3.3.2 第2课时 直线与抛物线的位置关系 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第2课时 直线与抛物线的位置关系 复习提问： 1、你知道抛物线有哪些几何性质？ 2、你能说出抛物线焦点弦长的简易计算公式吗？焦半径怎么计算呢？ 3、你能研究出直线与抛物线的位置关系及弦长问题吗？ 提示　如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：相离、相切、相交. 类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系. 问题1 设直线l：y=kx+m，抛物线：y2=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0. (1)若k≠0，当 时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当 时，直线与抛物线相切，有一个公共点； 当 时，直线与抛物线相离，没有公共点. (2)若k=0，直线与抛物线有 公共点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. Δ>0 Δ=0 Δ<0 一个 (1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. (2)研究直线与抛物线的位置关系时要注意直线斜率不存在的情况. 注 意 点 <<< 5 已知直线l：y=kx+1，抛物线C：y2=4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点？有两个公共点？没有公共点？ 例 1 6 联立消去y， 得k2x2+(2k-4)x+1=0. (*) 当k=0时，(*)式只有一个解x=， 此时l与C只有一个公共点. 当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程， Δ=(2k-4)2-4k2=16(1-k). ①当Δ>0，即k<1，且k≠0时， l与C有两个公共点； 解 7 ②当Δ=0，即k=1时，l与C有一个公共点； ③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点. 综上所述，当k=1或0时，l与C只有一个公共点； 当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点； 当k>1时，l与C没有公共点. 解 8 判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于零时，直线与抛物线相交于一点. 反 思 感 悟 9 过点(2，-1)且与抛物线y=x2只有一个公共点的直线共有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 跟踪训练 1 √ 10 (1)当过点(2，-1)的直线斜率不存在时，显然直线x=2与抛物线y=x2有且只有一个公共点； (2)当直线过点(2，-1)且斜率存在，且与抛物线相切时， 直线与抛物线只有一个公共点， 设直线方程为y+1=k(x-2)， 代入到抛物线方程 y=x2， 消去y得x2-kx+2k+1=0， 解析 11 则Δ=k2-4(2k+1)=0，解得k=4±2， 即过点(2，-1)的切线有2条， 综上可得，过点(2，-1)且与抛物线y=x2有且只有一个公共点的直线共有3条. 解析 12 二 弦长问题 提示　1.利用弦长公式. 2.根据抛物线的定义|AB|=x1+x2+p. 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦，如图.如何求弦AB的长度？ 问题2 (课本例4)　斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长. 例 2 15 由题意可知，p=2=1，焦点F的坐标为(1，0)，准线方程为x=-1.如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B两点到准线的距离分别为dA，dB. 由抛物线的定义，可知|AF|=dA=x1+1，|BF|=dB=x2+1， 于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2. 因为直线l的斜率为1，且过焦点F(1，0)， 所以直线l的方程为y=x-1. ① 将①代入方程y2=4x，得(x-1)2=4x，化简， 得x2-6x+1=0. 所以x1+x2=6，|AB|=x1+x2+2=8.所以，线段AB的长是8. 解 16 过点P(4，1)作抛物线y2=8x的弦AB，弦AB恰好被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度. 例 2 17 方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有=8x1，=8x2， 两式相减，得(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2). ∵P是AB的中点，∴x1+x2=8，y1+y2=2， 则直线AB的斜率k===4， ∴所求直线AB的方程为y-1=4(x-4)，即4x-y-15=0. 由 解 18 消去x并整理得y2-2y-30=0， 则y1+y2=2，y1y2=-30. 由弦长公式得|AB|=·|y1-y2|=·=. 方法二　由题意知AB所在直线的斜率存在且不为0. 设AB所在直线的方程为y=k(x-4)+1(k≠0)， 由 消去x并整理得ky2-8y-32k+8=0. 解 19 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2=， ∵P是AB的中点，∴=1，∴=2，∴k=4. ∴所求直线AB的方程为4x-y-15=0. 由消去x并整理得y2-2y-30=0， 则y1+y2=2，y1y2=-30， 由弦长公式得|AB|=·|y1-y2|=·=. 解 20 求抛物线弦长的方法 (1)统一弦长公式：|AB|=|x1-x2|或|AB|=|y1-y2|. (2)焦点弦长：在抛物线y2=2px(p>0)中，设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=x1+x2+p. 反 思 感 悟 21 　 (1)若抛物线y2=12x与直线2x+y-4=0交于A，B两点，则|AB| 等于 A.2 B.12 C. D.13 跟踪训练 2 √ 22 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得x2-7x+4=0， ∴x1+x2=7，x1x2=4， ∴|AB|=|x1-x2|=×=. 解析 23 (2)若直线y=k(x-2)与抛物线y2=8x交于A，B两点，|AB|=10，则k=　　　. ±2 抛物线y2=8x的焦点坐标为(2，0)，则直线y=k(x-2)恒过焦点，若k=0，此时直线与抛物线只有一个交点，不符合题意，故k≠0， 联立消去y，整理得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0， Δ=(4k2+8)2-16k4=64k2+64>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1+x2=，因为|AB|=x1+x2+4=10， 故=6，解得k=±2. 解析 24 与抛物线有关的轨迹问题 三 　(课本例6)　如图，已知定点B(a，-h)，BC⊥x轴于点C，M是线段OB上任意一点，MD⊥x轴于点D，ME⊥BC于点E，OE与MD相交于点P，求点P的轨迹方程. 例 3 26 设点P(x，y)，M(x，m)，其中0≤x≤a，则点E的坐标为(a，m). 由题意，直线OB的方程为y=-x. ① 因为点M在OB上，将点M的坐标代入①， 得m=-x， ② 所以点P的横坐标x满足②. 直线OE的方程为y=x， ③ 因为点P在OE上，所以点P的坐标(x，y)满足③. 将②代入③，消去m，得x2=-y(0≤x≤a)，即点P的轨迹方程. 解 27 设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系Oxy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大. (1)求点P的轨迹方程； 例 3 过点P作x轴的垂线且垂足为点N(图略)， 则|PN|=y，由题意知|PM|-|PN|=， ∴ =y+，化简得x2=2y.故点P的轨迹方程为x2=2y. 解 28 (2)若直线l：y=kx+1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|=2，求实数k的值. 由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 消去y并化简得x2-2kx-2=0， ∴x1+x2=2k，x1x2=-2. ∵|AB|=·=·=2， ∴k4+3k2-4=0，又k2≥0，∴k2=1，∴k=±1. 解 29 求轨迹问题的两种方法 (1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程. (2)定义法：若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解曲线方程. 反 思 感 悟 30 若动点P(x，y)满足=，则点P的轨迹应为 A.椭圆 B.抛物线 C.双曲线 D.圆 跟踪训练 3　 √ 动点P=， 所以动点Px-y-1=0的距离相等，其中定点不在定直线上.因此点P的轨迹应为抛物线. 解析 31 问：这节课你有哪些收获？ 1.知识清单： (1)直线和抛物线的位置关系. (2)抛物线的弦长问题. (3)抛物线的轨迹问题. 2.方法归纳：直接法、定义法、代数法. 3.常见误区：轨迹方程的等价性；数学运算的失误. 作业：1、订正上节错误 2、《步步高》作业44 $