专题08 异面直线间的距离讲义-2025年高二数学暑假班预习提升（沪教版2020）

上海高中数学2020必修第三册第11章空间直线与平面（预修课程） 专题08 异面直线间的距离 1、点到平面距离是指空间内一点到平面内一点的最小长度； 2、两条异面直线之间的距离 （1）定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交； （2）两条异面直线之间的距离定义：将与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段；两条异面直线的公垂线段的长度就叫做两条异面直线的距离； 我们还可以证明：两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段 求两条异面直线之间的距离问题，除了可转化为求直线与平面间的距离，还可以转化为求两个平行平面之间的距离；即：构造分别含两条异面直线的两平行平面，则两平行平面之间的距离就是两条异面直线的距离； 3、直线到平面的距离是指平行于平面的直线上任一点到平面的距离。 4、两平行平面间的距离指的是其中一个平面内一点到另外一个平面的最短距离，两个平行平面的公垂线段都相等，其长度等于两个平行平面的距离， 题型1：求异面直线间的距离 【例1】有如下命题，其中错误的命题是（       ） A．若直线，且，则直线a与平面的距离等于平面、间的距离； B．若平面平面，点，则点A到平面的距离等于平面、间的距离； C．两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离； D．两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离 【例2】棱长为1的正四面体ABCD中，对棱AB、CD之间的距离为_________． 【例3】（1）已知正方体的棱长为a，则异面直线与AD公垂线是______． （2）已知正方体的棱长为a，则异面直线与距离是______． （3）已知正方体的棱长为a，则异面直线与公垂线是______． （4）已知正方体的棱长为a，则异面直线与距离是______． 【例4】在棱长为的正方体中，异面直线和的距离为 ． 【例5】平面外有两点和到平面的距离分别为和，若、在平面上的射影间的距离为，则线段的长为 ． 【跟踪训练】 1．已知正方体的棱长为，异面直线与的距离为 . 2．如图，把边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折起，使A、C的距离为a，则异面直线AC与BD的距离为 ． 3．如图几何体，，且三条线段长度均为2，平面，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，则异面直线与AC的距离为 ． 4．在三棱锥中，，，，，，则异面直线和的距离为 . 题型2：最值问题 【例6】两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在底面边长为、侧棱长为的正四棱柱中，直线与之间的距离为 ． 【例7】在棱长为1的正方体中，E为的中点，M为AC上一点，N为DE上一点，MN的最小值为 ． 题型3：折叠问题 【例8】已知菱形中，，沿对角线折起，使二面角的平面角为，若异面直线与的距离是菱形边长的，则（    ） A． B． C． D． 【例9】如图所示，在直角梯形中，，，，，，边上一点满足．现将沿折起到的位置，使平面平面，如图所示，则异面直线与的距离是 ． 题型4：动点定值问题 【例10】如图，正方体的棱长为a，动点E、F在棱上，且，动点P、Q分别在棱AB、CD上．现有两个命题：①的面积为定值；②点P到平面EFQ的距离为定值．则有（    ）． A．①②都真； B．①真、②假；C．①假、②真； D．①②都假． 题型5：综合应用 【例11】如图，在正方体中，棱长为1，写出下列异面直线的公垂线并求异面直线的距离． (1)和；(2)和；(3)和． 【例12】如图，是正三角形所在平面外一点，分别是和的中点，且 （1）求证：是和的公垂线 （2）求异面直线和之间的距离 一、填空题 1、设为异面直线,在直线上有三点,且,过分别作直线的垂线 ,垂足分别为.已知； 则异面直线与之间的距离为______. 2、已知正方体的棱长为，异面直线与的距离为__________. 3、已知正方体的棱长为1，则点到直线的距离为________ 4、四面体中，为等腰直角三角形，，，且，则异面直线与的距离为_____________ 5、正方体中，分别是的中点，则所成的角的余弦值是__________． 6、已知长方体的底面是边长为1的正方形，侧棱，过作平面分别交棱，于点，，则四边形面积的最小值为______． 7、若RtΔABC的斜边AB=5，BC=3，BC在平面内，A在平面内的射影为O，AO=2，则异面直线AO与BC之间的距离为___________． 二、选择题 8、二面角－－为60°，A、B是棱上的两点，、分别在半平面内，，，且，，则的长为（ ） A． B． C． D． 9、将，边长为1的菱形沿对角线折成二面角，若，则折后两条对角线之间的距离的最值为 A．最小值为，最大值为 B．最小值为，最大值为 C．最小值为，最大值为 D．最小值为，最大值为 10、棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线DD1与BC1之间的距离为 A．a B． C． D． 11、在长方体中, .则异面直线与间的距离为 A．1 B． C． D． 12、如图，在棱长为的正方体中，点、分别是面和的中心．则异面直线与的距离为（　　）． A． B． C． D． 13、定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，则在单位正方体中，直线与之间的距离是（ ） A． B． C． D． 14、在棱长为2的正方体中，正方形所在平面内的动点到直线的距离之和为，则点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 三、解答题 15、四面体中，为等腰直角三角形，，，且， 求异面直线与的距离； 16、如图，在空间四边形中，，，，延长到，使，取中点，求异面直线与的距离和它们所成的角． 17、如图，在正四棱柱中，，点E为中点，点F为中点． （1）求异面直线与的距离； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3） 求点F到平面的距离． 18、如图，P是△ABC外一点，PA⊥平面ABC，． (1)求P到直线BC的距离； (2)求异面直线PA与BC的距离； (3)当时，求C到平面PAB的距离（结果用表示）． 19、如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1和CC1的中点；求： （1）求异面直线EF与AB所成角的余弦值； （2）求异面直线EF与AB之间的距离； （3）在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角P-AC-B的大小为30°?若存在，求出BP的长，若不存在，请说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$上海高中数学2020必修第三册第11章空间直线与平面（预修课程） 专题08 异面直线间的距离 1、点到平面距离是指空间内一点到平面内一点的最小长度； 2、两条异面直线之间的距离 （1）定理： 对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交； （2）两条异面直线之间的距离定义：将与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段；两条异面直线的公垂线段的长度就叫做两条异面直线的距离； 我们还可以证明：两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段 求两条异面直线之间的距离问题，除了可转化为求直线与平面间的距离，还可以转化为求两个平行平面之间的距离；即：构造分别含两条异面直线的两平行平面，则两平行平面之间的距离就是两条异面直线的距离； 3、直线到平面的距离是指平行于平面的直线上任一点到平面的距离。 4、两平行平面间的距离指的是其中一个平面内一点到另外一个平面的最短距离，两个平行平面的公垂线段都相等，其长度等于两个平行平面的距离， 题型1：求异面直线间的距离 【例1】有如下命题，其中错误的命题是（       ） A．若直线，且，则直线a与平面的距离等于平面、间的距离； B．若平面平面，点，则点A到平面的距离等于平面、间的距离； C．两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离； D．两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离1．C 【提示】根据异面直线间距离的概念以及两平行平面间距离的概念即可得出答案 【答案】C 【解析】点到平面距离是指空间内一点到平面内一点的最小长度；两条异面直线间的距离指的是两条异面直线的公垂线与这两条异面直线间的线段的长度；两平行平面间的距离指的是其中一个平面内一点到另外一个平面的最短距离，两个平行平面的公垂线段都相等，其长度等于两个平行平面的距离，所以ABD都正确，两条平行直线间距离不一定是两个平行平面的公垂线段，所以C错误 【例2】棱长为1的正四面体ABCD中，对棱AB、CD之间的距离为_________． 【提示】作出并证明表示棱AB、CD之间的距离的线段，再借助直角三角形计算即得. 【答案】 【解析】设AB，CD的中点为E，F，连接AF，BF, 因为ABCD为正四面体，各面均为等边三角形， 边长为1，则AF=BF=，于是得EF⊥AB， 同理可得EF⊥CD， 即EF的长即为AB、CD之间的距离，此时，EF＝＝＝， 即AB、CD之间的距离为. 【例3】（1）已知正方体的棱长为a，则异面直线与AD公垂线是______． （2）已知正方体的棱长为a，则异面直线与距离是______． （3）已知正方体的棱长为a，则异面直线与公垂线是______． （4）已知正方体的棱长为a，则异面直线与距离是______． 【提示】根据正方体的性质找出异面直线的公垂线，即可求出异面直线的距离； 【答案】（ ）         ##     （） 【解析】由正方体的性质可知，， 是异面直线与的公垂线， 因为，，所以是异面直线与的公垂线， 所以异面直线与的距离等于； ，平面， 面，， 是异面直线与的公垂线， 如图取的中点，的中点，的中点，的中点， 连接交于点，连接、、、、、、、， 由正方体的性质可知是正方体的中心，即为的中点，且平面， 又平面，所以， 又，所以，所以为异面直线与的公垂线，， 所以异面直线与距离为； 故答案为：；；；； 【例4】在棱长为的正方体中，异面直线和的距离为 ． 【答案】 【详解】因为异面直线和的公垂线段是． 所以异面直线和的距离为2. 【例5】平面外有两点和到平面的距离分别为和，若、在平面上的射影间的距离为，则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】讨论在同侧和两侧两种情况，利用勾股定理求得结果. 【解析】当在同侧时，； 当在两侧时，. 故答案为：或. 【跟踪训练】 1．已知正方体的棱长为，异面直线与的距离为 . 【答案】 【分析】根据线面垂直性质可得，又，可知所求距离为，从而得到结果. 【解析】 平面，平面     又    异面直线与之间距离为 故答案为 【点睛】本题考查异面直线间距离的求解，属于基础题. 2．如图，把边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折起，使A、C的距离为a，则异面直线AC与BD的距离为 ． 【答案】// 【分析】先作出异面直线AC与BD的公垂线段，再去求其长度即可. 【解析】分别取AC、BD的中点S、E，连接AE、CE、SB、SD、SE. ，又，则平面，则 ，又，则平面，则 则是异面直线AC与BD的公垂线段 △中，，，则 则异面直线AC与BD的距离为 故答案为： 3．如图几何体，，且三条线段长度均为2，平面，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，则异面直线与AC的距离为 ． 【答案】 【分析】由异面直线距离的定义求解 【解析】作中点，连接，由题意得该几何体为直三棱柱， 故平面，，又， 异面直线与AC的距离即为 故答案为： 4．在三棱锥中，，，，，，则异面直线和的距离为 . 【答案】. 【分析】画出草图，先证明BD是异面直线和的公垂线，再求出BD的长即可。 【解析】画出草图， ，                      又， 所以BD是异面直线和的公垂线 所以异面直线和的距离为BD 是直角三角形。 故答案为： 【点睛】此题考查异面直线间的距离，关键点找到两条异面直线的公垂线，属于较易题目。 题型2：最值问题 【例6】两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在底面边长为、侧棱长为的正四棱柱中，直线与之间的距离为 ． 【答案】 【分析】分别取中点，由等腰三角形三线合一性质可得，由异面直线间距离的定义可知所求距离为，结合勾股定理可求得结果. 【解析】分别取中点，连接， ，， 由两条异面直线之间距离的定义可知：直线与之间的距离即为的长， 又，. 故答案为：. 【例7】在棱长为1的正方体中，E为的中点，M为AC上一点，N为DE上一点，MN的最小值为 ． 【答案】 【分析】先仔细审题，抓住题目中的关键信息之后，再画出正方体，把各个点的位置标出，然后在图中找出各条线段，根据直角三角形的斜边大于直角边可知：最小值就是异面直线的距离，最后在三角形中解出高即可 【解析】 如图，正方体中，平面又平面，又中平面 平面上所有直线；过作于 ， ，为所求 在中， 故答案为： 题型4：折叠问题 【例8】已知菱形中，，沿对角线折起，使二面角的平面角为，若异面直线与的距离是菱形边长的，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先找到二面角的平面角为，再证明是异面直线与的距离，在中求解. 【解析】如图，设菱形的边长为，连接两条对角线 易得， 菱形沿对角线折起，连接，得到三棱锥 在菱形中，，翻着后垂直不变，即 所以是二面角的平面角，即 又因为 所以平面，取中点，连接 又因为平面 所以 在中，，并且为的中点， 所以 故是异面直线与的距离 又因为异面直线与的距离是菱形边长的 所以 在中， 所以，又因为 所以 故选：C 【例9】如图所示，在直角梯形中，，，，，，边上一点满足．现将沿折起到的位置，使平面平面，如图所示，则异面直线与的距离是 ． 【答案】/ 【分析】作的中点，连接，，，过作于点，由条件证明平面，进而得到，即得出为异面直线与的公垂线段，通过解直角三角形得到的线段长度即可. 【解析】作的中点，连接，，， 因为，，，所以， 又因为，所以， 所以四边形是平行四边形， 因为，，， 所以，且， 所以平行四边形为边长为2的菱形，且， 所以和都是正三角形， 所以，， 又因为，、平面， 所以平面， 过作于点， 因为平面，所以， 则为异面直线与的公垂线段， 因为平面平面， 平面平面，，平面， 所以平面，平面，则， 又因为，所以为等腰直角三角形， 所以，即异面直线与的距离为， 故答案为：. 题型5：动点定值问题 【例10】如图，正方体的棱长为a，动点E、F在棱上，且，动点P、Q分别在棱AB、CD上．现有两个命题：①的面积为定值；②点P到平面EFQ的距离为定值．则有（    ）． A．①②都真； B．①真、②假； C．①假、②真； D．①②都假． 【答案】A 【分析】根据线线平行和线面平行的判定定理与性质依次判断命题即可. 【解析】对于①，因为，所以Q到直线的距离h为定值， 而EF为定值，故的面积为定值，所以①真． 对于②，因为，平面EFQ，所以平面EFQ， 故点P到平面EFQ的距离为定值，所以②真． 故选：A 题型6：求异面直线间的距离解答证明题 【例11】如图，在正方体中，棱长为1，写出下列异面直线的公垂线并求异面直线的距离． (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）通过，得出； （2）通过，可得； （3）取的中点，的中点，连接，通过，可得. （1） 因为正方体中，，，所以和的公垂线为，且； （2） 因为平面，平面，所以，又， 所以和的公垂线为，且； （3） 取的中点，的中点，连接， 易得，因为平面且平面， 所以平面且平面， 所以，， 则为和的公垂线，且． 【例12】如图，是正三角形所在平面外一点，分别是和的中点，且 （1）求证：是和的公垂线 （2）求异面直线和之间的距离 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）连接，根据与为全等正三角形的关系且为中点可证得，根据等腰三角形三线合一可证得；同理可证，进而得到结论； （2）分别计算出和，根据勾股定理可求得，即为所求距离. 【解析】（1）连接 与为全等的正三角形， 又为中点     又是中点 同理可证： 又， 是和的公垂线 （2）在等腰三角形中， 又     即异面直线和之间的距离为： 一、填空题 1、设为异面直线,在直线上有三点,且,过分别作直线的垂线 ,垂足分别为.已知； 则异面直线与之间的距离为______. 【答案】； 【解析】设异面直线之间的距离为,作直线的公垂线段,过点M作直线,且直线与直线确定平面. 由题设,知,且,则.解得； 2、已知正方体的棱长为，异面直线与的距离为__________. 【答案】 【分析】根据线面垂直性质可得，又，可知所求距离为，从而得到结果. 【详解】 平面，平面 又 异面直线与之间距离为 故答案为 【点睛】本题考查异面直线间距离的求解，属于基础题. 3、已知正方体的棱长为1，则点到直线的距离为________ 【答案】 【分析】如图所示，连接，，，．设，连接．利用等腰三角形的性质可得：，因此是点到直线的距离． 【详解】解：如图所示，连接，，，．设，连接． ，． ，是点到直线的距离． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方体的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4、四面体中，为等腰直角三角形，，，且，则异面直线与的距离为_____________ 【答案】 【分析】画出空间几何体,取中点M,先根据余弦定理求得;连接,作交于N,则即为异面直线与的距离. 【详解】根据题意, 取中点M, 连接,作交于N,空间几何图形如下图所示: , 所以 因为为中点 所以,且 则平面, 所以且 ,设 因为 所以由余弦定理可得 代入可解得 在中,可得 在中,由余弦定理可得 代入可得 所以 而 所以即为异面直线与的距离 则 故答案为: 【点睛】本题考查了异面直线的距离问题,找出异面直线的公垂线是解决问题的关键,综合性较强,属于中档题. 5、正方体中，分别是的中点，则所成的角的余弦值是__________． 【答案】 【分析】取的中点，由得出异面直线与所成的角为，然后在由余弦定理计算出，可得出结果． 【详解】取的中点，由且可得为所成的角， 设正方体棱长为，中利用勾股定理可得， 又，由余弦定理可得， 故答案为． 【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线找出异面直线所成的角，再选择合适的三角形，利用余弦定理或锐角三角函数来计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题． 6、已知长方体的底面是边长为1的正方形，侧棱，过作平面分别交棱，于点，，则四边形面积的最小值为______． 【答案】 【分析】根据正方体的对称性，易得四边形面积为，又为定值，故只需考虑到直线的距离最小值，分析可得当分别为所在棱的中点时满足，再求解面积即可. 【详解】由正方体对称性，设到直线的距离为，易得，故求四边形面积的最小值即求的最小值. 又两直线上的点的距离最小值即为两直线间的距离最值，当分别为的中点时，连接，交于，连接. 因为，故四边形为平行四边形，故. 又，故平面，故，即. 又，故. 综上，，故为的最小值. 此时 故答案为： 【点睛】本题主要考查了立体几何中的面积最值问题，需要根据题意确定面积的表达式，并根据线线之间的关系分析点到线距离的最值，属于中档题. 7、若RtΔABC的斜边AB=5，BC=3，BC在平面内，A在平面内的射影为O，AO=2，则异面直线AO与BC之间的距离为___________． 【答案】2 【分析】连接，通过证明和可知即为异面直线与之间的距离，利用勾股定理可求得结果. 【详解】连接 ，， ， 又 平面，又平面 即为异面直线与之间的距离 又 本题正确结果： 【点睛】本题考查异面直线间距离的求解，关键是能够通过垂直关系找到异面直线之间的公垂线段. 二、选择题 8、二面角－－为60°，A、B是棱上的两点，、分别在半平面内，，，且，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件和空间向量加法可得，再根据向量模和数量积的关系可得 ，由此能求出的长． 【详解】因为二面角－－为60°，A、B是棱上的两点，、分别在半平面内，，， 所以，， 又 所以 . 所以的长为. 故选：D. 【点睛】本题考查空间线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 9、将，边长为1的菱形沿对角线折成二面角，若，则折后两条对角线之间的距离的最值为 A．最小值为，最大值为 B．最小值为，最大值为 C．最小值为，最大值为 D．最小值为，最大值为 【答案】B 【分析】折后两条对角线之间的距离的最值可以根据二面角的范围求得，故先找出二面角的平面角，取的中点为，连接，，则，且，取的中点为，连接，，，则且，，即折后两条对角线之间的距离，当时取最小值；当时取最大值. 【详解】取的中点为，的中点为，连接，，，，， 四边形是边长为1且的菱形 与是两个边长为1的等边三角形 ，， 为二面角的平面角，即，. 又 ，即 为折后两条对角线的公垂线段，则折后两条对角线之间的距离为 在中， 当时，取最小值， 当时，取最大值， 故选：B 【点睛】本题考查异面直线间的距离，确定两条异面直线的公垂线段，是解决本题的关键，属于较难的题. 10、棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线DD1与BC1之间的距离为 A．a B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意结合异面直线距离的定义求解DD1与BC1之间的距离即可. 【详解】如图所示，由正方体的性质可知：，， 则的长度为异面直线DD1与BC1之间的距离， 据此可得其距离为. 故选A. 【点睛】本题主要考查异面直线之间的距离的定义与求解，属于基础题. 11、在长方体中, .则异面直线与间的距离为 A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】设与交于点,过点作于点. 因为,,所以,平面. 又,于是,平面. 由,知平面.从而,为与间的距离. 由 , ， 得 ， . 12、如图，在棱长为的正方体中，点、分别是面和的中心．则异面直线与的距离为（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，连、． 由，知直线与的距离等于直线与面的距离，也等于点与面的距离，设这个距离为．则． 又． 从而，，．选C. 13、定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，则在单位正方体中，直线与之间的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在上任取点，作，设， ，根据得出和的关系，从而可得关于(或的函数关系，再求出此函数的最小值即可. 【详解】设为直线上任意一点，过作，垂足为， 设，， 则， ， ，， 即， ，即， ， ， ， 当时，取得最小值， 故直线与之间的距离是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是运用向量的线性表示方法表示相关向量，然后结合题意建立函数表达式，运用最值方法求出结果. 14、在棱长为2的正方体中，正方形所在平面内的动点到直线的距离之和为，则点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在平面内，到直线的距离即为到点A，B的距离，可得到动点的轨迹为以A，B为焦点的椭圆及其方程， 且结合可得解. 【详解】 在平面内，到直线的距离即为到点A，B的距离，且动点到直线的距离之和为即动点到点A，B的距离之和为 由椭圆的定义，动点的轨迹为以A，B为焦点的椭圆的一部分，以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为圆心建立平面直角坐标系，如图， 因此椭圆的方程为： 且 设点到直线的距离为，则 故选：B 【点睛】本题考查了立体几何和解析几何综合，考查了学生综合分析，转化划归，空间想象，数学运算的能力，属于较难题. 三、解答题 15、四面体中，为等腰直角三角形，，，且， 求异面直线与的距离； 【提示】画出空间几何体,取中点M,先根据余弦定理求得;连接,作交于N,则即为异面直线与的距离； 【答案】 【解析】根据题意, 取中点M, 连接,作交于N,空间几何图形如下图所示: , 所以 因为为中点 所以,且 则平面, 所以且 ,设 因为 所以由余弦定理可得 代入可解得 在中,可得 在中,由余弦定理可得 代入可得 所以 而 所以即为异面直线与的距离 则 故答案为: 【说明】本题考查了异面直线的距离问题,找出异面直线的公垂线是解决问题的关键,综合性较强,； 16、如图，在空间四边形中，，，，延长到，使，取中点，求异面直线与的距离和它们所成的角． 【答案】异面直线与间的距离为，它们所成角为 【分析】连接，证明出，，可知异面直线与间的距离为的长，计算出三边边长，利用余弦定理可求得异面直线与所成的角. 【解析】解：，为等边三角形． 为的中点，，即． ，则，， 所以，，则， 的长即为异面直线与的距离． 又，所以，异面直线与间的距离为． 如图，连接，、分别是、的中点，且， 或其补角即为异面直线与所成的角． 在等边三角形中，， 在直角三角形中，． 在中，由余弦定理得， ，所以，，即异面直线与所成的角为． 17、如图，在正四棱柱中，，点E为中点，点F为中点． （1）求异面直线与的距离； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点F到平面的距离． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）取中点G，连接，，根据线面垂直的判定定理及性质，先证明为与的公垂线，再由题中数据，计算出的长，即可得出结果； （2）连接，由（1）得到平面，设到平面的距离为d，根据等体积法，由求出，记直线与平面所成角为，由即可得出结果； （3）由（2）得到到平面的距离，根据题中条件，得到F到平面的距离为，即可得出结果. 【详解】（1）在正四棱柱中，取中点G，连接，， ∵F，G分别为的中点，∴且， 又，，所以且，则四边形为平行四边形， 又平面，平面，∴， ∴四边形为矩形，∴， ∵，∴， 又，，平面，平面，， ∴平面，又平面，∴， ∴为与的公垂线，且，， ∴异面直线与的距离为． （2）在正四棱柱中，连接，则， 由（1）知平面，设到平面的距离为d， ∵，，∴，，， ∴，， 从而，∴， 记直线与平面所成角为，则， ∴直线与平面所成角的正弦值为． （3）由（2）知，到平面的距离，∵F是的中点，且平面， ∴F到平面的距离为． 【点睛】方法点睛：立体几何体中空间角的求法： （1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果； （2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可. 18、 如图，P是△ABC外一点，PA⊥平面ABC，． (1)求P到直线BC的距离； (2)求异面直线PA与BC的距离； (3)当时，求C到平面PAB的距离（结果用表示）． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）过作，可得即为所求，即得； （2）由异面直线的距离概念可得即为所求，即求； （3）过 C 作，可得为C到平面的距离，结合条件即得. (1) 在平面内，过作交延长线于，连接， ∵PA⊥平面ABC，平面， ∴，又，， ∴平面，平面， ∴，故为 P 到直线 BC 的距离， ∵， ∴在，， ∴在中，， 即P到直线BC的距离为； (2) 由上可知，，， 所以为异面直线PA与BC的距离， 即异面直线PA与BC的距离为； (3) 在平面内，过 C 作于 E ， 由平面ABC，平面， 可得，又， 所以平面， ∴为C到平面的距离， 在中，， ∴， 即C到平面的距离为. 19、如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1和CC1的中点；求： （1）求异面直线EF与AB所成角的余弦值； （2）求异面直线EF与AB之间的距离； （3）在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角P-AC-B的大小为30°?若存在， 求出BP的长，若不存在，请说明理由. 【提示】（1）作出异面直线所成的角，解三角形求解； （2）转化异面直线间距离为线面距离，再转化为点面距离，计算即可； （3）假设存在，利用二面角P-AC-B的大小为30求解即可. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，. 【解析】（1）取中点，连结，如图， 又为中点，， 连结，则或其补角即为异面直线与所成角， 为中点，正方体边长为2， ，， ， 异面直线与所成角的余弦值为． （2）因为，所以异面直线EF与AB之间的距离即为直线与平面间的距离， 即点B与平面的距离， 连接，交于, 因为, 所以，又, 所以平面, 即为点B到平面的距离. 因为, 所以， 即异面直线EF与AB之间的距离为. （3）假设棱BB1上存在一点P满足题意， 连接交于 ，连接, 所以为二面角的平面角， 设，， 即，所以， 故当存在长为时，二面角的大小为； ( 第 9 页 共 10 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$