专题07：平面与平面的位置关系（2） （3大知识点+9大题型+21题强化） 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义（沪教版2020必修第三册）

2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题07 平面与平面的位置关系（2） 知识点一、二面角 1、定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面．图中的二面角可记作：二面角或或． 2、二面角的平面角：如图，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直与直线的射线，，则射线和构成的叫做二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫做直二面角． 3、作二面角的三种常用方法 （1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则为二面角的平面角． （2）垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，为二面角的平面角． （3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点向另一个平面作垂线，垂足为，由点向二面角的棱作垂线，垂足为，连接，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角． 知识点二、平面与平面垂直的定义与判定 1、平面与平面垂直定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直． 表示方法：平面与垂直，记作． 画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如图： 2、平面与平面垂直的判定定理 文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 符号语言： 图形语言： 特征：线面垂直面面垂直 【诠释】： 平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”．因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题．以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面内的一条直线垂直即可． 知识点三、平面与平面垂直的性质 1、性质定理 文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 符号语言： 图形语言： 【诠释】： 面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法． 2、空间中垂直关系的综合转化 线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示： 考点一、二面角 题型一、二面角的概念及辨析 【例1】下列判断正确的有__________ （1）两个相交平面组成的图形叫做二面角. （2）异面直线a，b分别和一个二面角的两个半平面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补. （3）二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个半平面内作射线所成角的最小角. （4）二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. 【跟踪训练】 1. 二面角的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 2. 下列关于二面角的平面角的说法，正确的是（     ）. A．两条边分别在二面角的两个面内的角 B．过二面角棱上一点且两边分别垂直于棱的角 C．二面角的两个面被一个垂直于棱的平面所截得的角 D．任一个平面去截二面角的两个面所得的角 题型二、求二面角 【例2】在正方体中，二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. 如图，在正方体中， 二面角的大小是 ； 二面角的大小是 ； 二面角的大小是 ． 2. 已知如图边长为a的正方形ABCD外有一点P且PA⊥平面ABCD，，二面角的大小为 ． 3.如图，在三棱锥中，和均为正三角形，，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 题型三、由二面角大小求其它量 【例3】如图，在四面体中，，二面角的大小为60°，则的长为 ． 【跟踪训练】 1. 把边长为4的正方形ABCD沿对角线BD折成空间四边形ABCD，使得平面平面CBD.则空间四边形ABCD的对角线AC的长为 . 2. 已知二面角，，的平面角都相等，则点在平面BCD上的射影是的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 3. 如图，位于山西省朔州市应县佛宫寺内的释迦塔，俗称应县木塔，是我国现存最高最古老的木结构塔式建筑，木塔顶部可以近似地看成一个正八棱锥，其侧面和底面的夹角大小为，则该正八棱锥的高和底面边长之比为 .(参考数据：) 考点二、平面与平面垂直的判定 题型四、面面垂直相关结论辨析 【例4】若，点，则下列命题中正确的是（　　） ①过点P垂直于l的平面垂直于β； ②过点P垂直于l的直线垂直于β； ③过点P垂直于α的直线平行于β； ④过点P垂直于β的直线在α内． A．①③ B．②④ C．①②④ D．①③④ 【跟踪训练】 1.已知直线平面，表示直线，表示平面，有以下四个结论：①；② ；③；④若与相交，则与相交.其中正确的结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列结论中正确的是（    ） ①若，，且，则；    ②若，，且，则； ③若，，且，则；    ④若，，且，则： A．①②③ B．①③④ C．②④ D．③④ 3.设是直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　） A．若∥，∥，则∥ B．若∥，，则 C．若，则 D．若，∥，则 题型五、面面垂直的判定 【例5】已知点P是正方形所在平面外一点，且平面，则平面（    ） A．与平面，平面都垂直； B．与平面，平面都相交，但不垂直； C．与平面垂直，与平面相交但不垂直； D．与平面垂直，与平面相交但不垂直． 【跟踪训练】 1.在空间四边形中，，那么必有（    ） A． 平面⊥平面 B．平面⊥平面 C．平面⊥平面 D．平面⊥平面 2.在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图2所示四面体．小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判断正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.如图（1），在矩形中，，是的中点，沿将折起，使点到达点的位置，并满足，如图（2），则下列不正确的是（    ）    A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 题型六、证明面面垂直 【例6】如图，已知三棱锥S－ABC中，侧棱SA＝SB＝SC，∠ABC＝90°，求证：平面ABC⊥平面ASC. 【例7】如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的正方形，．证明：平面平面； 【例8】如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【跟踪训练】 1.在四棱锥中，底面是正方形，平面．    (1)求证：平面⊥平面； (2)求证：平面⊥平面． 2.如图示，正方形与正三角形所在平面互相垂直，是的中点.   (1)求证：； (2)在线段上是否存在一点N，使面面？并证明你的结论. 3.如图，在三棱柱中，底面，底面为等边三角形，分别为的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 4. 如图，四棱锥P-ABCD，平面，，，，，E是PC的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 考点三、平面与平面垂直的性质 题型七、面面垂直证明线面垂直 【例9】如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC.求证：BC⊥平面ACD. 【跟踪训练】 1.如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面ADP是正三角形，侧面ADP⊥底面ABCD，M是DP的中点．证明：平面CDP．    2.如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是线段的中点，是线段的中点．求证：平面． 3.如图所示的几何体中，四边形为正方形，. (1)求证：平面； (2)若，平面平面.若为中点，求证：. 4.如图，边长为2的正方形所在平面与平面垂直，与的交点为，，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 题型八、面面垂直证明线线垂直 【例10】已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC. 【跟踪训练】 1. 如图所示的几何体中，四边形为正方形，. (1)求证：平面； (2)若，平面平面.若为中点，求证：. 题型九、面面垂直的探索性问题 【例11】如图示，正方形与正三角形所在平面互相垂直，是的中点.    (1)求证：； (2)在线段上是否存在一点N，使面面？并证明你的结论. 【跟踪训练】 1. 如图1，在等边中，是边上的高，、分别是和边的中点，现将沿翻折成使得平面平面，如图2.    (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【典例1】在直三棱柱中，，为的中点. (1)求证：平面平面； (2)在上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 13．如图，四棱锥的底是正方形，是正三角形，平面平面，是的中点．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使平面平面成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 一、填空题 1.如图，在正方体所有经过四个顶点的平面中，垂直于平面的平面有________． 2.如图所示，在三棱锥中，若是的中点，则平面与平面的关系是 . 3.如图，在正方体中，点是的中点，则平面与底面所成角的正切值是___ 4.将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几何体称为“正双棱锥”.如图，在正双三棱锥中，两两互相垂直，则二面角的余弦值为_______ 5.如图，正方体，棱长为是的中点，则二面角的正弦值为 ． 6.如图，已知平面，四边形是矩形，则互相垂直的面共有_________对。 二、选择题 7.设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若 ，且，则 C．若 ，则 D．若 ，则 8.如图一，矩形中，交对角线于点，交于点，现将沿翻折至的位置，如图二，点为棱的中点，则下列判断一定成立的是（　　） A． B．平面 C．平面 D．平面平面 9.如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中错误的是（　　） A． B． C．平面平面 D．    10.垂直于正方形所在的平面，连接，则下列垂直关系正确的是（    ） ①平面平面；     ②平面平面；③平面平面；     ④平面平面． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 11.如图所示，四边形中，，，，将沿折起，使平面平面，构成四面体，则在四面体中，下列说法正确的是（    ） ①直线直线     ②直线直线 ③直线平面     ④平面平面 A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 12.如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，于，于，则下列结论不正确的是（    ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 三、解答题 13.如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 14.如图，四棱锥的底面ABCD是菱形，，，F是PB的中点，连接AC，BD，且AC与BD交于点E，连接EF.    (1)求证：平面PCD； (2)求证：平面平面PAC. 15.如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，. (1)证明：平面平面； (2)若，与平面的夹角为，求二面角的正弦值. 16.如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面是平行四边形，点为的中点，点分别在上，且平面平面． (1)求证：为线段中点； (2)若点在棱上，猜想：当为何值时，有平面平面，并证明你的猜想． 17.在正方体中 (1)若分别为和的中点，求证：平面 (2)求二面角的正切值 (3)如图，为的中点，问：在棱上是否存在一点，使平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 18.一副三角板按如图所示的方式拼接，将折起，使得． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值； (3)设BD，CD的中点分别为M，N，平面AMN与平面ABC的交线为l，求直线l与BD所成角的余弦值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题07 平面与平面的位置关系（2） 知识点一、二面角 1、定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面．图中的二面角可记作：二面角或或． 2、二面角的平面角：如图，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直与直线的射线，，则射线和构成的叫做二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫做直二面角． 3、作二面角的三种常用方法 （1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则为二面角的平面角． （2）垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，为二面角的平面角． （3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点向另一个平面作垂线，垂足为，由点向二面角的棱作垂线，垂足为，连接，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角． 知识点二、平面与平面垂直的定义与判定 1、平面与平面垂直定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直． 表示方法：平面与垂直，记作． 画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如图： 2、平面与平面垂直的判定定理 文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 符号语言： 图形语言： 特征：线面垂直面面垂直 【诠释】： 平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”．因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题．以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面内的一条直线垂直即可． 知识点三、平面与平面垂直的性质 1、性质定理 文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 符号语言： 图形语言： 【诠释】： 面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法． 2、空间中垂直关系的综合转化 线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示： 考点一、二面角 题型一、二面角的概念及辨析 【例1】下列判断正确的有__________ （1）两个相交平面组成的图形叫做二面角. （2）异面直线a，b分别和一个二面角的两个半平面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补. （3）二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个半平面内作射线所成角的最小角. （4）二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. 【答案】 (2)(4) 【分析】根据二面角的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断. 【解析】（1）根据二面角的定义，两个相交半平面组成的图形叫做二面角，不是平面，故错误； （2）根据二面角的定义，显然正确； （3）因为表述中射线没有垂直于二面角的棱，且最小角不一定是垂直状态，故错误； （4）根据二面角的定义，显然正确； 故答案为： (2)(4) 【点睛】本题考查二面角的定义，需严格把握细节，属基础题. 【跟踪训练】 1. 二面角的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二面角的定义判定选项即可. 【详解】由二面角的定义可知，二面角的平面角范围是. 故选：D 2. 下列关于二面角的平面角的说法，正确的是（     ）. A．两条边分别在二面角的两个面内的角 B．过二面角棱上一点且两边分别垂直于棱的角 C．二面角的两个面被一个垂直于棱的平面所截得的角 D．任一个平面去截二面角的两个面所得的角 【答案】C 【分析】根据二面角的平面角的定义判断即可. 【详解】二面角的平面角是指过棱上一点在两个半平面内作棱的垂线，两条射线所成的角叫二面角的平面角， 对于A，两条边不一定垂直两个半平面内作棱，故A错误； 对于B，此时两边不一定在平面内，故B错误； 对于C，二面角的两个面被一个垂直于棱的平面所截得的角，此时棱垂直于面与二面角的 两个平面的两条交线，并且均在平面内，符合二面角的平面角定义，故C正确； 对于D，由C知，棱不一定垂直于面与二面角的两个平面的两条交线，故D错误， 故选：C. 题型二、求二面角 【例2】在正方体中，二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，可得是二面角的平面角，求解即可. 【详解】取的中点，连接， 由正方体，可得， 所以，所以是二面角的平面角， 设正方体的棱长为2，可得，所以， 在中，, 所以二面角的正切值为. 故答案为：D. 【跟踪训练】 1. 如图，在正方体中， 二面角的大小是 ； 二面角的大小是 ； 二面角的大小是 ． 【答案】 / / / 【分析】先找到二面角的平面角，再求平面角的大小即可求解 【解析】因为， 所以为二面角的平面角， 又， 所以二面角的大小是； 因为， 所以为二面角的平面角， 又为等腰直角三角形， 所以 所以二面角的大小是； 因为， 所以为二面角的平面角， 又为等腰直角三角形， 所以 所以二面角的大小是； 故答案为：；； 2. 已知如图边长为a的正方形ABCD外有一点P且PA⊥平面ABCD，，二面角的大小为 ． 【答案】 【分析】由三垂线定理得，从而得是二面角的平面角，在直角三角形中求得此角即可． 【解析】设，连接， PA⊥平面ABCD，则是在平面内的射影，， 平面内，，所以， 所以是二面角的平面角， 由，， ， 所以． 故答案为：． 3.如图，在三棱锥中，和均为正三角形，，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二面角的大小可得长度关系，利用线线平行得异面直线所成角，根据余弦定理即可求解. 【详解】取中点为连接，由于和均为等边三角形，所以故为二面角的平面角，即， 由于为等边三角形，故，进而, 又, 由余弦定理可得, 由于,所以即为直线与所成角或其补角， 所以直线与所成角的余弦值为， 故选：B    题型三、由二面角大小求其它量 【例3】如图，在四面体中，，二面角的大小为60°，则的长为 ． 【答案】 【分析】取的中点E，连接，则可得即为二面角的平面角，则，在中，根据余弦定理可得答案 【解析】取的中点E，连接． ∵， ∴， ∴即为二面角的平面角， ∴． ∵，∴． 在中，根据余弦定理可得， ∴． 故答案为： 【点睛】此题考查由二面角求线段的长度问题，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题 【跟踪训练】 1. 把边长为4的正方形ABCD沿对角线BD折成空间四边形ABCD，使得平面平面CBD.则空间四边形ABCD的对角线AC的长为 . 【答案】 【解析】取的中点，连接，，，则可求出，，再利用平面平面CBD，可知，利用勾股定理即可求出AC的长. 【解析】 如图所示：取的中点，连接，， 在直角三角形中，，为的中点，所以， 且， 同理在直角三角形中，， 所以即为二面角的平面角， 因为平面平面CBD， 所以，所以， 故答案为： 【点睛】 本题主要考查了图形翻折问题，考查了二面角的定义，涉及勾股定理，属于中档题. 2. 已知二面角，，的平面角都相等，则点在平面BCD上的射影是的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】A 【分析】根据二面角的平面角都相等，可得点在平面上的射影到的三边的距离都相等，可得其为的内心. 【解析】因为二面角，，的平面角都相等， 所以点在平面上的射影到的三边的距离都相等， 所以点在平面上的射影是的内心. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解三角形的四心的概念及二面角的概念. 3. 如图，位于山西省朔州市应县佛宫寺内的释迦塔，俗称应县木塔，是我国现存最高最古老的木结构塔式建筑，木塔顶部可以近似地看成一个正八棱锥，其侧面和底面的夹角大小为，则该正八棱锥的高和底面边长之比为 .(参考数据：) 【答案】 【分析】设底面边长为a，根据正八棱锥底边所对的圆心角为，求得圆心到底边的距离，再由侧面与底面成求解. 【解析】如图所示: 点是正八棱锥的顶点，点是底面的中心，是底面的一条边，是的中点, 根据题意知， 因为， 设，则， 又因为二面角的大小为，即， 所以， 即正八棱锥的高和底面边长之比为. 故答案为： 考点二、平面与平面垂直的判定 题型四、面面垂直相关结论辨析 【例4】若，点，则下列命题中正确的是（　　） ①过点P垂直于l的平面垂直于β； ②过点P垂直于l的直线垂直于β； ③过点P垂直于α的直线平行于β； ④过点P垂直于β的直线在α内． A．①③ B．②④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据面面垂直的判定定理可判定①，根据面面垂直的性质定理可判定②④，根据面面垂直的性质定理及线面平行的判定定理可判定③. 【详解】选项①：由面面垂直的判定定理可知：①正确； 选项②：当过点P垂直于l的直线不在α内时，该直线与β不垂直，故②不正确； 选项③：因为，点，在β内作直线， 由面面垂直的性质定理得，设过点P垂直于α的直线为n，即， 所以，由线面平行的判定定理可知，故③正确； 选项④：由面面垂直的性质定理可知④正确． 故选：D. 【跟踪训练】 1.已知直线平面，表示直线，表示平面，有以下四个结论：①；② ；③；④若与相交，则与相交.其中正确的结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据线线，线面的位置关系，线面垂直的性质，面面的位置关系及面面垂直的判定定理，逐项分析即得. 【详解】对于①，或，故①错误； 对于②，， ，又，所以，故②正确； 对于③，，，故③正确； 对于④，若与相交，则与相交或平行，故④错误. 故正确的结论的个数是2. 故选：C. 2.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列结论中正确的是（    ） ①若，，且，则；    ②若，，且，则； ③若，，且，则；    ④若，，且，则： A．①②③ B．①③④ C．②④ D．③④ 【答案】D 【解析】对于①，如图1，满足，，且，但不平行，①错误； 对于②，如图2，满足，，且，则不垂直，②错误； 对于③，因为，且，所以， 又，故，③正确； 对于④，因为，，所以直线之间的夹角即为平面之间的夹角， 又，故平面之间的夹角为直角，则，④正确. 故选：D 3.设是直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　） A．若∥，∥，则∥ B．若∥，，则 C．若，则 D．若，∥，则 【答案】B 【解析】设是直线，，是两个不同的平面， 对于A，若，，则与相交或平行，故A错误； 对于B，若，则内存在直线，因为， 所以，由面面垂直的判定定理得，故B正确； 对于C，若，，则与平行或，故C错误； 对于D，若，，则与相交、平行或，故D错误． 故选：B． 题型五、面面垂直的判定 【例5】已知点P是正方形所在平面外一点，且平面，则平面（    ） A．与平面，平面都垂直； B．与平面，平面都相交，但不垂直； C．与平面垂直，与平面相交但不垂直； D．与平面垂直，与平面相交但不垂直． 【答案】A 【分析】先证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直； 【详解】在正方形中，，因为且平面，平面，所以， 又是平面内两条相交直线，所以平面， 又平面，因此平面 平面； 平面 平面，两平面相交；故B,D错误； 在正方形中，，由上可知平面， 平面，所以平面 平面， 且平面 平面，两平面相交；故C错误，A正确； 故选：A.    【跟踪训练】 1.在空间四边形中，，那么必有（    ） A．平面⊥平面 B．平面⊥平面 C．平面⊥平面 D．平面⊥平面 【答案】C 【分析】 由面面垂直的判定定理判断． 【详解】在空间四边形中，, 又由,且面，平面，平面， 所以平面， 又因为平面, 所以平面⊥平面， 故选：C. 2.在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图2所示四面体．小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判断正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】 根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①中，因为二面角为直二面角，可得平面平面， 又因为平面平面，，且平面， 所以平面， 所以①正确； 对于②中，由平面，且平面，可得， 又因为，且，平面， 所以平面，所以②正确； 对于③中，由平面，且平面，所以平面平面，所以③正确； 对于④，中，因为平面，且平面，可得平面平面， 若平面平面，且平面平面，可得平面， 又因为平面，所以， 因为与不垂直，所以矛盾，所以平面和平面不垂直，所以D错误. 故选：C. 3.如图（1），在矩形中，，是的中点，沿将折起，使点到达点的位置，并满足，如图（2），则下列不正确的是（    ）    A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】C 【分析】首先证明平面，即可判断A、B，在平面图形中取的中点，连接，交于点，即可得到，连接，即可得到为二面角的平面角，利用勾股定理逆定理得到，从而得到平面平面，即可判断C、D. 【详解】因为，且，平面，所以平面． 又平面平面，所以平面平面，平面平面，故A，B正确． 如图（1），取的中点，连接，交于点，则和均为等腰直角三角形， 所以，所以，即， 如图（2），连接，因为，，所以为二面角的平面角． 设，则，在中，，为的中点，故． 所以，所以， 所以平面平面，则平面与平面不垂直，故C错误，D正确． 故选：C．    题型六、证明面面垂直 【例6】如图，已知三棱锥S－ABC中，侧棱SA＝SB＝SC，∠ABC＝90°，求证：平面ABC⊥平面ASC. 【答案】证明见解析 【分析】作SH⊥AC交AC于点H，由全等三角形的性质得出SH⊥BH，结合面面垂直的判定证明即可. 【详解】作SH⊥AC交AC于点H，连接BH， ∵SA＝SC，∴AH＝HC. 在C中，H是AC的中点，， 又SH＝SH，SA＝SB，∴△SAH≌△SBH(SSS)，∴SH⊥BH， 又AC∩BH＝H，AC，BH⊂平面ABC，∴SH⊥平面ABC， 又SH⊂平面ASC，∴平面ABC⊥平面ASC. 【例7】如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的正方形，．证明：平面平面； 【解析】连接，与相交于点，连接， 四边形ABCD是边长为2的正方形，则，为和的中点， ，则， 平面，，平面， 又因为平面，所以平面平面. 【例8】如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得线线平行，再根据线面平行的判定定理证明线面平行即可； （2）根据线面垂直的性质定理证明，进而证明，即可证明平面，再由面面垂直的判定定理，即可证明结论. 【解析】（1）∵，且为棱的中点，∴， 又∵，∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面， ∴平面. （2） 平面，平面，， 连接，由题意，为棱的中点，， 知，且，则四边形为平行四边形， ，，又， 所以平行四边形为正方形，， 又，，又，平面， 平面，又平面，所以平面平面. 【跟踪训练】 1.在四棱锥中，底面是正方形，平面．    (1)求证：平面⊥平面； (2)求证：平面⊥平面． 【解析】（1）因为平面，平面， 所以， 又因为底面是正方形，所以， 又因为平面， 所以平面， 又平面， 所以平面⊥平面. （2）因为平面，平面， 所以， 又因为底面是正方形，所以， 又因为平面， 所以平面， 又平面， 所以平面⊥平面. 2.如图示，正方形与正三角形所在平面互相垂直，是的中点.   (1)求证：； (2)在线段上是否存在一点N，使面面？并证明你的结论. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，当为中点时面面，证明见解析 【分析】（1）依题意可得，由面面垂直的性质得到平面，从而得证； （2）当为中点时，面面，首先证明，由线面垂直的性质得到，从而得到平面，即可得证. 【详解】（1），为的中点． ，平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面， ． （2）存在点，当为中点时，面面； 证明如下： 四边形是正方形，为的中点，则， 所以，又，所以 ， 由（1）知，平面，平面，， 又，平面，平面， 平面， 平面平面．    3.如图，在三棱柱中，底面，底面为等边三角形，分别为的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用作图并证明平行四边形，从而可证线线平行，再利用线面平行的判定定理即可； （2）先证明平面，再利用平行关系，可得平面，再由面面垂直的判定定理即可得证. 【详解】（1）    如图：取的中点，连结，由于分别为的中点． 所以，而，所以有， 又因为， 所以四边形是平行四边形， 故，又因为平面，平面， 所以平面； （2）底面为等边三角形，分别为的中点．可得， 又因为底面， 底面，所以， 又因为，平面， 所以平面，又因为， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面． 4. 如图，四棱锥P-ABCD，平面，，，，，E是PC的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）取的中点，连接，证明∥，根据线面平行的判定即可证得∥平面PAD； （2）由平面，根据线面垂直的性质及判定得到 .结合及是的中点，得到，再根据，∥，可得到,，证得平面，从而平面平面PCD得证. 【解析】（1）取的中点，连接，∵E是PC的中点， ∴,∥， ∵，， ∴∥，，∴四边形是平行四边形. ∴∥, 又平面，平面， 平面PAD. （2）∵平面，平面，∴ . ∵，，平面，∴平面， ∵平面，∴ . ∵，∴ . ∵，是的中点，∴ 由（1）知∥，∴,， 又平面，∴平面. ∵平面， ∴平面平面. 考点三、平面与平面垂直的性质 题型七、面面垂直证明线面垂直 【例9】如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC.求证：BC⊥平面ACD. 【答案】证明见解析 【分析】由几何关系证明BC⊥AC，再由面面垂直的性质BC⊥平面ACD. 【详解】如题图(1)，在梯形ABCD中，AD＝CD＝2，∠ADC＝90°， 过C作CE⊥AB，E为垂足， ∴四边形AECD为正方形，∴CE＝AE＝EB＝2， ∴∠ACE＝∠BCE＝45°， ∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC， 如题图(2)，平面ACD⊥平面ABC且平面ACD∩平面ABC＝AC， 又BC⊂平面ABC且BC⊥AC， ∴BC⊥平面ACD. 【跟踪训练】 1.如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面ADP是正三角形，侧面ADP⊥底面ABCD，M是DP的中点．证明：平面CDP．    【答案】证明见解析 【分析】利用面面垂直的性质证明线面垂直，然后根据线面垂直的判定定理可得平面CDP． 【解析】因为侧面ADP为正三角形，且M是DP的中点，所以， 又底面ABCD为正方形，所以． 因为平面平面ABCD，且平面平面，平面ABCD， 所以平面ADP， 又平面ADP，所以， 因为，且CD，平面CDP， 所以平面CDP． 2.如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是线段的中点，是线段的中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】利用面面垂直的性质定理得平面，再根据，即可证明答案． 【解析】因为底面为正方形， 所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面， 又因为是线段的中点，是线段的中点， 所以， 所以平面． 3.如图所示的几何体中，四边形为正方形，. (1)求证：平面； (2)若，平面平面.若为中点，求证：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题意可得，根据线面平行的判定定理即可证明； （2）由及面面垂直的性质可得平面，，结合即可证明. 【解析】（1）因为四边形为正方形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）若，则为等边三角形，如图， 因为为中点，所以， 因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面. 又平面，所以. 又，，平面， 所以平面. 又平面， 所以. 4.如图，边长为2的正方形所在平面与平面垂直，与的交点为，，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见详解； (2) 【分析】（1）由是正方形可得，由面面垂直性质定理可得面，进而得到，由线面垂直的判定定理即可证明； （2）过作交于，连接，由面面垂直性质定理可得面，进而得到，由线面垂直的判定定理可得面，故可得即为直线与平面所成角，由已知长度即可求线面角. 【详解】（1）由是正方形，则， 因为面面，面面，，面， 所以面，又面， 所以， 又因为，平面，平面， 所以平面. （2）过作交于，连接， 因为是正方形，则， 因为面面，面面，面， 所以面，又面， 所以， 又因为，，面，面， 所以面， 所以即为直线与平面所成角， 因为正方形边长为2，，， 所以，， 所以， 因为， 所以，即直线与平面所成角的大小为. 题型八、面面垂直证明线线垂直 【例10】已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC. [证明]　如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D， ∵平面PAC⊥平面PBC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，∴AD⊥平面PBC， 又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC. ∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC， ∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，∴BC⊥AC. 【跟踪训练】 1. 如图所示的几何体中，四边形为正方形，. (1)求证：平面； (2)若，平面平面.若为中点，求证：. 【解析】（1）因为四边形为正方形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）若，则为等边三角形，如图， 因为为中点，所以， 因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面. 又平面，所以. 又，，平面， 所以平面. 又平面， 所以. 题型九、面面垂直的探索性问题 【例11】如图示，正方形与正三角形所在平面互相垂直，是的中点.    (1)求证：； (2)在线段上是否存在一点N，使面面？并证明你的结论. 【解析】（1），为的中点． ，平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面， ． （2）存在点，当为中点时，面面； 证明如下： 四边形是正方形，为的中点，则， 所以，又，所以 ， 由（1）知，平面，平面，， 又，平面，平面， 平面， 平面平面． 【跟踪训练】 1. 如图1，在等边中，是边上的高，、分别是和边的中点，现将沿翻折成使得平面平面，如图2.    (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）证明：如图1，在中，、分别是和边的中点，所以，， 因为平面，平面，所以，平面. （2）在线段上取点，使，过点在平面内作于点，连接. 由题意得，平面平面. 因为，平面平面，平面平面，平面， 所以，平面， 因为平面，所以，. 在中，因为，，所以，， 所以，， 翻折前，为等边三角形，则， 因为为的中点，所以，，即， 翻折后，仍有，所以，，故， 在中，，因为，则. 又因为，则平分， 因为是斜边上的中线，则，且， 所以，是等边三角形，则， 又因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，， 综上，在线段上存在一点，且当时，. 【典例1】在直三棱柱中，，为的中点. (1)求证：平面平面； (2)在上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点， 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理得，然后利用线面垂直的判定定理证得平面，最后利用面面垂直的判定定理证明即可. （2）取的中点，的中点，连接，，利用面面平行的判定定理得平面平面，进而由面面平行的性质定理得平面，即可求解. 【解析】（1）在直三棱柱中，有平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）当点为的中点时，符合题意. 证明如下： 取的中点，的中点，连接，，， 因为为的中点，所以，， 平面，平面， 所以平面，平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. 故存在点，使得平面，. 13．如图，四棱锥的底是正方形，是正三角形，平面平面，是的中点．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使平面平面成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得平面，从而得，再由是正三角形，且是的中点，可得，最后由线面垂直的判断定理即可得证. （2）由二面角的定义，找出二面角的平面角，在直角三角形中求解即可. （3）当时，按面面垂直的判断定理进行证明即可. 【解析】（1）证明：因为平面平面，平面平面， 平面，， 则平面， 又因为平面，所以， 因为是正三角形，且是的中点， 则， 又因为，平面， 所以平面； （2）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接．    因为平面平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以． 又，，平面． 所以平面． 因为平面，所以， 则即为平面与底面所成二面角的平面角． 设，则，， 故， 所以， 即二面角的余弦值为． （3）解：存在点Q，当时，平面平面． 证明如下： 如图，取中点，连接交于点，连接，    因为是正三角形，所以． 因为平面平面，平面平面， 所以平面． 因为， 所以， 所以平面． 因为平面，所以． 因为底面是正方形，所以． 又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 所以棱上存在点，当时，平面平面． 一、填空题 1.如图，在正方体所有经过四个顶点的平面中，垂直于平面的平面有________． 【答案】平面，平面，平面 【分析】作出辅助线，证明线面垂直，从而证明出平面⊥平面，同理可证明平面⊥平面，平面⊥平面. 【详解】连接面对角线，因为平面，平面， 所以 ， 又因为，，平面， 所以⊥平面， 因为平面， 所以平面⊥平面， 同理可知平面⊥平面，平面⊥平面. 故答案为：平面，平面，平面. 2.如图所示，在三棱锥中，若是的中点，则平面与平面的关系是 . 【答案】垂直 【分析】先证明平面，再由面面垂直的判定定理求解. 【详解】因为是的中点， 所以由等腰三角形三线合一可知， 又，平面，平面， ∴平面. 又平面， ∴平面平面. 故答案为：垂直. 3.如图，在正方体中，点是的中点，则平面与底面所成角的正切值是___ 【分析】由正方体的性质可得，，即可得到为平面与底面所成角的平面角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】依题意平面，平面， 所以，， 所以为平面与底面所成角的平面角， 设正方体的棱长为，则，， 又，所以， 即平面与底面所成角的正切值为. 4.将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几何体称为“正双棱锥”.如图，在正双三棱锥中，两两互相垂直，则二面角的余弦值为_______ 【分析】 取中点，连接，说明为二面角的平面角，通过几何关系计算求解. 【详解】 取中点，连接，交平面于点， 由正棱锥性质及对称性易知为的中心，且， 故为二面角的平面角， 设正三棱锥侧棱长为2，易得， 则， 在中由余弦定理得. 5.如图，正方体，棱长为是的中点，则二面角的正弦值为 ． 【答案】/ 【分析】根据二面角平面角的定义得到是二面角的平面角，然后求正弦值即可. 【详解】 如图，取中点，连接， 因为为正方体，所以，， 因为为中点，所以，， 因为平面平面，平面，平面， 所以是二面角的平面角， ，，， ，所以二面角的正弦值为. 故答案为：. 6.如图，已知平面，四边形是矩形，则互相垂直的面共有_________对。 【分析】根据题意，结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，逐面判定，即可求解. 【详解】由平面，因为平面，且平面， 所以平面平面，平面平面， 又由平面，所以， 因为为矩形，所以，且，所以平面， 又因为平面，所以平面， 同理可得平面，且平面，所以平面平面， 由为矩形，所以，且， 可得平面， 又由平面，所以平面平面. 综上可得，共有5对相互垂直的平面. 二、选择题 7.设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若 ，且，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】B 【分析】根据空间直线，平面的位置关系及其性质逐项分析判断. 【详解】对于A，若，则与可能会相交或平行，故A错误； 对于B，若 ，且，根据线面垂直的性质可知，故B正确； 对于C，若 ，则，可能会平行、相交或异面，故C错误； 对于D，若 ，则与可能会相交或平行，故D错误. 故选：B 8.如图一，矩形中，交对角线于点，交于点，现将沿翻折至的位置，如图二，点为棱的中点，则下列判断一定成立的是（　　） A． B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】D 【解析】对于D选项，翻折前，，， 翻折后，，， 因为，、平面，则平面， 因为平面，所以平面平面，故D正确； 对于B选项，因为，， 则二面角的平面角为， 在翻折的过程中，的大小会发生变化，故与不一定垂直， 所以与平面不一定垂直，故B错误； 对于A选项，设， 在图一中，， 又因为，所以，， 因为，所以， 所以，则， 在图二中，过点在平面内作，交于点，连接， 则，故，则， 因为，所以不是的中点， 因为，，则， 若，因为，、平面， 则平面， 因为平面，所以， 因为、平面，且，所以， 因为为的中点，则为的中点，与已知矛盾，故A错误； 由选项A知，因为，平面，平面， 所以平面， 若平面，则，、平面， 所以平面平面， 因为平面平面，平面平面，则， 因为为的中点，则为的中点，与已知条件矛盾，故C错误． 故选：D． 9.如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中错误的是（　　）    A． B． C．平面平面 D． 【答案】D 【解析】对于选项A,C， 因为底面，平面,则， 因为,且平面,平面， 所以平面， 因为平面，所以， 且平面，所以平面⊥平面，故A，C正确； 对于B,由选项A知， ，又，且平面,平面 所以平面， 且平面，所以，故B正确； 对于D,若， 则垂直于在平面内的射影，显然不成立，故D错误. 故选：D 10.垂直于正方形所在的平面，连接，则下列垂直关系正确的是（    ） ①平面平面；     ②平面平面；③平面平面；     ④平面平面． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】由面面垂直的判定方法结合已知条件逐个分析判断. 【详解】对于①，因为平面，平面，所以，因为四边形为正方形，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，所以①正确， 对于②，因为平面，平面，所以，因为四边形为正方形，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，所以②正确， 对于③，假设平面平面，设平面平面，因为∥，平面，平面，所以∥平面，因为平面，平面平面，所以∥，所以∥，因为因为平面，平面，所以，所以，则面面垂直的性质定理可得平面，所以可得平面∥平面，这显然不可能，所以假设错误，所以③错误， 对于④，假设平面平面，因为平面平面，，平面，所以平面，因为平面，所以，这与相矛盾，所以假设错误，所以④错误， 故选：A． 11.如图所示，四边形中，，，，将沿折起，使平面平面，构成四面体，则在四面体中，下列说法正确的是（    ） ①直线直线     ②直线直线 ③直线平面     ④平面平面 A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】利用垂直关系的转化，逐一判断各选项即可. 【详解】取的中点．连，则，平面平面，平面平面，平面 平面， ，假设，因为与交于，平面， ，这与相矛盾，故假设不成立，即直线与直线垂直不成立．由平面平面，平面平面，平面，且，可得平面，又平面，所以直线直线，又平面，所以平面平面，所以①错误，②③④正确. 故选：D． 12.如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，于，于，则下列结论不正确的是（    ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】D 【分析】根据线面垂直的判定定理，性质定理，结合面面垂直的判定定理得到结果. 【详解】对于A，依题意有平面，平面，所以平面平面，A选项正确； 对于B，平面，平面，则有， 是圆的直径，为圆周上不与点重合的点，则有， ，平面，所以平面，B选项正确； 对于C，平面，平面，，又于， ，平面，所以平面， 平面，则，又于， 平面，，所以平面，C选项正确； 对于D，平面平面，平面，于， 若平面平面，则必有平面， 而平面，则必有， 因为平面，平面，则有， 又平面，则必有， 由于垂直于圆所在的平面，，则， 而于，则为中点， 因为是圆的直径，为圆周上不与点重合的点，，于， 则不是中点（否则会得到，但这与矛盾）， 不成立，所以平面平面的结论不正确，即D选项错误. 故选：D. 三、解答题 13.如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据已知得 ，再由线面平行的判定定理即可证结论； （2）由线面垂直的性质、等腰三角形的性质得、，再由线面垂直的判定有平面，最后根据面面垂直的判定即可证结论. 【详解】（1）由于分别为棱的中点，故 ， 又平面，且不在平面上， 所以平面； （2）由于平面，且平面，故， 又，且为棱的中点，故， 因为，平面，故平面， 又平面，故平面平面. 14.如图，四棱锥的底面ABCD是菱形，，，F是PB的中点，连接AC，BD，且AC与BD交于点E，连接EF.    (1)求证：平面PCD； (2)求证：平面平面PAC. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）只要证明即可； （2）证明即可. 【解析】（1）由题知，E是BD的中点，F是PB的中点，∴， 又∵平面PCD，平面PCD， ∴平面PCD； （2）∵，，，AB，平面ABCD，∴平面ABCD， ∵平面ABCD，∴， ∵底面ABCD是菱形，∴， 又，PA，平面PAC， ∴平面PAC， 又平面PBD， ∴平面平面PAC. 15.如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，. (1)证明：平面平面； (2)若，与平面的夹角为，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，连接，即可证明、，从而得到平面，即可得证； （2）过点作交于点，即可证明平面，则即为与平面所成的角，即可求出，过点作交于点，连接，即可证明平面，从而得到即为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）设，连接，因为为正方形，所以且为的中点， 又，所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）在平面中过点作交于点， 因为平面，又平面， 所以， 又，平面，所以平面， 所以即为与平面所成的角，即， 又，所以， 过点作交于点，连接， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 又，所以 因为为正方形，所以，则， 所以，即，解得， 又平面，平面，所以， 所以， 所以， 所以二面角的正弦值为. 16.如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面是平行四边形，点为的中点，点分别在上，且平面平面． (1)求证：为线段中点； (2)若点在棱上，猜想：当为何值时，有平面平面，并证明你的猜想． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，有平面平面 【分析】（1）根据面面平行的性质定理证得，由此证得为线段中点. （2）当为中点时，由面面垂直上可得平面，进而可得平面，可得结论. 【详解】（1）依题意平面平面， 由于平面平面，平面平面， 所以，由于底面是平行四边形，点为的中点， 所以为线段中点. （2）存在，，即为中点时，平面平面， 证明如下：连接交于点，连接． 因为，所以四边形为平行四边形， 所以是的中点．又因为为中点，所以． 因为为等边三角形，点为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，又，所以平面， 又平面，所以平面平面． 当时，有平面平面． 17.在正方体中 (1)若分别为和的中点，求证：平面 (2)求二面角的正切值 (3)如图，为的中点，问：在棱上是否存在一点，使平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）取中点，连接，由四边形为平行四边形，可得，从而得证； （2）设正方体的棱长为1，由平面，可知为二面角的平面角，从而求解； （3）连接，则O是AC的中点，易证，根据平面平面，得到面MBD，进而得到，然后由求解. 【详解】（1）取中点，连接， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面； （2）连接，设正方体边长为1， 由正方体性质可得， 又平面，平面，所以， 平面，所以平面， 又平面，则， 所以为二面角的平面角， 中，. （3）如图所示： 在棱上存在一点M，使平面平面， 连接，则O是AC的中点， 则, 因为O是正方体中，BD的中点， 所以， 所以，因为平面平面， 所以面MBD， 所以， 所以， 又， 则， 则， 所以， 即. 18.一副三角板按如图所示的方式拼接，将折起，使得． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值； (3)设BD，CD的中点分别为M，N，平面AMN与平面ABC的交线为l，求直线l与BD所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据线线垂直，结合线面垂直的判定可得平面，即可由面面垂直的判定求解， （2）根据二面角的定义，结合垂直关系可得为所求角，即可利用三角形的边角关系求解， （3）根据线面平行的性质可得与所成的角即为直线l与BD所成角的角，即可求解. 【详解】（1），又，平面， 故平面， 又平面，故平面平面； （2）取中点为，过作于，连接， 由（1）知平面平面，且两平面的交线为, 由于,是的中点， 故,平面，故平面， 平面，则， 结合，平面， 故平面，平面，故， 因此为二面角的平面角， 设,则,故 （3）由于M，N分别为BD，CD的中点，故, 平面，平面， 故平面, 平面,且平面与平面的交线为l，故， 故与所成的角即为直线l与BD所成角的角， 由于与所成的角为 故直线l与BD所成角的余弦值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $