2.2　直线的方程 2.2.1　直线的点斜式方程2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“直线的方程”，系统讲解点斜式和斜截式的方程形式、适用范围及平行与垂直的判定条件。课前通过要点梳理与概念辨析题，帮助学生关联斜率等前置知识，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以“题型示例-探究总结-思考题”为框架，结合数学抽象与数学运算素养，通过实例辨析截距概念、推导平行垂直条件，培养学生逻辑思维。如例3通过参数方程求解平行垂直问题，强化数学运算能力，学生能深化理解，教师可直接应用提升教学效果。

课前自学 内容导航 课时学案 课后巩固 自助餐 Content Navigation 01 02 03 04 2.2　直线的方程 2.2.1　直线的点斜式方程 素养目标 1.掌握直线方程的点斜式和斜截式，并会用它们求直线的方程．(数学运算)2.了解直线的斜截式方程与一次函数的关系．(数学抽象)3.会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题．(数学运算) 课前自学 4 要点1　直线方程的两种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 ______________ 不含直线x＝x0 斜截式 ______________ 不含垂直于x轴的直线 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b 第页 要点2　已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2. (1)l1∥l2的充要条件是______________； (2)l1⊥l2的充要条件是______________． k1＝k2且b1≠b2 k1·k2＝－1 第页 第页 答：不同，前者表示缺x＝x0整条直线，后者表示的直线是前者的直线中去掉点(x0，y0)． 2．截距是距离吗？ 答：不是，是实数．在x轴上的截距为与x轴交点的横坐标．在y轴上的截距为与y轴交点的纵坐标． 第页 3．一次函数的解析式y＝kx＋b与直线的斜截式方程y＝kx＋b有什么不同？ 答：一次函数的x的系数k≠0，否则就不是一次函数了；直线的斜截式方程y＝kx＋b中的k可以为0. 返 回 课时学案 10 例 1　根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A(－1，4)，倾斜角为45°； 题型一　 直线的点斜式方程 【解析】　(1)∵k＝tan 45°＝1，∴直线的点斜式方程为y－4＝x＋1. (2)经过点B(4，2)，倾斜角为90°； 【解析】　(2)直线斜率不存在，所以该直线没有点斜式方程． 第页 11 (3)经过原点，倾斜角为60°； (4)经过D(－1，1)，与x轴平行． 【解析】　(4)直线斜率k＝0，∴直线的点斜式方程为y－1＝0(x＋1)． 第页 探究1 利用点斜式求方程的步骤 (1)判断斜率k是否存在，并求出存在时的斜率． (2)在直线上找一点并求出其坐标． (3)代入点斜式求方程． 第页 第页 (2)与x轴垂直； 第页 (3)与x轴平行． 【解析】　(3)因为直线经过点P(－1，2)且与x轴平行，即斜率k＝0，所以该直线的方程为y＝2，如图3. 第页 例 2 求满足下列条件的直线l的斜截式方程： (1)过点P(0，1)，斜率为2； 题型二　 直线的斜截式方程 【解析】　(1)y＝2x＋1. (2)与直线y＝－x＋1在y轴上的截距相等，且过点Q(2，2)； 第页 17 (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 第页 探究2 (1)已知直线的斜率和直线与y轴交点的坐标时，常用斜截式写出直线的方程，较直线方程的点斜式更为方便． (2)利用直线方程的斜截式的前提条件是斜率存在，当直线的斜率不存在时，直线无法用斜截式表示，直线在y轴上也没有截距． 第页 第页 (2)已知直线l1：y＝kx＋b，l2：y＝bx＋k(kb≠0，k≠b)，则它们的图象可能为(　　) √ 【解析】　对于A，直线l1方程中的k<0，b>0，直线l2方程中的k>0，b>0，矛盾； 对于B，直线l1方程中的k>0，b<0，直线l2方程中的k>0，b>0，矛盾； 对于C，直线l1方程中的k>0，b>0，直线l2方程中的k>0，b>0，符合； 对于D，直线l1方程中的k<0，b>0，直线l2方程中的k<0，b<0，矛盾． 第页 例 3　(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？ 题型三　 平行、垂直条件与直线方程 【思路分析】　首先确定直线的斜率，看它们相等的条件，积为－1的条件． 第页 22 (2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？ 第页 探究3 两条直线平行和垂直的判定 已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2， (1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之，当k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2，所以有l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2. (2)若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之，当k1·k2＝－1时，l1⊥l2，所以有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 提醒：若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2这个条件． 第页 －2或1 第页 直线方程的点斜式和斜截式的关系与运用条件： 返 回 课后巩固 27 1．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是(　　) A．y＋3＝x－2　　　　　 B．y－3＝x＋2 C．y＋2＝x－3 D．y－2＝x＋3 √ 解析　∵直线l的斜率k＝tan 45°＝1，∴直线l的点斜式方程为y＋3＝x－2. 第页 √ 第页 3．已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a等于(　　) A．2 B．1 C．0 D．－1 √ 解析　因为两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则斜率之积为－1，即a(a＋2)＝－1，解得a＝－1. 第页 4．若k<0，b>0，则直线y＝kx＋b不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 √ 第页 √ 返 回 自助餐 33 例 已知直线l1：y＝2x－3，将直线l1向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度得到直线l2，则直线l2的方程为__________． 直线的平移 y＝2x＋7 【解析】　根据直线y＝kx＋b的平移规律，可得直线l2的方程为y＝2(x＋4)－3＋2，即y＝2x＋7. 34 探究 将直线y＝kx＋b上下(沿y轴)平移m(m>0)个单位长度，得直线y＝kx＋b±m(上加下减)；将直线y＝kx＋b左右(沿x轴)平移m(m>0)个单位长度，得直线y＝k(x±m)＋b(左加右减)． 第页 思考题　(1)将直线y＝3x绕坐标原点按逆时针方向旋转90°，再向右 平移1个单位长度，所得到的直线方程为______________． 第页 (2)已知直线l1：y＝3x＋5，将直线l1向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到直线l2，则直线l2的方程是______________． y＝3x－9 【解析】　根据直线y＝kx＋b的平移规律，可得直线l2的方程为y＝3(x－4)＋5－2，即y＝3x－9. 返 回 请做：课时作业（十七） 教师备用资料 (y－y1,x－x1) INCLUDEPICTURE "E:\\A5\\同步学案 数学 选择性必修 第一册 A版\\知识拓展.TIF" \* MERGEFORMAT (1)方程＝k表示不含点P1(x1，y1)的两条反向射线，y－y1＝k(x－x1)才表示整条直线．当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x＝x1. (2)斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过点(0，b)、斜率为k的直线y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只有y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式．y＝kx＋b不一定是x的一次函数(当k＝0时)．如y＝c是直线的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截式方程． 1．y－y0＝k(x－x0)与eq \f(y－y0,x－x0)＝k表示的意义相同吗？ 【解析】　(3)∵k＝tan 60°＝eq \r(3)，且过原点，∴直线的点斜式方程为y－0＝eq \r(3)(x－0)． 【解析】　(1)因为直线的倾斜角为eq \f(π,3)，所以该直线的斜率为k＝tan eq \f(π,3)＝eq \r(3). 因为直线经过点P(－1，2)且斜率为eq \r(3)，所以该直线方程的点斜式为y－2＝eq \r(3)[x－(－1)]， 化简，得eq \r(3)x－y＋eq \r(3)＋2＝0，如图1. 思考题1　求出经过点P(－1，2)且满足下列条件的直线的方程，并画出直线： (1)倾斜角为eq \f(π,3)； 【解析】　(2)因为直线经过点P(－1，2)且与x轴垂直，所以该直线的方程为x＝－1，如图2. 【解析】　(2)由题意知，该直线过点(0，1)和Q(2，2)， 故k＝eq \f(2－1,2－0)＝eq \f(1,2)，∴直线l的斜截式方程为y＝eq \f(1,2)x＋1. 【解析】　(3)∵直线的倾斜角为60°， ∴其斜率k＝tan 60°＝eq \r(3)， ∵直线与y轴的交点到原点的距离为3， ∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3， ∴所求直线的斜截式方程为y＝eq \r(3)x＋3或y＝eq \r(3)x－3. 【解析】　由直线y＝－eq \r(3)x＋1的斜率为－eq \r(3)，可知此直线的倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率k＝eq \r(3). ①因为直线过点(－4，1)，所以直线的点斜式方程为y－1＝eq \r(3)(x＋4)， 化为斜截式即y＝eq \r(3)x＋4eq \r(3)＋1. ②因为直线在y轴上的截距为－10，所以直线的斜截式方程为y＝eq \r(3)x－10. 思考题2　(1)求倾斜角为直线y＝－eq \r(3)x＋1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线的斜截式方程． ①经过点(－4，1)； ②在y轴上的截距为－10. 【解析】　(1)由题意可知，kl1＝－1，kl2＝a2－2，因为l1∥l2，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－2＝－1，,2a≠2，))解得a＝－1. 故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行． 【解析】　(2)由题意可知，kl1＝2a－1，kl2＝4，因为l1⊥l2，所以4(2a－1)＝－1，解得a＝eq \f(3,8). 故当a＝eq \f(3,8)时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直． 思考题3　已知直线l1：y＝－eq \f(a,2)x＋eq \f(1,2)与直线l2：y＝－eq \f(1,a＋1)x－eq \f(4,a＋1)， (1)若l1∥l2，则a＝________； (2)若l1⊥l2，则a＝________． －eq \f(2,3) 解析　由直线方程知直线斜率为eq \r(3)，令x＝0可得y＝－3，即在y轴上的截距为－3.故选B. 2．直线y＝eq \r(3)(x－eq \r(3))的斜率与在y轴上的截距分别是(　　) A.eq \r(3)，eq \r(3) B.eq \r(3)，－3 C.eq \r(3)，3 D．－eq \r(3)，－3 5．直线y＝ax－eq \f(1,a)的图象可能是(　　) 【解析】　将直线y＝3x绕坐标原点按逆时针方向旋转90°，得到直线y＝－eq \f(1,3)x，再向右平移1个单位长度，所得到的直线方程为y＝－eq \f(1,3)(x－1)，即y＝－eq \f(1,3)x＋eq \f(1,3). y＝－eq \f(1,3)x＋eq \f(1,3) $