齐次式与二次根式 讲义-2026年初升高数学衔接

初高衔接之齐次式与二次根式 齐次式计算：比值消元 齐次式：等式两端或分子分母中每一项的次数都相同的式子称为齐次式 比值消元：一种特殊的消元方式，可以把双变量方程简化为单变量计算，求出两个变量的比例关系 例1.已知：x2-3xy+2y2=0,则y= 【答案】1或2 【详解】等式两边同时除以y2得到y -3之)+20，解方程即可 2x+3y 例2.已知：x2+5y-6y2=0,则2x-y= 、2 【答案】5或13【详解】原方程两边同时除以×得到1+5：上-6 =0解方程可得上=-或1，从而 6 2+3业 x=5 原式2-上 或9 X 13 y=2x(x≠0) 例3.已知 x2-3y+y2 (1)求y+y2的值 ②)求证：x+炒-=0 【答案】见解析 【解析】 -301+堂月 xx (1)y+y2 +凶 6 2在x+-少=的-1=0=有 a2+b2=c2,(a>0,b>0,c>0). 例4已知： (1)￡=2，求的值 a a (2)合≥5求号的取值范阻 a 【答案】见解析 【解析】 1)由a2+-c2→1+2-(S2→（白=1，(a>0,b>0→b=1 由a2+b=c2→1+(=(S2→(=(S2.1,≥2，.(}≥1，：a>0,b>0,c>0, a (2)bz1. a ab三C=k,则k= 例5.若+ca+ea+b 【答案】见解析 ab=c=k=7 a+b+c 1 【解析】当a+t+c≠0时，+ca+ca+b《b+c)+(a+c)+(a+b)2 当a+b+c=0时，原式=1 2 分式型函数图像：分离常数与函数平移 分离常数法：在分式型结构中，当分式的分子和分母次数相同时，可通过配凑裂变分离出一个常数，这样 mr+n 的方法称之为分离常数法。对于一次分式Qx+b可以进行如下裂项分常： m(ao+6)+n-mb ①在分子上配出分母： a ax+b m(ax+6)+n-mb ②进行列项： a -&a+bn-2 ax+b a ax+b一+ax+ h、mb =0+ Q ax+b ax+b 分式型函数：形如Cx+d的函数，它是由反比例函数平移得到的 ax+b 把函数》十风中的分子变为带数，便于处理分析，后续求分式型函数的值域时还会用到分离带数法. 例1.已知函数y=2x+1 x-1，求y的取值范围和对称中心 【答案】y≠-2，对称中心： 【解析1y=2x+1-2x-2+3-2x-23 x-1x-1x-1x-12大、J x-1, 3 因为x0,故y≠-2 函数图像平移：y= =3右个单位y=3下移2个单的y= x-1 *-T-2 对称中心：(0,0)右移1个单位)（么，0）下移2个单位（山，-2） 3 .x+2 例2已知函数1X一1是由反比例函数》x平移得到的，求k的值 【答案1片=+2=X-1+3-x-l+3.3 x-1-1x-1x-1-+1→k=3 二次根式 一般地，形如Va(a≥0)的代数式叫做二次根式。根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无 理式。 例如3a+a2+b+2b,a2+b2等是无理式，而v2x?V月 x+1,x+2y+y,VaF等 2 是有理式. 分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式 的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有 理化因式，例如V2与2,3后与a,V5+V6与3-6,23-32与25+32，等等 一般地，a与V,aN+b下与aN-b下，aN+b与G-b互为有理化因式。 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程：而分子有理化则是 分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 √aV万=Vab(a≥0，b之0)，而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行 运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式。 二次根式Va的意义 4 a,a20, (1)Va"=la=l-a,a<0. (2Na'=a,(a≥0 (3)vab=ax6,(a≥0，b≥0 bb 2=°，(a>0,b20) (4)Va√a 二重根式的化简 二重根式化简，中考不做要求，但是，在高中的三角函数、解析几何中却频频出现！ (Na+万=a+b+2Vab,要化简√m±2n,只要找到两个正数ab,使atb,ab-n, 那么便有：√m±2W=(Na±b=a±b(a>b). 例1.试比较下列各组数的大小： 2 (1)√12-√i和V1-10:(2)√6+4和2√2-√6. 【答案】见解析 【解析】 :-=匝：面-恒-厄+m1 1 V12+W11 12+V11, i-o-1-10(1-0(+0) 1 1 √11+V10 V11+V10, 又i2+i>1+i0,2-而i-i0 222-6-25-6-22-6x22+v0.2 1 2W2+√6 2√2+√6 2 又4>2，.+4>+2，√6+4<2W2-V6. 5 例2化简：(1)√9-4V5: (2) x+3-20<x<0 (3)V8-√28 1 1 1 (4)2+1+5+5+4+5+to0+9网 【答案】见解析 【解析】 (1)原式=V5+45+4=VW5+2x2×5+2-V2-5=2-5=-V5-2. - >1>x -x 0<x<1,∴.x ,所以，原式=x (3)8-28=vW7y-27+P=W5-1=万-1 (4) 2t5+5t4+5+i0+V=5-)+5-2+4-6)+(o0-9)=10-1=9. 1 1 课后练习 5-2V3+2 1已知x= 3+N2y=3-V2,求3x2-5y+3y2的值· 【答案】见解析 【解析】 +y= 5-5+-5-+5+=0, V3+V2V3-√2 93382,3x-5m+3y=3+y-=3xI0-l2289 6 2.己知x=a+(a>0,化简： x+2+Vx-2 a √x+2-Vx-2 【答案】见解析 Vx+2+Vx-2 -x+2+V-2xx+2+x-2_2x+2V-4-x+V-4 【解析】√x+2-√x-2Vx+2-Vx-2Vx+2+Vx-2 4 2 a++a-马 1 a+ +a- a,(a>1) a aa 1,(a=1) 2 2 1 ,(0<a<1) a 3已知x=3- x 2，求+产+7的值 【答案】见解析 【解析】 x2 1 3-√5 .x= +13-5+,23-53+5-++12+ 2x+ x23-V522 -+1 x+y-18 4.化简二重根式：(1)V13-4V5 【答案】25-1 【解折】V13-45=V13-22=2-1=25-1 (2)V8+45 【答案】V2+V6 t145-a-g8885=E西-5 (3)V7-4V5 【答案】2-√3 【解析】V7-45=V7-2i2=V5-V4=2-5 (4)V7-V40 7 【答】 【解析】 =a=2 a+b=7,a=2 1-0=12而06=5故7-o=5-5-5-万 5)V9-4W5-V6+25 【答案】-3 【解折1=9-220-6+2W5=(5-2-5+1-5-2-5-1=-3 5已：a>c>0且e4-3ac2+a=0,则a= 【答案】 V5-1 2 【解折】原方程两边网时除以。得到（白-3（白+1=0， g3565.5,m-5 a 2 [悦明注意(}是正数，要舍去负根 a x2-3xy+4y2 6.已知xy=1:2,求r2+y2一的值 【答案】见解析 x2-3xy+4y2 (2-3)+4 11 【解析】 x2+y2 2+1 5 1 a2+b2-c2 7.已知a:b:c=2:3:4,求 2ab一的值. 【答案】见解析 【解折】：a:b:c=2:34,设a=2k,则b=3张，c=4:口+-C_4+9%2-16k2.1 2ab 2×2k×3k 2-4 8.已知：a2=b2+c2,(a>0,b>0,c>0. (4)合求的值 a (②)名号术的取值施国 【答案】见解析 8 【解析】 (00=6+e=1-合+（→（台-a>0c>0→9 (2) 由a2=+c2→1(y+(Sy→(S=1(,b≥， a a aa2··()s、、7 a 白s3 a a>0,b>0,c>00<9≤3 a 2 9.已知函数y= x+2 3x-4,求y的取值范围 4.10 x-410 10 【答案】y=+2。 33 +31 3 3 1 3x-43x-43x-43x-43+3x-4* 10.函数)-的值域是 A.（-∞，-1)U(1,+∞) B.（-0,2) C.(-o,2)U(2,+∞) D.[-1,+o) 【答案】C 【g10-当22-2名，从而可知勇数网高的值为2U2m x+1x+1 故选C 9初高衔接之齐次式与二次根式 齐次式计算：比值消元 齐次式：等式两端或分子分母中每一项的次数都相同的式子称为齐次式 比值消元：一种特殊的消元方式，可以把双变量方程简化为单变量计算，求出两个变量的比例关系 例1.已知：x2-3xy+2y2=0,则y= 2x+3y 例2.已知：x2+5xy-6y2=0,则2x-y= =2x(x≠0) 例3.已知 x2-3y+y2 (1)求y+y的值 2求证：r+少=0 例4已知：a+h2=c2,(a>0,b>0c>0). (1)=2,求的值 1 b (2》之2，求的取值范围 a a 例5者品品品=则 分式型函数图像：分离常数与函数平移 分离常数法：在分式型结构中，当分式的分子和分母次数相同时，可通过配凑裂变分离出一个常数，这样 mx+n 的方法称之为分离常数法。对于一次分式ax+b可以进行如下裂项分常： m(ax+6)+n-mb ①在分子上配出分母： a ax+b 回进行列项：a++n- a ax+b =合(ax+)n一b Q ax+8+- ax+b ,n、b = a a ax+b ax+b V= 分式型函数：形如'cx+d的函数，它是由反比例函数平移得到的 函致十中的分子为藏，便于理粉板，层婴我分翅数的位橄怀合用分魔款 例1.己知函数y=2x+1 x一1，求y的取值范围和对称中心 2 x+2 k 例2已知函数”=x-1是由反比例函数少=x平移得到的，求k的值 y2= 二次根式 一般地，形如V(a≥0)的代数式叫做二次根式。根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无 理式.例如3a+√a+b+2b,Va2+b2等是无理式，而2x?V2, 2x+l,2+V2y+,VF等 是有理式. 分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式 的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有 理化因式，例如2与2,3a与Na,V5+V6与5-V6,25-3W2与25+3W2,等等 一般地，aV灰与V反，aN+bF与N-b,af+b与aG-b互为有理化因式 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是 分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 Va、历=Vab(a之0，b之0)，而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行 运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式。 3 二次根式V0 的意义 a,a≥0， (1)va=la=-a,a<0. 2)a'=a,a≥0 (3)vab=axV6,(a≥0，b≥0) bb 一= (4)Va Ja 2,(a>0,b20) 二重根式的化简 二重根式化简，中考不做要求，但是，在高中的三角函数、解析几何中却频频出现！ (N后+Vb)=a+b+2Nab,要化简√m±2，只要找到两个正数ab,使atbm,ab-m, 那么便有：Vm±2√=Na±b例=V后±B(a>b). 例1.试比较下列各组数的大小： 1)√2-√和-√10：'(2)√6+4和22-√6. 例2.化简：(1)√9-45： (2) 2-2(0<x<1). (3)V8-V28 4 -+8N(z) 中-￡叭()平重=粤形‘b 副阳+X+非‘乙 SA-E =x此已 名--+形‘0<)品+”=x鲜纪乙 乙-x个+乙+x个 ·男明+g￥·-=+=x21 +“- 飞第凯 +00++g+少++++() (3)V7-45 (4)V7-√40 (5)V9-45-V6+25 5.已知：a>c>0:且e4-3a2c2+a=0,则a=- x2-3y+4y2 6已知x:y=1:2,求x2+y2一的值 a2+b2-c2 7.已知a:b:c=2:3:4,求2ab广的值 8.已知：a2=b2+c2,(a>0,b>0,c>0). 6 ()名号求9约收 2)2求今的取值范围 a .x+2 9已知函数y=3x一4，求y的取值范围 10.函数)-中的值域是 2x A.（-0o,-1)U(1,+0) B.（-00,2) C.（-o,2)U(2,+o) D.[-1,+oo) 7