精品解析：湖北襄阳市老河口市2026年春季中小学学科核心素养综合作业八年级数学

2026年春季中小学学科核心素养综合作业 八年级数学 （本试卷共6页，满分120分） 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上． 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3、非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 4、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将序号在答题卡上涂黑作答．） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜七里，中斜二十四里，大斜二十五里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为7里，24里，25里，问这块沙田的面积为（ ） A. 30平方里 B. 32.5平方里 C. 84平方里 D. 65平方里 4. 在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 常温常压下，铜的密度．且铜的质量（单位：）与体积（单位：）之间的关系可以用表示，下列说法正确的是（ ） A. 是常量 B. 是变量 C. ，都是变量 D. ，都是变量 6. 如图，在中，点D，E，F分别是，，的中点，若的周长是12，则的周长是（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 7. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 它的图象过 B. 随的增大而减小 C. 它的图象过第二象限 D. 当时， 8. 在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（ ） A. 使每组数据量相等 B. 保证组间均值相等 C. 减少计算复杂度 D. 使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大 9. 如图，一个木制的活动衣帽架由3个全等的菱形构成．已知菱形的边长为，当挂钩B、D之间的距离是时，则挂钩A、C之间的距离是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别是，，点是线段上一动点，过点作于点，作于点，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 5 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）把答案填在答题卡的相应位置上． 11. 任意写出一个最简二次根式________． 12. 直线与轴的交点坐标为________． 13. 已知一组数据：3，5，7，9，11，其离差平方和是40，则这组数据的方差是_________． 14. 如图是某地一天的气温随时间变化的函数图象，根据图象，这一天气温最高的时刻是______时． 15. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，，连接，交于点，点为的中点，连接． （1）__________； （2）若，，则线段的长为__________． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内．） 16. 计算：． 17. 如图，在中，，，，是高．求的长． 18. 如图，菱形的对角线、相交于点，．求证：四边形是矩形． 19. 某文具店计划购进A，B两种型号计算器共台，已知A种型号每台可获利元，B种型号每台可获利6元．设销售完这两种计算器的获利总额为（元），购进A种型号计算器台． （1）求与之间的函数解析式； （2）若购进A种型号计算器数量不超过B种型号的3倍，求获利总额的最大值，写出此时的进货方案． 20. 如图，中，连接． （1）作对角线的垂直平分线，分别交，，于点，，（尺规作图，不要求写作法，保留作图痕迹） （2）连接，，求证：． 21. 为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100 乙：70，75，80，82，88，92，92，93，95，96 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数 众数 中位数 方差 甲 84.6 90 171.44 乙 86.3 92 73.41 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： （1）________，________； （2）求甲组学生竞赛成绩的下四分位数是_______，上四分位数是______，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）根据《信息2》和《信息3》，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 22. 项目式学习 【项目背景】水龙头关闭不严会造成滴水，看似微小的水滴，日积月累会造成大量水资源的浪费，建立对“微小浪费→巨大损耗”的量化认识． 【项目主题】水龙头漏水问题探究． 【设计方案】在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器， 每记录一次容器中的水量，并填写下表． 时间 0 5 水量 0 【建立模型】根据表格中的数值，在平面直角坐标系中描点，并用平滑曲线连接这些点． （1）根据图象可以发现，可以用_______函数近似的表示与的函数关系，与的函数关系式为_______________（不要求写自变量的取值范围） 【应用模型】 （2）若所用容器的最大容量为，小明从上午开始计时，什么时候容器内的水刚好达到最大容量？ （3）若一个成年人一天大约需饮用水，请你估算这个水龙头一天（）的漏水量可供多少个成年人一天饮用？ 23. 将矩形沿对角线折叠，使边与相交于点，点落在点处． （1）如图1，求证：； （2）如图2，在上截取，使，连接． ①求证：四边形是菱形； ②如图3，作于点，交于点，若，判断与的数量关系，并说明理由． 24. 如图1，平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，点在轴上，动点在射线上运动，设点的横坐标为． （1）求直线的函数解析式； （2）是否存在点，使的面积是的面积的一半？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）过点作轴的平行线交直线于点，设线段的长为． ①求关于的函数关系式； ②当时，点，的位置记作，，时，点，的位置记作，，若，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出的值及该平行四边形的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季中小学学科核心素养综合作业 八年级数学 （本试卷共6页，满分120分） 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上． 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3、非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 4、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将序号在答题卡上涂黑作答．） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求不等式的解集，根据二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数大于或等于零，进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数， ∴． 故择：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则计算判断即可． 【详解】A. 不是同类二次根式，无法计算，不符合题意； B. ，不符合题意； C. ，符合题意； D. ，不符合题意； 故选Ｃ． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜七里，中斜二十四里，大斜二十五里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为7里，24里，25里，问这块沙田的面积为（ ） A. 30平方里 B. 32.5平方里 C. 84平方里 D. 65平方里 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理可证明该沙田是直角三角形，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：已知三角形沙田的三条边分别为7里，24里，25里， ，， ， 故该三角形沙田是直角三角形，且两条直角边的长分别为7里，24里 则沙田的面积为 （平方里）． 4. 在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：正五边形一个外角为． 5. 常温常压下，铜的密度．且铜的质量（单位：）与体积（单位：）之间的关系可以用表示，下列说法正确的是（ ） A. 是常量 B. 是变量 C. ，都是变量 D. ，都是变量 【答案】D 【解析】 【分析】根据变量和常量的定义，即在一个变化过程中，固定不变的量是常量，可以发生变化的量是变量，对各量进行判断即可． 【详解】解：∵常温常压下铜的密度是固定不变的数值， ∴是常量，因此选项A，B，C错误； ∵铜的体积可以取不同的数值，质量随的变化而变化， ∴和都是变量，选项D正确． 6. 如图，在中，点D，E，F分别是，，的中点，若的周长是12，则的周长是（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理进行求解即可. 【详解】解：∵在中，点D，E，F分别是，，的中点， ∴， ∵的周长， ∴的周长. 7. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 它的图象过 B. 随的增大而减小 C. 它的图象过第二象限 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质，逐一验证各选项即可得到答案． 【详解】解：A选项，把代入，得， ∴函数图象过点，不过点，A错误； B选项，函数中，比例系数， ∴随的增大而增大，B错误； C选项，∵函数的比例系数， ∴的图象经过第一、三象限，不经过第二象限，C错误； D选项，当时，不等式两边同乘2得，即，D正确． 8. 在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（ ） A. 使每组数据量相等 B. 保证组间均值相等 C. 减少计算复杂度 D. 使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查离差平方和的实际意义．根据离差平方和与数据差异的关联作答即可． 【详解】解：∵离差平方和用于衡量数据间的差异程度， ∴组内离差平方和最小，代表每组组内数据的差异尽可能小， 又∵总离差平方和固定时，组内离差平方和越小，组间离差平方和越大，即组间数据差异尽可能大， ∴该要求的目的是使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大． 故选：D． 9. 如图，一个木制的活动衣帽架由3个全等的菱形构成．已知菱形的边长为，当挂钩B、D之间的距离是时，则挂钩A、C之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：连接，交于O，由题意，点E在上， 由已知，cm，则cm， ∴cm， ∵四边形为菱形，边长为13cm， ∴cm ∴cm 10. 如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别是，，点是线段上一动点，过点作于点，作于点，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先证明四边形是矩形，得到，从而得到当时，最小，即线段有最小值，利用勾股定理求得，再利用等面积法得到，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴要使线段最小，则需最小， ∴当时，最小，即线段有最小值， ∵，两点的坐标分别是，， ∴，， ∴在中，由勾股定理，得， ∴， 即， ∴， ∴线段的最小值为． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）把答案填在答题卡的相应位置上． 11. 任意写出一个最简二次根式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键； 最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母、被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此进行解答即可． 【详解】解：一个最简二次根式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 直线与轴的交点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】直线与轴相交时，交点的纵坐标为，令代入直线解析式中，求解，即可得到交点坐标． 【详解】解：当直线与轴相交时，交点的纵坐标为，即， 将代入， 得， 解得， 因此直线与轴的交点坐标为． 13. 已知一组数据：3，5，7，9，11，其离差平方和是40，则这组数据的方差是_________． 【答案】 8 【解析】 【分析】本题考查了方差的求解，解决本题的关键是熟练掌握方差与离差平方和的关系． 方差是离差平方和除以数据个数，根据给定条件直接计算即可． 【详解】解：数据个数，离差平方和， ∴方差． 故答案为：8． 14. 如图是某地一天的气温随时间变化的函数图象，根据图象，这一天气温最高的时刻是______时． 【答案】14 【解析】 【详解】根据函数图象可知，最高温度对应的时刻为14时， 即这一天气温最高的时刻是14时． 15. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，，连接，交于点，点为的中点，连接． （1）__________； （2）若，，则线段的长为__________． 【答案】 ①. 90 ②. 【解析】 【分析】（1）可证得，从而得到，； （2）利用勾股定理在，中，可解得，再由直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可解得． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴ ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）设， ∵，，， ∴，，， 在中，，即， 解得， ∴，，， ∴，， 在中，， 在中，点为的中点， ∴． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内．） 16. 计算：． 【答案】3 【解析】 【详解】解：原式． 17. 如图，在中，，，，是高．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理以及三角形的面积公式解决此题． 【详解】解：在中，，，， ． ， ． ． 【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键． 18. 如图，菱形的对角线、相交于点，．求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：，， 四边形是平行四边形， 又菱形的对角线、相交于点， ， ， 四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．根据题意易证四边形是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到，根据矩形的判定即可判定四边形是矩形． 【详解】略 19. 某文具店计划购进A，B两种型号计算器共台，已知A种型号每台可获利元，B种型号每台可获利6元．设销售完这两种计算器的获利总额为（元），购进A种型号计算器台． （1）求与之间的函数解析式； （2）若购进A种型号计算器数量不超过B种型号的3倍，求获利总额的最大值，写出此时的进货方案． 【答案】（1）； （2）购A型台，B型台，获利总额最大，最大总额为元． 【解析】 【分析】（1）根据题意写出函数关系式即可； （2）根据购进A种型号计算器数量不超过B种型号的3倍，列出关于x的不等式，求出x的取值范围后，根据一次函数的增减性求得最大利润，进而写出进货方案． 【小问1详解】 解：根据题意，得； 【小问2详解】 解：由题意得 解得， ， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y的值最大，最大值为（元）， （台）， 答：购A型台，B型台，获利总额最大，最大总额为元． 20. 如图，中，连接． （1）作对角线的垂直平分线，分别交，，于点，，（尺规作图，不要求写作法，保留作图痕迹） （2）连接，，求证：． 【答案】（1），直线MN即为所求． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，． ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据平行四边形的性质和垂直平分线的性质证明，再根据四边形的对角线互相平分即可证明． 【小问1详解】 作图见答案 【小问2详解】 证明见答案 21. 为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100 乙：70，75，80，82，88，92，92，93，95，96 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数 众数 中位数 方差 甲 84.6 90 171.44 乙 86.3 92 73.41 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： （1）________，________； （2）求甲组学生竞赛成绩的下四分位数是_______，上四分位数是______，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）根据《信息2》和《信息3》，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 【答案】（1）70，90 （2）70，96． （3）乙组竞赛成绩较好． 理由：因为乙组的平均数86.3大于甲组平均数84.6，乙组的方差73.41小于甲组的方差171.44，说明乙组平均分更高，成绩更稳定． 所以乙组竞赛成绩较好． 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）根据四分位数的求解方法求解上、下四分位数即可；然后求出甲组数据的最大值、最小值，再结合中位数和上、下四分位数即可补全箱线图； （3）可以从平均数和方差的角度分析． 【小问1详解】 解：由甲组数据可得，出现的次数最多，故众数； 乙组共10个数据，且已经从小到大排列，则中位数是第5、6个数据的平均数， 故中位数； 【小问2详解】 解：方法一：前半部分为前5个数（60, 70, 70, 80, 89），中位数是第3个为70，则下四分位数为70，后半部分数据为（91, 92, 96, 98, 100），中位数是第3个为96，则上四分位数为96； 方法二：，则取整数3，那么第3个数据即为下四分位数，即70；，则取整数8，那么第8个数据即为上四分位数，即96； 甲组的数据最大值为100，最小值为60，而中位数为90，故补全箱线图见答案； 【小问3详解】 略 22. 项目式学习 【项目背景】水龙头关闭不严会造成滴水，看似微小的水滴，日积月累会造成大量水资源的浪费，建立对“微小浪费→巨大损耗”的量化认识． 【项目主题】水龙头漏水问题探究． 【设计方案】在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器， 每记录一次容器中的水量，并填写下表． 时间 0 5 水量 0 【建立模型】根据表格中的数值，在平面直角坐标系中描点，并用平滑曲线连接这些点． （1）根据图象可以发现，可以用_______函数近似的表示与的函数关系，与的函数关系式为_______________（不要求写自变量的取值范围） 【应用模型】 （2）若所用容器的最大容量为，小明从上午开始计时，什么时候容器内的水刚好达到最大容量？ （3）若一个成年人一天大约需饮用水，请你估算这个水龙头一天（）的漏水量可供多少个成年人一天饮用？ 【答案】（1）正比例， （2） （3）个成年人 【解析】 【分析】（1）由图象可知是正比例函数，待定系数法求解析式即可； （2）将代入函数关系式，求出对应的时间进行推算即可； （3）将代入函数关系式求出相应的水的体积，除以一个成年人的一天饮水量即可． 【小问1详解】 解：∵直线过原点， ∴可以用正比例函数近似的表示与的函数关系， 设代入得： ， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意，得． 解得 ，． 答：容器内的水刚好达到最大容量． 【小问3详解】 解：， 当时，， ． 答：可供个成年人一天饮用． 23. 将矩形沿对角线折叠，使边与相交于点，点落在点处． （1）如图1，求证：； （2）如图2，在上截取，使，连接． ①求证：四边形是菱形； ②如图3，作于点，交于点，若，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：如图1， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由矩形折叠可知，， ∴， ∴； （2）①证明：如图2， 由矩形折叠可知，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； ②，理由如下： 如图3，连接， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据矩形的性质，得到，由折叠的性质，得到，从而得到，即可证明； 根据折叠的性质，得到，从而得到，继而推出，又由，可证得四边形是平行四边形，即可证明四边形是菱形； 连接，由，，可得，根据菱形的性质，可得，推出是等边三角形，得到，，从而推出，，，代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图1，平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，点在轴上，动点在射线上运动，设点的横坐标为． （1）求直线的函数解析式； （2）是否存在点，使的面积是的面积的一半？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）过点作轴的平行线交直线于点，设线段的长为． ①求关于的函数关系式； ②当时，点，的位置记作，，时，点，的位置记作，，若，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出的值及该平行四边形的周长． 【答案】（1） （2）存在，或 （3）①②，平行四边形的周长为 【解析】 【分析】（1）有待定系数法求解析式即可； （2）设，根据的面积是的面积的一半列方程求解即可； （3）①因为轴，,则可得，所以，分类讨论即可；②因为​，若使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则需​​​，即​，已知，据上述等量关系列方程即可求出，进而题目可解． 【小问1详解】 解：设直线的函数式为，代入和坐标 得 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：作于点D，作于点E， ∵，， ∴，， ∴， 由题意点， ∴， 解得， ， 当时，， 即点M的坐标为； 当时，， 即点M的坐标为, 综上可知点M的坐标为或; 【小问3详解】 解：①设解析式为代入， ， ∴直线的解析式为， ∵轴，, ∴点纵坐标为， ∵在直线，代入得： ， 即， , 当时,； 由得， 当时， ， ∴； ②∵​， 若使以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 则需​​​， 即​， 已知​， 代入得：​ 此方程无解； 得​， 此时​， ∴, 则， 此时四边形为平行四边形，， ∴平行四边形周长为​； 即​，平行四边形周长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $