第二章圆的一般方程全套课件2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“圆的一般方程”，通过回顾确定圆的几何要素导入，衔接从几何要素到代数方程的转化，构建“配方变形—条件判断—方程应用”的学习支架，帮助学生掌握圆的一般方程形式及圆心、半径的求解。 其亮点在于以数学抽象、数学运算和逻辑推理为核心，通过即时训练（如方程表示圆的判断）、考点例题（待定系数法求方程、轨迹方程的直接法等）及解题技巧总结，形成完整知识体系。学生能提升运算能力与推理意识，教师可借助分层练习优化教学，提高课堂效率。

2．4.2　圆的一般方程 第二章　直线和圆的方程 1 学习指导 核心素养 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程． 1.数学抽象：理解二元二次方程与圆的一般方程的关系． 2.数学运算：掌握圆的一般方程的求解． 3.逻辑推理：会求动点的轨迹方程． 返回导航 CONTENTS 目录 必备知识 落实 关键能力 提升 课堂巩固 自测 课后达标 检测 01 必备知识 落实 4 知识点　圆的一般方程 将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的左边配方，并把常数项移到右边，得 _____________________________________________． 返回导航 (1)当_____________________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一 般方程，其圆心为______________，半径为______________． (2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点 ______________． (3)当_____________________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形． D2＋E2－4F＞0 D2＋E2－4F＜0 返回导航 √ 返回导航 返回导航 2．(多选)下列方程表示圆的是(　　) A．2x2＋y2－7x＋5＝0 B．x2＋y2－2x－4y＋10＝0 C．2x2＋2y2－4x＝0 D．x2＋y2＋20x＋62＝0 √ √ 返回导航 解析：对于A，因为方程中x2，y2项的系数不相同，所以不能表示圆． 对于B，因为D2＋E2－4F＝(－2)2＋(－4)2－4×10＜0，所以不能表示圆． C能表示圆，将方程配方后得(x－1)2＋y2＝1，易知圆心坐标是(1，0)，半径是1. D能表示圆，将方程配方后得(x＋10)2＋y2＝64，易知圆心坐标是(－10，0)，半径是8.故选CD. 返回导航 3．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的范围是________． 返回导航 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的两种判断方法 (1)配方法．对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆． (2)运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F是否为正，确定它是否表示圆． [注意]　在利用D2＋E2－4F＞0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数． 返回导航 02 关键能力 提升 13 考点一　求圆的一般方程 　 求满足下列条件的圆的一般方程． (1)圆心在直线y＝x上，与x轴相交于(－1，0)，(3，0)两点； 返回导航 返回导航 (2)经过A(4，0)，B(3，－3)，C(1，1)三点． 返回导航 待定系数法求圆的一般方程的步骤 (1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. (2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组． (3)解此方程组，求出D，E，F的值． (4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程． 返回导航 返回导航 返回导航 考点二　求动点的轨迹方程 　 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求： (1)直角顶点C的轨迹方程； 【解】　方法一(直接法)：设顶点C(x，y)， 因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线， 所以x≠3且x≠－1. 返回导航 返回导航 返回导航 (2)直角边BC的中点M的轨迹方程． 返回导航 由(1)知，点C在圆(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)上运动， 将x0，y0代入该方程得 (2x－4)2＋(2y)2＝4， 即(x－2)2＋y2＝1. 因此动点M的轨迹方程为 (x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1). 返回导航 求轨迹方程的三种常用方法 [注意]　(1)求出轨迹方程后应说明最后是什么样的图形． (2)要考虑轨迹上应去掉的点及轨迹不存在的情形． 返回导航 　 已知动点M到点A(2，0)的距离是它到点B(8，0)的距离的一半． (1)求动点M的轨迹方程； 返回导航 (2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹． 解：设点N的坐标为(x0，y0)， 因为A(2，0)，N为线段AM的中点， 所以点M的坐标为(2x0－2，2y0). 返回导航 03 课堂巩固 自测 28 √ 2 3 4 1 返回导航 2．已知圆C的圆心坐标为(2，－3)，且点(－1，－1)在圆上，则圆C的方程为(　　) A．x2＋y2－4x＋6y＋8＝0 B．x2＋y2－4x＋6y－8＝0 C．x2＋y2－4x－6y＝0 D．x2＋y2－4x＋6y＝0 √ 2 3 4 1 返回导航 3．(多选)(2022·成都高二期中)以下直线中，可以将圆x2＋y2－4x－2y＋1＝0平分的是(　　) A．x－y－1＝0 B．x－y＋1＝0 C．2x－y＝0 D．2x－y－3＝0 √ √ 2 3 4 1 返回导航 解析：圆x2＋y2－4x－2y＋1＝0的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，设圆心为A，则A(2，1).若直线平分圆，则A(2，1)必在直线上．因为2－1－1＝0，所以点A在直线x－y－1＝0上，故A正确； 因为2－1＋1≠0，点A不在直线x－y＋1＝0上，故B错误； 因为2×2－1≠0，所以点A不在直线2x－y＝0上，故C错误； 因为2×2－1－3＝0，所以点A在直线2x－y－3＝0上，故D正确．故选AD. 2 3 4 1 返回导航 4．已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1). (1)求△ABC的外接圆的一般方程； 2 3 4 1 返回导航 (2)若点M(a，2)在△ABC的外接圆上，求a的值． 解：由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，因为点M(a，2)在△ABC的外接圆上， 所以a2＋22－8a－2×2＋12＝0， 即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或6. 2 3 4 1 返回导航 04 课后达标 检测 [A　基础达标] 1．方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示的轨迹为(　　) A．圆心为(1，2)的圆 B．圆心为(2，1)的圆 C．圆心为(－1，－2)的圆 D．不表示任何图形 解析：因为x2＋y2－2x－4y＋6＝0等价于(x－1)2＋(y－2)2＝－1，即方程无解，所以该方程不表示任何图形．故选D. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 返回导航 36 2．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为(　　) A．－3 B．－1 C．3 D．1 解析：圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心为(－1，2)， 代入直线方程3x＋y＋a＝0得－3＋2＋a＝0， 即a＝1，故选D. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 返回导航 37 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 返回导航 38 4．(多选)下列关于圆x2＋y2－4x－1＝0的说法正确的是(　　) A．关于点(2，0)对称 B．关于直线y＝0对称 C．关于直线x＋3y－2＝0对称 D．关于直线x－y＋2＝0对称 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 返回导航 39 解析：x2＋y2－4x－1＝0化为标准形式为(x－2)2＋y2＝5，所以圆心的坐标为(2，0). 对于A，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2，0)是圆心，所以本选项正确； 对于B，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，所以本选项正确； 对于C，直线x＋3y－2＝0过圆心，所以本选项正确； 对于D，直线x－y＋2＝0不过圆心，所以本选项不正确．故选ABC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 返回导航 5．与圆C：(x－1)2＋y2＝36同圆心，且面积等于圆C面积的一半的圆的方程为____________． 答案：(x－1)2＋y2＝18 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 返回导航 6．若点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部(不包括边界)，则a的取值范围是________． 解析：因为点(a＋1，a－1)在圆内，则(a＋1)2＋(a－1)2－2a(a－1)－4<0. 整理得，2a－2<0，即a<1. 答案：(－∞，1) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 返回导航 7．已知圆M的圆心M(3，4)和三个点A(－1，1)，B(1，0)，C(－2，3)，求使A，B，C三点一个在圆内，一个在圆上，一个在圆外的圆M的一般方程． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 返回导航 所以点B在圆内，点A在圆上，点C在圆外． 所以圆的半径r＝|MA|＝5， 所以圆M的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25， 即x2＋y2－6x－8y＝0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 返回导航 44 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 返回导航 45 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 返回导航 46 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 返回导航 47 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 返回导航 48 10．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________． 解析：由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2. 当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，圆心为(－2，－4)，半径为5.当a＝2时，方程不表示圆． 答案：(－2，－4)　5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 返回导航 49 11.如图，长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴 上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为________． 答案：x2＋y2＝9 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 返回导航 50 12．已知圆O：x2＋y2＝4上的一定点A(2，0)，点B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程； 解：设AP的中点为M(x，y)，x≠2，则点P的坐标为(2x－2，2y). 因为点P在圆x2＋y2＝4上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4， 整理，得(x－1)2＋y2＝1. 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 返回导航 51 (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程． 解：设PQ的中点为N(x，y). 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 连接ON(图略)，则ON⊥PQ， 所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，即x2＋y2－x－y－1＝0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 返回导航 52 $