2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 课件第三章 3.3 3.3.1　抛物线及其标准方程

该高中数学课件聚焦抛物线的定义及其标准方程，通过目标导航明确课标要求，新知梳理从定义到四种标准方程表格搭建基础，教材拓展深化定义“一动三定”及方程特征，小试身手以改编题巩固，形成由基础到应用的学习支架。 其亮点在于以核心素养为导向，课堂探究通过轨迹问题、最值问题及拱桥实际应用培养逻辑推理与数学建模能力，方法总结提炼解题关键，帮助学生形成数学思维，教师可借助例题与训练提升教学效率，学生能深化知识理解与应用能力。

3.3　抛物线 3.3.1　抛物线及其 标准方程 [目标导航] 课标要求 1.掌握抛物线的定义及其标准方程 2.会由抛物线方程求焦点坐标和准线方程 2 新知导学·素养启迪 新知梳理 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ,直线l叫做抛物线的 . 距离相等 焦点 准线 2.抛物线标准方程的几种形式 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) (1)对抛物线定义的认识 ①定义的实质可归结为“一动三定”:一个动点,设为M;一个定点F叫做抛物线的焦点;一条定直线l,叫做抛物线的准线;一个定值,即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1. ②注意定点F不在直线l上,否则动点M的轨迹不是抛物线,而是过点F垂直于直线l的一条直线. (2)抛物线的标准方程 ①标准方程特征:等号一边是某个变量的平方,等号的另一边是另一变量的一次项;②标准方程中p表示焦点到准线的距离,p的值永远大于零;③四个标准方程的区分:焦点在一次项变量对应的坐标轴上,开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时,开口向坐标轴的正方向;当系数为负时,开口向坐标轴的负方向. 小试身手 1.(教材改编)抛物线y2=4x的焦点到准线的距离为　　　　.  2 解析:因为抛物线方程为y2=4x,所以p=2,焦点到准线的距离为p=2. 2.抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是　　　　.  3.已知动点M(x,y)到定点(2,0)的距离比到直线x=-3的距离少1,则动点M的轨迹方程为　　　　　　.  y2=8x 解析:因为动点M(x,y)到定点(2,0)的距离比到直线 x=-3 的距离少1, 所以动点M(x,y)到定点(2,0)的距离与到直线x=-2的距离相等. 根据抛物线的定义可知,动点M的轨迹是抛物线,其方程为y2=8x. 4.若抛物线过点(-1,3),则抛物线的标准方程为　 　　　　　　　.  课堂探究·素养培育 求抛物线的标准方程 [例1] 求适合下列条件的抛物线的标准方程,并写出其焦点坐标和准线方程: (1)过点M(-6,6); 解:(1)由于点M(-6,6)在第二象限, 所以过M的抛物线开口向左或开口向上. 若抛物线开口向左,焦点在x轴上, 设其方程为y2=-2px(p>0), 将点M(-6,6)代入,可得36=-2p×(-6), 所以p=3.所以抛物线的方程为y2=-6x. (2)焦点F在直线l:3x-2y-6=0上. 求抛物线的标准方程的关键与方法 (1)关键:确定焦点在哪条坐标轴上,进而求方程的有关参数. (2)方法:①直接法,建立恰当坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出对应方程,化简方程. ②直接根据定义求p,最后写标准方程. ③利用待定系数法设标准方程,找有关的方程组求系数. 抛物线定义的应用 考查角度一　轨迹问题 [例2] 平面上动点P到定点F(1,0)的距离比P到 y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程. 法二　由题意,动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,由于点F(1,0)到y轴的距离为1,故当x<0时,直线y=0上的点符合条件;当x≥0时,题中条件等价于点P到点F(1,0)与到直线x=-1的距离相等,故点P的轨迹是以F为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,方程为y2=4x.故所求动点P的轨迹方程为y2=4x(x≥0)或y=0(x<0). 即时训练2-1:已知圆A:(x+2)2+y2=1与定直线l:x=1,且动圆P和圆A外切并与直线l相切,求动圆的圆心P的轨迹方程. 求轨迹方程一般有两种方法:一是直接法,根据题意直接列方程确定点P的轨迹方程;二是定义法,利用抛物线的定义确定轨迹的一部分为抛物线,再根据抛物线的性质写出方程. 考查角度二　与抛物线有关的最值问题 [例3] 如图,已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点 A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时的P点坐标. 变式训练3-1:若点P是抛物线y2=2x上的一个动点,求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值. C (1)解决此类问题通过回归抛物线定义和运用平面几何知识中的两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等,使问题化难为易. (2)若已知抛物线上点P到焦点F的距离(或与此有关),往往转化为点P到准线的距 离,其步骤是: ①过P作PN垂直于准线l,垂足为N; ②连接PF; (3)例3中,求|PA|+|PF|的最小值时,结合图形,根据平面几何知识判断|PA|+|PF|= |PA|+|PN|≥|AB|.体现了数形结合的思想. 抛物线的实际应用 [例4] 如图所示是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降1 m后,求水面的宽度. 即时训练4-1:某抛物线形拱桥跨度是20 m,拱桥高度是4 m,在建桥时,每间隔4 m需用一根支柱支撑,求其中最长支柱的长. (1)此类问题的解题关键是把实际问题转化为数学问题,利用数学模型,通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题. (2)以抛物线为数学模型的实例很多,如拱桥、隧道、喷泉等,应用抛物线主要体现在: ①建立平面直角坐标系,求抛物线的方程. ②利用已求方程求点的坐标. 当堂即练·素养达成 1.若动点P到定点F(-4,0)的距离与到直线x=4的距离相等,则P点的轨迹是 (　 　) A.抛物线 B.线段 C.直线 D.射线 当堂即练 A 解析:动点P的条件满足抛物线的定义.故选A. 2.(多选题)经过点P(4,-2)的抛物线的标准方程为(　 　) A.y2=x B.y2=8x C.y2=-8x D.x2=-8y AD 3.焦点为F的抛物线y2=2px(p>0)上一点M在准线上的射影为N,若|MN|=p,则|FN|=　　　　.  1.利用抛物线定义可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,这一相互转化关系能给解题带来很大的方便,要注意运用定义解题.通过抛物线定义的学习,达成了培养数学抽象、直观想象核心素养的目的. 2.在求抛物线的标准方程时,由于其标准方程有四种形式,易于混淆,解题时一定要做到数形结合,按照“定形(抛物线焦点位置)→定量(参数p的值)”的程序求解.通过对抛物线标准方程的学习,达成了培养数学运算、逻辑推理等核心素养的目的. 3.通过抛物线的实际应用,达成了培养数学建模核心素养的目的. 课堂小结 感谢观看 (-,0) x= (0,) y=- (0,-) y= (,0) x=- 解析:根据抛物线的定义可知M到焦点的距离为1,则其到准线距离也为1, 又因为抛物线的准线为y=-, 所以M点的纵坐标为1-=. 解析:因为点(-1,3)在第二象限, 所以满足条件的抛物线的标准方程可以是y2=-2p1x(p1>0)或x2=2p2y(p2>0), 把(-1,3)代入y2=-2p1x,得p1=, 把(-1,3)代入x2=2p2y,得p2=. 因此,满足条件的抛物线有两条,它们的标准方程分别为y2=-9x和x2=y. y2=-9x和x2=y 若抛物线开口向上,焦点在y轴上, 设其方程为x2=2py(p>0),将点M(-6,6)代入可得,36=2p×6, 所以p=3,所以抛物线的方程为x2=6y. 综上所述,抛物线的标准方程为y2=-6x,焦点坐标为F(-,0),准线方程为x=或x2=6y,焦点坐标为F(0,), 准线方程为y=-. 解: (2)①因为直线l与x轴的交点为(2,0), 所以抛物线的焦点是F(2,0),所以=2,所以p=4,所以抛物线的标准方程是y2=8x. ②因为直线l与y轴的交点为(0,-3), 即抛物线的焦点是F(0,-3),所以=3,所以p=6, 所以抛物线的标准方程是x2=-12y. 综上所述,所求抛物线的标准方程是 y2=8x,焦点坐标为F(2,0),准线方程为x=-2或 x2=-12y,焦点坐标为F(0,-3),准线方程为y=3. 即时训练1-1:若抛物线的焦点与椭圆+=1的左焦点重合,求抛物线的方程. 解:椭圆+=1中,因为a2=7,b2=3,所以c2=a2-b2=4, 所以椭圆的左焦点坐标为(-2,0). 因为抛物线的焦点与椭圆+=1的左焦点重合,为(-2,0),所以=2, 得p=4,抛物线的方程是y2=-8x. 解:法一　设点P的坐标为(x,y),则有=|x|+1. 两边平方并化简,得y2=2x+2|x|. 所以y2=所以点P的轨迹方程为y2=4x(x≥0)或y=0(x<0). 解:法一　设点P的坐标为(x,y), 由条件知|AP|=r+1(r为圆P的半径), 即=|x-1|+1, 化简,整理得y2=-8x. 所以点P的轨迹方程为y2=-8x. 法二　如图所示,作PK垂直于直线x=1,垂足为K,作PQ垂直于直线x=2,垂足为Q,则|KQ|=1,所以|PQ|=r+1. 又|AP|=r+1,所以|AP|=|PQ|,故点P到圆心A(-2,0)的距离和到定直线x=2的距离相等,所以点P的轨迹为抛物线,A(-2,0)为焦点,直线x=2为准线.所以=2,所以p=4. 所以点P的轨迹方程为y2=-8x. 解:如图,作PN⊥l于点N(l为准线),作AB⊥l于点B, 则|PA|+|PF|=|PA|+|PN|≥|AB|, 当且仅当P为AB与抛物线的交点时,取等号. 所以(|PA|+|PF|)min=|AB|=3+=. 此时yP=2,代入抛物线得xP=2,所以P点坐标为(2,2). 解:由抛物线的定义可知,抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离. 由图可知,P点,(0,2)点,和抛物线的焦点(,0)三点共线时距离之和最小,所以最小距离d==. 解:如图.PA⊥l1,PQ⊥l2,l2为其准线, 则|PA|+|PQ|=|PA|+|PF|≥|AF|min. AF的最小值为F到直线3x-4y+=0的距离,d==1. 变式训练3-2:若点P是抛物线y2=2x上的一个动点,求点P到直线l1: 3x-4y+=0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值. 变式训练3-3:定长为6的线段AB两个端点在抛物线y2=4x上移动,记线段AB的中点为M,则M到y轴距离的最小值为(　　) A. B. C.2 D.+ 解析:抛物线y2=4x的焦点为F,则抛物线的准线x=-1, 分别过点A,B,M作准线的垂线,垂足分别为A′,B′,M′,连接AF,BF,如图所示. 所求的距离d=|MM′|-1=-1=-1≥-1=-1=2. 因为抛物线的通径为2p=4<|AB|, 所以定长为6的线段AB两个端点在抛物线 y2=4x上移动时可以经过焦点F, 此时A,F,B三点共线,|AF|+|BF|=|AB|, d=2,则点M到y轴的最短距离为2.故选C. ③|PF|=|PN|=xP+(焦点在x轴正半轴上时). 解:建立如图所示的平面直角坐标系, 设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则A(2,-2), 将其坐标代入x2=-2py得p=1. 所以x2=-2y. 当水面下降1 m,得D(x0,-3)(x0>0), 将其坐标代入x2=-2y得=6,所以x0=, 所以水面宽|CD|=2 m. 解:如图,建立平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>0), 依题意知,点P(10,-4)在抛物线上,所以100=-2p×(-4),2p=25,即抛物线方程为x2=-25y. 因为每间隔4 m需用一根支柱支撑,所以支柱横坐标分别为-6,-2,2,6. 由图知,AB是最长的支柱之一,点B的坐标为(2,yB),代入x2=-25y,得yB=-, 所以|AB|=4-=3.84,即最长支柱的长为3.84 m. 解析:当开口向右时,设抛物线方程为y2=2p1x(p1>0),则(-2)2=8p1,所以p1=,所以抛物线方程为y2=x.当开口向下时,设抛物线方程为x2=-2p2y(p2>0),则42=4p2,p2=4,所以抛物线方程为x2=-8y.故选AD. 解析:由条件知|MF|=|MN|=p,MF⊥MN, 在△MNF中,∠FMN=90°, 得|FN|=p. p $