26.1二次函数的概念（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.1二次函数的概念（暑假预习讲义）2026-2027学年 人教版九年级上册 知识归纳： 【知识点1 二次函数的概念】 一般地，形如y=+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 【知识点2 列二次函数关系式】 (1)理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言； (2)分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式； (3)列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式. 题型突破： 题型一：二次函数的识别 1．下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C．y＝2x2﹣2x+2 D．y＝2x+2 3.下列函数中，是二次函数的有（　　） ①y；②y＝﹣x2﹣3x；③y＝x（x2+x+1）；④y；⑤y＝﹣x+x2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.下列函数中：（1）y＝2（x﹣1）（x+4）； （2）y＝3（x﹣1）2+2；（3）y＝x2+； （4）y＝（x﹣3）2﹣x2．不是二次函数的是（　　） A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（3） D．（2）（4） 5． 有下列函数：①；②；③；④．其中y是x的二次函数有 ．（填序号） 题型二：根据二次函数的定义求参数值 1.若是二次函数，则的值是（    ） A． B．3 C．9 D． 2．已知y＝m x|m﹣2|+2mx+1是y关于x的二次函数，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．4 D．0或4 3.若y＝（a2+a）是二次函数，那么（　　） A．a＝﹣1或a＝3 B．a≠﹣1且a≠0 C．a＝﹣1 D．a＝3 4.已知函数是二次函数，则 ． 5.若． (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？ 题型三：根据二次函数的定义求参数取值范围 1.已知函数y＝（m+3）x2+4是二次函数，则m的取值范围为（　　） A．m＞﹣3 B．m＜﹣3 C．m≠﹣3 D．任意实数 2.关于x的函数是二次函数的条件是（    ） A． B． C． D． 3. 若y＝（m﹣3）x2+4x﹣2是关于x的二次函数，则m的取值范围是（　　） A．m≠1 B．m＞1 C．m＜3 D．m≠3 4.已知函数．若这个函数是二次函数，求的取值范围__________________ 题型四：二次函数的一般形式 1.二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 2.已知关于x的函数y=（m﹣1）xm+（3m+2）x+1是二次函数，则此解析式的一次项系数是（　　） A．﹣1 B．8 C．﹣2 D．1 3.把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为________． 4.若二次函数y＝（2x﹣1）2+1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则b2﹣4ac　 　0（填写“＞”或“＜”或“＝”） 5.下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型五：判断二次函数的关系式 1.下列关系中，是二次函数关系的是（ ） A．当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系； B．在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系； C．圆的面积S与圆的半径r之间的关系； D．正方形的周长C与边长a之间的关系； 2.下列选项描述的y与x之间的关系是二次函数的是（   ） A．正方体的体积y与棱长x之间的关系 B．某商品在6月的售价为元，7月和8月连续两次降价销售，平均每月降价的百分率为x，该商品8月的售价y与x之间的关系 C．距离一定时，汽车匀速行驶的时间y与速度x之间的关系 D．等腰三角形的顶角度数y与底角度数x之间的关系 3．正方形的边长为4，若边长增加x，那么面积增加y，则y关于x的函数表达式为( ) A． B． C． D． 4．把元的电器连续两次降价后的价格为元，若平均每次降价的百分率是，则与的函数关系式为( ) A．y=320(x-1) B．y=320(1-x) C．y=160(1-x2) D．y=160(1-x) 2 5．用一根长的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 综合训练： 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝x3+2 C．y＝（x﹣2）2﹣x2 D．y＝x（4﹣x） 2．是二次函数，则m的值是（　　） A．m＝0 B．m＝﹣1 C．m＝1 D．m＝±1 3．线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B，以线段AP为边作正方形APCD，线段PB长为半径作圆，设点P的运动时间为t，正方形APCD周长为y，⊙B的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（　　） A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系 4.如图，四边形ABCD中，AB＝AD，CE⊥BD，CEBD．若△ABD的周长为20cm，则△BCD的面积S（cm2）与AB的长x（cm）之间的函数关系式可以是（　　） A．S10x+100 B．S＝2x2﹣40x+200 C．S＝x2﹣20x+100 D．S＝x2+20x+100 5.若函数是二次函数，则的值是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.1二次函数的概念（暑假预习讲义）2026-2027学年 人教版九年级上册 知识归纳： 【知识点1 二次函数的概念】 一般地，形如y=+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 【知识点2 列二次函数关系式】 (1)理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言； (2)分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式； (3)列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式. 题型突破： 题型一：二次函数的识别 1．下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2．下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C．y＝2x2﹣2x+2 D．y＝2x+2 【答案】C． 3.下列函数中，是二次函数的有（　　） ①y；②y＝﹣x2﹣3x；③y＝x（x2+x+1）；④y；⑤y＝﹣x+x2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B． 4.下列函数中：（1）y＝2（x﹣1）（x+4）； （2）y＝3（x﹣1）2+2；（3）y＝x2+； （4）y＝（x﹣3）2﹣x2．不是二次函数的是（　　） A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（3） D．（2）（4） 【答案】：B． 5． 有下列函数：①；②；③；④．其中y是x的二次函数有 ．（填序号） 【答案】②③④ 题型二：根据二次函数的定义求参数值 1.若是二次函数，则的值是（    ） A． B．3 C．9 D． 【答案】D 2．已知y＝m x|m﹣2|+2mx+1是y关于x的二次函数，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．4 D．0或4 【答案】C． 3.若y＝（a2+a）是二次函数，那么（　　） A．a＝﹣1或a＝3 B．a≠﹣1且a≠0 C．a＝﹣1 D．a＝3 【答案】D． 4.已知函数是二次函数，则 ． 【答案】 5.若． (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？ 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：(1)当是二次函数时， 有， 解得， ∴当时，此函数是二次函数； （2）当是一次函数时， 有， 解得或， ∴或时，此函数是一次函数． 题型三：根据二次函数的定义求参数取值范围 1.已知函数y＝（m+3）x2+4是二次函数，则m的取值范围为（　　） A．m＞﹣3 B．m＜﹣3 C．m≠﹣3 D．任意实数 【答案】C． 2.关于x的函数是二次函数的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 3. 若y＝（m﹣3）x2+4x﹣2是关于x的二次函数，则m的取值范围是（　　） A．m≠1 B．m＞1 C．m＜3 D．m≠3 【答案】D 4.已知函数．若这个函数是二次函数，求的取值范围__________________ 【答案】且 题型四：二次函数的一般形式 1.二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 【答案】A 2.已知关于x的函数y=（m﹣1）xm+（3m+2）x+1是二次函数，则此解析式的一次项系数是（　　） A．﹣1 B．8 C．﹣2 D．1 【答案】B 3.把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为________． 【答案】1 4.若二次函数y＝（2x﹣1）2+1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则b2﹣4ac　 　0（填写“＞”或“＜”或“＝”） 【答案】＜． 5.下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)是，二次项是、一次项系数是、常数项是； (2)不是； (3)是，二次项是、一次项系数是、常数项是； (4)不是 【详解】（1）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是； （2），不含二次项，故不是二次函数； （3）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是； （4）中不是整式，故不是二次函数． 题型五：判断二次函数的关系式 1.下列关系中，是二次函数关系的是（ ） A．当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系； B．在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系； C．圆的面积S与圆的半径r之间的关系； D．正方形的周长C与边长a之间的关系； 【答案】C 2.下列选项描述的y与x之间的关系是二次函数的是（   ） A．正方体的体积y与棱长x之间的关系 B．某商品在6月的售价为元，7月和8月连续两次降价销售，平均每月降价的百分率为x，该商品8月的售价y与x之间的关系 C．距离一定时，汽车匀速行驶的时间y与速度x之间的关系 D．等腰三角形的顶角度数y与底角度数x之间的关系 【答案】B 3．正方形的边长为4，若边长增加x，那么面积增加y，则y关于x的函数表达式为( ) A． B． C． D． 【答案】C 4．把元的电器连续两次降价后的价格为元，若平均每次降价的百分率是，则与的函数关系式为( ) A．y=320(x-1) B．y=320(1-x) C．y=160(1-x2) D．y=160(1-x) 2 【答案】D 5．用一根长的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 综合训练： 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝x3+2 C．y＝（x﹣2）2﹣x2 D．y＝x（4﹣x） 【答案】D． 2．是二次函数，则m的值是（　　） A．m＝0 B．m＝﹣1 C．m＝1 D．m＝±1 【答案】B． 3．线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B，以线段AP为边作正方形APCD，线段PB长为半径作圆，设点P的运动时间为t，正方形APCD周长为y，⊙B的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（　　） A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系 【答案】C． 4.如图，四边形ABCD中，AB＝AD，CE⊥BD，CEBD．若△ABD的周长为20cm，则△BCD的面积S（cm2）与AB的长x（cm）之间的函数关系式可以是（　　） A．S10x+100 B．S＝2x2﹣40x+200 C．S＝x2﹣20x+100 D．S＝x2+20x+100 【答案】C． 5.若函数是二次函数，则的值是 ． 【答案】4 学科网（北京）股份有限公司 $