精品解析：安徽省合肥市合肥经济技术开发区合肥中锐学校2025-2026学年度第二学期期末考试八年级数学（沪科版）试题

八年级 数学 试题卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先明确最简二次根式的判定条件，满足①被开方数不含分母，②被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，是最简二次根式，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A中的被开方数含分母，不是最简二次根式； B中的被开方数为整数，且不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，是最简二次根式； C中，被开方数含分母，不是最简二次根式； D中，是能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为的整式方程是一元二次方程，根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、中未说明，当时方程不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、由整理得，即，该方程满足一元二次方程的全部条件，故该选项符合题意； C、原方程分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意； D、原方程根号内含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，故该选项不符合题意． 3. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. B. ，， C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】勾股数是满足两个较小数的平方和等于最大数平方的三个正整数，根据勾股数的定义逐一验证选项即可． 【详解】解：A选项中三个数都不是正整数，不符合要求，错误； B选项中，不是正整数，不符合要求，错误； C选项中，，且都是正整数，符合勾股数定义，正确； D选项中，，不满足条件，错误． 4. 如图，在四边形中，已知．添加下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理，结合已知条件，对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A选项，，，一组对边平行，另一组对边相等，该四边形可能是等腰梯形，不能判定四边形是平行四边形，故符合题意； B选项，，，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故不符合题意； C选项，，，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故不符合题意； D选项，，，，，，四边形是平行四边形，故不符合题意． 5. 在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长和宽各多少步？设长为x步，则下列所列方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合长宽的数量关系列方程，整理后对比选项即可得到正确结果． 【详解】解：∵设长为步，宽比长小步， ∴宽为步， ∵长方形面积等于长乘宽，这块田地面积为平方步， ∴列方程得， 整理得． 6. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点为的中点，交于点．若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，连接，根据三角形的中位线解题即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵点为的中点，为的中点，点为的中点， ∴为的中位线， ∴，且， ∵， ∴； 取的中点，则为的中位线， ∴， ∵，且过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点与点重合， 即点为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴． 7. 五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同足球烯分子（）中的微粒一样团结在一起．一个足球烯分子由12个正五边形，20个正六边形组成（如图1所示）．如图2，在正六边形中，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出正六边形的一个内角的度数，根据正六边形的性质，结合等边对等角，平行线的判定和性质，进行求解即可. 【详解】解：正六边形的每个内角度数为， 由题意可知：，， ∴，， ∴， ∴ 8. 勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第个图形是正方形，第个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第个图形，……，则第个图形中正方形的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由前面图形中的正方形个数，归纳出规律即可． 【详解】解：由题意可得第个图形中含有正方形个； 第个图形中含有正方形个； 第个图形中含有正方形个； 第个图形中含有正方形个； 则第个图形中正方形的个数为． 9. 如图，在中，E是边上一点，将沿着翻折至．已知，，，当E，F，B三点共线时，则的长是（ ） A. 6 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】作于点，由翻折得，，进而得到相关线段长，再由勾股定理求得，，根据即可求解． 【详解】解：作于点，则， 由翻折得，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ∵，， ， ， ， ， ， 的长为6． 10. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程一定有解； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若方程两根为，，且满足，则方程，必有实数根，． ④若，则方程必有两个不相等的实数根； ⑤若，且，则方程的两实数一定互为相反数． 其中，正确的有几个（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，观察可得，方程有根，符合要求；对于②，当时，不一定等于，不符合；对于③，将原方程变形为，因此和满足方程，符合要求；对于④，根据判别式的符号即可判断；对于⑤，先确定、异号，且，进而求出，符合要求． 【详解】解：对于①，当时，方程左边，等式成立， ∴是方程的解，故①正确； 对于②，∵是方程的一个根， ∴， ∴， 当时，不一定等于，故②错误； 对于③，， ∵， ∴方程两边同除以，得， ∴和满足方程，故③正确； 对于④，∵， ∴， 判别式， ∵，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，故④正确； 对于⑤，∵， ∴， ∴或， ∵， ∴、异号， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴两根互为相反数，故⑤正确； 综上，正确的结论有4个． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x满足_____； 【答案】 【解析】 【分析】分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数非负，据此列式求解即可． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， ∴． 12. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据数轴可得，则，然后根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：由图得， ∴， 则． 13. 如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____． 【答案】##45度 【解析】 【分析】将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至，可得，证明为等腰直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至， 则点的对应点为点，点的对应点为，， ， ，，， ，， 为等腰直角三角形， ． 14. 如图，将长方形纸片沿对折后展开，再沿折叠使点落在折痕上的点处，再将点折至点处，折痕为，点恰为的中点，已知，，则： （1）______；（2）______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由折叠性质得到相关线段长度，在中，由勾股定理求解即可得到；由中点定义及折叠性质得到，过点作，得到四边形是矩形，进而确定相关线段长度，设，则，在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：将长方形纸片沿对折， ，， ， ， 沿折叠使点落在折痕上的点处， ， 在中，，，，则由勾股定理可得； 点恰为的中点， ， 将点折至点处， ， 则， 过点作，如图所示： 四边形是矩形，则，， 设，则， 在中，由勾股定理可得，则， 解得， ． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先分别计算乘方、去绝对值及二次根式乘法运算，再由实数加减运算计算即可． 【详解】解： ． 16. 解方程：x（x-4）=2x-8． 【答案】x1=2，x2=4． 【解析】 【分析】将等号右边化为2（x-4），移项后提公因式后解答． 【详解】方程可化为x（x-4）=2（x-4）， 移项，得x（x-4）-2（x-4）=0， 提公因式，得（x-2）（x-4）=0， 解得x1=2，x2=4． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟悉提公因式法等是解题的关键． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）且 （2）不存在满足条件的实数 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可； （2）假设存在实数使得，则，由可得，与矛盾，即可作答． 【小问1详解】 解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，． ∴且， ∵， ∴， 解得：， ∴k的取值范围为且； 【小问2详解】 解：假设存在实数使得， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根，， ∴，， ∴ 解得， 由（1）得， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴假设不成立， 不存在实数使得． 18. 观察下列等式，解答问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：，… （1）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明； （2）请利用（1）的结论计算：． 【答案】（1）（n为正整数），证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）观察已有的式子过程，进行仿写，即可作答． （2）先结合（1）的式子规律得出，再代入原式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意得，n为正整数，第n个等式：， 证明如下： ， 【小问2详解】 解：由（1）得第n个等式：， 则， 故 ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，，D，E分别是，的中点，连接，过点B作，过点E作． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：D，E分别是，的中点， 是的中位线，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是菱形． （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接交于点O， 四边形是菱形，， ，，， ， 由(1)可知，， ， ． 20. 2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号A、B、C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91；93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 a 70 八年级 m b c （1）上述表中， ， ，并补全七年级的箱线图； （2）求八年级所抽取学生的平均成绩m； （3）若该校八年级有600名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数． 【答案】（1）90，93， 补全七年级的箱线图如下： （2）87 （3）300 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，箱线图，由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据众数和中位数的定义求出b，c，然后求出a，然后补全箱线图即可； （2）根据平均数得概念求解即可； （3）用600乘以成绩超过90分的人数所占的比例即可得解． 【小问1详解】 ∵共有12个数据 ∴中位数为第6个数据和第7个数据的平均数 ∴八年级所抽取学生的中位数； ∵93出现的次数最多 ∴八年级所抽取学生的众数； 七年级所抽取学生的中位数； 【小问2详解】 八年级所抽取学生的平均成绩； 【小问3详解】 （人） ∴估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数为300人． 六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分） 21. 已知，矩形中，，的垂直平分线分别交于点，垂足为． （1）如图1，连接，求证：四边形为菱形； （2）如图2，动点分别从两点同时出发，沿和各边匀速运动一周，即点自停止，点自停止．在运动过程中， ①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当四点为顶点的四边形是平行四边形时，则____________． ②若点的运动路程分别为 （单位:），已知四点为顶点的四边形是平行四边形，则与满足的数量关系式为____________． 【答案】（1）见解析；（2）①；② 【解析】 【分析】(1)先证明四边形AFCE为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定； (2)①分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可； ②分三种情况讨论可知a与b满足的数量关系式. 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∵垂直平分，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵ ∴四边形为菱形， （2）①秒． 显然当点在上时，点在上，此时四点不可能构成平行四边形；同理点在上时，点在或上，也不能构成平行四边形．因此只有当点在上、点在上时，才能构成平行四边形． ∴以四点为顶点的四边形是平行四边形时， ∴点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒， ∴， ∴，解得 ∴以四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒． ②与满足的数量关系式是， 由题意得，以四点为顶点的四边形是平行四边形时， 点在互相平行的对应边上，分三种情况： i）如图1，当点在上、点在上时，，即，得． ii）如图2，当点在上、点在上时，，即，得． iii）如图3，当点在上、点在上时，，即，得． 综上所述，与满足的数量关系式是． 【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，解题中注意分类讨论的思想. 22. 【项目式学习】 项目背景：许多住宅小区、停车场等地方均会安装电动门，以提升使用车库的便利性和安全性，围绕电动伸缩门，某校数学实践小组以“电动门”这一主题开展项目式学习． 素材1 如图1，是某小区处于关闭状态的一扇电动门． 素材2 将图1状态下的电动门抽象成如图2所示的矩形，测量发现，，且与出入口相等，与地面的距离，，． 素材3 当有车辆来临，触发感应装置，电动门（矩形）自动抬起，变为四边形． 问题解决 （1）任务1：在抬起状态下，四边形的形状为______； （2）任务2：如图3，当抬起的电动门的端点与的连线与平行时，求，两点间的距离； （3）任务3：如图4，当电动门抬起，且与水平方向的夹角为时，一辆高，宽的汽车从该入口进入时，汽车需要与保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由．（参考数据：） 【答案】（1）平行四边形 （2） （3）解：能， 计算说明如下： 在上取点，使，过点作交于点，如图所示： ， 在中，，则， ，则由勾股定理可得， ，且与出入口相等，与地面的距离， ，即汽车能安全通过． 【解析】 【分析】（1）由题意，结合平行四边形的判定即可得到答案； （2）连接，过点作于点E，由矩形性质及已知条件得到相关线段长度，再由勾股定理求解后即可得到答案； （3）根据题意，当汽车与保持的安全距离通过时，汽车高度要低于抬起的电动门（汽车顶部不能触碰电动门），在上取点，使，过点作交于点，由含的直角三角形性质及勾股定理求出安全距离通过时，即时，电动门下边缘的高度是否比车高大，从而得出结论． 【小问1详解】 解：在矩形中，，且， 在电动门抬起状态下，四边形中依然保持，且，则其形状为平行四边形； 【小问2详解】 解：连接，过点作于点E，如图所示： 四边形是矩形，则， 由题意可知，，， 则在中，由勾股定理可得， ； 【小问3详解】 略 七、（本大题共1小题，满分14分） 23. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，点E是对角线上一点，点F在延长线上，且，与交于点P，连接、． （1）求证：； （2）若，，点P恰好是的中点． ①求证：四边形是矩形； ②若，求证：四边形是正方形． 【答案】（1） 证明：在平行四边形中，， ， 是的中位线， ； （2） 证明：①在平行四边形中，， ， ， ， ， ， ∵点P恰好是的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形； ②在平行四边形中，， ， 设，则， ∵四边形是矩形， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， 解得：（负值已舍）， ， ， ∴矩形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形性质、三角形中位线定理、矩形的判定及正方形的判定，掌握相关判定及性质是解题关键， （1）证明是的中位线，即可得出结论； （2）①证明得出，证明四边形是平行四边形，再根据证明结论； ②设，则，求出，根据勾股定理列方程求出，证明得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级 数学 试题卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. B. ，， C. D. 4. 如图，在四边形中，已知．添加下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 5. 在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长和宽各多少步？设长为x步，则下列所列方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点为的中点，交于点．若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 7. 五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同足球烯分子（）中的微粒一样团结在一起．一个足球烯分子由12个正五边形，20个正六边形组成（如图1所示）．如图2，在正六边形中，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第个图形是正方形，第个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第个图形，……，则第个图形中正方形的个数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，E是边上一点，将沿着翻折至．已知，，，当E，F，B三点共线时，则的长是（ ） A. 6 B. C. 8 D. 10. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程一定有解； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若方程两根为，，且满足，则方程，必有实数根，． ④若，则方程必有两个不相等的实数根； ⑤若，且，则方程的两实数一定互为相反数． 其中，正确的有几个（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x满足_____； 12. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简______． 13. 如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____． 14. 如图，将长方形纸片沿对折后展开，再沿折叠使点落在折痕上的点处，再将点折至点处，折痕为，点恰为的中点，已知，，则： （1）______；（2）______． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 解方程：x（x-4）=2x-8． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 18. 观察下列等式，解答问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：，… （1）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明； （2）请利用（1）的结论计算：． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，，D，E分别是，的中点，连接，过点B作，过点E作． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 20. 2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号A、B、C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91；93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 a 70 八年级 m b c （1）上述表中， ， ，并补全七年级的箱线图； （2）求八年级所抽取学生的平均成绩m； （3）若该校八年级有600名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数． 六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分） 21. 已知，矩形中，，的垂直平分线分别交于点，垂足为． （1）如图1，连接，求证：四边形为菱形； （2）如图2，动点分别从两点同时出发，沿和各边匀速运动一周，即点自停止，点自停止．在运动过程中， ①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当四点为顶点的四边形是平行四边形时，则____________． ②若点的运动路程分别为 （单位:），已知四点为顶点的四边形是平行四边形，则与满足的数量关系式为____________． 22. 【项目式学习】 项目背景：许多住宅小区、停车场等地方均会安装电动门，以提升使用车库的便利性和安全性，围绕电动伸缩门，某校数学实践小组以“电动门”这一主题开展项目式学习． 素材1 如图1，是某小区处于关闭状态的一扇电动门． 素材2 将图1状态下的电动门抽象成如图2所示的矩形，测量发现，，且与出入口相等，与地面的距离，，． 素材3 当有车辆来临，触发感应装置，电动门（矩形）自动抬起，变为四边形． 问题解决 （1）任务1：在抬起状态下，四边形的形状为______； （2）任务2：如图3，当抬起的电动门的端点与的连线与平行时，求，两点间的距离； （3）任务3：如图4，当电动门抬起，且与水平方向的夹角为时，一辆高，宽的汽车从该入口进入时，汽车需要与保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由．（参考数据：） 七、（本大题共1小题，满分14分） 23. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，点E是对角线上一点，点F在延长线上，且，与交于点P，连接、． （1）求证：； （2）若，，点P恰好是的中点． ①求证：四边形是矩形； ②若，求证：四边形是正方形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $