专题26.1 二次函数的概念（高效培优讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦二次函数的概念这一核心知识点，系统梳理二次函数的定义（一般形式y=ax²+bx+c，a≠0）、各项系数识别、判断方法（化为一般式，整式且最高次为2、a≠0），以及根据实际问题列解析式的步骤（审题、找等量关系、表示数量、列表达式、确定自变量范围），构建从概念理解到应用建模的递进式学习支架。 该资料亮点在于分层设计，知识点配即学即练，题型含典例、变式及中考链接，练习分基础、能力、拓展层。通过定义辨析培养抽象能力，参数求解训练推理意识，实际问题建模发展模型意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固基础、提升能力，有效查漏补缺。

专题26.1 二次函数的概念 教学目标 1.掌握二次函数的定义，能准确判断二次函数以及根据二次函数的定义求未知参数。 2.掌握建立二次函数模型的方法步骤，能够熟练的对各种应用建立二次函数模型解决问题。 教学重难点 1.重点 （1）二次函数的定义及各项系数； （2）建立二次函数模型； 2.难点 （1）根据二次函数的定义求值； （2）建立二次函数模型列出二次函数表达式。 知识点01 二次函数的定义 1.二次函数的定义 一般地，形如 的函数叫做二次函数。此函数表达式为二次函数的一般形式。 其中：是自变量，是函数解析式的 ；是函数解析式 ；是函数解析式的 。又是二次函数的 。 2.判断二次函数 判断二次函数时，把二次函数化为 ，右边一定要是 ，最高次数是 且二次项系数 。 3.表达式结构特征：等号左边是y,等号右边是关于x的二次多项式或二次单项式. ①当b=0时,二次函数为 ; ②当c=0时,二次函数为 ; ③当b=0,c=0时,二次函数为 。 【即学即练】 1．下列关于的函数中，属于二次函数的是（ ） A． B． C． D． 2．二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 3．把变成一般式，它的常数项为_____． 4．已知函数是二次函数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．若是关于的二次函数，则的值为 _______ ． 6．如果是二次函数，则的值为_____． 知识点02 根据实际问题列二次函数解析式 根据实际问题构建二次函数，通常按以下步骤进行： 第一步：审清题意，明确自变量和因变量； 第二步：找出题目中的 ； 第三步：用含自变量的式子表示相关数量； 第四步：列出函数表达式，一般化为的形式； 第五步：根据实际意义确定自变量的 。 【即学即练】 7．一矩形绿地的长和宽分别为和，如果长和宽各增加了，则扩充后绿地的面积与之间的关系式为（ ） A． B． C． D． 8．一台机器原价为万元，如果每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，则与之间的函数关系式为_____． 9．已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，求m关于n的函数解析式． 10．某商店销售一种商品，每件成本为元，售价为元，每天可销售件，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 题型01 二次函数的定义 【典例1】下列函数中，一定是关于x的二次函数的是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝﹣x﹣4 C． D．y＝3x2+x﹣2 （1）考查方向：判断二次函数；二次函数中各项系数； （2）核心方法：先把方程化为一般形式，右边一定要是整式，最高次数是2且二次项系数不等于0；注意各项系数包括它们前面的符号。 【变式1】下列函数解析式中，一定为二次函数的是( ) A． B． C． D． 【变式2】二次函数y＝（x﹣2）（1﹣x）﹣3x的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【中考链接】下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型02 根据二次函数的定义求参数 【典例1】若函数是二次函数，则m的值一定是（　　） A．3 B．0 C．3或0 D．1或2 （1）考查方向：根据二次函数的定义求参数； （2）核心方法：注意二次项系数不为0，自变量最高次数为2.​ 【变式1】若是二次函数，则的值为（ ） A． B．4 C． D． 【中考链接】若二次函数经过原点，则的值为（ ） A． B．4 C．或4 D．无法确定 题型03 根据实际问题列二次函数表达式 【典例1】如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 （1）考查方向：列出二次函数解析式；实际问题中自变量的取值范围的确定。 （2）核心方法：审题找出等量关系；根据实际问题确定自变量的取值范围。​ 【变式1】公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（ ） A． B． C． D． 【变式2】兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【变式3】某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（ ） A． B． C． D． 【中考链接】线段，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段运动至点，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，正方形周长为，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ） A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系 A组·基础过关 1．下列各式中，是的二次函数的是（ ） A． B． C． D． 2．若函数是关于的二次函数，则为（ ） A． B． C． D． 3．二次函数化简后，其一次项系数是_________． 4．已知函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次函数的是________（填序号） 5．某工厂生产一种金属板，其总硬度是基础硬度与强化硬度之和，其中基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比．已知时，，．当时，则其总硬度是（ ） A．65 B．75 C．85 D．95 B组·能力提升 6．下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ） A． B． C． D． 7．对于关于x的函数，下列说法错误的是( ) A．当时，该函数为正比例函数 B．当时，该函数为一次函数 C．当该函数为二次函数时，或 D．当该函数为二次函数时， 8．下列各式：①；其中是的二次函数的有________（只填序号） 9．若是二次函数，则的值为______． 10．已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为________． C组·拓展延伸 11．如图，的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．下列说法中，不正确的是（ ） A．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为一次函数 B．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为二次函数 C．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数 D．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数 12．下列函数关系中，可以看作二次函数（）模型的是（　　） A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系 C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力） D．圆的周长与圆的半径之间的关系 13．若函数是关于x的二次函数，则（）． A． B． C． D．或 14．如图2 - 4所示，长方形ABCD的长为5 cm，宽为4 cm，如果将它的长和宽都减去x(cm)，那么它剩下的小长方形AB′C′D′的面积为y(cm2)． (1)写出y与x的函数关系式； (2)上述函数是什么函数? (3)自变量x的取值范围是什么? 15．玩具店销售一种流行卡片，该卡片进价为6元/件，商家规定该卡片销售单价不得低于8元，且不高于11元，若以8元/件出售时，日销售量为40件，若在此基础上售价每上涨1元/件，则日销售量将减少5件． (1)若要使这种卡片日盈利为120元，则该卡片每件售价为多少元． (2)该卡片日盈利额能否达到130元？若能达成，求出达成时的售价；若不能达成，请说明理由． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.1 二次函数的概念 教学目标 1.掌握二次函数的定义，能准确判断二次函数以及根据二次函数的定义求未知参数。 2.掌握建立二次函数模型的方法步骤，能够熟练的对各种应用建立二次函数模型解决问题。 教学重难点 1.重点 （1）二次函数的定义及各项系数； （2）建立二次函数模型； 2.难点 （1）根据二次函数的定义求值； （2）建立二次函数模型列出二次函数表达式。 知识点01 二次函数的定义 1.二次函数的定义 一般地，形如 的函数叫做二次函数。此函数表达式为二次函数的一般形式。 其中：是自变量，是函数解析式的 二次项系数 ；是函数解析式 一次项系数 ；是函数解析式的 常数项 。又是二次函数的 一般形式 。 2.判断二次函数 判断二次函数时，把二次函数化为 一般形式 ，右边一定要是 整式 ，最高次数是 2 且二次项系数 不等于0 。 3.表达式结构特征：等号左边是y,等号右边是关于x的二次多项式或二次单项式. ①当b=0时,二次函数为; ②当c=0时,二次函数为; ③当b=0,c=0时,二次函数为. 【即学即练】 1．下列关于的函数中，属于二次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如的函数是二次函数. 根据二次函数的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵ 二次函数需满足最高次项为次且系数不为 A、，若则不是二次函数，故此选项不一定正确，不符合题意； B、，含有分式，不是整式，故此选项不是二次函数，不符合题意； C、，展开得，，是二次函数，故此选项符合题意； D、，展开得，是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，关键是熟练应用定义解题； 二次函数的一般形式为 （其中 ，， 是常数且），称为二次项系数，称为一次项系数，称为常数项． 【详解】解：对于二次函数 ，其一般形式中，，， 因此二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：，，． 3．把变成一般式，它的常数项为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的一般形式，二次函数的一般形式为（为常数且）. 根据整式的乘法法则将右边展开，再合并同类项，即可将其化为一般形式，即可得到答案. 【详解】解： ， 把变成一般式，它的常数项为， 故答案为：. 4．已知函数是二次函数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，函数为二次函数，则二次项系数必须不为零，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴二次项系数， ∴， 故选：A． 5．若是关于的二次函数，则的值为 _______ ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义易得，且，解得的值即可得到答案．熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， 解得， 故答案为：． 6．如果是二次函数，则的值为_____． 【答案】 【分析】本考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．根据二次函数中未知数的最高次数为2，二次项系数不能为0，可知，，由此可解． 【详解】解：函数是二次函数， ，， 解得：或， 解得：， ， 故答案为：． 知识点02 根据实际问题列二次函数解析式 根据实际问题构建二次函数，通常按以下步骤进行： 第一步：审清题意，明确自变量和因变量； 第二步：找出题目中的等量关系； 第三步：用含自变量的式子表示相关数量； 第四步：列出函数表达式，一般化为的形式； 第五步：根据实际意义确定自变量的取值范围。 【即学即练】 7．一矩形绿地的长和宽分别为和，如果长和宽各增加了，则扩充后绿地的面积与之间的关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用问题．根据题意列出y与x的关系式可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 8．一台机器原价为万元，如果每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，则与之间的函数关系式为_____． 【答案】 【分析】根据题意列出函数解析式即可． 【详解】解：∵一台机器原价为万元，每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元， ∴与之间的函数关系式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格原价． 9．已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，求m关于n的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，理解题意是解题的关键．根据n个球队都要与除自己之外的球队个打一场，因此要打场，然而有重复一半的场次，即可求出函数关系式． 【详解】解：根据n个球队都要与除自己之外的球队个打一场，因此要打场，然而有重复一半的场次，所以， 故m关于n的函数解析式为： ． 10．某商店销售一种商品，每件成本为元，售价为元，每天可销售件，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利润问题中的函数关系建立，解题的关键是明确利润的计算公式． 根据利润的计算公式，利润每件利润销售数量，每件利润为元，销售数量为件，代入公式即可得到与之间的函数关系式． 【详解】解：每件利润为元，销售数量为件， 每天的利润， 即函数关系式为， 故选：． 题型01 二次函数的定义 【典例1】下列函数中，一定是关于x的二次函数的是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝﹣x﹣4 C． D．y＝3x2+x﹣2 【答案】D 【解答】解：根据二次函数的定义y＝ax2+bx+c（a≠0且a是常数）逐项分析判断如下： A、a＝0时不是二次函数，故A不符合题意； B、y＝﹣x﹣4是一次函数，故B不符合题意； C、里含有分式，故C不符合题意； D、y＝3x2+x﹣2是二次函数，故D符合题意； 故选：D． （1）考查方向：判断二次函数；二次函数中各项系数； （2）核心方法：先把方程化为一般形式，右边一定要是整式，最高次数是2且二次项系数不等于0；注意各项系数包括它们前面的符号。 【变式1】下列函数解析式中，一定为二次函数的是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，准确理解二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如（、、为常数，且）的函数是二次函数，需满足整式形式且最高次项为二次． 【详解】解：选项A：，为一次函数，不是二次函数； 选项B：，当时不是二次函数，因此不一定为二次函数； 选项C：，是整式，，一定为二次函数； 选项D：，含有分式，不是整式，因此不是二次函数； 故选C． 【变式2】二次函数y＝（x﹣2）（1﹣x）﹣3x的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【答案】﹣1；0；﹣2． 【解答】解：∵y＝（x﹣2）（1﹣x）﹣3x＝﹣x2﹣2， ∴该二次函数的二次项系数是﹣1，一次项系数是0，常数项是﹣2． 故答案为：﹣1；0；﹣2． 【中考链接】下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，一般的，形如（，，是常数，且）的函数叫做二次函数． 【详解】解：①符合定义，是二次函数． ②符合定义，是二次函数． ③，符合定义，是二次函数． ④不符合定义，不是二次函数． ⑤不符合定义，不是二次函数． ⑥，因为为常数，所以，符合定义，是二次函数． ⑦，符合定义，是二次函数． 综上所述，符合条件的二次函数共个，故选C． 题型02 根据二次函数的定义求参数 【典例1】若函数是二次函数，则m的值一定是（　　） A．3 B．0 C．3或0 D．1或2 【答案】B 【解答】解：∵此函数是二次函数， ∴， 解得m＝0． 故选：B． （1）考查方向：根据二次函数的定义求参数； （2）核心方法：注意二次项系数不为0，自变量最高次数为2.​ 【变式1】若是二次函数，则的值为（ ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义，二次函数的一般形式为()，根据定义列出关于的方程与不等式，进而求解的值． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且． 由，得，解得或． 又∵，即， ∴． 故选：A． 【中考链接】若二次函数经过原点，则的值为（ ） A． B．4 C．或4 D．无法确定 【答案】B 【分析】此题考查二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，注意二次函数的二次项系数不能为0，这是容易出错的地方． 由题意二次函数的解析式为：知，则，再根据二次函数的图象经过原点，把代入二次函数，解出的值． 【详解】解：二次函数的解析式为：， ∴，， 二次函数的图象经过原点， ，或， ∵，． 故选：B． 题型03 根据实际问题列二次函数表达式 【典例1】如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【分析】从图形中提取边长信息，用含的式子表示目标量，再对照函数定义判断类型． 【详解】解：由图可知：周长：，符合一次函数的形式，故与是一次函数关系； 大矩形的长为，宽为，因此面积：符合二次函数的形式，故与是二次函数关系． 综上，与是一次函数关系，与是二次函数关系． （1）考查方向：列出二次函数解析式；实际问题中自变量的取值范围的确定。 （2）核心方法：审题找出等量关系；根据实际问题确定自变量的取值范围。​ 【变式1】公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据题意列函数关系式． 根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量关于x的函数解析式． 【详解】解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x， ∴8月份的销售量为个， ∴9月份的销售量． 故选：A． 【变式2】兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出降价后每斤的盈利及销售量，再相乘即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每降价元多售出斤， ∴降价元多售出斤， ∴销售量为斤， ∴， 故选：． 【变式3】某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键； 根据连续两次降价，每次降价的百分率为，则两次降价后的价格等于原价乘以的平方． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是， ∴第一次降价后价格为， 第二次降价后价格为， ∴， 故选：B． 【中考链接】线段，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段运动至点，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，正方形周长为，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ） A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系 【答案】C 【分析】根据题意列出函数关系式，即可判断函数的类型． 【详解】解：由题意，得 ，属于正比例函数关系， ，属于二次函数关系， 故选：C． A组·基础过关 1．下列各式中，是的二次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数. ∵选项A中是一次函数， ∴A不符合题意； ∵选项B中 ，符合二次函数的定义， ∴B符合题意； ∵选项C中，未说明，当时不是二次函数， ∴C不符合题意； ∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 2．若函数是关于的二次函数，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 3．二次函数化简后，其一次项系数是_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的展开化简及项的系数识别，解题的关键是将二次函数的乘积形式展开为一般式，再确定一次项的系数． 将按多项式乘法法则展开，合并同类项得到二次函数的一般式，进而找出一次项对应的系数． 【详解】解： ， 其一次项为，系数是． 故答案为：． 4．已知函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次函数的是________（填序号） 【答案】② 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握形如的整式函数是二次函数，据此逐一判断函数类型是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如 （其中 ）的函数是二次函数，逐一判断各函数． 【详解】解：① 是一次函数，不是二次函数； ② 满足 ，是二次函数； ③ 是三次函数，不是二次函数； ④ ，化简后为一次函数，不是二次函数； ⑤ 中 可能为0，不一定是二次函数； ⑥ 含有分式项，不是整式函数，不是二次函数． 故答案为：②． 5．某工厂生产一种金属板，其总硬度是基础硬度与强化硬度之和，其中基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比．已知时，，．当时，则其总硬度是（ ） A．65 B．75 C．85 D．95 【答案】D 【分析】先根据正比例函数和二次函数的性质，结合已知条件求出基础硬度和强化硬度关于厚度x的表达式，再求出总硬度y关于x的表达式，最后将代入表达式求出总硬度． 【详解】解：∵基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比，总硬度， ∴设，，其中，均不为0， 将，，分别代入得，， 解得，， ∴， 当时，， ∴总硬度是95． B组·能力提升 6．下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义即可判断，熟记二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是二次函数，故选项不符合题意； B、不是二次函数，故选项不符合题意； C、，是二次函数，故选项符合题意； D、，不是二次函数，故选项不符合题意； 故选：C． 7．对于关于x的函数，下列说法错误的是( ) A．当时，该函数为正比例函数 B．当时，该函数为一次函数 C．当该函数为二次函数时，或 D．当该函数为二次函数时， 【答案】C 【分析】根据正比例函数、一次函数、二次函数的定义判断即可． 【详解】、当时，该函数为正比例函数，故不符合题意； 、当时，，即，该函数为一次函数，故不符合题意； 、当时，该函数为正比例函数，故符合题意； 、当该函数为二次函数时，，故不符合题意； 故选：C． 8．下列各式：①；其中是的二次函数的有________（只填序号） 【答案】②⑤⑥ 【分析】根据二次函数的定义与一般形式即可求解． 【详解】解：y是x的二次函数的有②，⑤，⑥． 故答案是：②，⑤，⑥． 9．若是二次函数，则的值为______． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的定义，最高次项的次数为2且系数不为0，即可解答． 【详解】解：由题意，函数是二次函数，则 的最高次项的次数为2，即， 解得或． 又因为二次项系数，即， ∴． 故答案为：2． 10．已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为________． 【答案】 【分析】根据n个球队都要与除自己之外的球队个打一场，因此要打场，然而有重复一半的场次，即可求出函数关系式． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为： ． C组·拓展延伸 11．如图，的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．下列说法中，不正确的是（ ） A．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为一次函数 B．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为二次函数 C．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数 D．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数 【答案】D 【分析】分别表示出与正方形的周长之和，面积之积，然后得出，进而得出，，，然后再根据函数的定义判断即可． 【详解】解：∵的半径为，正方形的边长为， ∴与正方形的周长之和为， 与正方形的面积之积为， 阴影部分的面积为， ∴，，， ∴若与正方形的周长之和即L为定值时，y关于x的函数关系式为∶ ，为一次函数，选项A不符合题意， S关于x的函数关系为∶为二次函数，选项B不符合题意， 若与正方形的面积之积即为定值， y关于x的函数关系为∶ ，为反比例函数，选项C不符合题意 S关于x的函数关系为∶，不是反比例函数，选项D符合题意． 12．下列函数关系中，可以看作二次函数（）模型的是（　　） A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系 C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力） D．圆的周长与圆的半径之间的关系 【答案】C 【详解】A、v=，是反比例函数，错误；B、y=m（1+1%）x，不是二次函数，错误；C、S=-x2+cx，是二次函数，正确；D、C=2πr，是正比例函数，错误， 故选C． 13．若函数是关于x的二次函数，则（）． A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数的二次项的次数为2且二次项不能为0是解题的关键． 根据二次函数的定义列方程计算即可． 【详解】解：由题意：根据二次函数的定义可得： ．解得：． 故选A． 14．如图2 - 4所示，长方形ABCD的长为5 cm，宽为4 cm，如果将它的长和宽都减去x(cm)，那么它剩下的小长方形AB′C′D′的面积为y(cm2)． (1)写出y与x的函数关系式； (2)上述函数是什么函数? (3)自变量x的取值范围是什么? 【答案】(1) y＝x2－9x＋20；(2) 二次函数;(3) 0＜x＜4. 【详解】试题分析：（1）根据长方形的面积公式，根据图示求解即可得到函数关系式； （2）通过二次函数的定义可判断； （3）根据x取值不能大于原方程的长方形的宽进行分析. 试题解析：(1)根据长方形的面积公式，得y＝(5－x)·(4－x)＝x2－9x＋20，所以y与x的函数关系式为y＝x2－9x＋20．   (2)上述函数是二次函数． (3)自变量x的取值范围是0＜x＜4． 15．玩具店销售一种流行卡片，该卡片进价为6元/件，商家规定该卡片销售单价不得低于8元，且不高于11元，若以8元/件出售时，日销售量为40件，若在此基础上售价每上涨1元/件，则日销售量将减少5件． (1)若要使这种卡片日盈利为120元，则该卡片每件售价为多少元． (2)该卡片日盈利额能否达到130元？若能达成，求出达成时的售价；若不能达成，请说明理由． 【答案】(1)该卡片每件售价为10元 (2)不能，理由见解析 【分析】（1）设该卡片每件售价为元，根据总利润等于单件利润乘以销量列出方程进行求解即可； （2）设该卡片每件售价为元，根据总利润等于单件利润乘以销量列出方程进行求解即可。 【详解】（1）解：设该卡片每件售价为元， 由题意，， 解得或（不合题意，舍去）； 答：该卡片每件售价为10元； （2）解：不能，理由如下： 设该卡片每件售价为元， 由题意，， 整理，得， ∵， ∴原方程无实数根， ∴该卡片日盈利额不能达到130元. 9 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $