3.2.2 第2课时 双曲线的标准方程及性质的应用 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦双曲线标准方程及性质应用，涵盖直线与双曲线位置关系、第二定义、弦长及中点弦问题。通过典型例题导入，衔接双曲线定义与标准方程，搭建从基础到应用的学习支架，逐步深化知识理解。 其亮点是典型例题精研析与通性通法总结，如直线与双曲线位置关系需兼顾判别式和二次项系数，跟踪训练与分层练习（A、B、C级）结合。通过逻辑推理（如韦达定理应用）和数学语言（符号运算）培养数学思维，助力学生掌握解题方法，教师可利用系统资源提升教学效率。

第2课时　 双曲线的标准方程及性质 的应用 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 直线与双曲线的位置关系 【例1】　已知双曲线 x2－ y2＝4，直线 l ： y ＝ k （ x －1），直线 l 与 双曲线有两个不同的交点，确定满足条件的实数 k 的取值范围. 目录 数学·选择性必修第一册 解：联立消去 y ，得（1－ k2） x2＋2 k2 x － k2－4＝0.（*） 当1－ k2≠0，即 k ≠±1时， Δ＝（2 k2）2－4（1－ k2）（－ k2－4）＝4（4－3 k2）. 由得－ ＜ k ＜ 且 k ≠±1， 此时方程（*）有两个不同的实数解，即直线 l 与双曲线有两个不同的 交点. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 1. 解决直线与双曲线的交点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次 项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况. 2. 双曲线与直线只有一个交点的题目，应分两种情况讨论：直线与双 曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行. 3. 注意对直线的斜率是否存在进行讨论. 目录 数学·选择性必修第一册   解析：由得（1－ m2） x2－2 mx －2＝0，当1－ m2＝ 0，即 m ＝±1时，若 m ＝1，解得 x ＝－1，若 m ＝－1，解得 x ＝1， 所以 m ＝±1时满足条件.当1－ m2≠0时，则Δ＝4 m2＋8（1－ m2） ≥0，解得－ ≤ m ≤ 且 m ≠±1.综上所述， m 的取值范围是－ ≤ m ≤ . [－ ， ]　 目录 数学·选择性必修第一册 2. 已知双曲线 x2－ ＝1，过点 P （1，1）的直线 l 与双曲线只有一个 公共点，求直线 l 的斜率 k . 解：①当直线 l 的斜率不存在时， l ： x ＝1与双曲线相切，符合 题意. ②当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y ＝ k （ x －1）＋1， 代入双曲线方程，得（4－ k2） x2－（2 k －2 k2） x － k2＋2 k － 5＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 当4－ k2＝0，即 k ＝±2时， l 与双曲线的渐近线平行， l 与双曲 线只有一个公共点； 当4－ k2≠0时，令Δ＝0，得 k ＝ . 综上， k ＝ 或 k ＝±2或 k 不存在时，直线 l 与双曲线只有一个 公共点. 目录 数学·选择性必修第一册 题型二 双曲线第二定义及应用 【例2】　（1）（2024·烟台质检）点 M （ x ， y ）到定点 F （5，0） 的距离和它到定直线 l ： x ＝ 的距离的比是常数 ，则点 M 的轨迹方 程为 ⁠； － ＝1　 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 设 d 是点 M 到直线 l 的距离，根据 题意，所求轨迹就是集合 P ＝ ＝ .将上式两边平 方，并化简，得9 x2－16 y2＝144，即 － ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 设 M （ x ， y ）， d 是点 M 到直线 l ： x ＝8的距离， 根据题意，点 M 的轨迹就是集合 P ＝ ＝ ，将上式两边平方，并化简， 得3 x2＋4 y2＝48，即 ＋ ＝1. （2）点 M 与定点 F （2，0）的距离和它到定直线 x ＝8的距离的比是 1∶2，则点 M 的轨迹方程为 ⁠. ＋ ＝1　 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 　　双曲线上任意一点到左焦点的距离与到左准线 x ＝－ 的距离的 比或到右焦点的距离与到右准线 x ＝ 的距离的比是该双曲线的离心 率，显然当0＜ e ＜1时为椭圆，当 e ＞1时为双曲线. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 　双曲线 － ＝1上一点 P 到右焦点的距离为3，则 P 到右准线的距 离为（　　） 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　由题意，可得 a2＝9， b2＝4，即 a ＝3， b ＝2， c ＝ ＝ ，可得双曲线的离心率为 e ＝ ＝ － ＝1上一点 P 到右焦点的距离为3，即｜ PF2｜＝3，可得点 P 到右 准线的距离为 d ＝ ＝ .故选C. 目录 数学·选择性必修第一册 题型三 弦长公式及中点弦问题 【例3】　（1）已知双曲线 C ： x2－ y2＝2，过右焦点的直线交双曲线 于 A ， B 两点，若线段 AB 中点的横坐标为4，则弦 AB 的长为 （　D　） C. 6 D 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 双曲线 C ： － ＝1，则 c2＝4，∴右焦点为 F （2，0），根据题意易得过 F 的直线斜率存在，设方程为 y ＝ k （ x －2）， A （ xA ， yA ）， B （ xB ， yB ），联立 化简得（1－ k2） x2＋4 k2 x －4 k2－2＝0，∴ xA ＋ xB ＝ ， xAxB ＝ .∵线段 AB 中点的横坐标为4，∴ xA ＋ xB ＝ ＝8，解得 k2＝2，∴ xAxB ＝ ＝10，则（ xA － xB ）2＝（ xA ＋ xB ）2－4 xAxB ＝82－4×10＝24，则｜ AB ｜＝ ＝ ＝6 . 目录 数学·选择性必修第一册 （2）（2024·金华月考）已知双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞ 0），过点 P （3，6）的直线 l 与 C 相交于 A ， B 两点，且线段 AB 的中点为 Q （12，15），则双曲线 C 的离心率为（　B　） A. 2 B 目录 数学·选择性必修第一册 解析：设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），由线段 AB 的中点为 Q （12，15），得 x1＋ x2＝24， y1＋ y2＝30.由 ＝ ＝ ＝ .由直线 l 的斜率 k ＝ ＝1，得 ＝1，则 ＝ .则双曲线 C 的离心率 e ＝ ＝ ＝ .故选B. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 　　双曲线中有关弦长问题，解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问题 常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 　已知斜率为2的直线 l 截双曲线 － ＝1所得弦长为 ，求直线 l 的方程. 解：设直线 l 的方程为 y ＝2 x ＋ m ，与 － ＝1联立消去 y 得10 x2＋ 12 mx ＋3 m2＋6＝0.设直线 l 与双曲线 － ＝1的交点分别为 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）， 由一元二次方程根与系数的关系得 x1＋ x2＝－ m ， x1 x2＝ . ∴｜ AB ｜＝ · ＝ ＝ ＝ ，解得 m ＝± .∴直线 l 的方程为 y ＝2 x ± . 目录 数学·选择性必修第一册 1. 直线 y ＝ x ＋3与双曲线 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的交点个数是 （　　） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 0 解析： 因为直线 y ＝ x ＋3与双曲线的渐近线 y ＝ x 平行，所以 它与双曲线只有一个交点，故选A. 目录 数学·选择性必修第一册 2. 若直线 y ＝ kx 与双曲线4 x2－ y2＝16有两个公共点，则实数 k 的取值 范围为（　　） A. （－2，2） B. [－2，2） C. （－2，2] D. [－2，2] 解析： 　易知 k ≠±2，将 y ＝ kx 代入4 x2－ y2＝16得关于 x 的一元 二次方程（4－ k2） x2－16＝0，由Δ＞0可得－2＜ k ＜2. 目录 数学·选择性必修第一册 3. （2024·开封月考）经过双曲线 x2－ y2＝8的右焦点且斜率为2的直线 被双曲线截得的线段的长为（　　） 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　双曲线 x2－ y2＝8的右焦点为（4，0），经过双曲线 x2－ y2＝8的右焦点且斜率为2的直线方程为 y ＝2（ x －4），代入 x2－ y2 ＝8并整理得3 x2－32 x ＋72＝0，设交点 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 x1＋ x2＝ ， x1 x2＝24，所以直线被双曲线截得的线段的 长为 × ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册 4. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 － ＝1上有一点 M ，点 M 的 横坐标是3，则点 M 到双曲线右焦点的距离是 ⁠. 解析：令 d 为点 M 到右准线 x ＝1的距离，则 ＝ e ＝ ＝2， ∵ d ＝2，∴｜ MF ｜＝4. 4　 目录 数学·选择性必修第一册 知能演练·扣课标 02 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. (2024高二下·湖南期中) “”是“方程表示双曲线”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析： 　因为方程表示双曲线等价于， 所以“”，是“方程表示双曲线”的充分不必要条件， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 2. （2024·周口月考）直线 y ＝ x －1被双曲线2 x2－ y2＝3所截得的弦的 中点坐标是（　　） A. （1，2） B. （－2，－1） C. （－1，－2） D. （2，1） 解析： 　将 y ＝ x －1代入2 x2－ y2＝3，得 x2＋2 x －4＝0，由此可 得弦的中点的横坐标为 ＝ ＝－1，纵坐标为－1－1＝－2， 即中点坐标为（－1，－2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 3. 已知 F 是双曲线 C ： x2－ ＝1的右焦点， P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标是（1，3），则△ APF 的面积为（　　） 解析： 　由 c2＝ a2＋ b2＝4得 c ＝2，所以 F （2，0），将 x ＝2代入 x2－ ＝1，得 y ＝±3，所以｜ PF ｜＝3.又 A 的坐标是（1，3）， 故△ APF 的面积为 ×3×（2－1）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 4. 已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，与直线 y ＝ x 交于 A ， B 两点，若｜ AB ｜＝2 ，则该双曲线的方程为（　　） A. x2－ y2＝6 B. x2－ y2＝9 C. x2－ y2＝16 D. x2－ y2＝25 解析： 　设等轴双曲线的方程为 x2－ y2＝ a2（ a ＞0），与 y ＝ x 联立，得 x2－ a2＝0.设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 x1＋ x2＝ 0， x1· x2＝－ ，∴｜ AB ｜＝ × a ＝2 ，∴ a ＝3，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 5. （多选）双曲线的标准方程为 x2－ ＝1，则下列说法正确的是 （　　） C. 该曲线上的点到右焦点的距离的最小值为1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　由已知双曲线中 a ＝1， b ＝ ，则 c ＝2，顶点为 （1，0）和（－1，0），距离为2，A错误；该双曲线的渐近线方程 是 y ＝± x ，而双曲线 y2－ ＝1的渐近线方程是 y ＝± x ，不相 同，B错误；该双曲线上的点到右焦点的距离的最小值为 c － a ＝ 1，C正确；直线 l 与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线有且仅 有一个公共点，D正确.故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 6. （多选）（2024·湖州月考）已知平面上两点 M （－5，0）和 N （5，0），若直线上存在点 P 使｜ PM ｜－｜ PN ｜＝6，则称该直 线为“单曲型直线”.下列直线中是“单曲型直线”的有（　　） A. 3 y ＝ x ＋1 B. y ＝2 D. y ＝2 x ＋1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　因为｜ PM ｜－｜ PN ｜＝6＜｜ MN ｜＝10，所以点 P 在以 M ， N 为焦点的双曲线的右支上，即点 P 的轨迹方程为 － ＝1（ x ≥3）.根据题意得“单曲型直线”与双曲线的右支存在交 点，下面依次联立方程，消去 y ，判断所得方程有无正根即可.对于 A，联立得消 y 得15 x2－2 x －145＝0，因为Δ＝（－ 2）2－4×15×（－145）＞0，且 x1 x2＜0，所以3 y ＝ x ＋1是“单曲 型直线”.对于B，联立得消 y 得 x2＝ ，所以 y ＝2是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 “单曲型直线”.对于C，联立得整理得0＝1，显然 不成立，所以 y ＝ x 不是“单曲型直线”.对于D，联立得 消 y 得20 x2＋36 x ＋153＝0，因为Δ＝362－4×20×153 ＜0，所以 y ＝2 x ＋1不是“单曲型直线”.综上，是“单曲型直线” 的有A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 7. 若双曲线 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）与直线 y ＝2 x 无交点，则离心 率 e 的取值范围是 ⁠. 解析：由题意可得， ≤2，所以 e ＝ ≤ .又 e ＞1， 所以离心率 e 的取值范围是（1， ]. （1， ]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 8. 已知直线 l ： x － y ＋ m ＝0与双曲线 x2－ ＝1交于不同的两点 A ， B ，若线段 AB 的中点在圆 x2＋ y2＝5上，则实数 m ＝ ⁠. 解析：由消去 y 得 x2－2 mx － m2－2＝0.则Δ＝4 m2 ＋4 m2＋8＝8 m2＋8＞0.设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 x1＋ x2＝ 2 m ， y1＋ y2＝ x1＋ x2＋2 m ＝4 m ，所以线段 AB 的中点坐标为 （ m ，2 m ）.又点（ m ，2 m ）在 x2＋ y2＝5上，所以 m2＋（2 m ）2 ＝5，得 m ＝±1. ±1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 9. 设动点 M 到定点 F （3，0）的距离与它到直线 l ： x ＝ 的距离之比 为 ，则点 M 的轨迹方程为 　 － ＝1　. － ＝1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析：设点 M 的坐标为（ x ， y ），点 M 到直线 l 的距离为 d ，由已 知得 ＝ ，即｜ MF ｜＝ d ，∵点 F （3，0），直线 l 的方 程为 x ＝ ，∴｜ MF ｜＝ ＝ ， d ＝｜ x － ｜，∴ ＝ ｜ x － ｜，整理得 － ＝1，∴点 M 的轨迹方程是 － ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 10. 双曲线的两条渐近线的方程为 y ＝± x ，且经过点（3，－2 ）. （1）求双曲线的方程； 解： 因为双曲线的两条渐近线方程为 y ＝± x ， 所以可设双曲线的方程为2 x2－ y2＝λ（λ≠0）. 又因为双曲线经过点（3，－2 ），代入方程可得λ＝6， 所以所求双曲线的方程为 － ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）过双曲线的右焦点 F 且倾斜角为60°的直线交双曲线于 A ， B 两点，求｜ AB ｜. 解： 设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）， 过 F 且倾斜角为60°的直线方程为 y ＝ （ x －3）， 联立消去 y 得 x2－18 x ＋33＝0，因为Δ＞0， 由根与系数的关系得 x1＋ x2＝18， x1 x2＝33， 所以｜ AB ｜＝ ·｜ x1－ x2｜＝ · ＝2 ＝16 ，即 弦长｜ AB ｜＝16 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 11. （2024·扬州月考）若直线 y ＝ kx 与双曲线 x2－ y2＝1的两支各有一 个交点，则实数 k 的取值范围是（　　） A. （－1，0） B. （0，1） C. （－1，1） D. （1，＋∞） 解析： 　直线 y ＝ kx 过原点，且与双曲线 x2 － y2＝1的两支各有一个交点，可得直线 y ＝ kx 一定在两渐近线之间，如图.因为双曲线的 渐近线方程为 y ＝± x ，所以 k ∈（－1，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 12. 过双曲线 x2－ ＝1的右焦点 F 作直线 l ，交双曲线于 A ， B 两点， 若｜ AB ｜＝4，则这样的直线 l 有（　　） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 解析： 设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）.当直线 l 的斜率不存在 时，其方程为 x ＝得 y ＝±2，∴｜ AB ｜ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 ＝｜ y1－ y2｜＝4，满足题意.当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y ＝ k （ x －消去 y ，得（2－ k2） x2＋2 k2 x －3 k2－2＝0.当2－ k2≠0时， x1＋ x2＝ ， x1 x2＝ ，则｜ AB ｜＝ ＝ ＝ · ＝ ＝4，解得 k ＝± ；当2－ k2＝0时，直线 l 分别与双曲线的一条渐 近线平行，最多有一个交点，不满足题意，故这样的直线 l 有3条. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 13. 过双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的右焦点作一条与其渐 近线平行的直线，交 C 于点 P . 若点 P 的横坐标为2 a ，则 C 的离心 率为 ⁠. 2＋ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析：如图所示，不妨设与渐近线平行的直线 l 的斜率为 ，又直线 l 过右焦点 F （ c ，0），则 直线 l 的方程为 y ＝ （ x － c ）.因为点 P 的横坐 标为2 a ，代入双曲线方程得 － ＝1，化简 得 y ＝－ b 或 y ＝ b （点 P 在 x 轴下方，故舍去），故点 P 的坐标为（2 a ，－ b ），代入直线方程得－ b ＝ （2 a － c ），化简可得离心率 e ＝ ＝2＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 14. （2024·漳州月考）已知双曲线 C 的焦点在 x 轴上，其渐近线方程 为 y ＝± x ，实轴长为2. （1）求双曲线 C 的标准方程； 解： 由双曲线 C 的焦点在 x 轴上，其渐近线方程为 y ＝ ± x ，可设双曲线方程为 － ＝1（ a ＞0）， 由实轴长为2，得2 a ＝2，故 a ＝1， 则双曲线的标准方程为 x2－ y2＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）过点 P （0，1）的直线与双曲线 C 的左、右两支各交于一 点，求该直线斜率的取值范围. 解： 因为过点 P （0，1）的直线与双曲线 C 的左、 右两支各交于一点， 所以该直线斜率一定存在，且该直线不和双曲线的渐近线 平行，故设直线方程为 y ＝ kx ＋1， k ≠±1， 联立消去 y ，整理得（1－ k2） x2－2 kx － 2＝0， 则满足 ＜0，解得－1＜ k ＜1， 即该直线斜率的取值范围为（－1，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 15. 已知点 A （3，1），双曲线 x2－ ＝1， F 为双曲线的右焦点， P 是双曲线右支上的动点，则2｜ PA ｜＋｜ PF ｜的最小值 为 ，此时点 P 的坐标为 ⁠. 5　 （ ，1）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析：由已知得双曲线的离心率 e ＝ ＝2，双曲线右准线方程为 x ＝ ＝ ，那么点 P 到右准线的距离 d ＝ ｜ PF ｜，从而2｜ PA ｜ ＋｜ PF ｜＝2（｜ PA ｜＋ ｜ PF ｜）＝2（｜ PA ｜＋ d ）.｜ PA ｜ ＋ d 的最小值为点 A 到右准线的距离，即3－ ＝ ，因而2｜ PA ｜ ＋｜ PF ｜的最小值为5，将 y ＝1代入双曲线方程，得此时点 P 坐 标为（ ，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 16. （2024·郑州月考）祖暅，祖冲之之子，是我国南宋时期的数学家. 他提出了体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容 异”.意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面 积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线 C 的焦点在 y 轴上，离心率为 ，且过点（ ，2 ）. （1）求双曲线的标准方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解： ∵双曲线 C 的离心率 e ＝ ＝ ，∴ c ＝ a ， ∴ c2＝ a2＋ b2＝ a2，∴ b2＝ a2， ∴双曲线的方程为 － ＝1，过 点（ ，2 － ＝1， a2＝3， b2＝1，∴双曲线方程为 － x2＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）若直线 x ＝0， x ＝1在第一象限内与 C 及其渐近线围成如图 阴影部分所示的图形，求阴影图形绕 x 轴旋转一周所得几何 体的体积. 解： 由（1）知双曲线的渐近 线方程为 y ＝± x ， 取直线 x ＝ m （0≤ m ≤1），代入 － x2＝1，得 y ＝ ， 代入 y ＝ x ，得 y ＝ m ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 ∴直线 x ＝ m 与阴影部分旋转一周所得圆环的面积 S ＝（3＋ 3 m2）π－3 m2π＝3π. 又高度为1，故根据祖暅原理，该图形绕 x 轴旋转一周所得几 何体与底面半径为 ，高为1的圆柱“幂势相同”，故它绕 x 轴旋转一圈所得几何体的体积为3π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 谢 谢 观 看！ $