精品解析：湖南省永州市宁远一中崇德学校2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

宁远一中崇德学校2025年7月高一期末考试 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若幂函数图像经过点，则当时的函数值为（ ） A. 16 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意得到，再计算时的函数值即可. 【详解】由题知：，解得，即， 当时，. 故选：D 2. 计算（ ） A. 8 B. 6 C. －8 D. －6 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的计算法则和换底公式运算即可. 【详解】, 故选：C. 3. 函数的图象（ ） A. 关于原点成中心对称 B. 关于y轴对称 C. 既关于原点成中心对称又关于y轴对称 D. 既不关于原点成中心对称也不关于y轴对称 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的定义域关于原点对称，再证明函数是奇偶性，即得解. 【详解】解：设， 由题得，所以函数的定义域关于原点对称. 所以， 所以. 所以，，所以函数是奇函数. 所以其图象关于原点成中心对称，不关于轴成轴对称. 故选：A 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 函数在上是减函数最大值为 B. 函数在是增函数，最小值为 C. 函数在区间先减再增，最小值为0 D. 函数在区间先减再增，最大值为0 【答案】D 【解析】 【分析】利用一次函数、反比例函数、二次函数的性质依次判断单调性，再分析最值，即得解 【详解】选项A，由一次函数的单调性知，在上是减函数，最大值为，故A错误； 选项B，由反比例函数的单调性可知，在是增函数，最小值为，故B错误； 选项C，函数为开口向下的二次函数，对称轴为，故在单增，在单减，先增再减，故C错误； 选项D，函数为开口向上的二次函数，对称轴为，故在单减，在单增，先减再增，最大值为，故D正确 故选：D 5. 三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个命题（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 对任意正实数a和b，有，当且仅当时等号成立 D. 如果，那么 【答案】C 【解析】 【分析】确定选项ABD的推导依据，利用几何意义解释选项C即可. 【详解】选项ABD是不等式的性质，不能由给定的图形解释； 对于C，设小直角三角形的直角边长分别为，大正方形的边长为， 大正方形的面积为，个小直角三角形的面积之和为， 由图知，当且仅当时等号成立 故选：C 6. 年1月初，中国多地出现散发病例甚至局部聚集性疫情，在此背景下，各地陆续发出“春节期间非必要不返乡”的倡议，鼓励企事业单位职工就地过年.某市针对非本市户籍并在本市缴纳社保，且春节期间在本市过年的外来务工人员，每人发放1000元疫情专项补贴.小张是该市的一名务工人员，则“他在该市过年”是“他可领取1000元疫情专项补贴”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行判定. 【详解】只有非本市户籍并在本市缴纳社保外来务工人员就地过年，才可领取1000元疫情专项补贴，小张是该市的一名务工人员,但他可能是本市户籍或非本市户籍但在本市未缴纳社保，所以“他在该市过年”是“他可领取1000元疫情专项补贴”的必要不充分条件. 故选：B. 7. 若的内角A满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据sinA•cosA0，结合A为的内角，得到sinA，cosA的符号，再对sinA+cosA平方，利用平方关系求解. 【详解】∵sinA•cosA0，又A为的内角， ∴sinA＞0，cosA＞0， ∴（sinA+cosA）2＝1+2sinAcosA， 则sinA+cosA. 故选：A 【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题. 8. 已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的值域为 C. 点是函数的图像的一个对称中心 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据解析式，求出的周期和值域以及对称中心，判断出和的正负，从而得到答案. 【详解】因为， 所以函数的最小正周期，故A正确. 由正切函数的图像和性质可知函数的值域为，故B正确. 由，， 得，， 当时，， 所以点是函数的图像的一个对称中心，故C正确. 因为， ， 所以，故D不正确. 故选：D. 【点睛】本题考查正切型函数的周期、值域、对称中心，属于简单题. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的图象与轴只有1个交点 【答案】AD 【解析】 【分析】利用换元法求出的解析式，然后逐一判断即可. 【详解】令，得，则，得， 故，，，A正确，B错误 ，所以上单调递增， ，的图象与轴只有1个交点，C错误，D正确. 故选：AD 10. 已知关于的不等式，下列结论正确的是（ ） A. 不等式的解集不可能为． B. 不等式的解集可能为或． C. 存在实数，使得不等式的解集为闭区间的形式． D. 存在唯一一对实数对，使得不等式的解集为． 【答案】CD 【解析】 【分析】当时，解集为，A错误，根据对称关系不成立，B错误，取，，解不等式得到C正确，根据不等式的解与系数的关系得到D正确，得到答案. 【详解】，当时，解集为，A错误； 若不等式的解集可能为或， 根据二次不等式解与系数的关系，需满足，，不成立，故B错误； 取，，得到，解得，C正确； 和的解都关于对称， 故只能是恒成立，，的解集为， 故，解得或（舍去），D正确； 故选：CD. 11. 若函数的部分图象如图，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵由题中图象可知.∴.∴.∴.故选B. 【考点定位】三角函数的图像与解析式 12. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间上有2个零点 B. 为的一个对称中心 C. D. 要得到的图像，可以将图像上所有的点向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 【答案】AB 【解析】 【分析】由二倍角公式和辅助角公式可得，令可判断零点个数和对称中心,进而判定AB，利用对称轴必过正弦型函数的最高点或最低点进行检验可判定C，由三角函数图象变换规律可判断D. 【详解】解：， A:令，解得，令， 解得，则，故函数在上有2个零点，故A正确； B:令，解得，所以为的一个对称中心,故B正确； C:等价于直线是函数f(x)的图象的对称轴，，∴不是f(x)的图象的对称轴，∴C不正确； D:向左平移个单位长度得， 横坐标缩短为原来的可得，故D不正确； 故选:AB. 【点睛】本题的关键是先结合二倍角公式和辅助角公式对已知函数进行变形. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 13. 已知集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由一次函数的值域可得集合，解不等式可得集合，再进行交集运算即可求解. 【详解】， ， 所以， 故答案为：. 14. 已知，其中是常数，且，若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】设，证明函数函数是奇函数，求出即得解. 【详解】解：设，函数的定义域为关于原点对称. 因为， 所以函数是奇函数， 所以， . 故答案为： 15. 里氏震级M的计算公式为：M=lgA﹣lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A0为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的__________ 倍． 【答案】6，10000 【解析】 【详解】试题分析：根据题意中的假设，可得M=lgA﹣lgA0=lg1000﹣lg0.001=6；设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y，9=lgx+3，5=lgy+3，由此知9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的10000倍． 解：根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001， 则M=lgA﹣lgA0=lg1000﹣lg0.001=3﹣（﹣3）=6． 设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y， 9=lgx+3，5=lgy+3，解得x=106，y=102， ∴． 故答案耿：6，10000． 点评：本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （1）已知是第二象限角，试判断的符号． （2）若，则为第几象限角？ 【答案】（1）；（2）为第二、三象限角或角终边在x轴的非正半轴上． 【解析】 【分析】（1）先利用是第二象限角判断出和的范围，然后再求和的正负，从而得出结论； （2）根据，，可判断出，从而得出，进而得出的范围，确定角所在象限. 【详解】（1）∵是第二象限， ∴． ∴． ∴． （2）∵， ∴， 故要使，则必有． ∴，即为第二、三象限角或角终边在x轴的非正半轴上． 【点睛】本题主要考查了象限角的三角函数值符号的运用，考查学生基础知识的掌握程度，难度不大. 17. 已知函数f（x）＝ax+（a＞1）. （1）求证：f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数； （2）若a＝3，求方程f（x）＝0的正根（精确到0.1）. 【答案】（1）证明见解析；（2）0.312 5. 【解析】 【分析】 （1）根据定义法证明函数在所给区间的单调性，依次按取值，设定大小，作差，判断符号，可得出结果. （2）把a＝3代入可得，根据（1）的结论可知正根在区间(0,1)内，然后利用二分法近似求解步骤计算即可. 【详解】证明：（1）设 ∴， ∵，∴ ∴＜0； ∵，且a＞1，∴，∴， ∴，即， ∴函数在上为增函数； （2）由（1）知，当a＝3时，在上为增函数， 故在上也单调递增，由于，因此的正根仅有一个， 以下用二分法求这一正根，由于 ， ∴取（0，1）为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表： 区间 中点 中点函数值 （0，1） 0.5 0.732 （0，0.5） 0.25 ﹣0.084 （0.25，0.5） 0.375 0.322 （0.25，0.375） 0.312 5 0.124 由于|0.312 5﹣0.25|＝0.062 5＜0.1， ∴原方程的近似解可取为0.312 5. 【点睛】思路点睛：本题考查利用函数的奇偶性求参数，证明函数的单调性和利用单调性解不等式.证明函数的单调性的基本步骤为： (1)在给定的区间内任取变量，且设. (2)作差变形，注意变形要彻底，变形的手段通常有通分、因式分解、配方、有理化等. (3)判断符号，得出的大小. (4)得出结论. 18. 在①，，②，.这两个条件中任选一个，补充在下面问题中：在中，它的内角，，的对边分别为，，，已知， .求，的值. 【答案】答案见解析. 【解析】 【分析】 若选①给出角A的余弦值，可用余弦定理求解；若选②，给出两个角的余弦，可求出对应角的正弦，用正弦定理可求解. 【详解】选择条件①，，， ，， 选择条件②，，，，，由正弦定理得：，，，. 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，属于中档题 方法点睛：（1）若给出一个角的余弦值和边长，可用余弦求解； （2）若给两个角的正弦或余弦，应转化为两角的正弦，应用正弦定理求解. 19. （1）已知向量，，若，求的最小值． （2），，与的夹角为，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的模的坐标公式及二次函数的性质即可求解． （2）根据向量的模的运算公式、向量积的运算及二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 依题意可得， 则， 当时，取得最小值． 【小问2详解】 由， 当时，取得最小值． 20. 某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧(劣弧)沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心(即三角形三条高线的交点).如图，已知锐角△ABC外接圆的半径为2，且三条圆弧沿三边翻折后交于点P. （1）若，求； （2）若，求的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求得，可得，利用三角形垂心性质结合三角形诱导公式推得，即得答案； （2）设，由余弦定理求得它们的余弦值，然后由垂心性质结合正弦定理表示出，即可求得答案. 【小问1详解】 设外接圆半径为，则， 由正弦定理，可知， 即，由于是锐角，故， 又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即,故， 所以； 【小问2详解】 设， 则， 由于，不妨假设， 由余弦定理知， 设AD,CE,BF为三角形的三条高，由于 , 故 , 则得， 所以， 同理可得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁远一中崇德学校2025年7月高一期末考试 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若幂函数的图像经过点，则当时的函数值为（ ） A. 16 B. 2 C. D. 2. 计算（ ） A. 8 B. 6 C. －8 D. －6 3. 函数的图象（ ） A. 关于原点成中心对称 B. 关于y轴对称 C. 既关于原点成中心对称又关于y轴对称 D. 既不关于原点成中心对称也不关于y轴对称 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 函数在上是减函数最大值为 B. 函数在是增函数，最小值为 C. 函数在区间先减再增，最小值为0 D. 函数在区间先减再增，最大值为0 5. 三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个命题（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 对任意正实数a和b，有，当且仅当时等号成立 D. 如果，那么 6. 年1月初，中国多地出现散发病例甚至局部聚集性疫情，在此背景下，各地陆续发出“春节期间非必要不返乡”的倡议，鼓励企事业单位职工就地过年.某市针对非本市户籍并在本市缴纳社保，且春节期间在本市过年的外来务工人员，每人发放1000元疫情专项补贴.小张是该市的一名务工人员，则“他在该市过年”是“他可领取1000元疫情专项补贴”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若内角A满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的值域为 C. 点是函数的图像的一个对称中心 D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 已知函数，则（ ） A B. C. 最小值为 D. 的图象与轴只有1个交点 10. 已知关于的不等式，下列结论正确的是（ ） A. 不等式解集不可能为． B. 不等式的解集可能为或． C. 存在实数，使得不等式的解集为闭区间的形式． D. 存在唯一一对实数对，使得不等式的解集为． 11. 若函数的部分图象如图，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间上有2个零点 B. 为的一个对称中心 C. D. 要得到的图像，可以将图像上所有的点向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 13. 已知集合，，则______． 14. 已知，其中是常数，且，若，则___________. 15. 里氏震级M的计算公式为：M=lgA﹣lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A0为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的__________ 倍． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （1）已知是第二象限角，试判断的符号． （2）若，则为第几象限角？ 17. 已知函数f（x）＝ax+（a＞1）. （1）求证：f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数； （2）若a＝3，求方程f（x）＝0的正根（精确到0.1）. 18. 在①，，②，.这两个条件中任选一个，补充在下面问题中：在中，它的内角，，的对边分别为，，，已知， .求，的值. 19. （1）已知向量，，若，求的最小值． （2），，与的夹角为，求的最小值． 20. 某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧(劣弧)沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心(即三角形三条高线的交点).如图，已知锐角△ABC外接圆的半径为2，且三条圆弧沿三边翻折后交于点P. （1）若，求； （2）若，求的值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $