专题4.4 数学归纳法 （3大知识点+6大题型+21题强化）-2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义（沪教版选择性必修第一册）

2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题4.4 数学归纳法 知识点01归纳法 由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想的一种方法. 归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法. 知识点02数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值()时命题成立； 第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥,k)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法称为数学归纳法. 知识点03数学归纳法的重要结论及适用范围 数学归纳法的重要结论 适用范围 只适用于证明与正整数有关的数学命题 题型01：数学归纳法的理解 【方法点拨】数学归纳法的三个关键点 (1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律． (3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设． 【例1】用数学归纳法证明，第一步应验证 （    ） A．当时，不等式成立 B．当时，不等式成立 C．当时，不等式成立 D．当时，不等式成立 【答案】C 【详解】由题意知的最小值为，所以第一步应验证当时，不等式成立， 故选：C. 【例2】已知命题及其证明： （1）当时，左边，右边，所以等式成立． （2）假设时等式成立，即成立，则当时，，所以时等式也成立． 由（1）（2）知，对任意的正整数命题都成立．判断以上评述（    ） A．命题、证明都正确 B．命题正确、证明不正确 C．命题不正确、证明正确 D．命题、证明都不正确 【答案】B 【分析】由数学归纳法、等比数列求和公式即可求解. 【详解】证明不正确，错在证明当时，没有用到假设时的结论． 由等比数列求和公式知,命题正确. 故选：B． 【跟踪训练】 1.用数学归纳法证明“对任意的，都有，第一步应该验证的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据数学归纳法的知识确定正确答案. 在等式中， 当时，， 故等式的左边为，右边为. 所以第一步应该验证的等式是. 故选：D 2.用数学归纳法证明对任意都成立，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】化简可得，再从正整数开始逐个代入判断即可 【详解】由题得，即，当时，，不符合；当时，，不符合；当时，，不等式成立；当时，25，不等式成立，当时根据指数函数与一次函数的性质可得.所以满足题意的的最小值为3. 故答案为：3 3.用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数学归纳法的定义可得结论. 【详解】由数学归纳法证明时，结论成立， 即需证明成立， 即必须证得右边为. 故选C. 4.某个与自然数有关的命题，如果当时该命题成立，可推得时该命题也成立，那么，若已知时该命题不成立，则可推得（    ） A．当时，该命题不成立 B．当时，该命题成立 C．当时，该命题不成立 D．当时，该命题成立 【答案】C 【解析】根据逆否命题与原命题真假性一致可得出结论. 可得题干等价于其逆否命题：当时该命题不成立，则可推得时该命题也不成立． 所以，当时该命题不成立，则当时，该命题也不成立. 故选：C. 题型02：数学归纳法的增项 【方法点拨】：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项． 这时一定要弄清三点： ①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项． ②代数式相邻两项之间的变化规律． ③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系． 【例3】已知，则中共有 项. 【答案】 【解析】根据解析式的组成特点及各项分母的特征，即可得解. 因为，我们观察解析式的组成特点，是由，，，，组成， 其中每一项的分母为，，，，组成等差数列，且首项为，公差为1，最后一项为； 所以它的项数为，即为的项数为． 故答案为：． 【例4】用数学归纳法证明：时，从推证时，左边增加的代数式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据数学归纳法的规定，当时，等式为， 当时，等式为， 则左边增加的代数式是. 故选：A. 【例5】用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【解析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减， 由于，左边, 时，左边， 比较两式，从而等式左边应添加的式子是， 故选：． 【例6】利用数学归纳法证明等式：，当时，左边的和记作，则当时左边的和记作，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过分别写出与的表达式，对应相减即得结论． 【详解】解：依题意，， 则， ， 故选：． 【跟踪训练】 1.利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到，左边增加了（    ） A．1项 B．k项 C．项 D．项 【解析】由题意知当时，左边为，当时，左边为，增加的部分为，共项． 故选：D 2．用数学归纳法证明不等式：，从到，不等式左边需要（    ） A．增加一项 B．增加两项、 C．增加，且减少一项 D．增加、，且减少一项 【答案】D 【解析】理解数学归纳法到步骤，结合不等式的差异确定增减项即可. 【详解】由数学归纳法知：若时，不等式成立，则有：成立， 那么时，有：， ∴， 综上知：不等式左边需要增加、，且减少一项 故选：D 3.用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【答案】见解析 【解析】分别计算出和的项数，进而作差即得结论． 因为， 所以，共项， 则共项， 所以比共增加了项， 故选：D. 4.在用数学归纳法求证：，(为正整数)的过程中，从“到”左边需增乘的代数式为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】数学归纳法、数学归纳法证明恒等式 【分析】根据题意，分别得到和时，左边对应的式子，两式作商，即可得出结果. 【详解】当时，左边， 当时，左边， 则. 故选：D. 题型03：用数学归纳法证明恒等式 【例7】证明：． 【答案】证明见解析 【分析】根据数学归纳法证明的过程，先证明当时等式成立，再假设当时等式成立，代入化简得时成立即可. 【详解】①当时，左边，右边，等式成立． ②假设当时等式成立，即 ． 那么当时， ，等式也成立． 根据①和②，可知对任何都成立． 原等式得证. 【例8】已知． (1)是否存在常数使得对任意的都成立？若存在，求出； (2)若（1）中存在，用数学归纳法证明． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据数学归纳法的证明步骤证明． 【详解】（1）存在， 由题可得，解得， 所以存在，； （2）证明： 当时，， 假设时，等式成立， 时， 成立， 综上，成立． 【跟踪训练】 1.用数学归纳法证明. 【答案】见解析 【解析】根据数学归纳法证明的步骤进行证明即可. 证明：①当时，左边，右边，等式成立； ②假 设 当 时等式成立， 即. 那么， 即当时等式也成立. 由①②知，等式对任何都成立. 【点睛】本题考查了利用数学归纳法证明有关数列的命题，属于基础题. 2. 用数学归纳法证明（为正整数）． 【答案】证明见解析 【解析】根据数学归纳法的步骤证明即可. 当时，左侧，右侧，显然成立， 假设时， 当时， ， 即当时，等式也成立，综上可得，． 3．是否存在常数，，，使得等式对任意的都成立？ 【答案】存在 【分析】先令，，，列出方程组求出，再利用数学归纳法证明等式成立. 【详解】假设存在，，使题设的等式成立， 令，，，有，则. 于是，对，，，下面等式成立： ． 记， 假设时上式成立，即， 那么当时， ， 也就是说，等式对也成立. 综上所述，当，，时，题设对任意的均成立. 4.用数学归纳法证明（为正整数）． 【答案】证明见解析 【解析】根据数学归纳法证明的步骤，首先验证当时成立，进而假设时等式成立，证明时，等式也成立；即可得证． 设． ①当时，左边，右边，等式成立； ②设当时等式成立，即， 则当时， ． 由①②可知当时等式都成立． 5.用数学归纳法证明： (1)； (2)． 【答案】见解析 【解析】（1）记，验证当时，等式成立；假设当时，等式成立，然后证明出当时，等式成立，利用数学归纳法可证得结论成立； （2）记，验证当时，等式成立；假设当时，等式成立，然后证明出当时，等式成立，利用数学归纳法可证得结论成立. （1）证明：记， 当时，则有，等式成立， 假设当，等式成立，即， 则， 这说明当时，等式成立， 故对任意的，. （2）证明：设， 当时，，等式成立， 假设当时，等式成立， 即， 所以， ， 这说明当时，等式成立， 所以，对任意的，. 6.用数学归纳法证明以下恒等式： (1)； (2). 【答案】见解析 【解析】（1）按照数学归纳法的步骤证明即可； （2）按照数学归纳法的步骤证明即可； （1）①当时，左边，右边，左边与右边相等，即时等式成立； ②假设当时，等式成立， 即， 则当时，左边 右边， 即当时，等式也成立； 综上所述，由①②可知，对于任意正整数，成立. （2）①当时，左边，右边，左边与右边相等，即时等式成立； ②假设当时，等式成立， 即， 则当时，左边 右边， 即当时，等式也成立； 综上所述，由①②可知，对于任意正整数，成立. 题型04：用数学归纳法证明不等式 【例9】用数学归纳法证明：对于任意大于1的正整数n，不等式都成立． 【答案】证明见解析 【分析】由n＝2时成立，再假设当n＝k（k∈N*，k≥2）时，不等式成立，然后论证n＝k+1时成立即可. 【详解】证明：（1）当n＝2时，左边＝，右边，左边＜右边，成立； （2）假设当n＝k（k∈N*，k≥2）时，不等式都成立． 则当n＝k+1时，左边＝， ＝右边． ∴当n＝k+1时，不等式成立． 综上可得：对于任意大于1的正整数n，不等式都成立． 【跟踪训练】 1．用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【答案】证明见解析 【详解】当时，不等式成立， 假设时原不等式成立，即， 则时，左边， 当时，， 即， 因此时原不等式也成立． 综上，对任意的正整数． 2．当且时，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】 【详解】①当时，左边，不等式成立； ②假设当时，不等式成立， 即， 则当时， 左边 ． 由①②知对任意且不等式成立． 3.用数学归纳法证明：. 【答案】证明见解析 【解析】构造函数，利用导数分析该函数的单调性，推导出对任意的，，然后利用数学归纳法即可证明出原不等式成立. 先证明出，，即， 构造函数， 当时，则， 所以，函数在上单调递增，则， 则，即， 即， 对任意的，当时，. 当时，左边，右边，左边右边； 假设当时，不等式成立，即. 则当时，则. 这说明，当时，原不等式也成立. 综上所述，对任意的，. 【点睛】本题考查利用数学归纳法证明数列不等式，同时也考查了利用导数证明不等式，考查推理能力，属于中等题. 题型05：用数学归纳法证明整除问题 【例10】用数学归纳法证明：能被64整除． 【答案】证明见解析 【分析】按照数学归纳法的步骤证明即可. 【详解】（i）当时，，能被64整除，故时命题成立； （ii）假设当时命题成立，即能被64整除， 则当时，能被64整除， 故当时命题成立． 由（i）（ii）可知对，都能被64整除． 【跟踪训练】 1. 用数学归纳法证明：能被整除． 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法的证明步骤，结合条件，即可求解. 【详解】（1）时，，能被整除， （2）假设时，能被36整除， 当时，， ， 因为是偶数，所以能被整除， 又因为能被整除，所以能被整除， 由（1）（2）知，对一切，能被整除． 2.用数学归纳法证明：能被整除． 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法证明整除问题，首先证明时结论成立，再假设时结论成立，利用假设证明时结论也成立即可得出结论成立． 【详解】①当时，能被133整除，所以当时结论成立； ②假设当时，能被133整除， 那么当时， ， 由假设可知能被133整除，即能被133整除， 所以当时结论也成立； 综上，能被133整除． 题型06：数学归纳法证明数列问题 【例11】已知在数列中，，是它的前项和，当时，． (1)求，，的值，并推测的通项公式； (2)用数学归纳法证明所得的结论． 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 【分析】（1）由已知条件求出的值，归纳猜想通项； （2）用数学归纳法证明. 【详解】（1）因为，所以，解得． 这时，，所以，解得． 这时，，所以，解得． 由，，，猜想时，， 所以推测数列的通项公式是. （2）用数学归纳法证明： （i）当时结论成立； （ii）假设当时结论成立，即， 这时 ， 所以. 当时，由得， 得，所以，即时结论成立. 由（i），（ii）可知对时结论都成立. 【跟踪训练】 1.设数列满足，． (1)计算，猜想的通项公式； (2)用数学归纳法证明上述猜想，并求前项和． 【答案】(1)，， (2)证明见解析， 【解析】（1）根据已知条件，结合递推关系求出，从而可猜想出通项公式， （2）利用数学归纳法的步骤证明即可，判断数列为等差数列，然后根据等差数的求和公式可求得结果. （1）因为数列满足，， 所以， ， 由此可猜想 （2）证明：①当时，显然成立， ②假设当时，成立，即，则 当时， ， 所以时也成立， 综合①②可得， 因为， 所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列， 所以 2．在数列中，，. (1)求，，猜想数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为，， 可得，， 因此可猜想. （2）当时，，等式成立； 假设当时，等式成立，即， 则当时，， 即当时，等式也成立. 综上所述，对任意，. 3．记为数列的前n项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，上式也成立， 所以； （2）当时，，， 所以成立， 假设当时，不等式成立， 即， 则当时，， ， 又， 所以， 所以， 即当时，不等式也成立. 综上，. 一、填空题 1．用数学归纳法证明“对于的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值应取_______ 【详解】显然当时，，而当时，，不符合要求； 当时，，不符合要求；当时，，不符合要求； 当时，，符合要求． 2．用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是__________. 【答案】 【详解】因为，且可知：的第一个取值为， 由题意可知，当时，， 所以第一步需验证的不等式为． 故答案为：. 3．用数学归纳法证“”的过程中，当到时，左边所增加的项为 ． 【答案】 【详解】由 当到时，左边增加了两项，减少了一项， 即左边所增加的项为． 故答案为：． 4．存在常数a，b，c使得等式对一切正整数成立，则 ． 【答案】24 【详解】令，则， 则. 故答案为：24 5．用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是________ 【详解】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减， 由于，左边； 时，左边， 比较两式，从而等式左边应添加的式子是． 6．用数学归纳法证明等式“”时，从到时，等式左边需要增加的是 . 【答案】 【详解】用数学归纳法证明等式时, 当时，左边所得的项是; 假设时,命题成立,左端为; 则当时,左端为, 所以从“”需增添的项是. 故填:. 【点睛】本题考查数学归纳法证明的第二步：归纳递推, 从“”需将“”代入所需证明的表达式中，明确其具体含义，是个易错点，属于中档题. 7．已知数列满足，，则数列通项公式为______. 【答案】， 【详解】由可得（*）， 因，则，，，，…… 归纳这个规律，猜想：，. 下面用数学归纳法证明这个猜想. （1）当时，，猜想成立； （2）假设当时，猜想成立，即， 则当时，由（*）可得， 即当时，猜想也成立， 由（1）（2）可知，猜想对任何都成立. 故答案为：，. 二、选择题 8．利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 【答案】B 【详解】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 增加的项为，共有项. 故选：B 9．用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由数学归纳法证明时，结论成立， 即需证明成立， 即必须证得右边为. 故选C. 10. 利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 【答案】B 【分析】根据给定条件，探讨从变到不等式左边增加的部分即可得解. 【详解】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 增加的项为，共有项. 故选：B 11. 用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是(    ) A．假设(为正整数)时命题成立，再证时命题也成立 B．假设(为正整数)时命题成立，再证时命题也成立 C．假设(为正整数)时命题成立，再证时命题也成立 D．假设(为正整数)时命题成立，再证时命题也成立 【答案】D 【分析】根据题意可得为偶数，结合数学归纳法的证明步骤即可得出答案. 【详解】因为为正偶数，所以第二步的假设应写为： 假设(为正整数)时命题成立，再证时命题也成立， 即当(为正整数)时，能被整除， 再证时，能被整除. 故选：D 12．对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时，， 所以当时，不等式成立，则上述证法（    ） A．过程全部正确 B．验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 【答案】D 【详解】在时，没有应用时的归纳假设，不是数学归纳法. 故选：D. 3、 解答题 13.求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先证明时，等式成立，再假设时，等式成立，再证明时，等式也成立即可. 【详解】当时，左边，右边，等式成立； 假设时，等式成立， 即； 当时， ， 所以时，等式也成立． 综上所述，等式对任何都成立． 14．用数学归纳法证明不等式：． 【答案】证明见解析 【详解】（i）当时，左边，右边，显然，左边右边，原不等式成立； （ii）假设当时不等式成立， 即， 那么当时， ． 又， 所以， 即时，不等式也成立． 由（i）（ii）可知，对任意，不等式都成立． 15．用数学归纳法证明： 【答案】证明见解析 【详解】①当时，左边，左边右边，不等式成立； ②假设时不等式成立，即， 则当时，左边 ， 即当时，不等式也成立. 由①②可知，原不等式成立. 16．用数学归纳法证明：能被整除（） 【答案】答案见解析 【详解】当时，， 故能被整除， 假设当时，结论成立，即能被整除， 则当时， ， 由于和均能被整除， 故能被整除， 综上：能被整除（）. 17．求证：对任何正整数n，数都能被8整除 【答案】证明见解析 【分析】 【详解】 证明: 1°当n=1时，，命题成立． 2°假设n=k时，能被8整除， 则当n=k+1时，, 因为是8的倍数，而也是8的倍数，所以Ak+1也是8的倍数， 即n=k+1时，命题也成立 由以上1°、2°可知，对一切正整数n，能被8整除． 18.已知数列的前项和为，，且. （1）求、、； （2）由（1）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【答案】（1），，；（2），证明见解析. 【解析】（1）由，分别令，，求解： （2）由（1）猜想，数列的通项公式为，由时成立，再假设，成立，然后论证时成立即可. （1）， 当时，，解得，即有； 当时，，解得，则； 当时，，解得，则； （2）由（1）猜想可得数列的通项公式为. 下面运用数学归纳法证明. ①当时，由（1）可得成立； ②假设，成立， 当时，， 即有， 则， 当时，上式显然成立； 当时，，即， 则当时，结论也成立. 由①②可得对一切，成立. 【点睛】方法点睛：“归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性． 19.已知正项数列的前项和为，满足． (1)求出数列的前三项； (2)根据数列的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】见解析 【解析】（1）分别将代入求解即可； （2）先猜想通项公式，再应用数学归纳法及证明即可. （1）当时，由已知条件可得，即， 解得； 当时，由已知条件可得，将代入得， 解得； 当时，由已知条件可得，同理解得． （2）由（1）可以猜想，时，等式成立； 假设当时，等式也成立，即， 又因为， 将代入上式解得， 所以时命题成立． 综合可得，当时，． 20.已知数列的每一项均为正数，记的前项和为，，尝试通过计算数列的前四项，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 【答案】；证明见解析 【分析】根据递推关系先求前四项，再猜想数列的通项，验证基础成立，证明递推成立即可. 【详解】因，当时，由可得，因，故； 当时，，即，即，故； 当时，即，即，故； 当时，，即， 即，故. 由，，，，可猜测. 证明如下： 当时，猜想成立； 设当（）时，猜想成立，即； 则当时，依题意，①，② 由①-②，可得，，即， 即，因，故得，即猜想也成立. 综上，由数学归纳法就可以断定对任何正整数都成立，这就是该数列的通项公式． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题4.4 数学归纳法 知识点01归纳法 由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想 的一种方法. 归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法. 知识点02数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值()时命题成立； 第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥,k)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法称为数学归纳法. 知识点03数学归纳法的重要结论及适用范围 数学归纳法的重要结论 适用范围 只适用于证明与正整数有关的数学命题 题型01：数学归纳法的理解 【方法点拨】数学归纳法的三个关键点 (1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律． (3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设． 【例1】用数学归纳法证明，第一步应验证 （    ） A．当时，不等式成立 B．当时，不等式成立 C．当时，不等式成立 D．当时，不等式成立 【例2】已知命题及其证明： （1）当时，左边，右边，所以等式成立． （2）假设时等式成立，即成立，则当时，，所以时等式也成立． 由（1）（2）知，对任意的正整数命题都成立．判断以上评述（    ） A．命题、证明都正确 B．命题正确、证明不正确 C．命题不正确、证明正确 D．命题、证明都不正确 【跟踪训练】 1.用数学归纳法证明“对任意的，都有，第一步应该验证的等式是（    ） A． B． C． D． 2.用数学归纳法证明对任意都成立，则的最小值为 . 3.用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（    ） A． B． C． D． 4.某个与自然数有关的命题，如果当时该命题成立，可推得时该命题也成立，那么，若已知时该命题不成立，则可推得（    ） A．当时，该命题不成立 B．当时，该命题成立 C．当时，该命题不成立 D．当时，该命题成立 题型02：数学归纳法的增项 【方法点拨】：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项． 这时一定要弄清三点： ①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项． ②代数式相邻两项之间的变化规律． ③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系． 【例3】已知，则中共有 项. 【例4】用数学归纳法证明：时，从推证时，左边增加的代数式是（　　） A． B． C． D． 【例5】用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【例6】利用数学归纳法证明等式：，当时，左边的和记作，则当时左边的和记作，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到，左边增加了（    ） A．1项 B．k项 C．项 D．项 2．用数学归纳法证明不等式：，从到，不等式左边需要（    ） A．增加一项 B．增加两项、 C．增加，且减少一项 D．增加、，且减少一项 3.用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 4.在用数学归纳法求证：，(为正整数)的过程中，从“到”左边需增乘的代数式为(　　) A． B． C． D． 题型03：用数学归纳法证明恒等式 【例7】证明：． 【例8】已知． (1)是否存在常数使得对任意的都成立？若存在，求出； (2)若（1）中存在，用数学归纳法证明． 【跟踪训练】 1.用数学归纳法证明. 2. 用数学归纳法证明（为正整数）． 3．是否存在常数，，，使得等式对任意的都成立？ 4.用数学归纳法证明（为正整数）． 5.用数学归纳法证明： (1)； (2)． 6.用数学归纳法证明以下恒等式： (1)； (2). 题型04：用数学归纳法证明不等式 【例9】用数学归纳法证明：对于任意大于1的正整数n，不等式都成立． 【跟踪训练】 1．用数学归纳法证明：对任意的正整数． 2．当且时，求证：． 3.用数学归纳法证明：. 题型05：用数学归纳法证明整除问题 【例10】用数学归纳法证明：能被64整除． 【跟踪训练】 1. 用数学归纳法证明：能被整除． 2.用数学归纳法证明：能被整除． 题型06：数学归纳法证明数列问题 【例11】已知在数列中，，是它的前项和，当时，． (1)求，，的值，并推测的通项公式； (2)用数学归纳法证明所得的结论． 【跟踪训练】 1.设数列满足，． (1)计算，猜想的通项公式； (2)用数学归纳法证明上述猜想，并求前项和． 2．在数列中，，. (1)求，，猜想数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想. 3．记为数列的前n项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明：. 一、填空题 1．用数学归纳法证明“对于的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值应取_______ 2．用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是__________. 3．用数学归纳法证“”的过程中，当到时，左边所增加的项为 ． 4．存在常数a，b，c使得等式对一切正整数成立，则 ． 5．用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是________ 6．用数学归纳法证明等式“”时，从到时，等式左边需要增加的是 . 7．已知数列满足，，则数列通项公式为______. 二、选择题 8．利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 9．用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（    ） A． B． C． D． 10. 利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 11. 用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是(    ) A．假设(为正整数)时命题成立，再证时命题也成立 B．假设(为正整数)时命题成立，再证时命题也成立 C．假设(为正整数)时命题成立，再证时命题也成立 D．假设(为正整数)时命题成立，再证时命题也成立 12．对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时，， 所以当时，不等式成立，则上述证法（    ） A．过程全部正确 B．验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 3、 解答题 13.求证：． 14．用数学归纳法证明不等式：． 15．用数学归纳法证明： 16．用数学归纳法证明：能被整除（） 17．求证：对任何正整数n，数都能被8整除 18.已知数列的前项和为，，且. （1）求、、； （2）由（1）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 19.已知正项数列的前项和为，满足． (1)求出数列的前三项； (2)根据数列的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明． 20.已知数列的每一项均为正数，记的前项和为，，尝试通过计算数列的前四项，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $