专题03 集合间的基本关系（典例精讲）讲义-2026年初升高数学暑假预习衔接

集合间的基本关系专题03 一、选择题（共10小题） 1．（2025•昆明校级模拟）集合M＝{x||x|，x∈Z}，则M的子集个数为（　　） A．3 B．4 C．8 D．16 2．（2025春•南京期末）设集合M＝{1，0，2a}，N＝{1，a2}，且N⊆M，则实数a的值是（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 3．（2025•浑南区校级模拟）设集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|x＜m}，若A⊆B，则m的取值范围是（　　） A．m≥3 B．m≤1 C．m≥1 D．m≤3 4．（2025•裕安区校级模拟）下列集合中表示空集的是（　　） A．{∅} B．{0} C．{x∈R|x2+x﹣1＝0} D．{x∈R|x2+x+1＝0} 5．（2025•娄底模拟）已知集合A＝{2a+3}，B＝{1，a2}，若A⊆B，则a＝（　　） A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．1 6．（2025•四川校级模拟）集合A＝{x||x﹣2|≤1，x∈Z}，则A的子集有（　　）个． A．8 B．7 C．6 D．3 7．（2025•朝阳区校级模拟）已知集合A＝{0，1}，B＝{0，a+1，a﹣1}，若A⊆B，则a＝（　　） A．2 B．0 C．0或2 D．﹣2或2 8．（2025•临潭县校级模拟）已知集合M满足{1，2}⫋M⊆{1，2，3，4}，则集合M的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 9．（2025•湖北模拟）设集合M＝{m|m＝x+2y，x，y∈Z}，N＝{n|n＝x+3y，x，y∈Z}，则（　　） A．M＝N B．M⫋N C．N⫋M D．M∩N＝∅ 10．（2025•新宁县校级模拟）已知集合M满足{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，5，6}，则所有满足条件的集合M的个数是（　　） A．7 B．8 C．15 D．16 二、多选题（共4小题） （多选）11．（2025•慈溪市校级模拟）已知集合A＝{x∈R|x2+1＝0}，B＝{∅}，则（　　） A．A＝∅ B．A＝B C．A≠B D．A⊆B （多选）12．（2025春•随州月考）下面说法中，正确的为（　　） A．{x|x+y＝1}＝{y|x+y＝1} B．{（x，y）|x+y＝2}＝{x|x+y＝2} C．{x|x＞2}＝{y|y＞2} D．{1，2}＝{2，1} （多选）13．（2025•永年区校级开学）已知集合A＝{x|2x﹣3＜3x}，B＝{x|x≥2}，则有（　　） A．﹣3∉A B．0⊆B C．B⫋A D．{2}∈B （多选）14．（2024秋•济源期末）下列关系中，正确的是（　　） A．0⊆N B．{0}∈{0，1} C． D．∅⊆{0} 三、填空题（共6小题） 15．（2025•江西模拟）已知集合A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{1，2，3，4}，则A∩B的真子集个数为 　 　 ． 16．（2025春•黄浦区校级月考）设集合A＝{0，1，2，3}，则A的非空子集的个数为 　 　 ． 17．（2025•凉山州模拟）已知集合A，B⊆{1，2，3，4，5，6}，则满足A⊆B的有序集组（A，B）的个数为　 　 ．（用数字作答） 18．（2025春•东城区校级期中）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|a≤x＜3}．若A⊆B，则a的最大值为 　 　 ． 19．（2024秋•黄浦区校级期末）已知集合A＝{﹣2，2}，B＝{﹣2，﹣1，a+3}，且A⊆B，则实数a的值为 　 　 ． 20．（2024秋•海口期末）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|x＞m}，若A⊆B，则m的取值范围为　 　 ． 四、解答题（共4小题） 21．（2023秋•双清区校级月考）设a，b∈R，P＝{1，a}，Q＝{﹣1，﹣b}，若P＝Q，求a﹣b的值． 22．（2023秋•岚山区校级月考）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|ax＝1}，若B⊆A，求实数a的值． 23．（2023秋•巴楚县月考）写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集． 24．（2021秋•宝山区校级期末）已知集合A＝{x||x﹣a|＜2}，． （1）求A、B； （2）若A⊆B，求实数a的取值范围． 一、选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A D B A C B A D 二、多选题（共4小题） 题号 11 12 13 14 答案 ACD ACD AC CD 一、选择题（共10小题） 1．【答案】C 【分析】可求出集合M，然后根据子集个数的计算公式即可得解． 【解答】解：， ∴M的子集个数为：23＝8． 故选：C． 2．【答案】D 【分析】根据集合间的关系列方程并检验，可得实数a的值． 【解答】解：由N⊆M，可得a2＝0或a2＝2a，解得a＝0或2， 当a＝0时，不符合集合元素的互异性，舍去， 故a＝2． 故选：D． 3．【答案】A 【分析】由集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|x＜m}，A⊆B，能出m的取值范围． 【解答】解：∵集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|x＜m}，A⊆B， ∴m≥3． ∴m的取值范围是m≥3． 故选：A． 4．【答案】D 【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案． 【解答】解：对于A和B，集合{∅}和集合{0}都存在一个元素，不为∅，故AB都不符合题意； 对于C，由x2+x﹣1＝0，则Δ＝1+4＝5＞0，即该方程存在两个不相等的实数根， 所以集合{x∈R|x2+x﹣1＝0}≠∅，故C不符合题意； 对于D，由x2+x+1＝0，则Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，即该方程不存在实数根， 所以集合{x∈R|x2+x+1＝0}＝∅，故D符合题意． 故选：D． 5．【答案】B 【分析】由题意可知2a+3＝1或2a+3＝a2，再结合元素的互异性求解即可． 【解答】解：因为集合A＝{2a+3}，B＝{1，a2}，且A⊆B， 所以2a+3＝1或2a+3＝a2， 解得a＝﹣1或a＝3， 由元素的互异性可知，a2≠1， 所以a＝3． 故选：B． 6．【答案】A 【分析】由题可解集合A，再利用子集个数求解公式2n可求． 【解答】解：因为A＝{x||x﹣2|≤1，x∈Z}＝{x|﹣1≤x﹣2≤1，x∈Z}＝{x|1≤x≤3，x∈Z}＝{1，2，3}， 所以A的子集有23＝8个． 故选：A． 7．【答案】C 【分析】由题意可得，1∈B，代入求解a，并检验即可． 【解答】解：由题意，a+1＝1或a﹣1＝1，解得a＝0或2， 当a＝0时，B＝{0，1，﹣1}，符合题意； 当a＝2时，B＝{0，3，1}，符合题意． 故选：C． 8．【答案】B 【分析】根据集合间的关系求解． 【解答】解：由题意，集合M＝{1，2，3}或M＝{1，2，4}或M＝{1，2，3，4}，共3个． 故选：B． 9．【答案】A 【分析】根据两个集合都能表示所有的整数，即可得解． 【解答】解：当x，y∈Z时，m＝x+2y和n＝x+3y都能表示所有的整数， 例如可取y＝0，则m＝n＝x∈Z， 所以M＝N＝Z． 故选：A． 10．【答案】D 【分析】根据已知，只需考虑元素3，4，5，6的情况即可． 【解答】解：由已知可得，1和2一定是集合M的元素，所以只需要考虑剩余元素3，4，5，6的情况即可． 又集合{3，4，5，6}的子集个数为24＝16，所以所有满足条件的集合M的个数是16． 故选：D． 二、多选题（共4小题） 11．【答案】ACD 【分析】由题意得A＝{x∈R|x2+1＝0}＝∅，根据相等集合和子集的定义即可判断． 【解答】解：由题意得方程x2+1＝0无解， 所以集合A＝{x∈R|x2+1＝0}＝∅，B＝{∅}， 则A≠B且A⊆B，可得A，C，D正确，B错误． 故选：ACD． 12．【答案】ACD 【分析】分别检验各选项中集合的含义即可判断． 【解答】解：{x|x+y＝1}＝{y|x+y＝1}＝R，A符合题意； {（x，y）|x+y＝2}＝{x|x+y＝2}表示的对象不同，B不符合题意； {x|x＞2}＝{y|y＞2}都表示所有大于2的实数，C符合题意； {1，2}＝{2，1}符合题意． 故选：ACD． 13．【答案】AC 【分析】根据集合的子集关系以及元素与集合的关系即可求解． 【解答】解：集合A＝{x|2x﹣3＜3x}＝{x|x＞﹣3}，B＝{x|x≥2}， 则﹣3∉A，0∉B，B⫋A，{2}⊆B，即AC正确，BD错误． 故选：AC． 14．【答案】CD 【分析】由元素与集合间的关系可判断AC，由集合间的包含关系可判断BD． 【解答】解：对于A，由元素与集合之间的关系可得0∈N，故A错误； 对于B，由集合间的包含关系可得{0}⊆{0，1}，故B错误； 对于C，由元素与集合之间的关系可得，故C正确； 对于D，因为空集是任何集合的子集，所以∅⊆{0}，故D正确． 故选：CD． 三、填空题（共6小题） 15．【答案】7． 【分析】由交集的运算可得A∩B＝{1，2，4}，即可得到结果． 【解答】解：对于集合A＝{x|x＝2n，n∈Z}，当n＝0时，x＝1；当n＝1时，x＝2；当n＝2时，x＝4，且B＝{1，2，3，4}， 所以A∩B＝{1，2，4}，即A∩B有3个元素， 则其真子集的个数为23﹣1＝7． 故答案为：7． 16．【答案】15． 【分析】结合集合子集个数的规律即可求解． 【解答】解：因为集合A＝{0，1，2，3}， 则A的非空子集的个数为24﹣1＝15． 故答案为：15． 17．【答案】729． 【分析】依题意，对集合A的元素个数分类讨论，即可求得答案． 【解答】解：①当A空集时，B可以是空集，单元素集，2个元素的集合，…，6个元素的集合，共有...26＝64个， ②当A为单元素集合时，B中必有A中的元素，可以是单元素集，2个元素的集合，…，5个元素的集合，共有25＝192个， ③当A为2个元素集合时，同理可得，符合条件的集合B有•24＝240个， ④当A为3个元素集合时，同理可得，符合条件的集合B有•23＝160个， ⑤当A为4个元素集合时，同理可得，符合条件的集合B有•22＝60个， ⑥当A为5个元素集合时，符合条件的集合B有•2＝12个， ⑦当A为6个元素集合时，符合条件的集合B＝A，有1个； 综上，符合条件的集合B共有64+192+240+160+60+12+1＝729个． 故答案为：729． 18．【答案】﹣1． 【分析】利用集合的包含关系求出a的取值范围即可． 【解答】解：因为集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|a≤x＜3}， 又因为A⊆B， 所以a≤﹣1， 即实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1]， 所以a的最大值为﹣1． 故答案为：﹣1． 19．【答案】见试题解答内容 【分析】由集合包含关系得到a+3＝2即可求解； 【解答】解：因为集合A＝{﹣2，2}，B＝{﹣2，﹣1，a+3}，且A⊆B， 所以a+3＝2， 解得a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 20．【答案】（﹣∞，﹣2]． 【分析】根据集合的关系得出端点间的不等关系，即得实数m的取值范围．； 【解答】解：因为A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|x＞m}，且A⊆B， 所以m≤﹣2， 即m的取值范围为（﹣∞，﹣2]． 故答案为：（﹣∞，﹣2]． 四、解答题（共4小题） 21．【答案】0． 【分析】根据集合相等的概念可解． 【解答】解：因为P＝{1，a}，Q＝（﹣1，﹣b}， 又P＝Q， 则a＝﹣1，﹣b＝1， 得a＝﹣1，b＝﹣1，则a﹣b＝0． 22．【答案】0或1或． 【分析】先求出集合A，再结合B⊆A，分a＝0和a≠0两种情况，分别求出a的值即可． 【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}， ①当a＝0时，B＝∅，符合题意， ②当a≠0时，B＝{}， 又∵B⊆A， ∴1或， ∴a＝1或a， 综上所述，实数a的值为0或1或． 23．【答案】子集为∅，{a}，{b}，{a，b}． 真子集为∅，{a}，{b}． 【分析】由子集和真子集概念写出其所有子集和真子集即可． 【解答】解：集合{a，b}的所有子集为∅，{a}，{b}，{a，b}． 真子集为∅，{a}，{b}． 24．【答案】（1）A＝{x|a﹣2＜x＜a+2}，B＝{x|﹣2＜x＜3}， （2）[0，1]． 【分析】（1）分别求出绝对值及分式不等式的解集即可求解集合A，B； （2）由已知结合集合的包含关系即可求解． 【解答】解：（1）由题意得A＝{x||x﹣a|＜2}＝{x|a﹣2＜x＜a+2}，{x|﹣2＜x＜3}， （2）若A⊆B，则， 解得0≤a≤1， 故实数a的取值范围为[0，1]． 第3页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 集合间的基本关系专题03 1．理解两个集合间的包含关系． 2．能用符号和Venn图表示两个集合间的关系． 3．理解空集与子集、真子集之间的关系． 1 1．Venn图 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为 Venn 图． （1）表示集合的Venn 图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线． （2）用 Venn 图表示集合的优点是能直观地表示集合间的关系，缺点是集合元素的公共特征不明显． 2．子集、真子集、集合相等 （1）子集 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集（subset）．记作A⊆B（或），读作“A包含于B”（或“B包含A”） 用Venn 图表示如下： （2）集合相等 对于两个集合A与B，若集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，则称集合A与集合B相等．记作A=B． 用Venn 图表示如下： （3）真子集 如果集合A⊆B，但存在元素，且，就称集合A是集合B的真子集（proper subset）． 记作A⫋B（或），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”） 用Venn 图表示如下： 3．空集 一般地，我们把不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作．规定空集是任何集合的子集． 4．集合关系的性质 （1）任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A． （2）对于集合A，B，C，①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若AB，BC，则AC． （3）若A⊆B，A≠B，则AB． （4）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 2 01 集合间基本关系的判断 判断集合间关系的常用方法 答疑解惑 （1）任何两个集合之间是否一定有包含关系呢？ 答案是：不一定．如集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，这两个集合就不存在包含关系． （2）集合A是集合B的子集分两种情况：一是集合A是集合B的真子集，二是集合A与集合B相等．． 【例1】　（2025•海淀区校级开学）下列说法错误的是（　　） A．2∈{2，1，0} B．{1}∈{2，1，0} C．{0}⊆{2，1，0} D．∅⊆{2，1，0} 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系判断即可． 【解答】解：2是{2，1，0}的元素，A正确； {1}不是{2，1，0}的元素，B错误； {0}是{2，1，0}的子集，C正确； 空集是任何集合的子集，D正确． 故选：B． 【例2】　已知A＝{大于2且小于10的有理数}，B＝{3，4}，则集合A与集合B的关系是（　　） A．A＝B B．A⊆B C．B⊆A D．B⫋A 【答案】D 【分析】由集合的真子集的定义进行判断即可． 【解答】解：∵A＝{大于2且小于10的有理数}，B＝{3，4}， ∴B⫋A， 故选：D． 【例3】　（2023秋•江西期末）已知集合A＝{1，3，5}，B＝{1，5}，则（　　） A．A＝B B．A⊆B C．B⊆A D．以上都不正确 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系判断即可． 【解答】解：集合A＝{1，3，5}，B＝{1，5}，A≠B，选项A错误； B⊆A，则B错误，C正确． 故选：C． 02 求集合的子集 分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏． 【例4】　（2019春•沙依巴克区校级期末）写出集合{a，b}的所有子集． 【答案】∅，{a}，{b}，{a，b}． 【分析】根据子集的定义，写出{a，b}的所有子集即可． 【解答】解：{a，b}的所有子集为：∅，{a}，{b}，{a，b}． 【例5】　设Y是由6的全体正约数组成的集合，写出Y的所有子集． 【答案】∅，{1}，{2}，{3}，{6}，{1，2}，{1，3}，{1，6}，{2，3}，{2，6}，{3，6}，{1，2，3}，{1，2，6}，{1，3，6}，{2，3，6}，{1，2，3，6}． 【分析】求出集合Y，从而求出Y的子集即可． 【解答】解：6的全体正约数是1，2，3，6， 故Y＝{1，2，3，6}， 故Y的子集是∅，{1}，{2}，{3}，{6}，{1，2}，{1，3}，{1，6}，{2，3}，{2，6}，{3，6}，{1，2，3}，{1，2，6}，{1，3，6}，{2，3，6}，{1，2，3，6}． 【例6】　写出集合{a，b，c}的所有子集，并指出哪些是真子集． 【答案】子集：∅：{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}； 真子集：∅：{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}． 【分析】由已知结合集合子集及真子集的定义即可求解． 【解答】解：可以按照子集的元素个数分类：不含任何元素的子集1个：空集∅； 含1个元素的子集3个：{a}，{b}，{c}； 含2个元素的子集3个：{a，b}，{a，c}，{b，c}； 含3个元素的子集1个：{a，b，c}，除集合{a，b，c}本身外，其余7个都是真子集． 03 子集、真子集的个数 假设集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 【例7】　（2025•昆明校级模拟）集合M＝{x||x|，x∈Z}，则M的子集个数为（　　） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】可求出集合M，然后根据子集个数的计算公式即可得解． 【解答】解：， ∴M的子集个数为：23＝8． 故选：C． 【例8】　（2025春•江宁区期末）已知集合，则集合A的真子集的个数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先求出集合A，再根据真子集的个数公式计算求解． 【解答】解：由题意，2﹣x≥0且x∈N，解得x＝0，1，2， 集合， 则集合A的真子集的个数是23﹣1＝7． 故选：C． 【例9】　（2025•苏州校级二模）集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜4}的子集个数为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】先求出集合，再求出子集个数即可． 【解答】解：由题意，得A＝{0，1，2，3}，故集合A子集个数为24＝16个． 故选：D． 04 集合的相等 （1）若两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形． （2）若两个集合中元素均有无限多个，则要看两集合的代表元素是否一致，再看代表元素满足的条件是否一致．若均一致，则两集合相等． （3）证明集合A与B相等的常用思路是“证A⊆B且B⊆A”． 【例10】　（2024春•浑源县校级期末）下列集合中表示同一集合的是（　　） A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）} B．M＝{2，3}，N＝{3，2} C．M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{y|x+y＝1} D．M＝{2，3}，N＝{（2，3）} 【答案】B 【分析】利用集合的三个性质及其定义，对A、B、C、D四个选项进行一一判断； 【解答】解：A、M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}，不是同一集合，故A错误； B、M＝{2，3}，N＝{3，2}根据集合的无序性，集合M，N表示同一集合，故B正确 C、M＝{（x，y）|x+y＝1}，M集合的元素表示点的集合，N＝{y|x+y＝1}，N表示直线x+y＝1的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故C错误； D、M＝{2，3} 集合M的元素是2和3，N＝{（2，3）}，集合N的元素是点（2，3），故D错误； 故选：B． 【例11】　（2024秋•深圳校级期末）已知a∈R，若集合{a，﹣a，0}＝{c，a2，a}，则a＝（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．2 【答案】B 【分析】由集合相等的定义建立方程求得结果． 【解答】解：∵{a，﹣a，0}＝{c，a2，a}， ∴，解得a＝﹣1，c＝0． 故选：B． 【例12】　（2024秋•湖里区校级期中）若集合{x，1+x，x2}＝{﹣1，0，1}，则x＝（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．1，﹣1 【答案】C 【分析】根据集合相等求参，再分别计算是否符合题意即可得出参数． 【解答】解：因为集合{x，1+x，x2}＝{﹣1，0，1}， 当x＝﹣1，则x2＝1，1+x＝0，符合题意； 当x＝0，则x2＝0，与集合元素的互异性矛盾，不符合题意； 当x＝1，则x2＝1，与集合元素的互异性矛盾，不符合题意； 所以x＝﹣1． 故选：C． 05 空集 空集 （1）{0}与 {0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠． {0}． （2）空集是任何集合的子集． （3）空集是任何非空集合的真子集． 【例13】　（2025•裕安区校级模拟）下列集合中表示空集的是（　　） A．{∅} B．{0} C．{x∈R|x2+x﹣1＝0} D．{x∈R|x2+x+1＝0} 【答案】D 【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案． 【解答】解：对于A和B，集合{∅}和集合{0}都存在一个元素，不为∅，故AB都不符合题意； 对于C，由x2+x﹣1＝0，则Δ＝1+4＝5＞0，即该方程存在两个不相等的实数根， 所以集合{x∈R|x2+x﹣1＝0}≠∅，故C不符合题意； 对于D，由x2+x+1＝0，则Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，即该方程不存在实数根， 所以集合{x∈R|x2+x+1＝0}＝∅，故D符合题意． 故选：D． 【例14】　（2024秋•姑苏区校级期中）下列是关于∅的描述，其中错误的是（　　） A．∅⊆∅ B．∅∈∅ C．∅⊆{∅} D．∅∈{∅} 【答案】B 【分析】根据空集的定义即可判断B错误，从而得出正确的选项． 【解答】解：空集不含任何元素，∴∅∈∅错误． 故选：B． 【例15】　（2024秋•碑林区校级月考）已知集合A＝{x|ax2+ax+2＝0}，若集合A为空集，则实数a的取值范围是（　　） A．{a|0＜a＜8} B．{a|0≤a＜8} C．{a|a＜0或a＞8} D．{a|a≤0或a＞8} 【答案】B 【分析】通过讨论a＝0和a≠0即可求解． 【解答】解：当a＝0时，易知A＝∅，符合题意， 当a≠0时，若集合A为空集，则 Δ＝a2﹣8a＜0，解得0＜a＜8，、 故实数a的取值范围是{a|0≤a＜8}． 故选：B． 06 集合关系中的参数取值问题 （1）利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合（含参数），另一个为静集合（具体的），解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题． （2）空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B（B≠）的含参数的问题时，要注意讨论A＝和A≠两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 涉及“B⊆A”或“且A≠”的问题，一定要分B＝和B≠两种情况进行讨论，其中B＝的情况易被忽略，应引起足够的重视． 【例16】　（2025春•保定期末）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{x|a﹣3≤x≤3a}，且A⊆B，则实数a的取值范围为（　　） A． B．a＞2或 C． D．a≥2或 【答案】C 【分析】利用一元二次不等式的解法即可化简集合A，再利用A⊆B，即可得出结果． 【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}＝{x|﹣1≤x≤4}， 因为A⊆B，所以，解得． 故选：C． 【例17】　（2025春•南京期末）设集合M＝{1，0，2a}，N＝{1，a2}，且N⊆M，则实数a的值是（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据集合间的关系列方程并检验，可得实数a的值． 【解答】解：由N⊆M，可得a2＝0或a2＝2a，解得a＝0或2， 当a＝0时，不符合集合元素的互异性，舍去， 故a＝2． 故选：D． 【例18】　（2024秋•丰台区校级期中）若集合A＝{x|ax2﹣ax+2＝0}＝∅，则实数a的取值范围是 　　 ． 【答案】[0，8）． 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得． 【解答】解：若a＝0，2＝0不成立，A＝∅，则a＝0； 若a≠0时，由题意得Δ＝a2﹣8a＜0，解得0＜a＜8； 所以实数a的取值范围是0≤a＜8， 所以a的取值范围为[0，8）． 故答案为：[0，8）． 第12页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $