第一单元专项06 循环小数的认识（典例专项训练）六年级数学上册典例专项精讲（苏教版 新教材）

**基本信息** 聚焦循环小数核心概念与应用，通过多样化题型构建从识别到计算再到规律探究的完整训练体系，发展抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|6题|循环节识别、循环小数判断|从基础概念（循环节定义）到辨析（有限与无限小数区分）| |计算应用|8题|商用循环小数表示、保留小数|从除法运算到循环小数简便记法，体现运算能力| |规律探究|7题|小数部分第n位数字及和计算|通过周期规律推理，发展推理意识与抽象能力| |实际应用|4题|工程问题、行程问题等|结合生活情境，培养模型意识与应用能力|

第一单元专项06 循环小数的认识（典例专项训练） 1．9.456456…的小数部分第2026位的数字是（    ）。 A．4 B．5 C．6 D．不确定 【答案】A 【分析】找出小数部分的循环节及其周期长度，然后用所求位数除以周期，根据余数确定该位数字对应循环节中的第几个数字即可求解。 【解答】观察小数9.456456…可以看出小数部分是以456为循环节不断重复出现的。循环节是456，周期为3。 2026÷3＝675……1 小数部分前2026位包含了675个完整的循环节，余数是1，说明第2026位的数字是第676个循环节的第1个数字，循环节第1个数字是4，即第2026位的数字是4。 2．以下表达错误的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】A．根据小数乘法估算的方法，将和估成整数和，据此算出积，再与进行比较； B．将循环小数改写成无限小数形式，再根据小数大小比较的方法进行比较； C．计算时，先将拆成，再根据乘法分配律进行简算，计算结果与进行比较； D．一个数（0除外）除以大于1的数，商比原来的数小； 一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大。 【解答】A．因为，，所以，即，此选项表述正确； B．，，，所以，此选项表述错误； C． 因为，所以，此选项表述正确； D．，则，，所以，此选项表述正确。 3．下面各数中，（    ）是循环小数。 A．3.1415926… B．2.010010001… C．5.3636 D．7.05454… 【答案】D 【分析】一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数。一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。 小数分为有限小数和无限小数，有限小数的小数点后面的小数是有限的、可数的；而无限小数的小数点后面的小数是无限的、不可数的。循环小数都是无限小数。 【解答】A．3.1415926…没有循环节，不是循环小数； B．2.010010001…没有循环节，不是循环小数； C．5.3636是有限小数，不是循环小数； D．7.05454…的循环节是54，所以7.05454…是循环小数。 4．下面四个小数中，最大的是（    ）。 A．0.264 B． C． D． 【答案】D 【分析】循环小数计数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点），表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。这样的圆点叫做循环点。 小数大小的比较：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大，依次往右进行比较，直到比出大小为止。 【解答】＝0.264444… ＝0.264264… ＝0.2646464… 0.2646464…＞0.264444…＞0.264264…＞0.264 即＞＞＞0.264 所以最大的是。 5．下面小数中，最大的是（    ）。 A．0.2727 B． C．0.27 D． 【答案】D 【分析】先把循环小数展开，再比较大小。小数大小的比较：先看小数的整数部分，整数部分大的这个数就大，整数部分相同的就看十分位，十分位大的这个数就大，十分位相同的，再看百分位，百分位大的这个数就大……，据此解答。 【解答】＝0.2727…… ＝0.2777…… 0.2777……＞0.2727……＞0.2727＞0.27 即＞＞0.2727＞0.27 所以最大的是。 6．循环小数1.2727…的循环节是（    ）。 A．127 B．27 C．272 D．2727 【答案】B 【分析】一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。 【解答】分析可知，循环小数1.2727…的循环节是27。 7．在1.25、、1.252和中，最大的数是（    ）。 A．1.25 B． C．1.252 D． 【答案】D 【分析】先把循环小数的简便形式改写成一般形式（可以写出两个循环节），再按小数比较大小的方法进行比较，即先比较整数部分，整数部分大的数就大，整数部分相同，再比较十分位，十分位相同再比较百分位……，把各数按从大到小的顺序排列，找出最大的数即可。 【解答】＝1.2525… ＝1.255… 1.255…＞1.2525…＞1.252＞1.25 所以，＞＞1.252＞1.25；即最大的数是。 8．下面各数中，是循环小数的是（  ）。 A．3.1415926… B．2.3333 C．1.666… D．5.010010001… 【答案】C 【分析】循环小数是指一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现的无限小数。 【解答】A．3.1415926…，是无限不循环小数。 B．2.3333，是有限小数。 C．1.666…，是循环小数。 D．5.010010001…。是无限不循环小数。 是循环小数的是1.666…。 9．4.3050505…小数部分的第20位数字是（    ）。 A．4 B．3 C．5 D．0 【答案】D 【分析】根据循环小数的定义可知，4.3050505…是一个循环小数，循环节是05。 用（20－1）除以循环节的位数，若没有余数，则第20位数字就是循环节的最后一位；若有余数，余数是几就从循环节的左边数几。 【解答】（20－1）÷2 ＝19÷2 ＝9（组）……1（个） 4.3050505…小数部分的第20位数字是0。 10．3.1÷5.5的商是一个循环小数，这个小数的小数点后面第2025位上的数是（    ）。 A．0 B．6 C．5 D．3 【答案】D 【分析】要确定循环小数第2025位的数字，首先需要计算出3.1÷5.5的商，找出其循环节。用2025减去非循环部分的位数（若有），再对循环节长度取余，根据余数判断对应位置的数字。 【解答】3.1÷5.5＝0.5636363⋯，即该小数为：小数点后第1位是不参与循环的5，从第2位开始，循环节是63，循环节长度为2。   计算第2025位的数字：去掉不循环的第1位，还剩2025－1＝2024位参与循环；2024÷2＝1012，刚好整除，说明第2024位对应循环节的最后一位，循环节63的最后一位是3。 因此小数点后第2025位上的数是3。 11．5.7÷9的商用循环小数表示是（ ），循环节是（ ）。 【答案】 3 【分析】除数是整数的除法，商的小数点要与被除数的小数点对齐；若被除数的整数部分不够除，商0，点上小数点继续除；若除到被除数的末尾仍有余数，在余数末尾添0，继续除。 一个无限循环小数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这组重复出现的数字，就叫做这个循环小数的循环节。 【解答】 5.7÷9＝0.6333…，用循环小数表示是，循环节是3。 12．9÷11的商用循环小数表示是（ ），保留两位小数约是（ ）。 【答案】 0.82 【分析】先根据除数是整数的小数除法的计算方法求出9÷11的商；再把商用循环小数表示；保留两位小数：看小数点后的第三位，这个数字大于或等于5，则给百分位上加1再去掉百分位后面的数字，如果这个数字小于5，则直接去掉百分位后面的数字，据此解答。 【解答】9÷11＝ ≈0.82 9÷11的商用循环小数表示是，保留两位小数约是0.82。 13．循环小数3.84588458845…的循环节是（ ），小数部分第100位上的数字是（ ）。 【答案】8458 8 【分析】一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数。一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。 循环小数3.84588458845…的循环节是8458，每4个数字一循环，求小数部分第100位上的数字，就是求100里面有几个4，还余几，用除法计算；余数是几，就表示是一个循环里的第几个数，没有余数，就是循环节最后一个数，据此解答。 【解答】100÷4＝25 循环小数3.84588458845…的循环节是8458，小数部分第100位上的数字是8。 14．为了备战冬运会，夏明坚持晨跑7天，一周后他计算出自己平均每天跑2.0701701…千米，这个小数的循环节是（ ），保留一位小数约是（ ）。 【答案】701 2.1 【分析】一个无限循环小数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这组重复出现的数字，就叫做这个循环小数的循环节。 保留一位小数，需要看第二位小数（即百分位上的数），若大于等于5向前一位进1，若小于5则直接舍去。 【解答】2.0701701…小数点后第一位数字0不是循环部分，从第二位数字开始，701重复出现，所以这个小数的循环节是701； 2.0701701…百分位上是7，7＞5，向前一位进1，0＋1＝1，所以2.0701701…≈2.1，即保留一位小数是2.1。 15．循环小数3.31818…的循环节是（ ），用简便方法记作（ ），保留一位小数约是（ ）。 【答案】18 3.3 【分析】循环节是循环小数的小数部分里，依次不断重复出现的最小数字片段； 在循环节的第一个和最后一个数字上方各点一个小圆点来简便记循环小数； 保留一位小数需要看百分位上的数字，用四舍五入的方法判断，得到结果。 【解答】3.31818……重复出现的小数是18，所以循环节是18；记作； 3.31818……百分位上的数字是1，根据四舍五入规则，直接舍去，结果为3.3。 16．循环小数的循环节是（ ），这个循环小数的小数部分第100位数字是（ ）。 【答案】205 5 【分析】循环节是循环小数中，小数部分依次不断重复出现的数字；从小数部分第二位开始循环，每个循环节看作一组，第100位小数中去掉十分位的6还有99位小数，每个循环节是3位，剩余小数位数除以3，如果没有余数，则第99位为循环节的最后一位，如果有余数，余数是几，就是循环节的第几位。 【解答】根据循环节定义：循环小数的循环节是205； （100－1）÷3 ＝99÷3 ＝33 即有完整的33个循环节，所以这个循环小数的小数部分第100位数字是5. 17．3÷7的商是一个循环小数，这个小数的小数点后第2026个数字是（ ）。 【答案】5 【分析】先算出除法算式的商，找出循环节有几位数字；用总位数除以循环节的位数，求出商和余数，根据余数对应循环节里的数字，确定所求数位上的数。 【解答】3÷7＝ 循环节为4、2、8、5、7、1，共6位。 2026÷6＝337⋯⋯4，余数是4，对应循环节第4个数字是5。 18．0.52×3.6的积有（ ）位小数；3.5÷11的商用循环小数的简便形式表示是（ ），保留两位小数约是（ ），商的小数部分第100位数字是（ ）。 【答案】三 0.32 1 【分析】（1）积的小数位数等于两个因数小数位数之和； （2）找出商的小数部分依次重复出现的数，即循环节，在循环节的首位和末位点上小黑点即可； （3）保留两位小数，看小数点后第三位小数，根据四舍五入法取舍； （4）用100减去不循环的小数位数，再除以循环节的数字个数，根据余数确定第100位数字是几（余数是几对应循环节第几位数）。据此解答。 【解答】（1）0.52是两位小数，3.6是一位小数，2＋1＝3，因此0.52×3.6的积有三位小数。 （2）3.5÷11＝0.3181818…… 小数部分依次重复出现的是“18”，因此循环节为“18”，商用循环小数的简便形式表示是。 （3）商的千分位是8，8＞5，向百分位进1，即1＋1＝2，所以商保留两位小数约为0.32。 （4）循环节是两个数字组成，小数部分第一位不参与循环，需从100里面减去。 （100－1）÷2 ＝99÷2 ＝49（组）……1（个） 余数为1，对应循环节第一位，即1，所以商的小数部分第100位数字是1。 19．算式5.7÷9的商用简便方法记作是（ ），保留两位小数是（ ）。 【答案】 0.63 【分析】一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数。循环小数的缩写是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个点。根据千分位数字，用四舍五入法保留两位小数。 【解答】5.7÷9＝0.6333… 0.633…＝ ≈0.63 20．在5.91，，，5.191212，5.18276…中有限小数有（ ），无限小数有（ ），循环小数有（ ），最大的数是（ ）。 【答案】5.91、5.191212 、、5.18276… 、 【分析】小数部分的位数是有限的小数；小数部分的位数是无限的小数。一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。把循环小数写成一般形式，再比较小数大小：先比较整数部分，整数部分相同再比较十分位，十分位相同再比较百分位……依次类推。 【解答】5.91和5.191212小数位数有限，是有限小数。 和有循环点，5.18276…有省略号，小数位数无限，是无限小数。 和有循环点，是循环小数。 ＝5.999… ＝5.912912… 5.18276…＜5.191212＜5.91＜5.912912…＜5.999…，即5.18276…＜5.191212＜5.91＜＜，最大的数是。 21．分宜麻糍作坊用27.5千克糯米制作麻糍，每一份麻糍需要用糯米1.2千克，这些糯米最多能制作多少份麻糍？ 【答案】22份 【分析】用总糯米质量除以每份麻糍所需糯米的质量，得到的商是能做的完整份数，余数不够做1份，因此需要根据实际情况采用“去尾法”保留整数。 【解答】27.5÷1.2＝（份） 因为剩下的糯米不够做1份，所以最多能做22份。 答：这些糯米最多能制作22份麻糍。 22．两个工人加工同一种零件，甲10分加工8个，乙12分加工10个，他们俩谁做得快一些？ 【答案】乙 【分析】根据工作效率＝工作量÷工作时间，先计算出两人各自的工作效率；然后再比较他们的工作效率，哪个数大说明谁的工作效率就快，据此解答。 【解答】（个/分） （个/分） 答：乙做得快一些。 23．在循环小数0.ABCABCABC…中，小数部分前90位上的数字的和是180，这个循环小数最大是什么？（A、B、C为3个不同的自然数） 【答案】 【分析】观察这个循环小数，循环节是ABC，有3位数字，前90位共（90÷3）组循环节，用前90位上的数字的和÷循环节组数＝每个循环节数字和，再将每个循环节数字和写成3个数相加的形式，从而确定最大的循环节，写出这个循环小数。 【解答】每个循环节数字和：180÷（90÷3） ＝180÷30 ＝6 所以A＋B＋C＝6 6写成三个不同的数字和：6＝5＋1＋0＝4＋2＋0＝3＋2＋1 则最大的循环节为510。 答：这个循环小数最大是。 24．在循环小数中，小数部分前60位上数字之和是160，这个循环小数最大是多少，最小是多少？（a、b、c表示三个不同的自然数） 【答案】 最大是，最小是 【分析】循环小数的循环节是abc，每3位为一个周期，前60位共有60÷3＝20个周期，每个周期的数字和为160÷20＝8，因此a＋b＋c＝8。要构造最大循环小数，需使循环节的第一位尽可能大，第二位次之，第三位最小；构造最小循环小数则相反。需确保a、b、c为不同自然数（含0）。据此解答。 【解答】60÷3＝20 160÷20＝8 最大可能的组合是a＝7，b＝1，c＝0（7＋1＋0＝8）；对应的循环节为710，因此最大循环小数为。 最小可能的组合是a＝0，b＝1，c＝7（0＋1＋7＝8）；对应的循环节为017，因此最小循环小数为。 答：这个循环小数最大是，最小是。 25．算一算5÷7的商，想一想，算一算。 （1）小数点后面2019位上的数字是几？ （2）小数点后2019个数字之和是多少？ 【答案】（1）4 （2）9084 【分析】5÷7＝0.714285714285…，循环节为714285，共6个数字，循环周期是6。 （1）计算2019除以循环节的长度6，2019÷6＝336……3，余数是3，说明第2019位是循环节的第3个数字。循环节714285的第3个数字是4。 （2）先算一个循环节的数字和：7＋1＋4＋2＋8＋5＝27，循环的次数是336次，剩余3个数字，即循环336次后剩下的数字是循环节的前3个：7、1、4。总数字和为：336×27＋7＋1＋4＝9084。 【解答】（1）5÷7＝0.714285714285…，循环节714285，共6个数字。 2019÷6＝336……3 循环节714285的第3个数字是4。 答：小数点后面2019位上的数字是4。 （2）7＋1＋4＋2＋8＋5＝27 336×27＋7＋1＋4 ＝9072＋7＋1＋4 ＝9079＋1＋4 ＝9080＋4 ＝9084 答：小数点后2019个数字之和是9084。 26．2÷11的商是一个循环小数，小数点后第2024位数字是几？这2024个数字的和为多少？ 【答案】8；9108 【分析】本题考查循环小数的周期性规律。首先需确定的循环节，再根据循环节的长度，通过除法运算分析第2024位数字的位置，以及循环节的个数，进而计算数字和。 【解答】 循环节“18”的最后一位是8，所以第2024位数字是8。 答：小数点后第2024位数字是8，这2024个数字的和为9108。 【点睛】解决循环小数的位数与数字和问题，核心是抓住循环节的周期性：先确定循环节及其长度，再通过除法运算确定所求位数在循环节中的位置，以及循环节的个数，从而逐步求解。这种方法适用于所有循环小数的周期性问题。 27．计算32÷37，将结果用“四舍五入”法精确到小数点后第125位，第125位上的数字是多少？小数部分前125位各数位上的数字和是多少？ 【答案】第125位上的数字是6；小数部分前125位各数位上的数字和是752。 【分析】计算出32÷37的结果，如果是循环小数找到它的循环节，根据小数部分周期化的规律判断出第126位是多少，再利用“四舍五入”法得到第125位上的数字是多少。 知道循环小数的循环节，判断小数部分前125位有多少个循环节以及余下的数，即可求出小数部分前125位各数位上的数字和。 【解答】32÷37＝，的循环节是864。 125÷3＝41……2，商是41，余数是2，说明第125位小数是6，第126位是4，精确到小数点后第125位时第126位是4需要舍去。 小数部分前125位有41个循环节、数字8和6。 （8＋6＋4）×41＋8＋6 ＝18×41＋8＋6 ＝738＋8＋6 ＝752 答：第125位上的数字是6；小数部分前125位各数位上的数字和是752。 28．北京南站到天津站的距离约为120km，乘城际列车仅需0.55小时即可到达。城际列车平均每小时大约行驶多少千米？（得数用循环小数表示） 【答案】218.千米 【分析】根据路程÷时间＝速度，代入数据解答，注意结果用循环小数表示。 【解答】120÷0.55＝218.（千米） 答：城际列车平均每小时大约行驶218.千米。 29．在0.142857的小数部分添上合适的表示循环节的符号的“•”，把它们都变成循环小数后，使不等式成立。 0.142857＞0.142857＞0.142857＞0.142857＞0.142857＞0.142857 【答案】＞＞＞＞＞ 【分析】观察题干后可知，小数点后前六位数字都相同，要想按照从大到小的顺序排列，则第一位小数的循环节的第一位数字是8，第二位小数的循环节的第一位数字是7，第三位小数的循环节的第一位数字是5，第四位小数的循环节的第一位数字是4，第五位小数的循环节的第一位数字是2，第六位小数的循环节的第一位数字是1，由此解决本题即可。 【解答】因为＝0.142857857⋯，＝0.1428577⋯，＝0.14285757⋯，＝0.14285742857⋯，＝0.1428572857⋯，＝0.142857142857⋯ 即0.142857857⋯＞0.1428577⋯＞0.14285757⋯＞0.14285742857⋯＞0.1428572857⋯＞0.142857142857⋯ 则＞＞＞＞＞ 30．5÷13的商的小数部分第20位上的数字是几？在小数部分前80位中，数字“8”和“1”各出现了多少次？ 【答案】8；14次；13次 【分析】先求出5÷13＝，可以看出这个循环小数的循环节为384615，共6位，就是说小数点后面每6位数一个循环。所以用20除以6等于3剩余2，就是说第20位数是循环节的第2位数，即为8；用80除以6等于13剩余2，就是说前八十位数中，完整的循环节出现了13次，还有两位数是循环节的第一、第二位，即为3和8，所以“8”出现了14次，“1”出现了13次。 【解答】5÷13＝ 20÷6＝3（组）……2（位） 80÷6＝13（组）……2（位） “8”的次数：13×1＋1＝14（次）    “1”的次数：13×1＝13（次） 答：第20位上的数字是8；数字“8”出现了14次，数字“1”出现了13次。 【点睛】此题考查了学生对循环小数、循环节的认识与应用。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一单元专项06 循环小数的认识（典例专项训练） 1．9.456456…的小数部分第2026位的数字是（    ）。 A．4 B．5 C．6 D．不确定 2．以下表达错误的是（    ）。 A． B． C． D． 3．下面各数中，（    ）是循环小数。 A．3.1415926… B．2.010010001… C．5.3636 D．7.05454… 4．下面四个小数中，最大的是（    ）。 A．0.264 B． C． D． 5．下面小数中，最大的是（    ）。 A．0.2727 B． C．0.27 D． 6．循环小数1.2727…的循环节是（    ）。 A．127 B．27 C．272 D．2727 7．在1.25、、1.252和中，最大的数是（    ）。 A．1.25 B． C．1.252 D． 8．下面各数中，是循环小数的是（  ）。 A．3.1415926… B．2.3333 C．1.666… D．5.010010001… 9．4.3050505…小数部分的第20位数字是（    ）。 A．4 B．3 C．5 D．0 10．3.1÷5.5的商是一个循环小数，这个小数的小数点后面第2025位上的数是（    ）。 A．0 B．6 C．5 D．3 11．5.7÷9的商用循环小数表示是（ ），循环节是（ ）。 12．9÷11的商用循环小数表示是（ ），保留两位小数约是（ ）。 13．循环小数3.84588458845…的循环节是（ ），小数部分第100位上的数字是（ ）。 14．为了备战冬运会，夏明坚持晨跑7天，一周后他计算出自己平均每天跑2.0701701…千米，这个小数的循环节是（ ），保留一位小数约是（ ）。 15．循环小数3.31818…的循环节是（ ），用简便方法记作（ ），保留一位小数约是（ ）。 16．循环小数的循环节是（ ），这个循环小数的小数部分第100位数字是（ ）。 17．3÷7的商是一个循环小数，这个小数的小数点后第2026个数字是（ ）。 18．0.52×3.6的积有（ ）位小数；3.5÷11的商用循环小数的简便形式表示是（ ），保留两位小数约是（ ），商的小数部分第100位数字是（ ）。 19．算式5.7÷9的商用简便方法记作是（ ），保留两位小数是（ ）。 20．在5.91，，，5.191212，5.18276…中有限小数有（ ），无限小数有（ ），循环小数有（ ），最大的数是（ ）。 21．分宜麻糍作坊用27.5千克糯米制作麻糍，每一份麻糍需要用糯米1.2千克，这些糯米最多能制作多少份麻糍？ 22．两个工人加工同一种零件，甲10分加工8个，乙12分加工10个，他们俩谁做得快一些？ 23．在循环小数0.ABCABCABC…中，小数部分前90位上的数字的和是180，这个循环小数最大是什么？（A、B、C为3个不同的自然数） 24．在循环小数中，小数部分前60位上数字之和是160，这个循环小数最大是多少，最小是多少？（a、b、c表示三个不同的自然数） 25．算一算5÷7的商，想一想，算一算。 （1）小数点后面2019位上的数字是几？ （2）小数点后2019个数字之和是多少？ 26．2÷11的商是一个循环小数，小数点后第2024位数字是几？这2024个数字的和为多少？ 27．计算32÷37，将结果用“四舍五入”法精确到小数点后第125位，第125位上的数字是多少？小数部分前125位各数位上的数字和是多少？ 28．北京南站到天津站的距离约为120km，乘城际列车仅需0.55小时即可到达。城际列车平均每小时大约行驶多少千米？（得数用循环小数表示） 29．在0.142857的小数部分添上合适的表示循环节的符号的“•”，把它们都变成循环小数后，使不等式成立。 0.142857＞0.142857＞0.142857＞0.142857＞0.142857＞0.142857 30．5÷13的商的小数部分第20位上的数字是几？在小数部分前80位中，数字“8”和“1”各出现了多少次？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $