湖南永州市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

2026年上期高一期末考试 数 学 注意事项： 1．本试卷共150分，考试时量120分钟． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 3．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．已知复数，则的虚部为 A． B． C． D． 2．已知向量，，若，则实数的值为 A．-9 B．-4 C．4 D．9 3．已知圆柱底面半径为3，母线长为5，则它的侧面积为 A． B． C． D． 4．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的大小为 A． B． C． D． 6．已知一组数据，，，的方差为5，则，，，的方差为 A．10 B．20 C．30 D．40 7．已知事件满足，，则下列命题正确的是 A．若，则 B．若，互斥，则 C．若，则 D．若，相互独立，则 8．在中，，，为边的中点，则的最大值为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则 A． B． C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．为方程的一个根 10．已知四边形是正方形，延长至，使，点是线段上的任意一点．设向量，则的可能取值为 A． B． C． D． 11．在棱长为1的正四面体中，点，分别为和的中心，点在线段上，则下列结论正确的是 A．的最小值为 B．若平面，则 C．平面与平面所成二面角的正弦值为 D．若平面，则三棱锥的外接球半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在中，，，，则________． 13．如图，圆柱的底面直径和高均是2，圆柱内接于圆锥，且，则圆锥的体积为________． 14．已知全集，集合，，是的子集，．记事件：且且，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） 已知，，． （1）求； （2）若，求实数的值． 16．（本题满分15分） 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，是的中点． （1）求证：平面； （2）若，，求与平面所成角的正弦值． （注：用空间向量法求解不给分） 17．（本题满分15分） 人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量．很多学校已经推出基于豆包的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新．某探究小组利用豆包解答完成100份不同的模拟试卷，统计其解答准确率，整理得到如下频数分布表： 准确率（%） 频数 10 20 30 （1）求的值并估计豆包解答这100份试卷准确率的第62百分位数； （2）若按比例分配的分层随机抽样的方法从准确率在，的两组中抽取7份试卷，再从这7份试卷中随机抽取2份试卷，求这2份试卷来自同一组的概率． 18．（本题满分17分） 记的内角，，的对边分别为，，，面积为，周长为．已知． （1）求； （2）若，证明：为直角三角形； （3）若为锐角三角形，，求的取值范围． 19．（本题满分17分） “牟合方盖”是由两个相同的圆柱分别从纵横两个方向相交时两圆柱公共部分形成的几何体，如图1所示，点被称为“牟合方盖”的上顶点，点为“牟合方盖”的中心．过点作平面使得，． （1）求平面截“牟合方盖”所得截面的面积； （2）点，为平面与两圆柱表面交线的交点，点为的中点，过作平面，点，为“牟合方盖”表面上的点且在平面同一侧，过点作平面，交边界于点，，设，． （ⅰ）如图2所示，若，，，求线段的值； （ⅱ）若，点到平面的距离为，当时，恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $