精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市讷河市2025-2026学年八年级下学期期末数学试卷

2025－2026学年度下学期期末教学质量测查 八年级数学试卷 考生注意： 1.考试时间 120分钟 2.全卷共三道大题，总分120分 1. 下列二次根式，是最简二次根式的是（） A. B. C. D. 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. ，， B. ，， C. 1，，2 D. ，， 3. 在中，连接，过点作交于点．若且，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，的对角线交于点，以下条件不能证明是菱形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一次函数，那么下列说法正确的是（ ） A. 图象经过第二、三、四象限 B. 图象与x轴交于点 C. 图象与y轴交于点 D. 当时， 8. 一组数据3，4，a，5的平均数为，若数据4与的离差为1，则a为（ ） A. 0 B. C. 3 D. 9. 如图，在日常生活中，我们常用到不同型号的打印纸，对于纸张规格，有一些通用的国际标准，其中：纸定义为面积为1，长与宽之比为的纸张；沿纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张纸；再沿纸两条长边中点的连线裁切得到两张纸…，依次类推，得到、、等纸张．裁剪一张规格纸最多可得到规格纸的张数是（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 10. 如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，点运动时的面积随时间变化的关系如图，则的值为（ ） A. B. C. D. 9 二、填空题（每小题3分，共21分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 12. 已知实数，在数轴上的对应点如图所示，化简________． 13. 已知一组数据：，，，，，，，，，，，，那么这组数据的第一四分位数是_____ ，第二四分位数是______ ，第三四分位数是______ ． 14. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过两点，若，则___________．（填“>”“<”或“=”） 15. 如图，四边形是平行四边形，按以下步骤操作：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，交于点F；再分别以点E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点M；②以点D为圆心，适当长为半径画弧，交于点H，交于点G；再分别以点G，H为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点N；③作射线相交于点P．若，则的长为 ________________． 16. 如图所示，在中，，，点E是边上不与端点重合的一个动点，作交于点D，将沿折叠，点B的对应点为F，当为等腰三角形时，则的长为______． 17. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的两边在坐标轴上，以它的对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形…以此类推，则正方形的顶点的坐标是_____． 三、解答题 18. 计算： （1）； （2）． 19. 台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为，则台风影响该海港多长时间？ 20. 2025年11月25日搭载神舟二十二号飞船的长征二号遥二十二运载火箭成功发射，我国航天再添辉煌，让我们看到了科技进步的力量．实验中学为了了解本校学生对航天科技的关注程度，组织八、九年级学生进行航天科普知识竞赛（满分100分），并分别从两个年级中随机抽取了20名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为四组：），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的成绩是：． 九年级20名学生的成绩在组中的数据是：． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 89 90 九年级 89 92 九年级抽取学生的竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________；__________，__________； （2）根据以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好？请说明理由；（写一条） （3）若该校八年级有500人，九年级有600人，且得分在90分及以上为优秀，请估计这两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生人数． 21. 如图，在四边形中，对角线与相交于点O，， 于点E，于点F，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是矩形，且，．求的长． 22. 以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美，万州区某中学开展诗歌创作比赛，积极营造诗韵书香学生生活．年级决定购买两种笔记本奖励在此次创作比赛中的优秀学生，已知种笔记本的单价比种笔记本的单价便宜元，已知用元购买种笔记本的数量是用元购买种笔记本的数量的倍． 求种笔记本的单价； 根据需要，年级组准备购买两种笔记本共本，其中购买种笔记本的数量不超过种笔记本的二倍．设购买种笔记本本，所需经费为元，试写出与的函数关系式，并请你根据函数关系式求所需的最少经费． 23. 国家卫健委启动为期三年（2024-2026年）的“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发0.5小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示． （1）出发点到山庄的路程_____，小丽的骑行速度_____，小明的速度为_____． （2）求线段所在直线的函数表达式．（不需要写出自变量的取值范围） （3）请直接写出小明第二次追上小丽的时间及他们距离山庄的路程． 24. 综合与实践： a．背景阅读： 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙等． b．实践操作： 下面我们折叠出一个黄金矩形（如图所示）： 第一步：在一张宽为2的矩形纸片的一端，利用如图①所示的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形和，再把纸片展平； 第三步：折出矩形的对角线，并沿折叠纸片，使点落在延长线上的点处，如图③所示； 第四步：展平纸片，过点折出，使和垂直，得到矩形，如图④，矩形就是黄金矩形． c．问题解决： （1）图③中，______（保留根号），四边形的形状是______； （2）请证明图④中的四边形是黄金矩形； （3）请在图④中再找出一个黄金矩形，这个黄金矩形是______（黄金矩形除外，直接写出答案，不需证明，参考数值） 25. 如图，直线与x轴交于点D，直线经过定点且与x轴交于点A．直线、交于点． （1）求直线的解析式； （2）在x轴上是否存在一点E，使与的面积相等？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； （3）平面内是否存在点Q，使得以A、B、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度下学期期末教学质量测查 八年级数学试卷 考生注意： 1.考试时间 120分钟 2.全卷共三道大题，总分120分 1. 下列二次根式，是最简二次根式的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判定，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：选项A：，被开方数含能开得尽方的因数，∴不是最简二次根式； 选项B：满足最简二次根式的两个条件，∴是最简二次根式； 选项C：，被开方数含分母，∴不是最简二次根式； 选项D：被开方数含分母，∴不是最简二次根式． 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. ，， B. ，， C. 1，，2 D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股数的定义，勾股数需满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一判断各选项即可求解． 【详解】解：勾股数要求三个数均为正整数，选项A中三个数为小数，选项C中不是正整数，∴排除A,C； 对选项D：，，，不符合要求，排除D； 对选项B：，且三个数均为正整数，符合勾股数定义，因此选B． 3. 在中，连接，过点作交于点．若且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据于点，可证得，再根据求出，进而根据平行四边形的性质求出的度数． 【详解】解：∵于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 4. 如图，的对角线交于点，以下条件不能证明是菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的判定定理分别证明即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴是菱形； B、四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是菱形； C、四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是菱形； D、∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形，故不能证明为菱形． 5. 如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到直线在直线上方且在轴下方，所对应的的范围即可． 【详解】解：由图象可知，关于x的不等式的解集为． 6. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用及在数轴上表示实数，关键是先利用勾股定理求出的长度，再根据圆的半径相等得到的长度，最后结合数轴上点的位置关系求出点表示的数． 【详解】解：∵数轴上点表示的数是，点表示的数是， ∴； ∵于点，， ∴是直角三角形，， 由勾股定理得：； ∴， ∴点表示的数为， 故选：C． 7. 已知一次函数，那么下列说法正确的是（ ） A. 图象经过第二、三、四象限 B. 图象与x轴交于点 C. 图象与y轴交于点 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，根据一次函数的性质，结合与坐标轴交点的求法，函数值范围的判断，逐一分析选项即可求解． 【详解】解：一次函数中，， 对于选项A，∵，， ∴图象经过第一、二、四象限，A错误 对于选项B，令，得，解得，∴图象与轴交于点，B错误 对于选项C，令，得，∴图象与轴交于点，C错误 对于选项D，当时，，即，D正确 8. 一组数据3，4，a，5的平均数为，若数据4与的离差为1，则a为（ ） A. 0 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据离差的定义求出这组数据的平均数，再根据平均数计算公式列方程求解即可． 【详解】解：∵数据与的离差为， ∴， 解得， 又∵数据，，，的平均数为， ∴， 整理得， 解得． 9. 如图，在日常生活中，我们常用到不同型号的打印纸，对于纸张规格，有一些通用的国际标准，其中：纸定义为面积为1，长与宽之比为的纸张；沿纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张纸；再沿纸两条长边中点的连线裁切得到两张纸…，依次类推，得到、、等纸张．裁剪一张规格纸最多可得到规格纸的张数是（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，根据图形得出纸张的宽为纸宽的，纸张的长为纸长的，从而得出纸的面积为纸面积的，即可得出答案． 【详解】解：由图得，纸张的宽为纸宽的，纸张的长为纸长的， ∴纸的面积为纸面积的， 裁剪一张规格纸最多可得到规格纸的张数是张． 故选：C． 10. 如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，点运动时的面积随时间变化的关系如图，则的值为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的面积，动点问题的函数图象，由函数图象，得到，，，再由勾股定理，三角形面积公式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：作于， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由图象知：，，， 令， ∴ 由勾股定理： ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共21分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数非负、分式分母不为0得到关于x的不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义，则满足：， 解得：且． 12. 已知实数，在数轴上的对应点如图所示，化简________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的化简，由数轴可得，，即可得，，，再根据二次根式的性质化简即可求解，由数轴确定的符号是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，， ∴原式， 故答案为：． 13. 已知一组数据：，，，，，，，，，，，，那么这组数据的第一四分位数是_____ ，第二四分位数是______ ，第三四分位数是______ ． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，确定样本容量，再根据四分位数的计算规则确定对应分位数的位置，进而计算得到三个四分位数，即可求解． 【详解】将这组数据从小到大排列为：可得样本容量， 解法一：计算第一四分位数的位置：，为整数，因此第一四分位数为第项与第项数据的平均数，即 计算第二四分位数的位置：，为整数，因此第二四分位数为第项与第项数据的平均数，即 计算第三四分位数的位置：，为整数，因此第三四分位数为第项与第项数据的平均数，即． 解法二：将这组数据从小到大排列为： 中位数为第项与第项数据的平均数，即 将这组数据分为2组从小到大排列为：， 第一组数据的中位数为；第二组数据的中位数为 ∴第一四分位数为，第二四分位数是，第三四分位数是． 14. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过两点，若，则___________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】解：中， 函数值y随x的增大而减小， ， ， 故答案为：． 15. 如图，四边形是平行四边形，按以下步骤操作：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，交于点F；再分别以点E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点M；②以点D为圆心，适当长为半径画弧，交于点H，交于点G；再分别以点G，H为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点N；③作射线相交于点P．若，则的长为 ________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、角平分线的作图、勾股定理等知识，根据平行四边形的性质得到，，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 由作图知，平分，平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图所示，在中，，，点E是边上不与端点重合的一个动点，作交于点D，将沿折叠，点B的对应点为F，当为等腰三角形时，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】当时，过点Ｆ作于点Ｍ，设，则，得到；设，则，则，求解即可． 【详解】解：，， ， 沿折叠，点B的对应点为F， ，， 为等腰三角形， 当时， ， ， 过点Ｆ作于点Ｍ， ， ， ， ， 设，则， 则， 根据题意，得， ， 解得； 当时， ， ， ， ， 设，则， 则， ， 解得； 17. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的两边在坐标轴上，以它的对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形…以此类推，则正方形的顶点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了规律型：点的坐标．根据题意，可以从各个B点到原点的距离变化规律和所在象限的规律入手． 【详解】解：由图形可知，， ， ， , 每一个B点到原点的距离依次是前一个B点到原点的距离的倍，同时，各个B点每次旋转，每八次旋转一周． ∴顶点到原点的距离， ∵， ∴顶点的恰好在x轴的正半轴上， ∴顶点的恰好在第一象限角平分线上， ∴顶点的坐标是． 故答案为：． 三、解答题 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 19. 台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为，则台风影响该海港多长时间？ 【答案】（1）监测点A与监测点B之间的距离为 （2）海港C会受到此次台风的影响，见解析 （3）台风影响该海港持续的时间为 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理进行求解； （2）利用等面积法求出的长度，然后进行比较即可； （3）以C为圆心，长为半径画弧，交于D，F，根据勾股定理求出的长，得出，最后根据速度即可求解． 【小问1详解】 解：依题意得：中，， ∴根据勾股定理得， 答：监测点A与监测点B之间的距离为； 【小问2详解】 解：海港C受台风影响， 理由：中，， ， ， ， 海港C会受到此次台风的影响； 【小问3详解】 解：如图，以C为圆心，长为半径画弧，交于D，F， 则． 在中，， ， 台风的速度为， ． 答：台风影响该海港持续的时间为． 20. 2025年11月25日搭载神舟二十二号飞船的长征二号遥二十二运载火箭成功发射，我国航天再添辉煌，让我们看到了科技进步的力量．实验中学为了了解本校学生对航天科技的关注程度，组织八、九年级学生进行航天科普知识竞赛（满分100分），并分别从两个年级中随机抽取了20名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为四组：），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的成绩是：． 九年级20名学生的成绩在组中的数据是：． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 89 90 九年级 89 92 九年级抽取学生的竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________；__________，__________； （2）根据以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好？请说明理由；（写一条） （3）若该校八年级有500人，九年级有600人，且得分在90分及以上为优秀，请估计这两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生人数． 【答案】（1），， （2）八年级的成绩更好， 理由为： 因为八年级成绩的中位数为，九年级成绩的中位数为，由于，所以八年级的成绩更好； （3）两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生人数为人 【解析】 【分析】本题考查统计图的应用、众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键． （1）先求出九年级C组占比，进而即可得出m的值，根据众数和中位数的定义即可得出a、b的值； （2）可从平均数、众数、中位数角度分析解答； （3）利用样本估计总体解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 在八年级的成绩中出现次，次数最多， 故； 九年级成绩中D组人数为人， 中位数应是排列后居于第位和位数据的平均数，即； 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：人， 答：两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生人数为人． 21. 如图，在四边形中，对角线与相交于点O，， 于点E，于点F，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是矩形，且，．求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平行线的判定得到，再证明得到，然后根据平行四边形的判定可得结论； （2）先根据矩形性质证得，则是等边三角形，再利用三线合一得到则，，，在中，由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形 ，则是等边三角形 ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． 22. 以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美，万州区某中学开展诗歌创作比赛，积极营造诗韵书香学生生活．年级决定购买两种笔记本奖励在此次创作比赛中的优秀学生，已知种笔记本的单价比种笔记本的单价便宜元，已知用元购买种笔记本的数量是用元购买种笔记本的数量的倍． 求种笔记本的单价； 根据需要，年级组准备购买两种笔记本共本，其中购买种笔记本的数量不超过种笔记本的二倍．设购买种笔记本本，所需经费为元，试写出与的函数关系式，并请你根据函数关系式求所需的最少经费． 【答案】（1）种笔记本的单价为6元．（2）所需经费最少为702元． 【解析】 【分析】设种笔记本的单价为元，则种笔记本的单价为元．根据题意列出分式方程，求解即可； 由知种笔记本的单价为元，得到：，由于，所以W随的增大而减小．再根据A种笔记本的数量不超过B种笔记本数量的2倍，得到，解之可得m的取值范围，最后取值代入可得． 【详解】解： 设种笔记本的单价为元，则种笔记本的单价为元． 解得； 经检验：是原方程的解，且符合题意． 答：种笔记本的单价为元． 由知种笔记本的单价为元， 又∵ ∴W随的增大而减小． 又∵A种笔记本的数量不超过B种笔记本数量的2倍 ∴； 解得：； ∵m为正整数 ∴当时，取得最小值，最小值为702元． 答：所需最少经费为702元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用及其解法；一元一次不等式的应用及其解法；其中将分式方程化为整式方程并求出其解以后，必须进行检验以判断是否为增根，如为增根则必须舍去；一元一次不等式在得到解集之后也要根据题目当中的已知条件进得取值． 23. 国家卫健委启动为期三年（2024-2026年）的“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发0.5小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示． （1）出发点到山庄的路程_____，小丽的骑行速度_____，小明的速度为_____． （2）求线段所在直线的函数表达式．（不需要写出自变量的取值范围） （3）请直接写出小明第二次追上小丽的时间及他们距离山庄的路程． 【答案】（1）30；10；20； （2） （3）小明第二次追上小丽的时间是，他们距离山庄的路程为 【解析】 【分析】（1）根据图象中数据信息，结合速度路程时间求解即可； （2）先求出点B坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）用待定系数法求出小丽的函数解析式，再联立两函数解析式，求出交点坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：由图象可知，出发点到山庄的路程， 小丽的骑行速度为， ∵小丽到达点A用时， ∴小明到达点A用时， ∴小明的速度为； 【小问2详解】 解：小明在段用时，则， 设线段的函数表达式为 把和代入， 得，解得， ； 【小问3详解】 解：设小丽的函数解析式为， 把点代入，得，解得， ， ，解得， ∴ 答：小明第二次追上小丽的时间是，他们距离山庄的路程为． 24. 综合与实践： a．背景阅读： 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙等． b．实践操作： 下面我们折叠出一个黄金矩形（如图所示）： 第一步：在一张宽为2的矩形纸片的一端，利用如图①所示的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形和，再把纸片展平； 第三步：折出矩形的对角线，并沿折叠纸片，使点落在延长线上的点处，如图③所示； 第四步：展平纸片，过点折出，使和垂直，得到矩形，如图④，矩形就是黄金矩形． c．问题解决： （1）图③中，______（保留根号），四边形的形状是______； （2）请证明图④中的四边形是黄金矩形； （3）请在图④中再找出一个黄金矩形，这个黄金矩形是______（黄金矩形除外，直接写出答案，不需证明，参考数值） 【答案】（1）；菱形 （2）见解析 （3）MNDE 【解析】 【分析】（1）根据折叠得AC=1，BC=2，在Rt∆ABC中，利用勾股定理求解确定AB的值；由折叠的性质及菱形的判定证明即可得； （2）根据图形得出，AN=AC=1，CD=AD-AC=，由题目中黄金矩形的判定证明即可； （3）同（2）类似，确定DN=，MN=2，根据黄金矩形的定义判断即可． 【小问1详解】 解：根据折叠得：AC=1，BC=2， 由图③可得， 在Rt∆ABC中， ； 如图③， ∵四边形ACBF是矩形， ∴BQ∥AD， ∵AB∥DQ， ∴四边形ABQD是平行四边形， 由翻折可知：AB=AD， ∴四边形ABQD是菱形； 故答案为：；菱形； 【小问2详解】 证明：∵，AN=AC=1，CD=AD-AC=， 又∵BC=2， ∴， ∴矩形BCDE为黄金矩形； 【小问3详解】 矩形MNDE为黄金矩形，理由如下： 由图可得：DN=，MN=2， ∴， ∴矩形MNDE为黄金矩形， 故答案为：MNDE． 【点睛】题目主要考查矩形的性质及勾股定理解三角形，菱形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 25. 如图，直线与x轴交于点D，直线经过定点且与x轴交于点A．直线、交于点． （1）求直线的解析式； （2）在x轴上是否存在一点E，使与的面积相等？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； （3）平面内是否存在点Q，使得以A、B、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或； （3）存在，Q点坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）将点代入直线中，求解b的值，再将点代入直线中可求解m的值，再将点C代入直线中即可求解； （2）根据题意可得的面积，再由与的面积相等，求出的长，再求E点坐标即可； （3）设，分三种情况讨论即可：当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，结合点的平移求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线经过定点， ∴，解得， ∴直线， ∵直线、交于点． ∴， ∴点． ∴，解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：存在，或， 直线与x轴交于点D， ∴令，则，解得， ∴点， ∵直线与x轴交于点A． ∴令，则，解得， ∴点， ∴， ∵点， ∴， ∵点E在x轴上，设点， ∴， 若与的面积相等， 则有，可得， ∵点， ∴，即， 解得或， ∴点E的坐标为或； 【小问3详解】 解：存在点Q，以A、B、D、Q为顶点的四边形为平行四边形， ∵点，点，点， 设， 当为平行四边形的对角线时，如图， ∵点B向右平移5个单位，向下平移5个单位得到点A， ∴点D向右平移5个单位，向下平移5个单位得到点Q， ∴，， ∴点； 当为平行四边形的对角线时，如图， ∵点D向右平移1个单位，向上平移5个单位得到点B， ∴点A向右平移1个单位，向上平移5个单位得到点Q， ∴，， ∴点； 当为平行四边形的对角线时，如图， ∵点A向左平移5个单位，向上平移5个单位得到点B， ∴点D向左平移5个单位，向上平移5个单位得到点Q， ∴，， ∴点； 综上，Q点坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $