题考查了实数的混合运算和零指数幂的运算，掌握运算原理是关键，根据实数的混合运算、零指数幂的运算，即可求得结果． 【详解】解：． 4-6（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂以及平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，零指数幂，再运用平方差公式，计算即可； （2）利用二次根式乘法法则，负整数指数幂法，则以及绝对值的代数意义，计算即可． 【小题1】解：原式 ； 【小题2】解：原式 ． 题型五、新定义下的实数运算 例5（24-25八年级上·河南周口·期中）对于任意的正数x，y定义运算“#”：，则计算的结果为（    ）． A． B． C．14 D．10 【答案】D 【分析】此题考查了新定义，算术平方根的意义，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据新定义的运算规则，分别计算和的值，再求它们的差． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选D． 5-1（24-25八年级上·湖南娄底·期末）对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（   ） A． B． C．或 D．1或2 【答案】C 【分析】本题考查了新定义、解分式方程，分两种情况：当时，当时，分别列出分式方程，解方程即可得解． 【详解】解：当时，， 解得：， 经检验，是分式方程的解； 当时，， 解得：， 经检验，是分式方程的解； 综上所述，方程的解为或， 故选：C． 5-2（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）对于任意两个非零的有理数，，定义新运算“”如下：，例：．若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据新运算法则可得，即，代入原式化简即可求解．理解新运算法则，将已知化为未知的形式进行化简是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，即，则：， ∴， ∴ ． 故答案为：． 5-3（23-24八年级上·全国·单元测试）请阅读下列材料： 规定一种运算：，如． (1)计算：； (2)当取何值时，？ 【答案】(1)13 (2)， 【分析】本题考查了实数的新定义及解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据新定义列式计算即可； （2）根据新定义列出方程，利用配方法求解方程即可． 【详解】（1）解：根据新定义得：； （2）解：根据新定义得：， ，即， ， ， ，． 5-4（23-24八年级上·福建漳州·期中）定义：已知都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与是______关于3的“实验数”，与______是关于3的“实验数”． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)与是关于3的“实验数”．理由见解析． 【分析】本题考查二次根式的混合运算，二次根式的乘除运算．掌握本题的关键是：①能理解题述1 的“实验数”的定义，并据此作出计算；②掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． （1）根据所给的例子，可得出实验数的求法，由此即可计算4与-1是关于3的“实验数”； （2）把代入计算与的和，根据所求得结果即可判断． 【详解】（1）解：， 所以与是关于的“实验数”， ， 所以与是关于的“实验数” 故依次填：，； （2）解：与是关于的“实验数”．理由如下： ∵， ∴ ∴与是关于的“实验数”． 5-5（23-24八年级上·山东济南·期中）对于任意两个非零实数、，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的新定义运算，分式的化简求值，理解新定义，进行化简，用整体代换法是解题的关键．根据新定义得，通分得，将此代入即可求解． 【详解】解：由题意得 ， ， 整理得：， ； 故答案为：． 5-6（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）对于两个不相等的实数a，b，我们规定表示a，b中的较大数，如：，按照这个规定的解是（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了解分式方程，新定义，根据新定义可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， 故选D． 题型六、与实数运算相关的规律题 例6（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律实数运算，根据题意计算，得到即可求解，找到规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， ， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 6-1（23-24八年级上·四川内江·期中）观察下列算式：，，，…，它有一定的规律性，把第个算式的结果记为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，通过观察可知，据此可得，再把所求式子裂项相消即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴， ∴， ∴原式 ， 故选：C． 6-2（23-24八年级上·云南昭通·期末）观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式；； 第四个等式：…… 探索规律，解答下列问题： (1)用含的式子表示第个等式； (2)若代数式的值为正整数，求整数的值． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据所给等式各部分的变化规律，用含n的式子表示第n个等式是解题的关键． （1）根据所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题； （2）依据（1）中发现的规律即可解决问题． 【详解】（1）观察所给等式各部分的变化规律可知 第个等式为：； （2）由（1）可知 则原式 因为的值是正整数，且为整数． 所以或或． 则或或． 故正整数的值为或或． 6-3（23-24八年级上·甘肃庆阳·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，写出第个等式： ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】根据题目所给式子，得出式子间的规律即可得到答案． 【详解】解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ∴第个等式： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了与实数运算相关的规律，解题的关键在于能够根据题意找到式子间的规律． 易错点 对无理数概念的理解不透彻(误认为带根号的数都是无理数) 例 在0，，，这四个数中，是无理数的是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查无理数，根据无理数的定义，判断各数是否属于无限不循环小数或不能表示为整数之比． 【详解】解：A、是无限不循环小数，无法表示为分数，属于无理数． B、是分数，属于有理数． C、0是整数，属于有理数． D、，是整数，属于有理数． 故选：A 1．在实数，3.161661666…(每两个1之间依次多1个6)，，0， ，中无理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的定义，求一个数的立方根，根据无理数的定义即无限不循环小数判断即可． 【详解】解：， 在实数，3.161661666…(每两个1之间依次多1个6)，，0， ，中， 无理数有3.161661666…(每两个1之间依次多1个6)，，，一共3个， 故选：C 2．我们定义一个关于实数的新运算，规定：，例如，．若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键； 根据题中所给新定义运算可列出不等式，然后进行求解即可． 【详解】解：根据题意，新运算定义为，因此， 由不等式可得： 故的取值范围是， 故选：D． 3．现定义运算“”：对于任意实数、，都有，如，若，则实数的值为（ ） A．4或 B．7或 C．19或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，根据新定义求解即可，正确理新定义是解题的关键． 【详解】解：由新定义可知，， ∴ ∴， 故选：D． 4．已知表示取三个数中最大的那个数，例如：当时，．当时，则x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，进行分类讨论，①当时，②当时，③当时，即可解答． 【详解】解：①当时，解得：， ， ∵， ∴，符合题意； ②当时，解得：， ， ∵， ∴，不符合题意； ③当时， ，， ∵， ∴，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了新定义，解题的关键是正确理解新定义，根据新定义进行分类讨论． 5．如果一个三位数满足各数位上的数字相互都不相同，且都不为零，那么称这个三位数为“相异数”．将“相异数”的个位数字去掉，得到一个两位数，将其与的个位数字的差记为，将的十位数字与个位数字的差记为．已知“相异数”123，则 ；若一个三位正整数（其中、都是整数，且）是“相异数”，与的商为整数且能被13整除，则满足条件的“相异数”的最大值是 ． 【答案】 9 【分析】本题主要考查了新定义，不等式的性质，根据新定义可得；当时，的百位数字为a，十位数字为，个位数字为，则，，，要使“相异数”的最大，则首先要保证“相异数”的百位数为最大，当时，；由能被13整除，则一定能被13整除，则，可得，此时，满足是整数；当时，的百位数字为a，十位数字为2，个位数字为，则，，，要使“相异数”的最大，首先要保证“相异数”的百位数为最大，当时，；由能被13整除，得到一定能被13整除，可证明，则此时不能被13整除，故不存在百位是9且满足条件的Q，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，； 当时，则， ∵， ∴的百位数字为a，十位数字为，个位数字为， ∴，， ∴， ∵要使“相异数”的最大， ∴首先要保证“相异数”的百位数为最大， 当时，， ∵能被13整除， ∴一定能被13整除， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时是整数， ∴此时； 当时，则， ∵， ∴的百位数字为a，十位数字为2，个位数字为， ∴，， ∴， ∵要使“相异数”的最大， ∴首先要保证“相异数”的百位数为最大， 当时，， ∵能被13整除， ∴一定能被13整除， ∵， ∴， ∴此时不能被13整除， ∴不存在百位是9且满足条件的Q； 综上所述，满足条件的“相异数”Q的最大值是932， 故答案为：9；932． 6．若一个各个数位均不相等的四位数，满足，则我们称为“公平数”．若将“公平数”的个位数字与千位数字对调，十位数字与百位数字对调，得到一个新的“公平数”，规定．例如：，则 ．若的值能被7整除，则满足条件的“公平数”的最大值是 ． 【答案】 11 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，整式混合运算的应用，因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握数字间的关系，根据题意得出，求出或． 【详解】解：根据题意得：； ∵， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵的值能被7整除， ∴能被7整除， ∵，， ∴， ∴或， ∴当时，m有最大值， ∴m的最大值为：． 故答案为：11；． 7．将、、、……按如图方式排列．若规定表示第x排从左向右第y个数，若在，则的值为 ． 【答案】27 【分析】观察式子，得到如下规律，第排的个数为个，前排的总数为个，奇数排是从左到右依次增大排列，偶数排是从右到左依次增大排列，根据规律求解即可． 【详解】解：观察式子可得， 第1排的个数为，前1排的总数为， 第2排的个数为，前2排的总数为，从右到左依次增大排列， 第3排的个数为，前3排的总数为，从左到右依次增大排列， 第4排的个数为，前4排的总数为，从右到左依次增大排列， …… 第排的个数为个，前排的总数为个，奇数排是从左到右依次增大排列，偶数排是从右到左依次增大排列， 因为，， 所以是在第45排，即， 第45排，为奇数排，从左向右依次增大， 因为，所以， 将，代入得 故答案为：27． 【点睛】此题考查了数字类规律的探索问题，涉及了有理数的乘方，算术平方根，解题的关键是理解题意，正确找出数字的规律． 8．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）根据实数的混合运算法则求解即可； （2）根据整式的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） 9．对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与称为点P的一对“友好点”．例如：点的一对“友好点”是与． (1)点的一对“友好点”的坐标是_________与_________； (2)若点的一对“友好点”都在直线上，求k的值． 【答案】(1)与 (2)20 【分析】（1）根据点得， 点的一对“友好点”的坐标是与． （2）根据点得，，故点的一对“友好点”和，结合和都在直线上，建立方程组求k的值即可． 本题考查了一次函数的新定义，解方程组，求代数式的值，熟练掌握新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据点得：，， 故点的一对“友好点”的坐标是与． 故答案为：与． （2）解：根据点得：，， 故点的一对“友好点”和， ∵和都在直线上， ∴， 解得， 故k的值为20． 10．（1）解方程组：； （2）对于任意实数，我们规定．已知满足，求的值． 【答案】（1）原方程组的解为；（2）的值为，的值为2 【分析】本题考查解二元一次方程组，定义新运算： （1）加减消元法解方程组即可； （2）根据新运算的法则，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：（1） ，得，，解得：． 将代入②，得，解得：， 所以原方程组的解为     （2）由题意，得 ①②，得，，解得：． 将代入②，得，解得：， ∴的值为，的值为2． 11．计算： ； 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、零次幂、负整数次幂、绝对值等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．先根据零次幂、负整数次幂、绝对值化简，然后再计算即可． 【详解】解：         ．           1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 10.3 实数 1.实数的概念（重点） 2.实数的运算（重点） 3.无理数概念的理解（重点） 4.实数运算中符号和绝对值的处理（难点） 5.实数与数轴的对应关系（难点） 无理数 1．定义 无限不循环小数叫做无理数． 判断标准：小数位数无限，小数形式为不循环。 2．三种常见形式 （1）开方开不尽的数，如 ； （2）含有 的一类数，如 ； （3）以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如 （每相邻两个 1 之间依次多一个 0 ）． 3.无理数与有理数的区别(1)有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数是无限不循环小数; (2)所有的有理数都可以写成分数的形式(整数可以看成分母为1 的分数)，而无理数不能写成分数的形式， 1．无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数．例如： 0.3 是无限小数，但不是无理数． 2．某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数不一定都是无理数．例如 就不是无理数． 实数 1.定义 有理数和无理数统称为实数特别解读:(1)在实数范围内，一个数不是有理数那么它一定是无理数，反之亦成立(2)引入无理数后，数的范围由原来的有理数扩充到实数，今后我们研究计算问题时，若没有特殊说明，就应在实数范围内进行 2.分类 (1)按定义分类: 实数 有理数 整数 正整数 0 负整数 分数 正分数 负分数 无理数 正无理数 负无理数 （2）按性质分类: 实数 正实数 正有理数 正无理数 0 负实数 负有理数 负无理数 1.实数的分类有不同的方法，但不论用哪一种分类方法都要按同一标准，做到不重复不遗漏 2.0既不是正实数也不是负实数 3.对实数进行分类时，某些数应先进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类，不能看到带根号的数，就认为是无理数，也不能看到有分数线的数，就认为是有理数 实数与数轴 1.实数与数轴上的点的对应关系 实数与数轴上的点是一一对应的 （1）“一一对应”包含着两层含义: ①每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示②数轴上的每一个点都表示一个实数, （2）数轴上两点间的距离可用两点所表示的实数来表示，即点 、点 在数轴上表示的数分别为 ，则 ． 2．利用数轴比较实数的大小 对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大． 1.在数轴上表示无理数时，一般只能通过估算标出其大致位置 2.借助数轴上的点可以把实数直观地表示出来，数轴上的任意一点表示的数，不是有理数就是无理数 实数的性质 1．相关概念 （1）相反数：实数 的相反数为 ，若a, b互为相反数，则 ； （2）倒数：非零实数 的倒数为 ，若a, b互为倒数，则; 绝对值： 2.比较实数的大小 (1)定义法:正数大于0，0大于一切负数。(2)性质法:两个正数，绝对值大的数大;两个负数 绝对值大的数反而小 1.在有理数范围内的一些基本概念(如相反数、倒数、绝对值)在实数范围内依然适用. 2.对实数的有关概念进行辨析时，错误的说法只需举一个反例即可 实数的运算 1.在实数范围内，进行加、减、乘、除、乘方和开方运算时，有理数的运算法则和运算律仍然适用;实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序一样，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号的先算括号里面的 2．实数的运算律 加法交换律： ； 加法结合律： ； 乘法交换律： ； 乘法结合律： ； 乘法分配律： 。 3.运算种类 运算级别 第一级 第二级 第三级 运算名称 加 减 乘 除 乘方 开方 运算结果 和 差 积 商 幂 方根 有理数的运算律在实数范围内仍然适用，在进行实数运算的过程中，要做到: 一“看”--看算式的结构特点能否运用运算律或公式: 二“用”--运用运算律或公式; 三“查”--检查过程和结果是否正确 题型一、无理数 例1（24-25八年级上·福建漳州·期中）下列各数中，无理数有（　　） （每两个2之间逐次增加1个0） A．个 B．个 C．个 D．个 1-1（24-25八年级上·四川成都·期中）在实数，，（每两个1之间依次增加一个0），，中，无理数有（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 1-2（24-25八年级上·甘肃天水·期中）在实数中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1-3（23-24八年级上·广东梅州·期中）下列四个数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 1-4（24-25八年级上·四川成都·期中）下列实数中，属于无理数的是（    ） A． B．0 C． D． 题型二、无理数的大小估算 例2（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）a和b是两个连续的整数，，那么 ． 2-1（24-25八年级上·北京·期末）比较大小：（1） 6；（2） 3 2-2（2025·天津·模拟预测）估算 的值在（     ） A．2和3 之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 题型三、实数与数轴 例3（24-25八年级上·北京·期末）如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点表示的数为2，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 3-1（2025·四川南充·中考真题）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 3-2（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 题型四、实数的混合运算 例4（24-25八年级上·北京·期末）计算 4-1（24-25八年级上·江西景德镇·期末）（1） 解方程组：      （2） 计算： 4-2（24-25八年级上·陕西西安·期末）计算：． 4-3（24-25八年级上·广东河源·期末）计算：． 4-4（24-25八年级上·全国·期中）计算： ． 4-5（24-25八年级上·重庆巴南·阶段练习）计算： ． 4-6（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）计算： (1) (2) 题型五、新定义下的实数运算 例5（24-25八年级上·河南周口·期中）对于任意的正数x，y定义运算“#”：，则计算的结果为（    ）． A． B． C．14 D．10 5-1（24-25八年级上·湖南娄底·期末）对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（   ） A． B． C．或 D．1或2 5-2（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）对于任意两个非零的有理数，，定义新运算“”如下：，例：．若，则的值为 ． 5-3（23-24八年级上·全国·单元测试）请阅读下列材料： 规定一种运算：，如． (1)计算：； (2)当取何值时，？ 5-4（23-24八年级上·福建漳州·期中）定义：已知都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与是______关于3的“实验数”，与______是关于3的“实验数”． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 5-5（23-24八年级上·山东济南·期中）对于任意两个非零实数、，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则 ． 5-6（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）对于两个不相等的实数a，b，我们规定表示a，b中的较大数，如：，按照这个规定的解是（    ） A． B．2 C． D．1 题型六、与实数运算相关的规律题 例6（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知，则 ． 6-1（23-24八年级上·四川内江·期中）观察下列算式：，，，…，它有一定的规律性，把第个算式的结果记为，则的值是（     ） A． B． C． D． 6-2（23-24八年级上·云南昭通·期末）观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式；； 第四个等式：…… 探索规律，解答下列问题： (1)用含的式子表示第个等式； (2)若代数式的值为正整数，求整数的值． 6-3（23-24八年级上·甘肃庆阳·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，写出第个等式： ．（用含的代数式表示） 易错点 对无理数概念的理解不透彻(误认为带根号的数都是无理数) 例 在0，，，这四个数中，是无理数的是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查无理数，根据无理数的定义，判断各数是否属于无限不循环小数或不能表示为整数之比． 【详解】解：A、是无限不循环小数，无法表示为分数，属于无理数． B、是分数，属于有理数． C、0是整数，属于有理数． D、，是整数，属于有理数． 故选：A 1．在实数，3.161661666…(每两个1之间依次多1个6)，，0， ，中无理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．我们定义一个关于实数的新运算，规定：，例如，．若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．现定义运算“”：对于任意实数、，都有，如，若，则实数的值为（ ） A．4或 B．7或 C．19或 D． 4．已知表示取三个数中最大的那个数，例如：当时，．当时，则x的值为（    ） A． B． C． D． 5．如果一个三位数满足各数位上的数字相互都不相同，且都不为零，那么称这个三位数为“相异数”．将“相异数”的个位数字去掉，得到一个两位数，将其与的个位数字的差记为，将的十位数字与个位数字的差记为．已知“相异数”123，则 ；若一个三位正整数（其中、都是整数，且）是“相异数”，与的商为整数且能被13整除，则满足条件的“相异数”的最大值是 ． 6．若一个各个数位均不相等的四位数，满足，则我们称为“公平数”．若将“公平数”的个位数字与千位数字对调，十位数字与百位数字对调，得到一个新的“公平数”，规定．例如：，则 ．若的值能被7整除，则满足条件的“公平数”的最大值是 ． 7．将、、、……按如图方式排列．若规定表示第x排从左向右第y个数，若在，则的值为 ． 8．计算： (1)． (2)． 9．对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与称为点P的一对“友好点”．例如：点的一对“友好点”是与． (1)点的一对“友好点”的坐标是_________与_________； (2)若点的一对“友好点”都在直线上，求k的值． 10．（1）解方程组：； （2）对于任意实数，我们规定．已知满足，求的值． 11．计算： ； 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $