1.1.1比例的基本性质 课件2026-2027学年湘教版九年级上册数学

该初中数学课件聚焦“比例的基本性质”，通过“同比例海报缩放”情景问题导入，衔接小学比和比例知识，以学习支架形式构建从具体数值到一般形式的认知脉络，涵盖定义、基本性质及常用变形。 其亮点在于问题驱动探究，情景问题培养抽象能力，推理过程发展逻辑思维，设参法等体现模型意识。如例2推导反比更比性质，课堂练习连比问题，帮助学生深化理解，教师可直接用于教学提升效率。

1.1.1比例的基本性质 第一章 图形的相似 初中数学 1 学习目标 经历从具体数值到一般形式的推理过程,培养代数变形能力和逻辑推理能力。 02 理解比例的基本性质,能准确判断四个数是否成比例,并能用比例的基本性质进行简单推理和计算。 01 体会数学知识之间的内在联系,增强学习数学的兴趣和信心。 03 发展抽象能力、推理能力和模型意识,初步体会比例思想在几何学习中的应用价值。 04 2 情景问题 学校制作同比例海报,小版长、宽,大版长,按相同比例缩放,大版宽度应为多少？请写出关系式并说明依据。 问题 1.如何用式子表示“同比例缩放”？ 2.若写成​,怎样快速求？ 3.这样变形的依据是什么？ 3 情景问题 1.长与宽的比相等,即或。 2.交叉相乘得,解得。 3.依据:比例的基本性质(两外项之积等于两内项之积)。 学校制作同比例海报,小版长、宽,大版长,按相同比例缩放,大版宽度应为多少？请写出关系式并说明依据。 4 探究新知 探究一：比例的基本性质 在小学,我们学习了比和比例,知道如果两个数的比值与另外两个数的比值相等,就说这四个数成比例. 即如果,那么称成比例,其中称为比例内项, 称为比例外项. 在式子两边同乘,得. 注意:成比例也可记作. 5 探究新知 方法总结： 由此得到比例的基本性质: 如果,那么. 6 探究新知 探究一：比例的基本性质 做一做: 如果,其中为非零实数,成立吗？ 解:成立, 原因如下:为非零实数, , ,, 。 7 探究新知 探究一：比例的基本性质的应用 例1根据下列条件(其中为非零实数),求的值: (1);(2);(3). 解:(1)由于,因此由比例的基本性质得,. (2)由于,因此,即. (3)由于,因此,即,从而. 8 探究新知 探究二：比例的基本性质的应用 例2:已知四个非零实数成比例,即. 下列各式成立吗？若成立,请说明理由. (1);(2);(3). 解:(1)由于两个非零数相等,则它们的倒数也相等, 因此,由可以立即得到. 9 探究新知 探究二：比例的基本性质的应用 例2:已知四个非零实数成比例,即. 下列各式成立吗？若成立,请说明理由. (1);(2);(3). 解:(2)由得. 在上式两边同除以,得. 10 探究新知 探究二：比例的基本性质的应用 例2:已知四个非零实数成比例,即. 下列各式成立吗？若成立,请说明理由. (1);(2);(3). 解:(3)在两边都加上1,得. 由此得到. 11 探究新知 探究二：比例的基本性质的应用 思考:还能推出吗？ 能推出,在两边都减1, 得. 由此得到. 12 探究新知 方法总结： 核心依据:比例式与等积式可双向互化,是所有比例计算与变形的根本依据。 快速变形:熟练使用反比、更比、合比三种常用变形,简化运算步骤。 求值策略:已知等积式求比例,先转化为标准比例式；含和差结构优先用合比性质。 书写规范:变形过程要有理有据,注意分母不为0,保证推理严谨性。 13 探究新知 探究三：比例的基本性质拓展 议一议:(1)若,,求. (2)若,则成立吗？为什么？ 解:(1)先统一公共项,把化为, 则。 (2)成立。 理由:设, 可得, 因此,与已知一致,故等式成立。 14 探究新知 探究三：比例的基本性质拓展 例3:已知,且,求的值. 解:因为, 所以. 于是. 15 探究新知 方法总结： 连比问题:统一公共项的份数,将多个单比转化为连比,保证中间量一致。 等比问题: 方法1:设参法,设比值为k,用k表示各量后代入计算。 方法2:等比性质,分子之和与分母之和的比等于原比值。 关键注意:使用等比性质必须满足分母之和不为0,不确定时要分类讨论。 复杂比例:先统一参数,再转化为等积式,最后代入求值。 16 课堂练习 1.已知,那么下列比例式中成立的是(　) A. B. C. D. 2.已知:,则( ) A.8 B.4 C. D. 3.若,则k的值为( ) A.1 B. C.1或 D.2 B B C 17 课堂练习 4.已知,且,则的值是( ) A. B.3 C.1 D.0 5.已知,则的值为 . 6.如果,那么 . 7.已知,且,则的值为 . A 2 4 或 18 课堂练习 8.已知. (1)求的值； (2)若,求a、b的值. 解:(1), 设, ； 19 课堂练习 8.已知. (1)求的值； (2)若,求a、b的值. 解: (2) , 设, , ,解得, . 20 课堂练习 9.已知. (1)求出、、的值(用含代数式表示)； (2)求出的取值范围； (3)若,求它的最大值与最小值的差？ (1)解:∵, ∴, ∴； 21 课堂练习 9.已知. (1)求出、、的值(用含代数式表示)； (2)求出的取值范围； (3)若,求它的最大值与最小值的差？ (2)解:∵, ∴, 解得； 22 课堂练习 9.已知. (3)若,求它的最大值与最小值的差？ (3)解:, , , ,即, w的最大值为,最小值为, 它的最大值与最小值的差. 23 课堂小结 知识点： 1.比例的定义:表示两个比相等的式子叫作比例；记作或,其中；、是外项,、是内项。 2.比例的基本性质(核心):如果,那么(外项积＝内项积)； 反之,如果),那么。 3.比例的三种常用变形:反比性质:若,则;更比性质:若,则;合比性质:若,则 知识梳理 24 课堂小结 知识点： 4.等比性质:若),则。 5.连比处理方法 多个比相连时,统一公共项的份数,把两两之比化为三连比或多连比。 6.通用解题方法 设参法:设比值为,用参数表示各量,代入计算。 等积转化法:把比例式化为等积式,再变形为目标比例。 7.重要前提 所有比例变形中,分母不能为0；使用等比性质必须保证分母之和不为0。 知识梳理 25 课后提升 基础作业： 1.如果,则下列式子正确的是( ) A. B. C. D. 2.若,则=　 . 3.若,求的值. A 解:, , . 26 课后提升 基础作业： 4.若,则下列各式中不正确的是( ) A. B. C. D. 5.如果=成立,那么下列各式一定成立的是( ) A. B. C. D. 6.若,则的值是　　. D D 27 课后提升 能力提升： 7.已知,求的值. 解:设, 则, 则. 28 课后提升 能力提升： 8.已知,那么下列比例式中成立的是( ) A B. C. D. 9.若则=( ) A. B.1 C. D. D B 29 课后提升 提升作业： 10.如果,那么的值是　 　. 11.若,且,则a-b+c=　 　. 12.已知实数x,y,z满足,则=　 . 5 9 30 课后提升 拓展作业： 13.已知,且. (1)求的值; (2)若,求的值. 解(1),且, ,的值为; 31 课后提升 拓展作业： 13.已知,且. (2)若,求的值. 解(2), , , , , 的值为. 32 课后提升 拓展作业： 14.已知,求的值. 解:, , 当时,, 当时,,, , 或. 33 $