专题3.4.3 空间向量在立体几何中的应用-求角的大小（3大知识点+5大题型+21题强化） 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义（沪教版选择性必修第一册）

2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题3.4.3 空间向量在立体几何中的应用--求角的大小 知识点一、用向量运算求两条直线所成角 1、已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 2、利用空间向量求异面直线所成角的步骤： （1）建立适当的空间直角坐标系， （2）求出两条异面直线的方向向量的坐标， （3）利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角， （4）结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角． 3、求两条异面直线所成角的两个关注点 （1）余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角． （2）范围：异面直线所成角的范围是，故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值． 知识点二、用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 知识点三、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 题型01 求异面直线所成角 【方法点拨】向量法求异面直线所成角解题步骤： ①建系：建立空间直角坐标系； ②找坐标：求出两条异面直线的方向向量的坐标； ③求夹角：利用向量夹角的公式计算两直线方向向量的夹角； ④下结论：结合异面直线所成角的范围，得到异面直线所成的角． 【例1】在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，∠ADC＝90°，AD＝AB＝3，PD＝4，DC＝6，则DB与CP所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 2.在直三棱柱中，已知，E是的中点，D是的中点，与相交于点F，，，，则与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 3.在正四棱柱中，为棱上的动点（不包含端点），则与所成角的余弦值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型02 求直线与平面所成角 【方法点拨】向量法求直线与平面的夹角的步骤 【例2】如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线A1B与平面BDE的夹角（　　） A． B． C． D．π 【例3】在中国古代数学中，将底面为矩形并有一条棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图是一个底面为正方形的阳马，其中底面，且. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【跟踪训练】 1.若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（ ） A． B． C．或 D．或 2.在三棱锥中，平面，，分别是棱的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 3.在中，，，，、分别是、上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的大小；    题型03 求二面角 【方法点拨】向量法求解面面角（二面角）的步骤 (1) 建立空间直角坐标系； (2) 分别求出两个平面的法向量n1和n2； (3) 设平面间的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|； (4) 利用余弦值，确定平面间的夹角的大小． 【注意】一定明确是面面角还是二面角，面面角的范围为，一定为非负数，二面角的范围为，所以需要由图形先判断是锐角还是钝角，再确定与向量角的对应关系 【例4】如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【例5】如图，在四棱锥中，，，，平面平面，E为中点. (1)求证：面； (2)点Q在棱上，若二面角的余弦值为，求的值.    【跟踪训练】 1．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2．若二面角B1﹣DC﹣C1的大小为60°，则AD的长为（　　） A． B． C．2 D． 2．如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（    ） A． B． C． D． 3.如图，在四棱锥平面，底面是直角梯形，其中，为棱上的点，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值. 题型04 空间角中的最值（范围）问题 【例6】在正方体中，点为线段上的动点，则异面直线与所成角的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例7】长方体中，，，为侧面内的一个动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. 如图，是正方体体对角线（含端点）上的动点，为棱（含端点）上的动点，则下列说法正确的是（    ）    A．异面直线与所成角的最小值为 B．异面直线与所成角的最大值为 C．对于任意给定的，存在点，使得 D．对于任意给定的，存在点，使得 2. 在正方体中，空间中一动点满足，则直线与直线所成角正弦值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型05 空间角中的探索性问题 【例8】如图，已知正方体的棱长为1，点为棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，给出以下三个结论： ①存在点满足； ②存在点满足与平面所成角的大小为； ③存在点满足； 其中正确的个数是（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【例9】如图，在五面体中，四边形为矩形，为等腰直角三角形，且.平面平面. (1)求证：： (2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由. 【跟踪训练】 1.如图，四边形、均为直角梯形，，，，且． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 2.在如图所示的多面体中，四边形是平行四边形，平面，，且，. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若不存在，请说明理由；若存在，求线段的长. 3.如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，分别是棱上. (1)若分别是棱的中点，求证：平面； (2)设底面是边长为1的正方形，，，二面角的正切值为，若，求的最小值.    4.如图，在以为顶点的多面体中，平面平面， 为的中点    (1)证明： 平面； (2)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 5.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，． (1)求线段的长； (2)线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 一、填空题 1．如图，在长方体中，，则异面直线和夹角的余弦值为______ 2．在正四棱柱中，，为棱的中点，为线段上的一点，且，则直线与直线所成角的余弦值为________ 3.如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，点E为SC中点，，则异面直线EB与AC所成角的余弦值为_______ 4.如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，过作平面，使得，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 5.在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于________    6.在四棱锥中，侧面OAB是正三角形，底面ABCD是矩形，二面角为直二面角.若，则平面OAB与平面OCD的夹角的余弦值为_________ 二、选择题 7.如图，正方体的棱长为1，若点M为AB的中点，，则与MN所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑中，平面，且，M为中点，为中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 9.如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 10.如图，在正方体中，是棱上的动点．则下列结论不正确的是（    ） A．平面 B． C．二面角的大小为 D．直线与平面所成角的大小不变 三、解答题 11.如图，四棱锥中，与都是等腰直角三角形，，平面平面，，点在棱上. (1)证明：平面； (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值. 12. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．建立适当的空间直角坐标系，用空间向量方法解决如下问题： (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值．    13．如图，点O为正四棱锥P﹣ABCD的底面中心，四边形POBQ为矩形，且OA，BQ＝2． （1）求正四棱锥P﹣ABCD的体积； （2）设E为侧棱PA上的点，且，求直线BE和平面PQC所成角的大小． 14.如图，已知菱形和等边三角形有公共边，点B在线段上，与交于点O，将沿着翻折成，得到四棱锥，． (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． (3)求直线与平面夹角正弦值的最大值． 15.如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形， ，. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角（即两个平面相交时所成的锐二面角）的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 16.如图，在四棱锥中，平面平面，，为棱PC的中点. (1)证明：平面PAD； (2)求平面PDM和平面BDM的夹角的余弦值； (3)在线段PA上是否存在点，使点到平面BDM的距离是？若存在，求PQ的长；若不存在，说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题3.4.3 空间向量在立体几何中的应用--求角的大小 知识点一、用向量运算求两条直线所成角 1、已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 2、利用空间向量求异面直线所成角的步骤： （1）建立适当的空间直角坐标系， （2）求出两条异面直线的方向向量的坐标， （3）利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角， （4）结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角． 3、求两条异面直线所成角的两个关注点 （1）余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角． （2）范围：异面直线所成角的范围是，故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值． 知识点二、用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 知识点三、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 题型01 求异面直线所成角 【方法点拨】向量法求异面直线所成角解题步骤： ①建系：建立空间直角坐标系； ②找坐标：求出两条异面直线的方向向量的坐标； ③求夹角：利用向量夹角的公式计算两直线方向向量的夹角； ④下结论：结合异面直线所成角的范围，得到异面直线所成的角． 【例1】在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，∠ADC＝90°，AD＝AB＝3，PD＝4，DC＝6，则DB与CP所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为PD⊥平面ABCD，AB∥DC，∠ADC＝90°， 故以D为坐标原点，直线DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示， 因为AD＝AB＝3，PD＝4，DC＝6， 则D（0，0，0），B（3，3，0），C（0，6，0），P（0，0，4）， 所以， 设DB与CP所成的角为α，则， 所以DB与CP所成角的余弦值为． 故选：C． 【跟踪训练】 1．直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法可求得结果. 【详解】以为坐标原点，的正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， ，，，，，， ，即， 与所成的角为. 2.在直三棱柱中，已知，E是的中点，D是的中点，与相交于点F，，，，则与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出与的方向向量，结合向量夹角的余弦公式即可求解. 【详解】由题意建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，， 所以， 由于在平面内，所以的纵坐标为0， 且直线方程满足，满足，联立，解得， 所以， 因为， 所以与所成的角的余弦值为， 所以与所成的角的大小为. 故选：B. 3.在正四棱柱中，为棱上的动点（不包含端点），则与所成角的余弦值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用异面直线所成的角的夹角公式可得，平方后利用换元法可求范围. 【详解】以为坐标原点，以，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，故，， 设与所成的角为，则， 所以，令， 所以，故. 故选：B. 题型02 求直线与平面所成角 【方法点拨】向量法求直线与平面的夹角的步骤 【例2】如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线A1B与平面BDE的夹角（　　） A． B． C． D．π 【解答】解：以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则，A1（1，0，1）， 所以， 设平面BDE的法向量为， 则，即， 令x＝1，则y＝﹣1，z＝2， 所以， 又， 故， 所以直线A1B与平面BDE的夹角为． 故选：B． 【例3】在中国古代数学中，将底面为矩形并有一条棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图是一个底面为正方形的阳马，其中底面，且. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明线线垂直建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，再根据得出面面垂直； （2）应用线面角正弦公式计算求解. 【详解】（1）因为底面，底面， 所以. 又底面为正方形，所以. 故两两垂直. 以点为坐标原点，所在直线依次为轴、轴、轴建立空间直角坐标系. 由条件可得下面各点的坐标：， ， 进一步得. 设平面的法向量为， 由得即 令，得，所以. 设平面的法向量为， 由得即 令，得，所以. 因为， 所以，平面平面. （2）由（1）得，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为，则 . 【跟踪训练】 1.若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】求出方向向量和法向量夹角余弦值绝对值后，可得直线与平面所成的角的正弦，进而可得解. 【详解】设直线与平面所成的角为，则． 因为，所以． 故选：A. 2.在三棱锥中，平面，，分别是棱的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，用向量的方法直接计算线面角的正弦值. 【详解】因为平面，平面，所以. 又因为，所以， 故以A点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则， 又因为分别是棱的中点，所以. 设平面的法向量为，. 由，得，令，则，即. 因为，所以直线与平面所成角的正弦值为 . 故选：C. 3.在中，，，，、分别是、上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的大小；    【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定推理即得. （2）建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，再利用线面角的向量法求解即得. 【详解】（1）在中，，，则， 在几何体中，， 平面，则平面，而平面， 则，又，平面， 所以平面. （2）由（1）知平面，而，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    依题意，，， 则，， 显然平面的一个法向量，设与平面所成的角为， 则，， 所以与平面所成角的大小为. 题型03 求二面角 【方法点拨】向量法求解面面角（二面角）的步骤 (1) 建立空间直角坐标系； (2) 分别求出两个平面的法向量n1和n2； (3) 设平面间的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|； (4) 利用余弦值，确定平面间的夹角的大小． 【注意】一定明确是面面角还是二面角，面面角的范围为，一定为非负数，二面角的范围为，所以需要由图形先判断是锐角还是钝角，再确定与向量角的对应关系 【例4】如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则， 所以， 因为平面， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 ，令， 则，所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 因为为锐角，所以， 所以， 所以平面与平面的夹角的正切值为. 故选：A 【例5】如图，在四棱锥中，，，，平面平面，E为中点. (1)求证：面； (2)点Q在棱上，若二面角的余弦值为，求的值.    【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用解直角梯形得到线线垂直，再证明线面垂直即可； （2）建立空间直角坐标系，设共线向量参数来表示动点对应的向量，再借助空间向量法，来求解二面角的余弦值，从而可得参数值，去求解问题. 【详解】（1）证明：由题意：，，， ∴解这个直角梯形可得：，， 又，∴，即，     又面面，面面，面， ∴面，又 面，∴， 又 ，且面，面，， ∴面； （2）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，， ∴，，， 设，有， 令是平面的一个法向量， 则， 令，有， 取面的一个法向量， 由. 解得. 所以 【跟踪训练】 1．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2．若二面角B1﹣DC﹣C1的大小为60°，则AD的长为（　　） A． B． C．2 D． 【解答】解：∵∠A1C1B1＝∠ACB＝90°， ∴B1C1⊥A1C1， 又由直三棱柱性质知B1C1⊥CC1， ∴B1C1⊥平面ACC1A1． 如图，在面ACC1A1内过C1作C1E⊥CD，交CD或延长线或于E，连EB1， 由三垂线定理可知∠B1EC1为二面角B1﹣DC﹣C1的平面角， ∴∠B1EC1＝60°． 由B1C1＝2知，C1E 设AD＝x，则DC． ∵△DCC1的面积为1， ∴．．1， 解得x 即AD 故选：A． 2．如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则， 所以， 因为平面， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 ，令， 则，所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 因为为锐角，所以， 所以， 所以平面与平面的夹角的正切值为. 故选：A 3.如图，在四棱锥平面，底面是直角梯形，其中，为棱上的点，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由题意建系，写出相关点的坐标，计算向量坐标和平面的法向量的坐标，由即可证得； （2）分别求两平面的法向量坐标，由空间向量的夹角公式计算即得余弦值，再求正弦值即可. 【详解】（1）因平面，且， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 则、、、、. 于是，，, 设平面的法向量为， 则，令，可得， 又，显然，，故得平面. （2）设平面的法向量为，且，， 则，令，可得. 而平面的法向量是， 所以，即 因此，平面与平面所成夹角的正弦值为. 题型04 空间角中的最值（范围）问题 【例6】在正方体中，点为线段上的动点，则异面直线与所成角的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方体的棱长为1，异面直线与所成角为，以D为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法研究即可求解 【详解】设正方体的棱长为1，异面直线与所成角为， 以D为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设， 所以， 所以，， 所以， ， 因为，所以时，取最小值，此时取最大值， 因为，所以的最小值为， 则异面直线与所成角的最小值为． 故选：B． 【例7】长方体中，，，为侧面内的一个动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先建立空间直角坐标系，然后求出点的位置坐标，然后根据向量的夹角求出的最大值即可. 【详解】以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则，. 所以. 因为，所以. 所以，所以. 因为向量是平面的一个法向量， 所以. 因为，所以. 所以. 因为，所以当时，取最小值为. 此时取最大值为. 故选：A.    【跟踪训练】 1. 如图，是正方体体对角线（含端点）上的动点，为棱（含端点）上的动点，则下列说法正确的是（    ）    A．异面直线与所成角的最小值为 B．异面直线与所成角的最大值为 C．对于任意给定的，存在点，使得 D．对于任意给定的，存在点，使得 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】以为坐标原点，建系如图，设正方体的边长为1，则， 设，，则， 设异面直线与所成的角为， 则， 因，由于，则时，， 又，，于是，则， 又，结合余弦函数的单调性可知，，故AB错误； 对于C.设，，则， 由上述分析，，， 当时，无解，故C错误； 对于D.，令，得， 即对于任意的M，存在点P使得，故D正确. 故选：D.    2. 在正方体中，空间中一动点满足，则直线与直线所成角正弦值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方体的棱长为1，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，设点，由条件求得，设直线与直线所成角为，利用空间向量夹角公式求出，通过换元，将其化成，利用的范围和不等式性质即可求得. 【详解】 如图，设正方体的棱长为1，以点为坐标原点建立空间直角坐标系. 则， 设点，则， 由可得：，解得， 则，， 设直线与直线所成角为，则， 于是 ， 设，因，故， 则即，因，则，则， 即，因，则得. 故选：B. 题型05 空间角中的探索性问题 【例8】如图，已知正方体的棱长为1，点为棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，给出以下三个结论： ①存在点满足； ②存在点满足与平面所成角的大小为； ③存在点满足； 其中正确的个数是（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，设，，利用空间向量法一一计算可得. 【详解】如图建立平面直角坐标系，则，，，， 设，，则， 若，则，解得， 所以存在点满足，故①正确； 因为，，设平面的法向量为， 则，取， 设与平面所成角为，， 则， 令，，则，所以， 令，，则，所以， 所以存在点满足与平面所成角的大小为，故②正确； 因为，， 所以，所以， 所以存在点满足，故③正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是建立空间直角坐标系，将几何关系转化为代数计算. 【例9】如图，在五面体中，四边形为矩形，为等腰直角三角形，且.平面平面. (1)求证：： (2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)或. 【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的判定性质推理即得. （2）取的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即得. 【详解】（1）由矩形，得，而平面平面， 平面平面， 平面，则平面，又平面，于是， 因为，所以，又，平面， 因此平面，又平面，所以. （2）取的中点，作，连接，由（1）知，平面， 而平面，则，又，，则，即两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 假设在线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，设， 则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 于是， 整理得，解得或， 所以在线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，此时或. 【跟踪训练】 1.如图，四边形、均为直角梯形，，，，且． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，，理由见解析. 【分析】（1）证明出四边形为平行四边形，得到，从而利用线面平行的判定定理证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，设出，利用线面角的正弦值列出方程，求出答案. 【详解】（1）因为且， 故四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面； （2）因为，，所以两两垂直， 故以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为， 则， 设，则，设， 则，解得，故， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 设直线和平面所成角的正弦值为， 则， 平方化简得，解得， 综上，在线段上存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为， 此时. 2.在如图所示的多面体中，四边形是平行四边形，平面，，且，. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若不存在，请说明理由；若存在，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，1 【分析】（1）取的中点，连接，，证明四边形是平行四边形，则，再根据线面平行得判定定理即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可； （3）设，由题意可得，进而可得出答案. 【详解】（1）如图，取的中点，连接，， 因为，， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以且， 又因为且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为，， 所以，所以， 因为平面，， 所以平面，所以，，两两垂直， 以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则令得，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以， 所以二面角的正弦值为； （3）假设在棱存在点，使得直线与所成角的余弦值为， 设，则，又， 所以，即， 所以，解得或（舍去）， 因此适合条件的点存在，且线段的长为1. 3.如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，分别是棱上. (1)若分别是棱的中点，求证：平面； (2)设底面是边长为1的正方形，，，二面角的正切值为，若，求的最小值.    【答案】(1)证明见解析 (2)； 【分析】（1）取中点，连接，结合三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，则，然后利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）由题意可得二面角的平面角为，则可求得，由已知可证得两两垂直，所以以B为坐标原点，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：取中点，连接，    因为分别是棱的中点， 所以‖，， 因为四边形是平行四边形， 所以，‖， 所以，且，所以四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为四边形为正方形，所以，，， 因为，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，. 所以二面角的平面角为， 所以，所以. 因为，，， 所以两两垂直， 所以以B为坐标原点，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 则，， 所以 ， 所以， 设，则， 因为，所以 所以 所以 所以当时，取到最小值.    4.如图，在以为顶点的多面体中，平面平面， 为的中点    (1)证明： 平面； (2)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【解题思路】（1） 先得出平行四边形得出线线平行，再应用线面平行判定定理证明即可； （2）先应用面面垂直性质定理建系，再设，计算线面角即可求参. 【解答过程】（1）连接交于点，连接， 因为 ，所以四边形为平行四边形， 所以为的中点， 又因为为的中点， 所以 ， 因为平面平面， 所以 平面. （2）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 以为坐标原点，在平面内，以过点垂直于的方向为轴正方向， 以的方向分别为轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，可得， 令，则， 假设在棱上存在一点，使得直线与平而所成角的大小为， 设， 因为，则， 又因为，所以， 则， 化简得，解得， 因为，所以， 所以在棱上存在一点，使得直线与平面所成角的大小为， 此时. 5.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，． (1)求线段的长； (2)线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【解题思路】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量数量积坐标运算可构造方程求得结果； （2）根据面面角的向量求法可构造方程求得长，进而得到结果. 【解答过程】（1）以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，， ，即. （2）设，则，， 设平面的法向量， ，令，则，，； 轴平面，平面的一个法向量， ，即， 解得：或（舍），即， 当时，平面与平面夹角的余弦值为. 一、填空题 1．如图，在长方体中，，则异面直线和夹角的余弦值为______ 【分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算求解异面直线所成角得余弦值即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系， 则，， 故异面直线和夹角的余弦值为 . 2．在正四棱柱中，，为棱的中点，为线段上的一点，且，则直线与直线所成角的余弦值为________ 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，根据，求出点的坐标，再利用向量法求解即可. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 不妨设， 则， 设， 则， 因为， 所以，解得， 所以，则， 所以， 即直线与直线所成角的余弦值为. 3.如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，点E为SC中点，，则异面直线EB与AC所成角的余弦值为_______ 【分析】以D为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，求出、，再由向量的夹角公式计算可得答案. 【详解】因为平面，底面是正方形， 故以D为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，， 因为点E为SC中点，所以， 所以，， 设异面直线EB与AC所成角为， 则. 4.如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，过作平面，使得，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出相关点的坐标和相关平面的法向量，再利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】因正方体的棱长为2，由图易得： ，，，，， 而，分别是棱，的中点，可得，， 则，，设平面的法向量为， 依题意在平面上，所以，则， 因为，所以，则， 令，，，故， 而，设直线与平面所成角为， 可得，故C正确. 5.在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于________    【分析】根据题意建立空间直角坐标系，用向量法即可求出底面边长，即可求解. 【详解】    如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设底面正方形边长为， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，可取， 所以， 因直线与平面所成角的余弦值为， 故直线与平面所成角的正弦值为， 所以，解得 故正四棱柱的体积为， 6.在四棱锥中，侧面OAB是正三角形，底面ABCD是矩形，二面角为直二面角.若，则平面OAB与平面OCD的夹角的余弦值为_________ 【解题思路】建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量后再用向量法计算二面角的余弦值. 【解答过程】    因为底面是矩形，所以， 因为二面角为直二面角， 以为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以过点作平面ABCD的垂线为轴，建立如上所示空间直角坐标系； 设，则； 其中，，，，， ，； 设平面的法向量为， 则， 令，则，； 显然，平面的法向量， 设平面与平面的夹角为， 则 二、选择题 7.如图，正方体的棱长为1，若点M为AB的中点，，则与MN所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】以D为原点建立空间直角坐标系，用异面直线所成角的向量法求解公式计算. 【解答过程】以D为原点，分别以DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，． 则，故与MN所成角的余弦值为． 故选：A. 8.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑中，平面，且，M为中点，为中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将三棱锥放入正方体中，建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线与平面所成角的余弦值． 【解答过程】由题可知两两垂直，且． 因此，如图所示正方体内的三棱锥即为满足题意的鳖臑， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，正方体棱长为2，    则，，，，，则，，． 设平面的法向量为， 则即 故可取．设直线与平面所成角为， 则，故， 故选：D． 9.如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据面面垂直的性质定理，可得平面，故以为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后利用向量法直接求解面面角的余弦值即可． 【解答过程】如图，连接， 因为为中点， 所以， 又平面底面，平面底面平面， 所以平面，故两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    设，由， 可得， 则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，得， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为． 故选：B． 10.如图，在正方体中，是棱上的动点．则下列结论不正确的是（    ） A．平面 B． C．二面角的大小为 D．直线与平面所成角的大小不变 【答案】D 【解题思路】由平面平面，平面，即可判断A；建立空间直角坐标系计算即可判断选项B；先找出二面角的平面角为即可判断选项C，利用向量方法求直线与平面所成角的大小判断D. 【解答过程】对于选项A：因为平面平面，平面， 所以平面，故选项A正确； 如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，， ，，， 对于选项B：，， 因为， 所以，即， 故选项B正确； 因为，在棱上，所以二面角即二面角， 因为，， 平面，平面， 所以即为二面角的平面角， 在正方形中，， 所以二面角的大小为， 故选项C正确， 直线的方向向量为，平面的法向量为， 所以， 所以直线与平面所成角的的正弦值为， 随的值的变换其正弦值也变化，故直线与平面所成角也变化，D错误. 故选：D. 三、解答题 11.如图，四棱锥中，与都是等腰直角三角形，，平面平面，，点在棱上. (1)证明：平面； (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据几何关系证明，再结合面面垂直性质定理即可证明结论； （2）结合（1），建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】（1）与都是等腰直角三角形，，，， 所以，，， 所以，即， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面 （2）因为平面，， 所以两两垂直，故如图建立空间直角坐标系， 则，， 由点在棱上，， 所以， ，， 设平面的一个法向量为， 则，即，故， 因为平面， 所以，解得， 所以 设平面的一个法向量为， 因为，， 所以，即，故， 设直线与平面所成角为，因为 所以 所以直线与平面所成角的正弦值为 12. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．建立适当的空间直角坐标系，用空间向量方法解决如下问题： (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值．    【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据已知构建合适的空间直角坐标系，并标注出相关点坐标，应用向量法证明异面直线垂直即可； （2）由（1）求出平面与平面的法向量，再应用向量法求面面角的余弦值. 【详解】（1）在直三棱柱中，有，，， 以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，， ，， ， ，即． （2）由（1）得，， ，，， 设平面的法向量为， 则即令，即， 设平面的法向量为， 则即令，即， ． 平面与平面夹角的余弦值为． 13．如图，点O为正四棱锥P﹣ABCD的底面中心，四边形POBQ为矩形，且OA，BQ＝2． （1）求正四棱锥P﹣ABCD的体积； （2）设E为侧棱PA上的点，且，求直线BE和平面PQC所成角的大小． 【解答】解：（1）由已知可得OP＝BQ＝2， 注意OA，G故底面正方形ABCD的边长为AB＝2， 所以正四棱锥P﹣ABCD的体积VSABCD•PO22×2， （2）设O为原点，OC，OD，OP分别为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 易得P（0，0，2），A（，0，0），B（0，，0），C（，0，0），Q（0，，2）， 设平面PQC的一个平面向量（x，y，z），则，即， 又（0，，0），（，0，），即，可得，可得（，0，1）， 由题意可得（，0，）， 设E（x，y，z），则（x，y，z）， 则有（x，y，z）＝（，0，）， 故E（，0，），从而（，，）， 所以•0，||，|| 设直线直线BE和平面PQC所成角为θ，则sinθ＝|cos•|＝|， 因为θ∈[0，]， 所以θ＝arcsin， 故直线BE和平面PQC所成角的大小arcsin 14.如图，已知菱形和等边三角形有公共边，点B在线段上，与交于点O，将沿着翻折成，得到四棱锥，． (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． (3)求直线与平面夹角正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由题知，翻折后，根据面面垂直的判定即可证明； （2）以为原点建立空间直角系，根据平面法向量的求解方式，分别求出两平面的法向量，即可得到两平面夹角的余弦值； （3）由题知在平面上且，可设，求出平面的一个法向量，计算出直线与平面夹角正弦值，根据函数的性质可求最值. 【详解】（1）证明：连接BD，由菱形和等边三角形有公共边，可知， 且，，即， 则四边形为菱形， 所以，故翻折后， 因为，且都在平面内， 所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）由（1）知平面，平面， 则平面平面， 如图，在平面中过点作， 又平面平面， 所以平面，故两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为，所以为等边三角形，， 则，，，， 设平面与平面夹角为， 法向量分别为，， 则，取得； ，取得， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为． （3）由（2）知在平面上且， 可设， 则，，， 设平面法向量为， 则， 取得， 设与平面夹角为， 则， 令，则 ， 当且仅当，即时成立， 所以直线与平面夹角正弦值的最大值为． 15.如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形， ，. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角（即两个平面相交时所成的锐二面角）的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【解题思路】（1）由线面垂直得到，进而得到线面垂直，最后得到平面平面.（2）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标和法向量，结合点面距离公式计算即可； （3）结合（2），设，得到平面的一个法向量，结合题意，构造方程计算即可. 【解答过程】（1）由平面平面，则， 又，由，且平面， 所以面， 又面，所以平面平面. （2）由（1）易知，又，过作于， 由面面，面 面面， 所以面， 过作 ，易知， 故可构建如图示空间直角坐标系. 又 ， 则， 所以， 若是面的一个法向量， 则解得， 所以点到平面的距离. （3）同（2）构建空间直角坐标系，易知平面的法向量 设， 于是 ， ， 设是平面的一个法向量， 则，令， 因为平面与平面所成角的余弦值为， 所以， 整理得，即或（舍） 故，所以. 16.如图，在四棱锥中，平面平面，，为棱PC的中点. (1)证明：平面PAD； (2)求平面PDM和平面BDM的夹角的余弦值； (3)在线段PA上是否存在点，使点到平面BDM的距离是？若存在，求PQ的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3)若存在点，使点到平面BDM的距离是，PQ的长为 【解题思路】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行和边长关系，故四边形为平行四边形，，从而证明出线面平行； （2）由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，求出面面角的余弦值； （3）设，，求出，在（2）基础上，平面的一个法向量，利用点到平面的距离向量公式得到方程，求出，求出. 【解答过程】（1）取的中点，连接， 因为为棱PC的中点，所以且， 又，故， 又，故， 所以四边形为平行四边形， 故， 又平面，平面， 所以平面； （2）平面平面，交线为，又，平面， 故平面， 因为平面，所以 ， ， 又，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 其中平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，，故， 设平面PDM和平面BDM的夹角为， 则； （3）设，，， 故，所以， 故， 由（2）知平面的一个法向量为， 点到平面BDM的距离是， 解得或（舍去）， 此时， 若存在点，使点到平面BDM的距离是，PQ的长为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $