2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 课件第二章 2.2 2.2.3　直线的一般式方程

该高中数学课件围绕直线的一般式方程展开，涵盖定义、与二元一次方程的关系、方程转化及平行垂直判定等核心知识点。通过目标导航明确课标要求，新知梳理奠定基础，小试身手巩固理解，构建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于注重数学抽象与数学运算核心素养的培养，通过课堂探究中的多方法解题（如例2用斜率法和待定系数法求平行直线方程）、方法总结强调易错点（如斜率不存在情况）及数学窗剖析错因，帮助学生形成严谨思维。对学生而言可提升知识应用能力，对教师则提供系统教学资源，助力高效教学。

2.2.3　直线的一般式方程 [目标导航] 课标要求 1.了解直线的一般式方程的形式特征,理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系 2.能正确地进行一般式方程与特殊形式的方程的转化 3.能运用直线的一般式方程解决有关的综合问题 2 新知导学·素养启迪 新知梳理 1.直线的一般式方程 关于x,y的二元一次方程 (其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 2.在平面直角坐标系中,任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线;反之,直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示. Ax+By+C=0 直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0. (1)l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0); (2)l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. 小试身手 1.过点A(-1,2),斜率为2的直线的一般式方程为　　　　　　　.  2x-y+4=0 2.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m=　　　　.  1 解析:因为两直线垂直, 所以1×2-2m=0, 所以m=1. 4x+3y-12=0 4.已知直线l的倾斜角为60°,在y轴上的截距为-4,则直线l的一般式方程为 　　　　　　　　.  课堂探究·素养培育 [例1] 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程. 直线的一般式方程 (2)斜率为4,在y轴上的截距为-2; 解:(2)由斜截式方程可知, 所求直线方程为y=4x-2, 化为一般式方程为4x-y-2=0. (3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点; (4)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1. 思路点拨:先选择合适的形式将直线方程写出来,再化为一般式. 即时训练1-1:根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程. (2)经过点B(4,2),且平行于x轴; 解:(2)由斜截式方程得y-2=0. (4)经过两点P1(3,-2),P2(5,-4). 求直线方程时,要求将方程化为一般式方程,其形式一般作如下设定:x的系数为正;系数及常数项一般不出现分数;一般按含x项、含y项、常数项顺序排列. 易错警示:要注意斜率不存在或者为0时的情况. 应用平行与垂直求直线方程 [例2] 求与直线3x+4y+1=0平行,且过点(1,2)的直线l的方程. 法二　设与直线3x+4y+1=0平行的直线l的方程为3x+4y+m=0. 因为l经过点(1,2), 所以3×1+4×2+m=0,解得m=-11. 所以所求直线方程为3x+4y-11=0. 思路点拨:可先求出斜率,再用点斜式求解;也可根据平行的关系设出直线方程,再代入已知点求出系数. 即时训练2-1:求与直线3x+4y+1=0垂直,且过点(1,2)的直线l的方程. 法二　设与直线3x+4y+1=0垂直的直线方程为4x-3y+m=0. 因为直线l经过点(1,2), 所以4×1-3×2+m=0,所以m=2. 所以所求直线l的方程为4x-3y+2=0. 即时训练2-2:求经过点A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程. 法二　设与直线2x+y-10=0垂直的直线方程为x-2y+m=0. 因为直线l经过点A(2,1), 所以2-2×1+m=0,所以m=0. 所以所求直线l的方程为x-2y=0. 过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法 (1)由已知直线求出斜率,再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率,由点斜式写出方程. (2)可利用如下待定系数法:与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0,再由直线所过的点确定C1;与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0,再由直线所过的点确定C2. 易错警示:利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率时要注意斜率不存在或者为0的情况. 由一般式方程判断两直线平行或垂直 [例3] (1)已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,求m的值; 解:(1)由2×3-m(m+1)=0, 得m=-3或m=2. 当m=-3时,l1:x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0,显然l1与l2不重合, 所以l1∥l2. 同理当m=2时,l1:2x+3y+4=0, l2:2x+3y-2=0, l1与l2不重合,l1∥l2, 所以m的值为2或-3. (2)当a为何值时,直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直? 解:(2)由直线l1⊥l2, 得(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0, 解得a=±1. 故当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2. 思路点拨:利用在一般式方程下,两直线平行或垂直的条件求解. 即时训练3-1:(1)当a为何值时,直线 (a-1)x-2y+4=0与x-ay-1=0,①平行? ②垂直? (2)判断下列直线的位置关系: ①l1:2x-3y+4=0,l2:3y-2x+4=0; ②l1:2x-3y+4=0,l2:-4x+6y-8=0; ③l1:(-a-1)x+y=5,l2:2x+(2a+2)y+4=0. (1)已知直线方程判断两条直线平行或垂直的方法 (2)当直线是一般式方程时,也可利用以下结论研究两直线的平行和垂直 关系: 直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0. ①l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0); ②l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. 因转化条件不等价而致错 [典例] 已知直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,当l1∥l2时,求m的值. 错解:由1×3-m(m-2)=0,得m=-1或3. 错因分析:因存在斜率的两直线平行的等价条件为斜率相等且截距不等,所以上述解法忽略检验截距是否相等. 正解:由1×3-m(m-2)=0得,m=-1或m=3. 当m=-1时,l1:x-y+6=0,l2:3x-3y+2=0. 两直线显然不重合,即l1∥l2. 当m=3时,l1:x+3y+6=0,l2:x+3y+6=0. 两直线重合.所以m的值为-1. 纠错心得:直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0,则A1B2-A2B1=0⇔ l1∥l2或l1与l2重合.所以,由A1B2-A2B1=0求出参数值后,需检验两直线是否 重合. 即时训练:已知直线l1:ax+by+1=0(a,b不同时为0),l2:(a-2)x+y+a=0, (1)若b=0且l1⊥l2,求实数a的值; 解:(1)当b=0时,l1:ax+1=0, 由l1⊥l2知a-2=0,解得a=2. (2)当b=3且l1∥l2时,求l2的方程. 当堂即练·素养达成 1.已知直线2x+ay+b=0在x轴、y轴上的截距分别为-1,2,则a,b的值分别为 (　 　) A.-1,2 B.-2,2 C.2,-2 D.-2,-2 当堂即练 A 2.如果A·B>0且B·C<0,那么直线Ax+By+C=0不经过(　 　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 C 3.已知直线l1:mx+y-2=0与直线l2:(m-2)x+my-4=0垂直,则实数m=　　　 . 0或1 解析:因为直线l1:mx+y-2=0与直线l2:(m-2)x+my-4=0垂直, 所以m(m-2)+1×m=0,整理得m2-m=0, 解得m=0或1.经检验均符合题意. x-2y+7=0 4.过点A(-1,3),且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为　　　　　　　　. 解析:由题意可设所求直线方程为x-2y+m=0, 将点A(-1,3)代入可得m=7, 所以所求直线的方程为x-2y+7=0. 课堂小结 1.直线方程的一般式同二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)之间是一一对应关系,达成了培养数学抽象核心素养的目的. 2.利用直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0.l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0);l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.从而达成培养数学运算核心素养的目的. 感谢观看 解析:直线+=1化成一般式方程为4x+3y-12=0. 3.直线+=1化成一般式方程为　 .  x-y-4=0 (1)斜率是,且经过点A(5,3); 解:(1)由点斜式方程可知,所求直线方程为y-3=(x-5), 化为一般式方程为x-y+3-5=0. 解: (3)由两点式方程可知, 所求直线方程为=, 化为一般式方程为2x+y-3=0. 解: (4)由截距式方程可得, 所求直线方程为+=1, 化为一般式方程为x+3y+3=0. 解:(1)由点斜式方程得y-(-2)=-(x-8), 即x+2y-4=0. (1)斜率是-,经过点A(8,-2); (3)在x轴和y轴上的截距分别是,-3; 解:(3)由截距式方程得+=1, 即2x-y-3=0. 解: (4)由两点式方程得=, 即x+y-1=0. 解:法一　设直线l的斜率为k, 因为l与直线3x+4y+1=0平行, 所以k=-.又因为l经过点(1,2), 可得所求直线方程为y-2=-(x-1), 即3x+4y-11=0. 解:法一　设直线l的斜率为k, 因为直线l与直线3x+4y+1=0垂直, 所以k·(-)=-1,所以k=. 又因为l经过点(1,2), 所以所求直线l的方程为y-2=(x-1),即4x-3y+2=0. 解:法一　设直线l的斜率为k, 因为直线l与直线2x+y-10=0垂直, 所以k·(-2)=-1,所以k=. 又因为l经过点A(2,1), 所以所求直线l的方程为y-1=(x-2), 即x-2y=0. 解:(1)当a=0或1时,两直线既不平行也不垂直;当a≠0且a≠1时, 直线(a-1)x-2y+4=0的斜率为k1=,b1=2; 直线x-ay-1=0的斜率为k2=,b2=-. ①当两直线平行时, 由k1=k2,b1≠b2,即=,2≠-,解得a=-1或a=2. 所以当a=-1或2时,两直线平行. 解:②当两直线垂直时, 由k1·k2=-1,即·=-1, 解得a=.所以当a=时,两直线垂直. 解: (2)①直线l2的方程可写为-2x+3y+4=0, 由题意知=≠,所以l1∥l2. 解:②由题意知==, 所以l1与l2重合. 解:③由题意知,当a=-1时,l1:y=5,l2:x+2=0,所以l1⊥l2. 当a≠-1时,≠, 故l1不平行于l2, 又(-a-1)×2+(2a+2)×1=0, 所以l1⊥l2,综上l1⊥l2. 解:(2)当b=3时,l1:ax+3y+1=0, 当l1∥l2时,有 解得a=3,l2的方程为x+y+3=0. 解析:令x=0,y=-=2; 令y=0,x=-=-1, 得b=2,a=-1,故选A. 解析:由题意知B≠0,直线Ax+By+C=0转换为y=-x-, 由于A·B>0且B·C<0,所以-<0,->0, 故该直线经过第一、第二、第四象限, 故该直线不经过第三象限.故选C. $