湖北十堰市郧阳中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷

那阳中学2024级高二上起点考试 数学参考答案 1.B 2.D 3.C 4.D 5.C 6.C 7.B 8.D 9.ACD 10.ACD 11.BCD 510 ≤0≤ 22+ 12.3413.3 314. 2 15.【解析】(1)由题意得m:i=sin AcosB+-sin BcosA=sin(A+B) 在△ABC中，A+B=π-C,0<C<元，所以sin(A+B)=sinC,所以mi=sinC,又 m.n=sin 2C, cos C=1 所以sin2C=sinC,得2 sin C cos C=sinC.解得2.又因为C∈(0，元故C=3 (2)由2sinC=sinA+sinB及正弦定理，得2c=a+b, 因 C1-(4B-AC)18,所CA-CB=18,即bcosC=18,所以ab=36. 由余弦定理，得c=a2+-2 bC=(a+b)-3ab,所以c2-4c2-3x36,所以c2-36,解 得C=6 16.【解析】(1)在△ABC中，AC=2,BC=1,∠BAC=30° 由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB×AC.cOS∠BAC, 即1=AB+4-2V5AB,解得AB=V5,·AB2+BC2=3+1=4=AC2,BC⊥BA, :PA⊥底面ABCD,BCC平面ABCD,.PA⊥BC, BA∩PA=A,PA,ABc平面PAB,∴BC⊥平面PAB, :AD∥平面PBC,ADC平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC, ADIIBC,AD⊥平面PAB,PBc平面PAB,∴AD⊥PB (2)(i)如图：过点A作A1PD于点e, ·平面PAD⊥平面PCD,平面PAD∩平面PCD=PD,AQC平面PAD, A0L平面PCD,:CDc平面PCD,A0⊥CD, 又：PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,∴.PA⊥CD, PA∩AQ=A,PA,AQc平面PAD,∴.CDI平面PAD, :ADC平面PAD,CD⊥AD (i)由(i)知∠CBA=90°，∠CBA=∠CDA=90°， :CB=CD,AC=AC,∴△ABC≌△ADC,AD=AB=V3 如图，过点D作DE⊥AC于点E,再过点E作EF⊥CP于点P,连接DF, PA⊥平面ABCD,DEC平面ABCD,.PA⊥DE, PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC,.DE⊥平面PAC, PCC平面PAC,.DE⊥PC, 又EF⊥PC,DE∩EF=E,DE,EFc平面DEF,∴.PC⊥平面DEF, :DFc平面DEF,∴.PC⊥DF,∠DFE为二面角A-PC-D的平面角， ∠0DA=0.GD=1,4D=5,5m 2x1xv5=⑤ 2 X5ACDE-2 DE-DEDE 2 由(i)知CD⊥平面PAD,PDc平面PAD,CD⊥PD, .Same-xCDxPD=xIx= 2 2 2, PCxDF2xDF2DFDFDF 又 2 2 2W2, 5 sin∠DFE=DE-2=V42 DF7 7 √42 在Rt△DEF中， 2√2 ,即二面角A-PC-D的正弦值为7， 17 解 析 ) (in2osim2-o2x2sin 2 由了(x)的图象向右平移24个单位长度，得 =2m2a-引-2sm2管引 Or_兀=元+km 此函数是偶函数，则1232 (keZ),0=-10-12k(k∈Z) 因为0<0<3，所以当k=-1时，0=2 -2如x剖 -≤4x-≤ 5π (2)由 由2 32,得2424， π5元 所以f()的单调增区间为 24'24 可得 t=4x-π t∈ 5,作出函数=2sint在3,5沉 了上的图象，如图所示， v2sint 3 3元 7π y=m t25πt3 495 2 π4π 由方程f()=m(meR)在6'3]上有五个实数根，可得函数y=2sint与直线y=m在 te tsπ 门上有五个交点，且当3时，y=V3:当1=5π时，y=0, 则由图象可得当 m0阅时，数y=2snt与直线y=m在3S沉 了上有五个交点，设为， t2,6,t4,5, 不妨设4<，<6<14<6，则 4+6=2×受-沉4+6-23经-与+=2=所+6=2x受=9m 引引a引a-s红〔 *51π 亿X2+x312,x3+x4= 12, =28m名+x=290 解得 12, 12, x+2x2+2x+2x4+x=(x+x2)+(x+x)+(x+x4)+(x4+x) =11π+17π+23π.29元_20m 121212123 0月.5+2x+22+9 18.【解析】(1) 2sin24+B +cos24-B=1-cos(A+B)+ 1+cos(A-B）-3 即 2 .2cos(4+B)=cos(4-B) (cos Acos B-sin Asin B)=cos Acos B+sin Asin BcoAcos B=3sin Asin B. ntan Atan B=sin Asin B 1 化简得 cos Acos B 3 ✉(-(4儡8- (tan 4+tan B) (2)在△ABC中， 1 tan Atan B=- >0 由(1)知 3,且A,B是△ABC的内角， .tan 4+tan B22tan Atan B=2 123 .tan A>0 tan B>0. 2V33（当且仅当anA=anB时 等号成立)· 325-5 C3anA+anB)≤7X3 .C∈ π2π tanC≤-V3,当且仅当tanA=tanB时等号成立， 23」 C=2I A=B=T (3)当∠ACB最大时， 3 Mc-(1),可MC=2 ,由 ,M∈AB,当M与A和B点重合时， AC=MC=2 ∴.∠AMC∈ 当M与A和B点不重合时， CM AC Isin∠AMC 在△AMC中，由正弦定理，sin∠CAM sin∠AMC,即2 .AC=4sin∠AMC sin∠AMCe 2.4c∈(2,4 综上，4C的长的取值范围是[2,4] 19.【解析】(1)(1)证明：因为平面PAB⊥平面ABCD, 平面PAB∩平面ABCD=AB,PA=PB, 作PE⊥AB,则E为AB的中点，且PE⊥平面ABCD 因为AB=CD,AB=BC=AD=2,所以底面四边形ABCD为菱形， ∠BAD=π LABC=2T AC2=AB+BC2-2AB.BCcos 2π=12 因为 3,所以 3， 3,即AC=2V3 2V5 =2 由正弦定理得△ABC外接圆的半径为2sin∠ABC 设△ABC外接圆圆心为O,则OA=OB=OC=r=2 又DA=DB=DC=2,从而O与D重合，即D为△ABC外接圆圆心 由三棱锥P-ABC的外接球的性质，即OD⊥平面ABCD,又PE⊥平面ABCD,所以OD/PE, 因为PEC平面PAB,所以OD∥平面PAB. (i)由题意，△PAB为正三角形，则△PAB外接圆的圆心在PE上，记为O, 由正三角形性质可得圆0的半径心 P0,-号E-250E=6 3 3,则 3 连接O0,则O0,1平面PAB,所以EDO0,为矩形， 0D=O,E=5 3 三棱锥P-ABC的外接 R=0A-VOD+AD 3 S=4πR2=52π 所以三棱锥P-ABC的外接球的表面 3 (2)由(1)可知，PE⊥平面ABCD,PE为三棱锥P-BCD底面BCD上的高，PE=V3 要使得三棱锥P-BCD体积的最大，只需底面△BCD的面积最大. 连接BD,那么BD=AB+AD2-2AB-ADc0s日=8-8cos日， BD=2v2.1-cos0=4sin ∠ADB=∠ABD=元-8 ∠ABC=T+6 AB=AD. 2.因为 2, 所以 ∠DBC=∠ABC-∠ABD=?+0-π-A_30 2 22. Sc=BD-BC-sin _DBC-4sin 1 30=4si 0 0. 0 sin- cos0+cos -sin 0 所 2 2 2 2 以 =4sin2只c cos0+4sin cossin-2cos0(1-cos0)+2sin0-2cos0-2cos20 2 2 从而Sa0m=2c0s9-2(2c0s20-1）=-4cos20+2c0s0+2 t=cos0=- 令1=c0s2S△8D=-42+21+2=4t-4+4.所以73 4时，面积最大. S△BCD= 9。w阳693 4.故 344」 郧阳中学2024级高二上起点考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数，则（ ） A． B． C． D． 2．已知为第一象限角．，则（ ） A． B． C． D． 3．据网络平台最新数据，截止到2025年3月14日14时10分，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超149.81亿元，成为首部进入全球票房榜前六，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影．一团队随机抽取观看该电影的某场观众中的100人为样本，统计他们年龄并绘制了如图所示频率分布直方图，现给出以下说法：①②该场观众年龄平均数的估计值为30③该场观众年龄众数的估计值为35④该场观众年龄60%分位数的估计值为34，其中正确说法的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图是正方体的平面展开图，，是两条侧面对角线，则在该正方体中，与（ ） A．互相平行 B．异面且互相垂直 C．异面且夹角为 D．相交且夹角为 5．函数（）的部分图象如图所示，给出以下说法：①②点是函数的图象的一个对称中心③函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象④函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于y轴对称．其中正确说法的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮的南偏东，距离为海里处；在A处看灯塔C，在货轮的南偏西，距离为海里处，货轮由A处向正南航行到D处时看灯塔B在北偏东，则灯塔C与D处之间的距离为（ ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 7．若是等腰直角三角形，，，，其中，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 8．锐角的内角A，B，C满足，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数，其中是虚数单位，是的共轭复数，下列判断中正确的是（ ） A． B． C．是方程的一个根 D．满足的最小正整数为 10．已知向量，，则（ ） A．若向量与向量的夹角为，则 B． C． D．向量在向量上的投影向量是 11．已知正方体的棱长为1，E，F，G分别为棱，，的中点，则下列说法正确的是（ ） A．过点，，的平面截正方体所得截面多边形为正五边形 B．若三棱锥的顶点都在球的表面上，则球的表面积为 C．从顶点出发沿正方体的表面运动到点的最短路线长为 D．若用一张正方形的纸把正方体完全包住，不考虑纸的厚度，不将纸撕开，则所需正方形纸的面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．样本数据34，24，17，21，32，100，41，30，28，33的上四分位数为_________． 13．若函数（）在上的值域为，则的取值范围为_________． 14．设正方体的棱长为1，点M在正方体的表面上运动，且满足与平面成的角，则点M轨迹的长度为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 15．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，． （1）求角C的大小； （2）若，且，求c． 16．如图，在四棱锥中，底面，，，． （1）若平面．证明：； （2）若平面平面，， （ⅰ）证明：； （ⅱ）求二面角的正弦值． 17．已知函数（其中），将的图象向右平移个单位长度后得到的函数为偶函数． （1）求的解析式； （2）当时，求函数的单调增区间； （3）记方程（）在上有五个实根，，，，，其中，求m的取值范围及的值． 18．已知的内角A，B，C，，． （1）求的值； （2）求C的取值范围； （3）若M是边上的一点，当最大时，，求的取值范围． 19．如图，四棱锥中，平面平面，． （1）若，，记三棱锥外接球的球心为O． （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）求三棱锥外接球的表面积． （2）记，，当时，求三棱锥体积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $