专题14 函数的奇偶性（典例+练习）讲义-2026年初升高数学暑假预习衔接

函数的奇偶性专题14 一、选择题（共8小题） 1．（2024秋•镜湖区校级期末）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，则f（x）在R上的表达式是（　　） A．y＝x（x﹣2） B．y＝x（|x|﹣1） C．y＝|x|（x﹣2） D．y＝x（|x|﹣2） 2．（2024秋•吉林校级期末）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（x）＝f（4﹣x），当﹣2≤x＜0时，f（x），则f（）＝（　　） A．﹣2 B． C． D．2 3．（2024秋•化州市期中）若函数f（x）和g（x）都是奇函数，且F（x）＝f（x）+g（x）+2在（0，+∞）上有最大值5，则F（x）在（﹣∞，0）上有（　　） A．最小值﹣5 B．最大值﹣5 C．最小值﹣1 D．最大值﹣3 4．（2024春•长寿区期末）函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时f（x）＝﹣x+1，则当x＜0时，f（x）的表达式为（　　） A．f（x）＝﹣x+1 B．f（x）＝﹣x﹣1 C．f（x）＝x+1 D．f（x）＝x﹣1 5．（2023秋•嘉兴期末）已知函数y＝f（2x﹣1）的图象关于点（﹣1，1）对称，则下列函数是奇函数的是（　　） A．y＝f（2x﹣2）+1 B．y＝f（2x﹣3）+1 C．y＝f（2x﹣2）﹣1 D．y＝f（2x﹣3）﹣1 6．（2023秋•昌平区校级期中）已知函数f（x）＝x5+ax3+bx+8，且f（﹣2）＝10，那么f（2）等于（　　） A．﹣18 B．﹣10 C．6 D．10 7．（2025•福州模拟）已知奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）＝1，则f（4）+f（5）的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 8．（2025春•广东期中）已知定义域为R的偶函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝6，则f（10）＝（　　） A．3 B．2 C．6 D．10 二、多选题（共3小题） （多选）9．（2024秋•漯河期末）下列函数既是奇函数，又在定义域内单调递增的是（　　） A．y＝x B．y C．y＝x2 D．y （多选）10．（2024秋•娄底期末）已知函数f（x）＝ax2﹣2bx﹣1，则下列结论正确的是（　　） A．若f（x）是偶函数，则b＝0 B．若f（x）＜0的解集是（﹣1，1），则ab＝1 C．若a＝1，则f（x）＞0恒成立 D．∀a≤0，b＜0，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增 （多选）11．（2025•湖南模拟）若f（x）与g（x）分别为定义在R上的偶函数、奇函数，则函数h（x）＝f（x）g（x）的部分图象可能为（　　） A． B． C． D． 三、填空题（共3小题） 12．（2025•儋州校级模拟）已知函数f（x）＝ax2+bx+c，x∈[﹣2a﹣5，1]是偶函数，则a+2b＝　 　 ． 13．（2025•湖北三模）已知奇函数f（x）在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集　 　 ． 14．（2024秋•肇东市校级期末）若函数f（x）＝x（x+a）在R上是偶函数，则实数a＝ 　 　 ． 四、解答题（共5小题） 15．（2024秋•茶陵县校级期末）已知函数． （1）求f（2）的值； （2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由． 16．（2024秋•内蒙古校级期末）判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）f（x）＝|x|﹣x． 17．（2024秋•固始县期末）已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x． （1）求函数f（x）的解析式； （2）在坐标系中画出函数f（x）的图象； （3）若函数f（x）在区间[﹣1，m﹣3]上单调递增，求实数m的取值范围． 18．（2024秋•肃州区校级期中）函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，函数的解析式为． （1）求f（﹣2）的值； （2）当x＜0时，求函数的解析式． 19．（2024秋•甘肃校级期中）已知函数f（x）＝x2． （1）求函数f（x）的定义域； （2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由； （3）判断f（x）在[2，+∞）上的单调性． 一、选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D C B D C A A 二、多选题（共3小题） 题号 9 10 11 答案 AD ABD AC 一、选择题（共8小题） 1．【答案】D 【分析】根据函数奇偶性的性质，将x＜0，转化为﹣x＞0，即可求f（x）的表达式． 【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0， ∵当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x， ∴f（﹣x）＝x2+2x， ∵f（x）是定义在R上的奇函数， ∴f（﹣x）＝x2+2x＝﹣f（x）， ∴f（x）＝﹣x2﹣2x＝﹣x（x+2）＝x（﹣x﹣2），（x＜0）， ∴y＝f（x）＝x（|x|﹣2）， 故选：D． 2．【答案】D 【分析】根据条件判断函数的对称性，结合函数的奇偶性进行转化求解即可． 【解答】解：∵f（x）＝f（4﹣x）， ∴f（x）的图象关于直线x＝2对称， ∴f（）＝f（）， 又∵函数f（x）为奇函数， f（）＝﹣f（）＝﹣（﹣2）＝2， 即f（）＝2． 故选：D． 3．【答案】C 【分析】令h（x）＝f（x）+g（x），由题意可得奇函数h（x）在（0，+∞）上有最大值3，故h（x）在（﹣∞，0）上有最小值﹣3，由此可得结论． 【解答】解：令h（x）＝f（x）+g（x），∵函数f（x）、g（x）都是奇函数， 则h（x）也是奇函数，且F（x）＝h（x）+2． ∵F（x）＝f（x）+g（x）+2在（0，+∞）上有最大值5， ∴h（x）在（0，+∞）上有最大值3， ∴h（x）在（﹣∞，0）上有最小值﹣3， ∴F（x）＝h（x）+2在（﹣∞，0）上有最小值﹣1， 故选：C． 4．【答案】B 【分析】根据函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时f（x）＝﹣x+1，要求x＜0时，f（x）的表达式，转化到x＞0时求解． 【解答】解：当x＜0时，则﹣x＞0 ∵x＞0时f（x）＝﹣x+1， ∴f（﹣x）＝﹣（﹣x）+1＝x+1， ∵函数f（x）是定义域为R的奇函数， ∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x﹣1 故选：B． 5．【答案】D 【分析】由已知结合函数的奇偶性，对称性及函数图象的平移即可求解． 【解答】解：因为y＝f（2x﹣1）的图象关于（﹣1，1）对称， 所以把y＝f（2x﹣1）的图象向右平移一个单位，向下平移一个单位可得y＝f（2x﹣3）﹣1的图象关于原点（0，0）对称． 故选：D． 6．【答案】C 【分析】由函数的解析式是一个非奇非偶函数，且偶函数部分是一个常数，故可直接建立关于f（﹣2）与f（2）的方程，解出f（2）的值 【解答】解：由题，函数f（x）＝x5+ax3+bx+8，且f（﹣2）＝10， 则f（﹣2）+f（2）＝8+8＝16 解得f（2）＝6 故选：C． 7．【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性的概念求解． 【解答】解：∵f（x）为R上的奇函数，由奇函数性质可得，f（0）＝0， ∵f（x+2）为偶函数，∴f（﹣x+2）＝f（x+2）， ∴f（﹣3+2）＝f（3+2），f（﹣2+2）＝f（2+2）， ∴f（5）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，f（4）＝f（0）＝0，则f（4）+f（5）＝﹣1． 故选：A． 8．【答案】A 【分析】根据偶函数的性质以及函数的对称性可解． 【解答】解：已知定义域为R的偶函数， 则f（﹣x）＝f（x）， 又f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝6， 当x＝x+4时，即f（x+4）+f（﹣x）＝f（x+4）+f（x）＝6， 则f（4﹣x）＝f（x+4），则f（x）关于x＝4对称， 则f（10）＝f（﹣2）＝f（2）， 又2f（2）＝6，则f（2）＝3， 则f（10）＝3． 故选：A． 二、多选题（共3小题） 9．【答案】AD 【分析】根据题意，判断选项中的函数是否为定义域上的奇函数，且是定义域内的单调增函数即可． 【解答】解：对于A，函数y＝x，是定义域R上的奇函数，且是定义域内的单调增函数； 对于B，函数y，是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，但在定义域内不是单调函数； 对于C，函数y＝x2，是定义域R上的偶函数，且在定义域内不是单调函数； 对于D，函数y，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），满足f（﹣x）＝﹣f（x），是定义域上的奇函数，且是定义域内的单调增函数． 故选：AD． 10．【答案】ABD 【分析】利用函数奇偶性的定义求出b的值，可判断A选项； 利用二次不等式的解集与系数的关系可判断B选项； 当a＝1时，计算Δ可判断C选项； 利用一次函数与二次函数的单调性可判断D选项． 【解答】解：对于A选项，函数f（x）的定义域为R，若函数f（x）为偶函数，则f（﹣x）＝f（x）， 即ax2+2bx﹣1＝ax2﹣2bx﹣1，即4bx＝0对任意的x∈R恒成立，则b＝0，故A正确； 对于B选项，若不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，1）， 则a＞0且﹣1、1为方程f（x）＝0的两根， 则，解得，故ab＝1，故B正确； 对于C选项，若a＝1， 则f（x）＝x2﹣2bx﹣1，Δ＝4b2+4＞0， 故f（x）＞0不恒成立，故C错误； 对于D选项，当a＝0时， 因为b＜0， 则f（x）在（﹣∞，0）上单调递增， 当a＜0时，函数f（x）的对称轴为直线且， 由二次函数的单调性可知，函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增， 故∀a≤0，b＜0，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，故D正确． 故选：ABD． 11．【答案】AC 【分析】利用函数奇偶性的定义可得结论． 【解答】解：f（x）是定义在R上的偶函数，g（x）为奇函数， 则h（﹣x）＝f（﹣x）g（﹣x）＝﹣f（x）g（x）＝﹣h（x）， 且h（x）的定义域关于原点对称， 函数h（x）＝f（x）g（x）为奇函数，h（x）的图象关于原点对称． 故选：AC． 三、填空题（共3小题） 12．【答案】﹣2． 【分析】根据题意，由偶函数的性质可得﹣2a﹣5+1＝0，解可得a的值，结合二次函数的性质求出b的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ax2+bx+c，x∈[﹣2a﹣5，1]是偶函数， 则有﹣2a﹣5+1＝0，解可得a＝﹣2， 则函数f（x）是开口向下的二次函数，必有b＝0， 故a+2b＝﹣2． 故答案为：﹣2． 13．【答案】见试题解答内容 【分析】由f（x）是奇函数得函数图象关于原点对称，由xf（x）＜0可得x与f（x）符号相反，根据奇函数的对称性可求得结果 【解答】解：∵xf（x）＜0 ①当x＞0时，f（x）＜0， 结合函数的图象可得，1＜x＜2， （2）x＜0时，f（x）＞0， 根据奇函数的图象关于原点对称可得，﹣2＜x＜﹣1， ∴不等式xf（x）＜0的解集为（﹣2，﹣1）∪（1，2）． 故答案为：（﹣2，﹣1）∪（1，2）． 14．【答案】见试题解答内容 【分析】由偶函数的性质求解即可； 【解答】解：由函数f（x）＝x（x+a）在R上是偶函数， 可得f（﹣x）＝f（x）， 即﹣x（﹣x+a）＝x（x+a），解得a＝0． 故答案为：0． 四、解答题（共5小题） 15．【答案】（1）3； （2）奇函数，理由见解析． 【分析】（1）代入x＝2求解即可． （2）先分析定义域，再求解f（﹣x）再分析与f（x）的关系判定即可． 【解答】解：（1）由知； （2）函数为奇函数，理由如下：定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， 因为， 所以， 所以f（x）为奇函数． 16．【答案】（1）奇函数； （2）偶函数； （3）非奇非偶函数． 【分析】（1）（2）（3）利用函数奇偶性的定义可判断出函数f（x）的奇偶性． 【解答】解：（1）f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）． 因为，所以f（x）为奇函数． （2）f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， 因为，所以f（x）为偶函数． （3）f（x）＝|x|﹣x的定义域为R， 因为f（﹣x）＝|﹣x|﹣（﹣x）＝|x|+x≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x）， 所以f（x）为非奇非偶函数． 17．【答案】（1）f（x）；（2）图象见解答；（3）（2，4]． 【分析】（1）由函数的奇偶性的定义和已知解析式，计算x＞0时的解析式，可得所求f（x）的解析式； （2）由分段函数的图象画法，可得所求图象； （3）结合f（x）的图象，求得f（x）的增区间，可得m的范围． 【解答】解：（1）函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x， 可得x＞0，﹣x＜0，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（x2﹣2x）＝2x﹣x2． 所以f（x）； （2）由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象： （3）由f（x）的图象可得f（x）的增区间为[﹣1，1]， 若函数f（x）在区间[﹣1，m﹣3]上单调递增， 可得﹣1＜m﹣3≤1，解得2＜m≤4， 则实数m的取值范围是（2，4]． 18．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由f（﹣2）＝﹣f（2），代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由函数的奇偶性，代入计算，即可得到结果． 【解答】解：（1）因为x＞0时，， 则，又f（x）是R上的奇函数， 所以． （2）设x＜0，则﹣x＞0，则f（x）， 所以（x＜0）． 19．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用分母不为0，可得函数f（x）的定义域； （2）利用函数奇偶性的定义，判断f（x）的奇偶性； （3）利用单调性的定义，判断f（x）在[2，+∞）上的单调性． 【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为{x|x≠0}； （2）∵函数f（x）的定义域为{x|x≠0}关于原点对称， ∴f（﹣x）＝x2f（x）， ∴函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数． （3）任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2， 则f（x1）﹣f（x2）＝（x12）﹣（x22）＝（x1+x2）（x1﹣x2） ＝（x1﹣x2）（x1+x2）． 由于x1≥2，x2≥2，且x1＜x2， ∴x1﹣x2＜0，x1+x2， 所以f（x1）＜f（x2）， 故f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数． 第5页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的奇偶性专题14 1．理解函数的奇偶性及其几何意义． 2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性． 3．会判断函数的奇偶性． 4．在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用奇偶性解决函数性质的问题． 1 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数 关于原点对称 2 01 判断函数的奇偶性 1．判断函数奇偶性的方法 （1）定义法： （2）图象法： 2．判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 （1）定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数． （2）判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式【f（x）＋f（－x）＝0（奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数）】是否成立． 3．函数除了有奇函数、偶函数，还有非奇非偶函数，以及既是奇函数又是偶函数（如，）． 【例1】　（2025•郴州模拟）下列函数中，是奇函数的是（　　） A．y＝x2+1 B． C．y＝x+1 D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式的形式，直接判断选项． 【解答】解：y＝x2+1是偶函数，A错误； 是奇函数，B正确； y＝x+1和是非奇非偶函数，CD错误． 故选：B． 【例2】　（2023秋•东城区校级期中）下列函数是偶函数的是（　　） A．y＝x B．y＝2x2﹣3 C．y D．y＝x2，x∈[0，1] 【答案】B 【分析】首先考虑函数的定义域是否关于原点对称，再计算f（﹣x）与f（x）比较，同时也可以运用图象特点，即可判断A，C，D不为偶函数，B为偶函数． 【解答】解：对于y＝f（x）＝x，由f（﹣x）＝﹣f（x），可得A为奇函数； 对于y＝2x2﹣3，由二次函数图象关于y轴对称，可得B为偶函数； 对于y＝f（x），由图象可得关于原点对称，可得C为奇函数； 对于y＝x2，x∈[0，1]，定义域不关于原点对称，故D不为偶函数也不是奇函数； 故选：B． 【例3】　（2024秋•白城校级期中）判断函数f（x）的奇偶性． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可． 【解答】解：若x＞0，则﹣x＜0， 则f（﹣x）＝﹣（﹣x）2﹣2（﹣x）﹣3＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x2﹣2x+3）＝﹣f（x）， 若x＜0，则﹣x＞0， 则f（﹣x）＝x2﹣2（﹣x）+3＝x2+2x+3＝﹣（﹣x2﹣2x﹣3）＝﹣f（x）， ∵f（0）＝0 ∴综上f（﹣x）＝﹣f（x）， 即f（x）为奇函数． 【例4】　（2024秋•阿鲁科尔沁旗校级期末）判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）f（x）＝|x|﹣x． 【答案】（1）奇函数； （2）偶函数； （3）非奇非偶函数． 【分析】（1）（2）（3）利用函数奇偶性的定义可判断出函数f（x）的奇偶性． 【解答】解：（1）根据题意，，其定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）． 则有，所以f（x）为奇函数． （2）根据题意，，其定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， 则有，所以f（x）为偶函数． （3）根据题意，f（x）＝|x|﹣x，其定义域为R， 因为f（﹣x）＝|﹣x|﹣（﹣x）＝|x|+x， 有f（﹣x）≠f（x）且f（﹣x）≠﹣f（x）， 所以f（x）为非奇非偶函数． 02 利用奇、偶函数图象的对称性解决问题 1．巧用奇、偶函数的图象求解问题 （1）依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称． （2）求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题． 2．利用奇偶性求值的常见类型 （1）求参数值：若解析式含参数，则根据f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数． （2）求函数值：利用f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值． 3．利用函数的奇偶性求值 （1）利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值． （2）利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题． 4．利用函数的奇偶性与单调性比较大小的求解策略 （1）若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； （2）若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小． 【例5】　（2023秋•汉台区期末）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（﹣3）＝﹣2，则f（3）+f（0）＝（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．7 【答案】C 【分析】由题意得f（3）+f（0）＝﹣f（﹣3）+f（0）＝2+0＝2． 【解答】解：由题意得f（3）+f（0） ＝﹣f（﹣3）+f（0） ＝2+0＝2． 故选：C． 【例6】　（2025•长沙校级模拟）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x﹣x2，则f（﹣2）＝（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣2 D．2 【答案】D 【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（2）的值，结合函数的奇偶性计算可得答案． 【解答】解：根据题意，当x＞0时，f（x）＝x﹣x2，则f（2）＝2﹣4＝﹣2， 又由f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣2）＝﹣f（2）＝2； 故选：D． 【例7】　（2025•新高考Ⅰ）设f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f（x）＝5﹣2x，则f（）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性与周期性，化归转化，即可求解． 【解答】解：根据题意可得f（）＝f（）＝f（2）＝f（）＝5﹣2． 故选：A． 【例8】　（2025春•周口期末）已知是奇函数，则a＝（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 【答案】B 【分析】由已知结合奇函数定义即可求解． 【解答】解：因为f（x）为奇函数，且定义域为|x|x≠0}， 所以f（﹣1）＝﹣f（1）， 即，解得 a＝﹣1，经检验符合条件． 故选：B． 03 利用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为 （1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． （2）利用已知区间的解析式进行代入． （3）利用f（x）的奇偶性写出－f（－x）或f（－x），从而解出f（x）． 【例9】　（2024秋•福贡县期末）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）＝x2﹣3x，则当x＜0时，f（x）的解析式为（　　） A．x2﹣3x B．﹣x2﹣3x C．﹣x2+3x D．x2+3x 【答案】D 【分析】根据题意，当x＜0时，﹣x＞0，可得f（﹣x）的表达式，由函数的奇偶性分析可得答案． 【解答】解：根据题意，当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）＝（﹣x）2﹣3（﹣x）＝x2+3x， 又由函数f（x）为偶函数， 则f（x）＝f（﹣x）＝x2+3x； 故当x＜0时，f（x）＝x2+3x． 故选：D． 【例10】　（2024秋•清远期末）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝2x+1﹣1． （1）求函数f（x）的解析式； （2）求不等式f（x）≤3的解集． 【答案】（1）f（x）； （2）{x|﹣1≤x≤1}． 【分析】（1）由已知x≥0时的函数解析式及偶函数定义即可求解； （2）结合指数函数单调性即可求解． 【解答】解：（1）函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝2x+1﹣1， 当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝21﹣x﹣1＝f（x）， 所以f（x）＝21﹣x﹣1， f（x）； （2）当x≥0时，f（x）＝2x+1﹣1≤3，解得0≤x≤1， 当x＜0时，f（x）＝21﹣x﹣1≤3，解得，﹣1≤x＜0， 故x的范围为{x|﹣1≤x≤1}． 【例11】　（2024秋•广东期末）已知偶函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x，则当x＜0时，f（x）＝（　　） A．﹣x2+x B．﹣x2﹣x C．x2+x D．x2﹣x 【答案】D 【分析】设x＜0，可得﹣x＞0，由题意可得f（﹣x）的解析式，再由偶函数的性质可得f（x）的解析式． 【解答】解：由偶函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x，当x＜0时，则﹣x＞0， 所以f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）＝x2﹣x， 所以f（x）＝f（﹣x）＝x2﹣x， 故选：D． 【例12】　（2023秋•惠城区校级期中）已知函数f（x）为R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）的解析式为（　　） A．﹣x2﹣2x B．﹣x2+2x C．x2+2x D．以上都不对 【答案】A 【分析】根据题意，设x＜0，则﹣x＞0，利用奇函数的性质求x＜0时的函数解析式即可． 【解答】解：根据题意，设x＜0，则﹣x＞0， 函数f（x）为R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x， 则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2﹣2（﹣x）]＝﹣（x2+2x）＝﹣x2﹣2x． 故选：A． 04 函数奇偶性与单调性综合 奇偶性与单调性的综合，该知识点的考查主要体现在奇偶性对单调性在对称区间上的影响． 1．定义域优先．无论是判断奇偶性还是讨论单调性，第一步永远是检查定义域． 2．奇偶性是全局性质，单调性是局部性质． 3．数形结合．能直观地帮助理解和记忆对称区间上单调性的关系，以及比较函数值大小． 4．若函数为偶函数，则在对称区间上的单调性相反；若函数为奇函数，则在对称区间上的单调性相同． 【例13】　（2025春•北京校级期末）下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由奇函数定义及选项单调性可得正确答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），，则函数为奇函数，又函数在（0，1）递减，在（1，+∞）上单调递增，不符合题意； 对于B，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），，则函数为奇函数，又函数在（0，+∞）上单调递增，符合题意； 对于C，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），，则函数为偶函数，不符合题意； 对于D，定义域为（﹣∞，2）∪（2，+∞），定义域不关于原点对称，为函数非奇非偶函数，不符合题意． 故选：B． 【例14】　（2025•蚌埠模拟）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，函数g（x）是定义在R上的奇函数，且f（x），g（x）在[0，+∞）上单调递减，则（　　） A．f（f（2））＞f（f（3）） B．f（g（2））＜f（g（3）） C．g（g（2））＞g（g（3）） D．g（f（2））＜g（f（3）） 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系，进行转化求解即可． 【解答】解：∵f（x），g（x）在[0，+∞）上单调递减，f（x）是偶函数，g（x）是奇函数， ∴g（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数， ∴f（3）＜f（2），g（3）＜g（2）， 则g（f（2））＜g（f（3））成立，其他不成立， 故选：D． 【例15】　（2025•河池二模）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递增．若实数a满足f（a﹣1）＞f（2），则a的取值范围是（　　） A．a＞3 B．a＜﹣1 C．a＜﹣1或a＞3 D．﹣1＜a＜3 【答案】C 【分析】根据偶函数f（﹣x）＝f（x）可将不等式f（a﹣1）＞f（2）转化为f（|a﹣1|）＞f（2），再结合函数在（0，+∞）上单调递增的性质得到关于a的绝对值不等式，最后求解绝对值不等式得出a的取值范围． 【解答】解：由于f（x）是偶函数，则f（﹣x）＝f（x）恒成立， 不等式f（a﹣1）＞f（2）可以转化为f（|a﹣1|）＞f（2）． 函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，根据偶函数对称性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递减， 所以|a﹣1|＞2，解得a＜﹣1或a＞3． 故选：C． 【例16】　（2025春•浙江期中）下列函数中既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　） A．y＝x B． C．y＝﹣|x| D．y＝x2 【答案】D 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，y＝x，是正比例函数，是奇函数，不符合题意； 对于B，y，是反比例函数，是奇函数，不符合题意； 对于C，y＝﹣|x|，在区间（0，+∞）上单调递减，不符合题意； 对于D，y＝x2，是二次函数，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意． 故选：D． 第12页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $