精品解析：重庆西南大学附属中学校2025－2026学年度下学期期末考试初二数学试题

西南大学附中2025—2026学年度下期期末考试 初二数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一用黑色2B铅笔完成． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列蒙古族传统纹样中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】选项A，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； 选项B，是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意； 选项C，是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意； 选项D，不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意． 2. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某河流的水质污染情况 B. 调查某品牌手机的电池使用年限情况 C. 调查某种蓝莓的甜度情况 D. 调查全班学生的视力水平情况 【答案】D 【解析】 【分析】根据全面调查的适用条件：调查范围小、无破坏性、要求结果准确，逐一判断选项即可． 【详解】解：A 调查某河流的水质污染情况，调查范围大，适合抽样调查，不符合要求； B 调查手机电池使用年限，测试具有破坏性，适合抽样调查，不符合要求； C 调查蓝莓甜度，调查数量大且测试具有破坏性，适合抽样调查，不符合要求； D 调查全班学生视力，范围小、操作简便，适合采用全面调查，符合要求． 3. 已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. 6 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将已知点的坐标代入反比例函数解析式即可求出的值． 【详解】解：把点代入可得． 4. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，若，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据旋转的性质找出对应角和旋转角，再运用平行线的性质求解即可． 【详解】∵绕点逆时针旋转得到，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 5. 估计的值应在（ ）． A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】B 【解析】 【分析】先估算的大小范围，再利用不等式性质求出的范围，即可得到结果． 【详解】∵，，， 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴的值在和之间． 6. 按照如图所示规律，用同样长度的火柴棒拼一组“灯笼”图案．第①个图案有根火柴棒，第②个图案有根火柴棒，第③个图案有根火柴棒……按照这一规律，第⑥个图案中火柴棒的根数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察图形规律，第①个图案有根火柴棒，第②个图案有根火柴棒，第③个图案有根火柴棒，，发现后面一个图案比前面一个图案多个，依此规律，求出第个图案中所用火柴棒的根数，即可求解第⑥个图案中火柴棒的根数． 【详解】∵第①个图案有根火柴棒，第②个图案有根火柴棒，第③个图案有根火柴棒， ∴后面一个图案比前面一个图案多个， ∴第①个：根；第②个：；第③个：， ∴第个： ， ∴第⑥个图案中火柴棒的根数是（根）． 7. 一次函数和（均为不等于0的常数）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在选项中标出对应的、，判断的取值范围，再做比较即可． 【详解】选项A，如图，在中，，，在中，，，即，前后一致，故符合题意； 选项B，如图，在中，，，在中，，，即，前后矛盾，故不符合题意； 选项C，如图，在中，，，在中，，，即，前后矛盾，故不符合题意； 选项D，如图，在中，，，在中，，，即，前后矛盾，故不符合题意． 8. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为（ ）． A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先根据两根之积得到关于的方程，求解后再利用判别式验证，舍去无实根的情况，得到最终结果． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴由根与系数的关系得， 又∵， ∴，整理得：，解得：或， ∵方程有两个实数根， ∴判别式， ， 当时，，此时方程无实数根，舍去； 当时，，符合题意， ∴的值为． 9. 如图，在正方形中，，点是上的一点，连接，，过点作交于点，连接，则为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，交于点，过点作，交于点，根据正方形的性质证明结合勾股定理求解的值，证明矩形为正方形，再根据，，推出，设，根据勾股定理求出的值，进一步可求出的值，然后求出的值，最后对运用勾股定理即可求解． 【详解】如图，过点作，交于点，过点作，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，平分，， ∵在中，，， ∴， ∴根据勾股定理， 整理得，解得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∵平分，，， ∴， ∴矩形为正方形， ∴， 设， ∵在中，，， ∴， ∴根据勾股定理，，解得：， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵在中，， ∴根据勾股定理，． 10. 已知整式，其中n为正整数，为自然数，是从中任意选取的一个数，且．下列说法： ①若，则满足条件的单项式N共有个； ②若且，则使得方程的所有实数根的和为； ③若且，则满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据题目条件，逐个分类验证三个说法，结合单项式概念、一元二次方程根的性质、分类计数原理判断正确个数。 【详解】解：逐个验证三个说法： ①当时，，由题知是从中任意选取的一个数，即，若是单项式，则必须，可取，共个满足条件的单项式，故①错误，不符合题意； ②当，，时，， ∵是从中任意选取的一个数，为自然数， ∴， （），，则， ∵， ∴， 情况一：，则，，不符合条件， 情况二：，则，，， 情况三：，则，，， 情况四：，则，，不符合条件， （），，矛盾，不符合题意； （），，则 ∵， ∴， 情况一：，则，， 情况二：，则，， 情况三：，则，， 情况四：，则， （），，则 ∵， ∴， 情况一：，则，， 情况二：，则，， 情况三：，则，， 情况四：，则， 综上，使得方程的所有实数根的和为，故②错误，不符合题意； ③当，，， 时，， 情况一： 则有：，共有个满足条件的整式， 情况二： 则有：，共有个满足条件的整式， 情况三： 则有：，共有个满足条件的整式， 综上，一共有个满足条件的整式， 故③正确，符合题意； 综上，正确的个数只有个． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 函数的自变量的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数的非负性，以及分式分母不为零，列不等式组求解，即可得到自变量的取值范围. 【详解】根据题意可得： ， 解得：且． 12. 年月重庆西洽会展销售某智能设备万台，经过大力宣传，该设备月份的销售量达到万台，设两个月该智能设备销量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据增长率问题列出一元二次方程即可． 【详解】由题意可得 13. 将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“自变量加减左右移，函数值加减上下移”的平移规律求解即可． 【详解】据题意可得： 14. 如图，点是矩形的对角线的延长线上的一点，连接，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设与的交点为点，先根据矩形对角线的性质求出的值，根据三角形内角和的定理求出，再结合，等量代换推出，求出的值，最后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】设与的交点为点， ∵矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵的内角和为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 15. 如图，在矩形中，，点E和点G分别在边和上，将沿翻折，点D恰好落在对角线上的点F处，再将沿翻折，点B恰好落在的延长线上的点H处，折痕和与对角线分别交于点P，点Q，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠求得，，，再利用角度的转换得到，解直角三角形得到，再利用勾股定理求得，，即可解答． 【详解】解：在矩形中，，， 由翻折可得,，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， 解得（负数舍去）， ，， 的面积为． 16. 对于一个四位自然数，若，则称M为“和十数”．如：四位数7512，因为，所以7512是“和十数”；四位数3982，因为，所以3982不是“和十数”，则最小的“和十数”为________．一个“和十数”，记，若与均为整数，则满足条件的M为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据“和十数”定义，要得到最小的“和十数”，优先让千位最小，结合是两位数确定各数位；再利用“和十数”性质得，将用表示，化简和，根据整除性质结合数位范围枚举验证得到满足条件的． 【详解】解：四位自然数中，，，由定义得， ∴要使最小，优先取最小千位， ∵是两位数， ∴，即， ∴， ∵， ∴，此时， ∴，得， ∴最小的“和十数”为； ∵为一位数，，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴，即，符合， ∵，为整数， ∴能被整除， ∵， ∴， ∵， ∴为整数等价于能被整除， 结合枚举验证： 当到，均没有同时满足两个整除条件的； 当，时，，能被整除；，能被整除，符合条件，此时，得； 当到，均没有同时满足两个整除条件的； ∴满足条件的为； 故答案为：①；②． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ，． 18. 学习了平行四边形后，小希发现在如图所示的平行四边形中，平分，交于点F，交延长线于点E，若过点C作于点M，过点D作于点N，则两条垂线段的长度相等，即．其证明思路是利用角平分线的定义、平行四边形的性质和三角形全等得出结论．请根据小希的思路完成以下作图和填空． （1）用尺规完成以下作图：过点D作的垂线，垂足为点N（不写作法，保留作图痕迹）． （2）证明：四边形是平行四边形， ，________ ． 平分， ． ________ ． ， ． ， ， ________． 在和中， ， ． 【答案】（1） （2）；；； 【解析】 【分析】（1）根据作线段的垂线即可解答； （2）先证明，即可根据题意得到，再证明即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 为强化学生的数学基本能力，某学校七、八年级举办了数学基本功计算大赛，现从该学校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的比赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级抽取20名学生的比赛成绩是：，． 八年级抽取20名学生的成绩在B组中的数据是：． 七、八年级所抽取学生的比赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 80 80 a 八年级 85 b 89 （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该学校七、八年级中哪个年级的比赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该学校七年级有学生2000人，八年级有学生1800人，请估计该学校七、八年级参加此次比赛成绩优秀的学生人数共是多少？ 【答案】（1）；； （2）八年级的比赛成绩更好，理由：八年级的比赛成绩平均分大于七年级的比赛成绩平均分，所以八年级的比赛成绩更好（答案不唯一） （3）人 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义可得；再计算八年级成绩B组占比，即可得到八年级成绩C组占比； （2）比较平均数和中位数，作出判断即可； （3）根据样本估计总体即可解答． 【小问1详解】 解：七年级抽取20名学生的比赛成绩中，出现次数最多的是分，则众数； 八年级的比赛成绩中，Ａ组人数为（人）， 则八年级的比赛成绩从小到大排列，第位的成绩为分，第位的成绩为分，则中位数； 八年级的比赛成绩中，Ｂ组占比为， ，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：该学校七、八年级参加此次比赛成绩优秀的学生人数共是人． 20. 如图，已知一次函数的图象交x轴于点C，交y轴于点D，且．一次函数与反比例函数的图象交于两点，其中点B的横坐标为3． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）将直线向上平移2个单位长度后，与x轴交于点E，连接，求的面积； （3）观察函数图象，请直接写出的解集． 【答案】（1）； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）求得点的坐标，求得点的坐标，即可求得的面积； （3）结合图象即可求得的解集． 【小问1详解】 解：， ， 把代入， 得， 解得， 所以一次函数解析式为； 当时，， ， 把代入，可得， 所以反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：列方程， 解得，， ， 直线向上平移2个单位长度后，解析式为， 令，解得， ， ， ； 【小问3详解】 解：整理，可得， 观察函数图象，则的解集为或． 21. 重庆解放碑英利大融城举办自在碳水节，某烘焙摊位售卖黄油吐司与全麦贝果两种爆款碳水点心，据了解，个黄油吐司与个全麦贝果的售价总和为元；个黄油吐司与个全麦贝果的售价总和为元． （1）求一个黄油吐司和一个全麦贝果的售价分别是多少元？ （2）该摊位计划主推黄油吐司，黄油吐司的成本为元/个，当以原售价销售时，每日可售个，为了提高利润，决定涨价销售，经过市场调研发现，售价每上涨元/个，每日销量就减少个，设每个黄油吐司现售价为元，该商家每日销售黄油吐司获得的利润为元．当一个黄油吐司的现售价定为多少元时，商家每日销售黄油吐司获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）一个黄油吐司的售价是元，一个全麦贝果的售价是元； （2）当黄油吐司现售价定为元时，每日利润最大，最大利润为元． 【解析】 【分析】（1）设一个黄油吐司的售价是元，一个全麦贝果的售价是元，根据个黄油吐司与个全麦贝果的售价总和为元；个黄油吐司与个全麦贝果的售价总和为元，建立二元一次方程组求解即可； （2）根据题意可得单个利润为元，涨价金额为元，每日销量为个，再根据总利润每个的销售利润销售量，可列出关于的表达式求解即可． 【小问1详解】 解：设一个黄油吐司的售价是元，一个全麦贝果的售价是元， 由题意可得：， 解得： 答：一个黄油吐司的售价是元，一个全麦贝果的售价是元； 【小问2详解】 由题意可得：单个利润为元， 涨价金额为元，，则， 每日销量为个，，则， ∴， ∴ ∵，， ， ， ∴当时，有最大值，最大值为， 答： 当黄油吐司现售价定为元时，每日利润最大，最大利润为元． 22. 如图，在中，．过点A作于点．点P为上一点（P与均不重合），，连接，点E为的中点，记点E与点P的距离为的面积为的面积为，记． （1）请直接写出分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）； （2） 函数：关于直线对称； 函数：随的增大而减小； （3） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质和勾股定理求得的值，再写出对应的函数解析式即可； （2）先描点，再画出函数图象，观察图象得到函数性质； （3）结合函数图象即可解答． 【小问1详解】 解：，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 点E为的中点， ， ； ， 【小问2详解】 解：当时，；； 当时，；； 当时，；； 当时，；； 当时，；； 图象略； 函数：关于直线对称； 函数：随的增大而减小； 【小问3详解】 解：结合函数图象，当时，． 23. 某学校为庆祝六一儿童节，举办了趣味游园活动，如图，四边形是该学校的平面示意图，甲、乙两名同学同时从教学楼A出发，分别步行前往篮球馆B和图书馆D参加游园活动，最后到达食堂C吃饭、已知A位于B的西北方向上，位于D的南偏西方向上，B位于C的南偏西方向上，位于D的正南方向70米处，D位于C的北偏西方向上．（参考数据：） （1）求之间的距离（结果保留根号）； （2）游园活动结束后，甲、乙分别从同时出发，沿步行前往食堂吃饭．已知途中分别设有一个兑奖点，两兑奖点之间的距离为40米．若乙的步行速度是甲的步行速度的2倍，当他们同时到达各自途中的兑奖点时，请问此时甲距离B多少米（结果保留为整数）？ 【答案】（1）米 （2）此时甲距离B为米 【解析】 【分析】（1）过点作，交于点，利用含的直角三角形的边长关系，列方程即可解答； （2）设途中的兑奖点分别为，过点作于点，证明为等边三角形，设米，则米，利用勾股定理列方程即可解答． 【小问1详解】 解：如图，过点作，交于点， 由题意可得米，， ， ， ， 设米， 在直角三角形中，， ， 米， 则可得， 解得， 米 【小问2详解】 解：如图，设途中的兑奖点分别为，过点作于点， 根据题意可得， 为等边三角形， ， 乙的步行速度是甲的步行速度的2倍，且同时到达各自途中的兑奖点， ， 设米，则米， 米，， 米，米， 米， 在直角三角形中，， 可得， 解得（负数舍去）， 米 答：此时甲距离B为米． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线上方抛物线上一动点，连接，点为抛物线对称轴上的动点，点E在点D的下方，且，连接．当的面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）在（2）中的面积取得最大值的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）；的最小值为 （3）， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）利用铅锤高，水平宽，得到当的面积取得最大值时取最大值，即可求得点；利用轴对称的性质求得的最小值； （3）根据平移的性质求得新抛物线的解析式，求得点的坐标，即可求得，再利用求一次函数与抛物线的交点，即可求得点的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴是直线， ，解得， 把代入， 可得，解得， ∴ 【小问2详解】 解：令， 解得， ， 令，可得， ， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， 所以直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点， ， 当最大时，的面积取得最大值， 设点，则， ， 当时，的面积取得最大值， 此时， 如图，将向下平移个单位到，使点与点重合，作关于对称轴直线的对称点，连接， ， 根据平移可得， 根据对称可得， ， 即的最小值为； 【小问3详解】 解：， ， 将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，即将抛物线向下平移3个单位，向右平移3个单位， ，，即， 如图，过点作轴，交于点，设与轴交于点， 则， ，， ， ， ， 即， ， 当在轴上方时，， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， 所以直线的解析式为， 列方程， 整理得， ，无解； 当在轴下方时，， 设直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 列方程， 整理得， 解得，； ，． 25. 在中，，点E是的中点，连接，点F是上的一点，连接． （1）如图1，若点F是的中点，，求线段的长度； （2）如图2，过点A作于点Q，交于点D，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，过点G作交的延长线于点H，交的延长线于点P，用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）如图3，以为斜边在下方作等腰，连接并延长至点T，使得，在直线上方取一点M，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，若，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）， 证明：过点作于点，过点作交于点，交于点， ，， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， 将线段绕点C顺时针旋转得到线段， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，根据中位线的性质可得，利用勾股定理即可解答； （2）过点作于点，过点作交于点， 交于点，证明，得到，证明，得到； （3）将顺时针旋转到，连接，，可得当三点共线时，最短，为的长度，再利用等腰直角三角形的性质得到，则需求的最小值，过点作于点，在下方作等腰直角三角形，过点作于点，利用直线瓜豆得到点在线段上运动，当时，取最小值，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，取的中点，连接， 点F是的中点， ， , ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，将顺时针旋转到，连接，， ， 线段绕点B顺时针旋转得到线段， ， ，即， ， ， ， 当三点共线时，最短，为的长度， ， ， 为等腰直角三角形， ，则需求的最小值， 如图，过点作于点，在下方作等腰直角三角形，过点作于点， ， ，， ， 为等腰直角三角形， 在上运动，且以为斜边在下方作等腰， 点在线段上运动， 当时，取最小值， 是的中点， ， ， ， 为等腰直角三角形， ，， ， 根据面积法可得的最小值为， 的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西南大学附中2025—2026学年度下期期末考试 初二数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一用黑色2B铅笔完成． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列蒙古族传统纹样中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某河流的水质污染情况 B. 调查某品牌手机的电池使用年限情况 C. 调查某种蓝莓的甜度情况 D. 调查全班学生的视力水平情况 3. 已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. 6 B. C. 12 D. 4. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，若，则的值为（ ）． A. B. C. D. 5. 估计的值应在（ ）． A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 6. 按照如图所示规律，用同样长度的火柴棒拼一组“灯笼”图案．第①个图案有根火柴棒，第②个图案有根火柴棒，第③个图案有根火柴棒……按照这一规律，第⑥个图案中火柴棒的根数是（ ）． A. B. C. D. 7. 一次函数和（均为不等于0的常数）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 8. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为（ ）． A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，在正方形中，，点是上的一点，连接，，过点作交于点，连接，则为（ ）． A. B. C. D. 10. 已知整式，其中n为正整数，为自然数，是从中任意选取的一个数，且．下列说法： ①若，则满足条件的单项式N共有个； ②若且，则使得方程的所有实数根的和为； ③若且，则满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 函数的自变量的取值范围是________． 12. 年月重庆西洽会展销售某智能设备万台，经过大力宣传，该设备月份的销售量达到万台，设两个月该智能设备销量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为________． 13. 将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是________． 14. 如图，点是矩形的对角线的延长线上的一点，连接，若，，则________． 15. 如图，在矩形中，，点E和点G分别在边和上，将沿翻折，点D恰好落在对角线上的点F处，再将沿翻折，点B恰好落在的延长线上的点H处，折痕和与对角线分别交于点P，点Q，则的面积为________． 16. 对于一个四位自然数，若，则称M为“和十数”．如：四位数7512，因为，所以7512是“和十数”；四位数3982，因为，所以3982不是“和十数”，则最小的“和十数”为________．一个“和十数”，记，若与均为整数，则满足条件的M为________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解下列方程． （1）； （2）． 18. 学习了平行四边形后，小希发现在如图所示的平行四边形中，平分，交于点F，交延长线于点E，若过点C作于点M，过点D作于点N，则两条垂线段的长度相等，即．其证明思路是利用角平分线的定义、平行四边形的性质和三角形全等得出结论．请根据小希的思路完成以下作图和填空． （1）用尺规完成以下作图：过点D作的垂线，垂足为点N（不写作法，保留作图痕迹）． （2）证明：四边形是平行四边形， ，________ ． 平分， ． ________ ． ， ． ， ， ________． 在和中， ， ． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 为强化学生的数学基本能力，某学校七、八年级举办了数学基本功计算大赛，现从该学校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的比赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级抽取20名学生的比赛成绩是：，． 八年级抽取20名学生的成绩在B组中的数据是：． 七、八年级所抽取学生的比赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 80 80 a 八年级 85 b 89 （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该学校七、八年级中哪个年级的比赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该学校七年级有学生2000人，八年级有学生1800人，请估计该学校七、八年级参加此次比赛成绩优秀的学生人数共是多少？ 20. 如图，已知一次函数的图象交x轴于点C，交y轴于点D，且．一次函数与反比例函数的图象交于两点，其中点B的横坐标为3． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）将直线向上平移2个单位长度后，与x轴交于点E，连接，求的面积； （3）观察函数图象，请直接写出的解集． 21. 重庆解放碑英利大融城举办自在碳水节，某烘焙摊位售卖黄油吐司与全麦贝果两种爆款碳水点心，据了解，个黄油吐司与个全麦贝果的售价总和为元；个黄油吐司与个全麦贝果的售价总和为元． （1）求一个黄油吐司和一个全麦贝果的售价分别是多少元？ （2）该摊位计划主推黄油吐司，黄油吐司的成本为元/个，当以原售价销售时，每日可售个，为了提高利润，决定涨价销售，经过市场调研发现，售价每上涨元/个，每日销量就减少个，设每个黄油吐司现售价为元，该商家每日销售黄油吐司获得的利润为元．当一个黄油吐司的现售价定为多少元时，商家每日销售黄油吐司获得的利润最大？最大利润是多少？ 22. 如图，在中，．过点A作于点．点P为上一点（P与均不重合），，连接，点E为的中点，记点E与点P的距离为的面积为的面积为，记． （1）请直接写出分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 某学校为庆祝六一儿童节，举办了趣味游园活动，如图，四边形是该学校的平面示意图，甲、乙两名同学同时从教学楼A出发，分别步行前往篮球馆B和图书馆D参加游园活动，最后到达食堂C吃饭、已知A位于B的西北方向上，位于D的南偏西方向上，B位于C的南偏西方向上，位于D的正南方向70米处，D位于C的北偏西方向上．（参考数据：） （1）求之间的距离（结果保留根号）； （2）游园活动结束后，甲、乙分别从同时出发，沿步行前往食堂吃饭．已知途中分别设有一个兑奖点，两兑奖点之间的距离为40米．若乙的步行速度是甲的步行速度的2倍，当他们同时到达各自途中的兑奖点时，请问此时甲距离B多少米（结果保留为整数）？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线上方抛物线上一动点，连接，点为抛物线对称轴上的动点，点E在点D的下方，且，连接．当的面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）在（2）中的面积取得最大值的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 25. 在中，，点E是的中点，连接，点F是上的一点，连接． （1）如图1，若点F是的中点，，求线段的长度； （2）如图2，过点A作于点Q，交于点D，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，过点G作交的延长线于点H，交的延长线于点P，用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）如图3，以为斜边在下方作等腰，连接并延长至点T，使得，在直线上方取一点M，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，若，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $