湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高二上学期开学检测数学试题

高二数学答案 1.D 【分析】根据复数的运算法则及模的公式求解即可. 【详解】由i-=i.i-()i=-i-i=-2i, 则-=卜2=2. 故选：D 2.D 【分析】利用向量共线的坐标表示，列方程即可求解. 【详解】因为向量a=(m,1),b=(6,-2),a与b共线， 所以×(-2)=1×6，解得m=-3, 故选：D 3.D 【分析】分别列出两个事件包含的基本事件，再由充分条件和必要条件的概念判断即可 【详解】连续射击两次，基本事件有A:“两次都中靶”，B:“两次都没中靶”，C:“第一次 中靶且第二次没中靶”，D:“第一次没中靶且第二次中靶 事件“至少一次中靶包含了A,C,D.事件“至多一次中靶包含了B,C,D, 所以事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4.B 【分析】把数据从小到大的顺序排列，然后用百分位数的定义求解 【详解】从小到大的顺序排列数据为：76,81,82,82,83,84,85,86,87,90， 因为10×75%=7.5， 所以这组数据的75百分位数是第八个数据86. 故选：B 【点睛】本题主要考查总体百分位数的估计，还考查了理解辨析的能力，属于基础题， 5.A 【分析】先由三角函数的定义，得到00-手，再化简原式为-260g二1，代入计算，即 cosa 可求解 答案第1页，共12页 4 【详解】由点P(4,-3)在角x的终边上，可得cosa= 则cos(2a-3m)小tana-四.-cos2a.tana. 2cos'a-1 7 sin（π-a) sing cosa 20 故选：A 6.c 【分析】由正四棱台的结构特征，侧棱的延长线交于同一点，亚，GP的延长线必过此点， 可判断选项中的线线位置关系 【详解】延长AA,BB,CC,DD, 由正四棱台的性质可得侧棱AA,BB,CC,DD的延长线交于同一点，设该交点为P. D E,F,G,H分别为棱AD,B,C,BC,AD的中点， B 延长HE,GF,则HB,GF的延长线必过点P, 则直线HE与直线GF相交于点P;与直线BB,相交于点P;与直线CC相交于点P :与直线BF是异面直线。 故选：C 7.A 【分析】设AD=2a,在△ACD中，由余弦定理求出cosC,利用平方关系求出sinC,在VABC 中再由正弦定理可得答案 【详解】设AD=2a,则AB=2V5a,CD=AC=√3a, 在aACD中，由余弦定理得cosC=CD+AC2-AD2_女2+2-4： 2CD.AC 6a2 3, 因为0<C<元，所以simC>0,sinC=V-cosc_2y 3 答案第2页，共12页 mB0,即mB-4cxmc.V8x2 在VABC中，由正弦定理得AC=AB -2 AB 23a 3 故选：A. D 8.C 【分析】过点A作BD的平行线，并与FE的延长线交于点G,进而由AG⊥平面CEF得到 ∠ACG为直线AC与平面CEF所成的角，借助余弦定理及三角函数的定义即可求出线面角. 【详解】由题意易得CF⊥BF,EF⊥BF, 又因为CF∩EF=F,且CF,EFc面CEF, 所以BF⊥平面CEF 如图过点A作BD的平行线，并与FE的延长线交于点G, 所以AG⊥平面CEF 连接CG,则直线AC与平面CEF所成的角为∠ACG. 在△CFG中，CG2=CF2+FG-2CF.FGcos∠CFG, 庙FG=AB=1,cPE,可得CG=号 由4G=BD= 2 ,可得AC=1 则sin∠ACG=AG=V3 AC三2，则∠ACG=60° 故选：C. C D 、 4 B G 9.ACD 【分析】借助模长公式可得A:借助向量垂直数量积为零计算可得B;借助向量坐标运算可 得C:借助投影向量公式计算可得D 答案第3页，共12页 【详解】对于A:同=V2+2=V5,故A正确： 对于B:ka+b=(k+4,2k-3), 由（版+）16，得+6=4(：到-32k3列=0，则k=空，放B销误 对于C:2a-36=(2,4)-(12,-9)=(-10,13),故C正确： 对于D:因为a.6=-2,=5, 则向量ā在向量B上的投影向量为 「āb625-2五，故D正确； 月55 故选：ACD. 10.BCD 【分析】对A,由图数据得△CMN边长，求出ω：对B,由点C坐标求出P:对C,代入x=7 验证最值：对D,由图象变换可得. 【详解】对于A:如图，因为ACMN为等边三角形，且高为 25, 厅以边长为4，所以二=4，T=8,0三8=4，A错误 2 对于B:因为点M的坐标为(1,0)，所以C(3,2W3), 所以A=25,3x+p=+2,keZ,解得p=-元+2，keZ 4 2 又号所以=平B正确： 对于c:由上/)-25m年用.而/0)-25m任7到25m26 4 -4) 2 C正确； 对于D:f(x)的图象向左平移2个单位长度，解析式变为 即所得图象与函数g(x)=25sim匹x+亚 的图象重合，D正确， 4 4 故选：BCD. 11.BCD 【分析】首先画出函数图像，根据图像即可判断选项A错误，再利用函数的性质，列出等 答案第4页，共12页 1 式即可得到选项B正确，由将选项C化为y=+。=。+戈，利用对勾函数的单调 性即可判断C,D的对错 【详解】对于选项A:画出f(x)的大致图象，由图可知0<<1，则A错误 对于选项B:因为x<x2<x<x4,所以3-1+31-1=0，lnx+nx,=0, 所以3+3的=2 ,=1,则B正确 对于选项C:由图可知2<，<1，所以2x+x=2x,+1≥22， 当且仅当x,= 之=2时，等号成立， 则C正确. 对于选项D:y=书+飞=十5在e 上单调递减。 因为m越大，x越小，所以x+x,的值越大，则D正确。 y=x)」 v-m 故选：BCD 12.5 【分析】根据分层抽样的性质运算求解 【详解】根据题意可得：高一、高二、高三报名人数之比为100：150：250=2：3：5， 2 故从高一年级学生中抽取的人数为25× =5 2+3+5 故答案为：5. 13.225π 【分析】设该圆台的上底面半径为？，下底面半径为R,高为h,根据条件求出R,”,再利 用圆台的侧面积公式，即可求解。 【详解】设该圆台的上底面半径为”，下底面半径为R,高为h, 则R=h=4,其母线长1=Vh+(R-r)2=V（4r)2+(3r)2=5r=15, 所以r=3,R=12,故S侧=π(R+r)1=π(12+3)×15=225π， 故答案为：225π. 14.170元 答案第5页，共12页 【分析】外部正六边形的边长为2√3c,旋转得到的几何体是两个全等的圆台，计算其体 积；内部的六边形边长为2c,旋转得到的几何体是一个圆柱和两个与圆柱同底的圆锥，计 算其体积，两体积之差即为该图形（阴影部分）绕着线段AF的中垂线1旋转一周得到的几 何体的体积，乘以密度即可求解 【详解】外部正六边形的边长为2W3c,旋转得到的几何体是两个全等的圆台，上底面半 径为√3cm,下底面半径为2√3cm,高为3cm, 体积为2x3×3m(5)矿°+(25°+V3x25=42mam 内部的六边形边长为2c,旋转得到的几何体是一个圆柱和两个与圆柱同底的圆锥， 圆锥的底面半径为√5cn,高为1cm,圆柱的底面半径为√3cm,高为2cm, 内部的六边形旋转得到的几何体的体积为2×号×1×πx(V3)+2x×(3)°=8πcm, 所以该几何体的体积为42π-8π=34πcm3,用密度为5g/cm的材料去制造该几何体， 则该几何体的质量为34π×5=170g. 故答案为：170π. 15.(1)3+i 2⑦4 5 【分析】(1)运用纯虚数概念，结合乘法计算即可： (2)运用模长公式，结合除法和共轭复数知识求解」 【详解】(1)由题意得(1+31)(3+b1)=(3-3b)+(9+b)i, (1+3i)二是纯虚数， 3-3b=0 ∴. 9+b≠0 .b=1, ∴.5=3+i eure n =7-i71: --1 555 答案第6页，共12页 71 :@=5+ 6.7,1.6.7 5 -1 += 16.(1)证明见解析 (2)①证明见解析：②√5 【分析】(1)连接AC,交AC于点F,连接DF,由中位线证得BC/1DF,再利用线面平 行的判定定理即可得证： (2)①先证得AA⊥CD,CDL AB,利用线面垂直的判定定理得CD⊥平面ABBA,继而 得CDL DE.再利用平面图形的性质证得DE⊥AD,进而利用线面垂直的判定定理即可得证； ②设点D到平面ACE的距离为d,先由余弦定理求得cos∠ACE,继而求得sin∠ACE, S4,S4再根据等体积法得V=S4gCD=S4sd,即可求得d. 3 【详解】(1)证明：连接AC交AC于点F,连接DF,则F为AC的中点. 因为D是AB的中点，所以BC1∥DF. 因为DFc平面ACD,BC寸平面ACD,所以BC∥平面ACD. (2)①因为ABC-AB,C1是直三棱柱，所以AA⊥CD 因为AC=CB,D为AB的中点，所以CD⊥AB 因为AA∩AB=A,AA,ABC平面ABB,A,所以CD⊥平面ABB,A. ,DEC平面ABBA,∴.CD⊥DE 答案第7页，共12页 因为AC=CB=2W2,AB=4,所以∠ACB=90°，所以CD=2. 因为AA=2W2,所以AD=2W5,DE=√6，AE=3√2 因为AD2+DE2=AE2,所以DE⊥AD. 因为AD∩CD=D,AD,CDC平面ACD,所以DE⊥平面ACD. ②在△ACE中，AE=3W2,AC=4,CB=√10， 则cos∠ACE= 4+(o-Bo】 2×4×1010 因为4C8=3而，所以s4X4x0G-6 10 2 10 设点D到平面ACE的距离为d, 由①可知CD⊥平面ABBA, 所以三楼锥C-ADE的体积r-宁8CD-兮8erd 号分25x6x2=.则d=5. 即点D到平面ACE的距离为√2. 17.(1)(0,6) (②)2或号 (3)答案见解析 【分析】(1)由对数函数定义域构造不等式求解即可； （2)由对数的运算性质求解即可： (3)分a>1和0<a<1判断函数单调性，进而可求解： [x>0, 【详解】(1)由题意得 6-x>0, 解得0<x<6,即f(x)的定义域为(0,6). (2)由f(4)=|log.4-log.2=|log.2=1, 得log2=1或lbg,a=-1,解得a=2或； 答案第8页，共12页 (3)当a>1时，y=l0gx,在(0,6)上为增函数， 又y=6-x在(0,6)上为减函数，y=1og.(6-x)在(0,6)上为减函数， 则f(x)=logx-log.(6-x)是增函数， 由f(x)>f(2x-3),得0<2x-3<x<6, 解得<x<3,即f(y)>f(2x-3)的解集为 当0<a<1时，y=logx在(0,6)上为减函数， 又y=6-x在(0,6)上为减函数，所以y=l0g。(6-x)在(0,6)上为增函数， 可得f(x)=logx-log.(6-x)是减函数， 由f(x)>f(2x-3),得0<x<2.x-3<6, 解得3<t<号即f)>(2x-)的解东为3别) 综上：当a>1时， 解失为 当0<a<1时， 18.08-号 29 14 【分析】(1)利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求出B即可得解， (2)(i)根据角平分线性质和三角形面积的分割关系列出等式，求解BD的长度， （mD易知∠DF5为向量而，正的夹角，利用中线问量运算得C五-®1-2C),结合角 平分线定理利用向量线性运算得BD-A+号BC,然后利用平面向量的夹角公式求解余弦 值即可 【详解】(1)在VABC中，由bsin B-csinC+(c-a)sinA=0及正弦定理，得 b2-c2+(c-a)a=0, 即ad2+c2-b2=ac, 白余被定猩智8-方可0有<，所以B 2ac 3 答案第9页，共12页 (2)(i)已知∠ABC的角平分线交AC于点D,则∠ABD=∠CBD= 6 又在VABC中，Saee=San+SoD,即片acs=)cBD-sin∠ABD+a-BD-sim∠C8D, 2 即时45-4R0r子行3mr宁解得m2 1 、) 221 22 (ii)因为CE为VABC的中线， 所以西=a+四)=@++西)=函-2c): 又C-4M1-2BC-B-BABc+Bc=4-6+9-7,则c=V万， 因为M=4BC3∠ABC=号BD为∠ABC的角平分线， ADI AB AD AB 在△ABD中，因为 得到 sin∠ABD sin∠BDA sin sin∠BDA①， 6 在aBDC中，因为CD BC CD BC ,得到 sin∠OBC sin∠BDC in亚sin∠BDC②， sin 6 又sin∠BDA=sin∠BDC,由①÷②得到 AD 4B 4 DC BC-3' 所以BD-BA+AD-B+Ac-BA+（Bc--多B+号BC, 因为BDcE-A+Bc片-2c)4a-2c-8c） 316-24389 -7 18 所以cos∠DFE=cos BD,CE= BD.CE 7 √21 BD·cE 123.万 14 7 即∠DFE的余弦值为- 14 19.(1)证明见解析 R5 3 3) (3)不存在元∈0，。，使得sia能取得最大值，理由见解析 4 【分析】(1)根据线线垂直可证明线面垂直，即可求证. (2)根据二面角的几何法可得∠POM即为二面角P-AN-M的平面角，即可由三角形的 边角关系求解， 答案第10页，共12页 襄阳四中2025—2026学年第一学期高二开学检测 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．（    ）． A．0 B．1 C． D．2 2．已知向量，，若与共线，则（    ） A．3 B． C． D． 3．某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．高一某班10名学生的英语口语测试成绩（单位：分）如下：76，90，84，82，81，87，86，82，85，83.这组数据的第75百分位数是（    ） A．85 B．86 C．85.5 D．86.5 5．若点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在正四棱台中，分别为棱的中点，则（    ） A．直线与直线是异面直线 B．直线与直线是异面直线 C．直线与直线共面 D．直线与直线共面 7．在△ABC中，是边上的点，且，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，这是一副直角三角板组成的平面图形，从中抽象出四边形，其中，，，，．现将沿着折起，连接，得到三棱锥，取的中点分别为，连接．若，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知向量，，则（   ） A． B．若，则 C． D．向量在向量上的投影向量为 10．已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中为等边三角形，点M的坐标为，则(    ) A． B． C．直线是图象的一条对称轴 D．将的图象向左平移2个单位长度后，所得图象与函数的图象重合 11．已知函数函数有四个不同的零点，且，则（    ） A．的取值范围是 B． C．的最小值是 D．越大，的值越大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．雅言传承文明，经典浸润人生，南宁市某校每年举办“品经诵典浴书香，提雅增韵享阅读”中华经典诵读大赛，比赛内容有三类：“诵读中国”、“诗教中国”、“笔墨中国”．已知高一、高二、高三报名人数分别为：100人、150人和250人．现采用分层抽样的方法，从三个年级中抽取25人组成校代表队参加市级比赛，则应该从高一年级学生中抽取的人数为 ． 13．某圆台的上、下底面半径和高的比为，若母线长为15，则该圆台的侧面积为 ． 14．如图所示的正六边形，是由六个直角边长分别为与的全等的直角三角形拼接而成的，该图形（阴影部分）绕着线段的中垂线旋转一周得到一个几何体，现在用密度为的材料去制造该几何体，则该几何体的质量为 g.（结果用π表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知复数，且为纯虚数. (1)求复数； (2)若复数，求复数的模. 16．（15分）如图，在直三棱柱中，分别是的中点． (1)证明：∥平面． (2)设，． ①证明：平面． ②求点到平面的距离． 17．（15分）已知函数（，且）． (1)求的定义域； (2)若，求； (3)求不等式的解集． 18．（17分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B； (2)如图，的角平分线交于点D，且，， （i）求的长度； （ii）若边上的中线与相交于点F，求的余弦值． 19．（17分）正方形中，，为的中点，，．将沿翻折到，沿翻折到，连接． (1)求证：： (2)当时，求二面角的正弦值； (3)设直线与平面所成角为，问是否存在，使得能取得最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $