精品解析：江西省赣州市南康区2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试卷

江西省赣州市南康区2025-2026学年七年级下学期期末考试 数学试卷 说明：1．本卷共有六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟； 2．本卷分为试题卷和答题卷，请在答题卷上作答． 一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，据此逐一判断选项即可． 【详解】解： A．是有限小数，属于有理数，故排除A； B．，2是整数，属于有理数，故排除B； C．开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数； D．是分数，属于有理数，故排除D． 2. 如图，用三角尺经过直线l外一点A画这条直线的垂线，这样的垂线我们只能画出一条．这里面蕴含的数学原理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间线段最短 C. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，根据垂线的性质可得答案； 【详解】解：这样的直线只能画出一条，理由是：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂线，利用了垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 3. 要反映花都区六月上旬每天的最高气温的变化趋势，最宜采用（ ） A. 折线图 B. 条形图 C. 扇形图 D. 直方图 【答案】A 【解析】 【分析】根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目． 【详解】解：根据题意，要反映花都区六月上旬每天的最高气温的变化趋势，结合统计图各自的特点，应选择折线统计图． 故选：A． 【点睛】本题考查统计图的选用，解题的关键是了解每种统计图的适用条件． 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 如果，，那么 B. 相等的角是对顶角 C. 若，则 D. 正数与负数的和一定等于零 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假，根据平行线的传递性、对顶角的性质、乘方的意义、有理数的加法逐一分析各选项是否为真命题即可． 【详解】解：A．根据平行线的传递性，如果，，那么．该命题成立，故为真命题． B．对顶角相等，但相等的角未必是对顶角（如平行线中的同位角），故为假命题． C．方程的解为或，因此仅是其中一个解，命题结论不全面，故为假命题． D． 正数与负数的和不一定为零（如），仅当绝对值相等时和为0，故为假命题． 故选：A． 5. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，求出，根据两直线平行，内错角相等，求出，根据角之间的位置关系求出结果即可． 【详解】解：如下图所示， ， ， ， ， ，， ， ．     故选：A． 6. “燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计，他编写的《燕几图》一书，是组合家具设计图册，也是现代益智玩具七巧板的萌芽．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．如图给出了《燕几图》中名为“屏山”的桌面组合方式，若设每张桌面的宽为尺，每张长桌的长为尺，根据图中信息，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，理解图示，正确列式是关键． 根据每张桌面的宽都相等，设每张桌面的宽为尺，每张长桌的长为尺，由图形结合列式即可． 【详解】解：每张桌面的宽都相等，设每张桌面的宽为尺，每张长桌的长为尺，且， ∴横轴方向，， 纵轴方向，， ∴方程组为， 故选：B ． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. 比较大小：________（填“”“”“”）． 【答案】 【解析】 【分析】两个正分数分母相同，只需比较分子的大小，先估算的取值范围，推导分子的范围，即可比较两个数的大小． 【详解】解：两个分数分母均为，且均为正数，因此只需比较分子大小. ， ， ． 8. 长征是中国共产党和中国革命事业从挫折走向胜利的伟大转折点．如图是红一方面军长征路线图，如果表示会宁会师的点的坐标为，表示吴起镇会师的点的坐标为，则表示瑞金的点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知点建立平面直角坐标系，得出原点位置，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 表示瑞金的点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键． 9. 把50个数据分成6组，第一到第四组的频数分别为9，10，8，12，第五组的频率是，则第六组的频数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查统计综合，涉及频数定义、由概率求频率等知识．由第五组的频率得到第五组频数为5，由第一到第五组的频数及样本容量即可得到答案． 【详解】解：将50个数据分成6组，第五组的频率为， 第五组的频数为， 将50个数据分成6组，第一到第四组的频数分别为9，10，8，12， 第六组的频数为， 故答案为：． 10. 已知关于x的不等式的解集为，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质得出即可． 【详解】解：∵关于x的不等式的解集为， ∴，解得； 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的性质，解题关键是明确不等式两边同时乘或除以一个负数，不等号的方向改变． 11. 把一张长方形的纸按如图那样折叠后，B、D两点落在、处，若，则的度数为________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】由翻折性质可得：，再根据互补求出即可求解． 【详解】解：由翻折性质可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，解题的关键是掌握折叠有关知识点． 12. 在平面直角坐标系中，点，点，若在坐标轴上有一点（不与点重合），使三角形和三角形面积相等，则点的坐标为___________． 【答案】、或 【解析】 【分析】先根据三角形的面积公式求出，再分当点P在x轴上时，当点P在y轴上时，分别进行计算即可得到答案． 本题主要考查了坐标与图形，三角形面积的计算，解题的关键是采用分类讨论的思想解决问题． 【详解】解：根据题意得， 当点P在x轴上时，， ， 解得， ∴，或； 当点P在y轴上时，， ， 解得， ∴（舍去），或． 综上，点的坐标为或或， 故答案为：、或． 三、解答题（本答题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解决下列问题： （1）计算： ； （2）解方程组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用算术平方根、立方根、绝对值化简，然后再计算即可； （2）直接运用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， 得：，解得：， 将代入①中得：，解得：． ∴方程组的解为． 14. 解不等式组并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】-2≤x<3， 解集在数轴上表示为： 【解析】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出解集的公共部分，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解①得：x<3， 解②得：x≥-2， ∴-2≤x<3， 【点睛】本考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集，难度适中． 15. 如图，这是由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点称为格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． （1）在图1中，请以为端点作一条线段，使线段与线段平行且相等． （2）在图2中，请在格点上找一点，连接，使得． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，平行线的判定和性质，解题的关键是理解题意意，正确定作出图形． （1）根据平行线的判定和性质不就出点，连接即可； （2）取格点，连接即可． 【小问1详解】 解：对于线段，从点到点，横向移动了3个单位长度，纵向移动了1个单位长度．以为端点，按照相同的横向和纵向移动距离确定点．因为在平面几何中，经过平移得到的线段与原线段平行且相等，所以这样作出的与平行且相等． 【小问2详解】 解：要使，我们在网格中通过格点构造与平行的直线． 过点作这条平行线，这条平行线与格点的交点就是点．此时与相关直线形成的和是同位角，根据同位角的性质，当两直线平行时同位角相等，所以． 16. 已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分； （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） （2）的平方根为 【解析】 【分析】（1）根据立方根、算术平方根以及估算无理数的大小即可求出a、b、c的值； （2）将a、b、c的值代入求出结果，再根据平方根的定义进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴的平方根为。 【点睛】本题考查立方根、算术平方根以及无理数的估算，理解立方根、算术平方根的定义是正确解答的前提． 17. 经过平移得到三角形，它们在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）分别写出下列各点的坐标：A ， ； （2）连接和，写出线段和的数量和位置关系； （3）若点是内部一点，则平移后三角形内部的对应点的坐标为 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据点在直角坐标系中的位置写出坐标即可； （2）根据平移性质即可解答； （3）根据坐标的平移规律：横坐标向左平移减，向右平移加；纵坐标向上平移加，向下平移减即可解答． 【小问1详解】 解：如图：． 【小问2详解】 解：如图，连接和， 由平移的性质可得：． 【小问3详解】 解：∵经过平移得到三角形，平移方式是先向左平移4个单位，再向下平移2个单位， ∴点是内部一点，则平移后三角形内部的对应点的坐标为． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 为纪念长征胜利90周年，赣州市举办了25公里徒步活动，主办方准备为南康线路参与者采购饮用水、能量零食共800份．若采购1份饮用水、3份能量零食，共花费11元；若采购3份饮用水、5份能量零食，一共花费21元． （1）求饮用水、能量零食每份单价是多少？ （2）若总采购预算不超过2100元，最多能采购多少份能量零食？ 【答案】（1）一份饮用水需要2元，一份能量零食单价为3元； （2）最多能采购能量零食500份． 【解析】 【分析】（1）设一份饮用水需要x元，一份能量零食单价为y元，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设采购能量零食m份，则采购饮用水份，然后根据题意列一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设一份饮用水需要x元，一份能量零食单价为y元， 根据题意得，解得：． 答：一份饮用水需要2元，一份能量零食单价为3元． 【小问2详解】 解：设采购能量零食m份，则采购饮用水份， 根据题意得：，解得：， ∴m的最大值为500． 答：最多能采购能量零食500份． 19. 2025世界智能大会在上海举行，本届大会的主题是“智能时代，同球共济”．大会的举办掀起了人工智能热，学校计划组织七年级学生参观本地举办的智能科技展，其中5个展区的主题分别是：A．人工智能、B．工业互联网、C．智能交通、D．智慧生活、E．数字健康．为了解同学们的参展意向，学校随机抽取了七年级的部分学生进行了问卷调查，问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下所示的统计图（均不完整） 请根据上面的信息，解答下列问题： （1）本次调查所抽取的学生人数有__________人． （2）请把条形统计图补充完整． （3）求扇形统计图中“C智能交通”对应的扇形圆心角的度数． （4）根据以上调查，请估计该校七年级1200名学生参观意向为“A人工智能”的人数． 【答案】（1）80 （2） 补全图形如下： （3） （4）300 【解析】 【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，补全条形统计图，抽样调查的合理性，利用样本估计总体，掌握以上统计基础知识是解本题的关键． （1）由人工智能的人数除以其占比即可得总人数， （2）先求解选择“C智能交通”的学生人数，再补全图形即可； （3）由选择智能交通的人数除以总人数，得到比例，再求圆心角即可； （4）由样本估计总体直接求解即可． 【小问1详解】 解：总人数为：（人）， 故答案为：80； 【小问2详解】 由； 【小问3详解】 所调查的学生中选择“C智能交通”的学生人数占调查总人数的 ， 故所对的圆心角度数为； 【小问4详解】 七年级总人数为1200人，根据以上调查，“A人工智能”的学生占， 所以估计全校参观意向为“A人工智能”的学生人数约为：人． 20. 如图，，平分． （1）求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，再由两直线平行，同旁内角互补即可得到； （2）求出，由角平分线的定义可得，则由平行线的性质可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 阅读材料，完成下列任务： 材料一： 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数）． ∵， ∴， 即 ∴的整数部分为2． ∴的小数部分为． ∵面积为107的正方形的边长是，且， ∴设，其中． 画出边长为的正方形，如图： 根据图中面积，得． 当较小时，忽略，得． 解得． ∴ 任务： （1）利用材料一中的方法，的小数部分是 ； （2）x是的小数部分，y是的小数部分，则的值是多少？ （3）利用材料二中的方法，求无理数的近似值（保留两位小数，并写出求解过程） 【答案】（1） （2）0 （3），计算过程见详解 【解析】 【分析】（1）根据材料提示的方法求解； （2）根据题意得到，，结合材料提示求解即可； （3）根据材料提示得到设，结合图形和材料的计算方法求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，即， ∴的整数部分是，小数部分是； 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ∴，， ∴的整数部分是，小数部分是，即， 的整数部分是，小数部分是，即， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴，即， ∴设， 如图所示， ∴， 当较小时，忽略， ∴， 解得，， ∴． 22. 阅读材料，回答下列问题： 在直角坐标系中，已知平面内、两点坐标，则A、B两点之间的距离等于 例如：已知点，则这两点间的距离． 特别地，如果两点，所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为或． （1）已知，求C、D两点间的距离； （2）已知M、N在平行于y轴的同一条直线上，点M的纵坐标为5，点N的纵坐标为，求M、N两点间的距离； （3）已知一个三角形各顶点的坐标为，请判定此三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2）6； （3）解：为等腰三角形，理由如下： ∵， ， ∴， ∴为等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）根据公式，代入计算即可． （2）判断两点的横坐标相同，计算即可． （3）利用公式计算三边的长，进而判断即可． 【小问1详解】 解：根据给出的公式得， ∴C、D两点间的距离为； 【小问2详解】 解：∵M、N在平行于y轴的同一条直线上，点M的纵坐标为5，点N的纵坐标为， ∴， ∴M、N两点间的距离为6； 【小问3详解】 略 六、（本大题共12分） 23. 如图，直线，一副直角三角板中，，，，． （1）若如图1摆放，当平分时，证明：平分； （2）若如图2摆放时，求的度数； （3）若图2中固定，将沿着方向平移，边与直线相交于点G，作和的角平分线相交于点H（如图3)，则°； （4）若图2中固定，（如图4）将从图2位置绕点A顺时针旋转，速度为每秒，旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请直接写出旋转的时间． 【答案】（1）证明：如图1，在中，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）； （3）； （4）或或． 【解析】 【分析】（1）利用角平分线定义、平行线性质以及直角三角板的特点即可证明结论； （2）如图2，过点E作，利用平行线性质以及角的和差求解即可； （3）如图3，分别过点F、H作，利用平行线性质和角平分线定义求解即可； （4）分三种情况：①，②，③，再利用平行线的性质、角的和差求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵． ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图3，分别过点F、H作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵和的角平分线相交于点H， ， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴． 【小问4详解】 解：将从图2位置绕点A顺时针旋转，即三点共线， 设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为每秒，分三种情况： ①当时，如图5，连接,由图2知三点共线，此时， ∴， ∴，解得：； ②当时，如图6，连接,三点共线， ∴， ∴， ∴，解得：； ③当时，如图7，延长交于K，延长交于R， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：． 综上，绕点A顺时针旋转的时间为或或时，线段与的一条边平行 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省赣州市南康区2025-2026学年七年级下学期期末考试 数学试卷 说明：1．本卷共有六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟； 2．本卷分为试题卷和答题卷，请在答题卷上作答． 一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，用三角尺经过直线l外一点A画这条直线的垂线，这样的垂线我们只能画出一条．这里面蕴含的数学原理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间线段最短 C. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 3. 要反映花都区六月上旬每天的最高气温的变化趋势，最宜采用（ ） A. 折线图 B. 条形图 C. 扇形图 D. 直方图 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 如果，，那么 B. 相等的角是对顶角 C. 若，则 D. 正数与负数的和一定等于零 5. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. “燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计，他编写的《燕几图》一书，是组合家具设计图册，也是现代益智玩具七巧板的萌芽．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．如图给出了《燕几图》中名为“屏山”的桌面组合方式，若设每张桌面的宽为尺，每张长桌的长为尺，根据图中信息，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. 比较大小：________（填“”“”“”）． 8. 长征是中国共产党和中国革命事业从挫折走向胜利的伟大转折点．如图是红一方面军长征路线图，如果表示会宁会师的点的坐标为，表示吴起镇会师的点的坐标为，则表示瑞金的点的坐标为__________． 9. 把50个数据分成6组，第一到第四组的频数分别为9，10，8，12，第五组的频率是，则第六组的频数是________． 10. 已知关于x的不等式的解集为，则的取值范围是__________． 11. 把一张长方形的纸按如图那样折叠后，B、D两点落在、处，若，则的度数为________． 12. 在平面直角坐标系中，点，点，若在坐标轴上有一点（不与点重合），使三角形和三角形面积相等，则点的坐标为___________． 三、解答题（本答题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解决下列问题： （1）计算： ； （2）解方程组：． 14. 解不等式组并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 15. 如图，这是由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点称为格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． （1）在图1中，请以为端点作一条线段，使线段与线段平行且相等． （2）在图2中，请在格点上找一点，连接，使得． 16. 已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分； （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 17. 经过平移得到三角形，它们在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）分别写出下列各点的坐标：A ， ； （2）连接和，写出线段和的数量和位置关系； （3）若点是内部一点，则平移后三角形内部的对应点的坐标为 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 为纪念长征胜利90周年，赣州市举办了25公里徒步活动，主办方准备为南康线路参与者采购饮用水、能量零食共800份．若采购1份饮用水、3份能量零食，共花费11元；若采购3份饮用水、5份能量零食，一共花费21元． （1）求饮用水、能量零食每份单价是多少？ （2）若总采购预算不超过2100元，最多能采购多少份能量零食？ 19. 2025世界智能大会在上海举行，本届大会的主题是“智能时代，同球共济”．大会的举办掀起了人工智能热，学校计划组织七年级学生参观本地举办的智能科技展，其中5个展区的主题分别是：A．人工智能、B．工业互联网、C．智能交通、D．智慧生活、E．数字健康．为了解同学们的参展意向，学校随机抽取了七年级的部分学生进行了问卷调查，问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下所示的统计图（均不完整） 请根据上面的信息，解答下列问题： （1）本次调查所抽取的学生人数有__________人． （2）请把条形统计图补充完整． （3）求扇形统计图中“C智能交通”对应的扇形圆心角的度数． （4）根据以上调查，请估计该校七年级1200名学生参观意向为“A人工智能”的人数． 20. 如图，，平分． （1）求的度数； （2）若，求的度数． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 阅读材料，完成下列任务： 材料一： 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数）． ∵， ∴， 即 ∴的整数部分为2． ∴的小数部分为． ∵面积为107的正方形的边长是，且， ∴设，其中． 画出边长为的正方形，如图： 根据图中面积，得． 当较小时，忽略，得． 解得． ∴ 任务： （1）利用材料一中的方法，的小数部分是 ； （2）x是的小数部分，y是的小数部分，则的值是多少？ （3）利用材料二中的方法，求无理数的近似值（保留两位小数，并写出求解过程） 22. 阅读材料，回答下列问题： 在直角坐标系中，已知平面内、两点坐标，则A、B两点之间的距离等于 例如：已知点，则这两点间的距离． 特别地，如果两点，所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为或． （1）已知，求C、D两点间的距离； （2）已知M、N在平行于y轴的同一条直线上，点M的纵坐标为5，点N的纵坐标为，求M、N两点间的距离； （3）已知一个三角形各顶点的坐标为，请判定此三角形的形状，并说明理由． 六、（本大题共12分） 23. 如图，直线，一副直角三角板中，，，，． （1）若如图1摆放，当平分时，证明：平分； （2）若如图2摆放时，求的度数； （3）若图2中固定，将沿着方向平移，边与直线相交于点G，作和的角平分线相交于点H（如图3)，则°； （4）若图2中固定，（如图4）将从图2位置绕点A顺时针旋转，速度为每秒，旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请直接写出旋转的时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $