四川乐山市2025-2026学年高二下学期教学质量监测数学试题

秘密★启用前（考试时间：2026年7月3日下午15：00-17：00） 2024级高二下学期教学质量监测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.设集合A={x∈☑x2-2x-3≤0}，B={1,3},则C4B= A.{2} B.{-1,0} C.{0,2} D.{-1,0,2} 【答案】D 【解析】A={-1,0,1,2,3},∴.C4B={-1,0,2}. 【命题立意】改编自必修一P13T1,考查一元二次不等式的解法、集合的基本运算. 2复数2的共轭复数是 A.2+i B.2-i C.-2+i D.-2-i 【答案】A 【解新1：)一29司-2-英共知贸数是2故选4 5 5(2-) 【命题立意】改编自必修二P94T1,考查复数的基本运算、共轭复数的概念 3.已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则 A.fx)有3个零点 B.c3是f(x)的极小值点 C.函数f(x)在区间(c1,2)上单调递减 D.fx)的最大值是f(x) 【答案】C 【解析】给出的是导函数f'(x)的图象，不是f(x)的图象.可得f(x)在(-∞，x]递增，[c1, ]递减，[c2,x]递增、[c3,十o)递增.∴.B选项错误.导函数零点个数不等于原函数零点 个数.(x)可能有1个或3个零点，也可能没有，完全取决于上下平移，A选项不一定正确。 【命题立意】改编自选必二P92T1,考查单调性、极值、最值. 4.已知e1,e2是两个不共线的向量，a=2e1-3e2,b=4e1十ke2.若a与b是共线向量，则实数k A.-6 B.-3 0.3 D.6 【答案】A 【解析】若向量a与b共线，则存在实数，使得b=Aa,代入向量表达式可得：4e1十ke2=A (2e1-3e2),由于e1,e2不共线，等式两边对应系数相等4=2λ，k=-3λ，解得1=2，k=-6. 【命题立意】改编自必修二P16T3,考查向量共线定理. 数学试题第1页（共10页） 5.已知fe)是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f)=x2-,则f子)= A-号 B. c.-为 D. 【答案】B 【解析】因为f(x)是定义在R上周期为2的奇函数， 所以子)=3-4=f2）)=-3)=-(3+3=士： 【命题立意】改编自必修一P203T4,考查函数的奇偶性、周期性。 6已知cos平-=号，a∈(0，平)，则cos(+d)= A. B-号 c号 D.、 3 【答案】A 【解折】：cos(子+d)=cos号-（子-a】=sm(子-d,又：cos(子-d=号，u∈0， 至.可得sin(子-a)=5 31 【命题立意】改编自必修一P193例5，考查诱导公式、同角三角函数的基本关系， 7.如图，现要对某市的5个区域地图进行着色，有4种颜色可供选择，要求有公共边的两个地区不 能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 A.48种 B.72种 C.96种 D.108种 【答案】B 【解析】用3种颜色：C·A=4×3×2=24 用4种颜色：2×A=2×4×3×2×1=48 共有：24+48=72种. 【命题立意】改编自选必三P,T1,考查分步乘法计数原理，考查分类讨论思想. 8.己知等比数列{an}的公比为g,其前n项和为Sm,前n项积为Tn,且满足a1>0,a5·a2026> 1,2s-号<0，则 a2026-1 A.S2025>S2026 B.a024a2026-1<0 C.T26是数列{Tn}中的最大项 D.若Tn<1,则n的最小值为4051 【答案】D 【解析】若q<0,则数列项正负交替，a2025·a2026<0与a205·a226>1矛盾，故q>0. 22022-元0可知，a225-1与a226=1异号，即a2025和a226一个天于1，一个2 1>1,若>1，则数列递指，所有项均大于1与心0盾，同理，三1时也不渍足意 意.∴.0<q<1且等比数列{an}是各项均为正的递减数列. ∴.a2025>1,a2026<1. S2026-S2025=a2026>0,∴.S205<S2026,故A错误： :a2024a2026=(a2025)2>1,.a2024a2026-1>0,故B错误； 数列前2025项均大与1，从2026项起小于1，∴.Tn在n=2025时达到最大值，故C错误： T050=a1a2…a404a4050=(a2035a20s)2035>1,T051=a1a2…a4050a451=a2201<1,.若Tn<1, 数学试题第2页（共10页） 则n的最小值为4051，故D正确. 【命题立意】改编自选必二P41T10,考查等比数列的性质，体现多想少算 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知女儿身高y(单位：cm)关于父亲身高x(单位：cm)的经验回归方程为9=0.8x十29，则 A.y与x具有正的线性相关关系 B.当父亲身高为170cm时，女儿身高一定为165cm C.若父亲身高每增加1cm,则女儿身高平均增加0.8cm D.若残差越小，说明模型的拟合效果越好 【答案】AC 【解析】当父亲身高为170cm时，女儿身高不一定为165cm,故B错误：残差有正有负，不能说 残差越小，模型的拟合效果越好，故D错误. 【命题立意】改编自选必三P113T2,考查一元线性回归模型， 10.已知a>0且a≠1，指数函数f(x)=a,对数函数g(x)=logax,则 A.若f(x)的图象过点(2,4)，则g(f(1)=2 B.函数y=f(x-1)的图象过定点(1,1) C.若f3)>f2),则g(1og3)>g(1og2) D.当a>1时，对任意，，∈(0，+0，都有ff≥f2) 2 2 【答案】BCD 【解析】若f(x)的图象过点(2,4)，则a=2,则g(f1)=log2=1,故A错误；f(x-1)=a-1 过定点(1,1)，故B正确；若f3)>f2),则a>1,此时对数函数g(x)=logax在(0，+∞)上单调 递增.又：log3>log2>0,.g(log3)>g(og32),故C正确：当a>1时，由f(x)=a图象 找出f+f与f十2)的几何意义，故D正确。 2 o) 2 【命题立意】改编自教材135页探究与发现，考查指数函数、对数函数的图象性质. 11.我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫 做“优美曲线”的顶点.对于“优美曲线”C:x2+y=x+,则 A.曲线C围成的图形面积为π+2 B.曲线C上任意两个顶点间的最大距离为2√2 C.若点M(a,b)在曲线C上，则|a+b+3最小值为√2 D.若直线kc-y+2=0与曲线C有公共点，则k的取值范围为(-∞，-1]U[1,+∞) 数学试题第3页（共10页） 【答案】ABD 【解析】当x≥0，y≥0时，原方程化为（知-号）P+(y-号)P=号，表示的是圆心为（号，号）， 半径为号的在第一象限的部分圆。 当x≥0，y<0时，原方程化为(x- 号P+(y+P=3,表示的是圆心为（号，-号），半径 为号的在第四象限的部分圆。 当<0，y>0时，原方程化为e+2)户+(g-2)尸=号，表示的是圆心为(-号，，半径 为号的在第二象限的部分固。 当<0，y<0时，原方程化为(e+)尸+(g+号户=，表示的是圆心为(-，-号)，半 径为号的在第三象限的部分圆。 所以该曲线的对称轴为x轴、y轴、直线y=c和直线y=一x.如图所示。 对于A,曲线C围成的图象由四个半径为的半圆和一个边长为√2的正方形组成.所以面积 为：2×号户+(P=x十2故A正确： 对于B,由图可得出两个顶点间的最大距离为直线y=x与曲线C的两交点的距离或直线y=一-x 与曲线C的两交点的距离，又直线y=x与曲线C的交点为P(1,1),乃(-1，-1)，BP= 2√2，故B正确： 对于C,a+b+3)表示曲线C上的点到直线x+y+3=0的距离的√2倍， 图心（一令号》到直线+y+3=0的距离d-上专方别 =√2，结合图象得，点M到 √1+1 直线十y+3=0的最小距离为万-受-浮，进面a+6+3引的最小值为×号-1， 2 故C错误； 或者由图看出点P(-1,-1)到直线x+y+3=0的距离最小，∴.a=-1,b=-1,∴.a+b+3 =|-1-1+3=1 对于D,直线kx-y+2=0恒过定点(0,2).当直线kx-y+2=0在第一象限内与曲线C相切 时.由大专2270.政7当直线y十2三0酒 W2+1 2 第二象限内与曲线C相切时，由 1-k-+2 已=号得k2+66-7=0,6=1或-7 V2+1 (舍)·由图，若直线ac-y+2=0与曲线C有公共点，则k的取值范围为(-∞，-1)U(1, 十∞)，故D正确. 【命题立意】改编自选必一P103T18,考查圆的方程、直线与圆的位置关系. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 数学试题第4页（共10页） 12.若抛物线C:y2=2px(p>0)上一点M(6,0)到焦点F的距离为9，则p= 【答案】6 【解析】点M到准线x=-号的距离为9，∴6+号=9，∴p=6。 【命题立意】改编自选必一P133T3,考查抛物线的定义， 13.已知圆柱的高为√，它的两个底面的圆周在直径为√6的同一个球的球面上，则该圆柱的表面 积为 【答案】号x 【解析】绘制国柱的鞋我面如图所示由题意可得：AC=,AB-9,则底面半径一 2 V9P-(号了=，所以圆柱的表面积是S=2+2红h=9元 【命题立意】改编自必修二P119例4，考查圆柱的表面积。 14.为测量某海岛主峰的海拔高度，勘测船在海平面上的A点测得主峰顶点Q的仰角为30°，沿北 偏东45°方向航行2√2km后到达B点，测得Q的仰角为45°，且此时主峰位于B点的正北方向， 则该海岛主峰的海拔高度为km(海平面海拔视为0，结果保留最简根式)。 【答案】√5+1 【解析】设主峰海拔高度为h,主峰在海平面的投影为O点： 由仰角定义，A点到O的水平距离OA=htan30°=√h, B点到O的水平距离OB=htan45°=h。 平面方位关系：O在B的正北方向，A在B的南偏西45°方向，因此 ∠AB0=180°-45°=135°，且AB=2W2。 在△ABO中由余弦定理：OA=OB2+AB2-2·OB·AB.cos135° 代入已知条件：3%-公+8-2h:22-(号化简得-2h-40 解得正根h=√5+1 【命题立意】改编自必修二P53T8,考查平面向量的应用 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。 15.（13分) 已知{am}是各项均为正数的等比数列，a1=3,9ag+2a2=1. (1)求数列{an}的通项公式： (2)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sm. 【答案】(1)设数列{an}的公比为g, .'a1=3,3a3十2a2=1, ∴.27q2+6g-1=0. 2分 解得g=-号（含去）或g=号 …4分 数学试题第5页（共10页） 因此数列{a}的通项公式为a,=3×(号)”-1=33-， 7分 (2)由(1）得bn=10g333-2n=3-2m.9分 当n≥2时，bm-bn-1=-2,故{bn}是首项b1=1,公差为-2的等差数列. 11分 则S=n+nn,1Dx(-2=-n2+2. 2 13分 【命题立意】改编自选必二P32例5，考查等比数列的通项公式、等差数列的前项和公式. 16.(15分) 已知椭圆C: 票+若-1a>6>0的离心李为空，焦距为2 (1)求椭圆C的方程： (2)过椭圆C的左焦点作倾斜角为60°的直线l,直线1与椭圆C相交于A,B两点，O为坐 标原点，求△OAB的面积. 【答案】(1)：椭圆：心 =1(a>b>0)的离心率为2 ,焦距为2 ∫e=2 .{a-2 2分 2c=2 ∫a=√2 :c=1 …4分 ∴.b=1. 5分 :椭图C的方程为：号+g=1. 7分 (2)由(1)可知F(-1,0).… .………………..…8分 直线l的方程为y=5(c+1). 9分 由答+1 得7x2+12x+4=0 (y=√3(x+1) 设A(1,1),B(,y 11分 AB-V1+3)[(-号P-4x告-82 7 12分 点0到直线的距离为3-5 √3+1-2： 14分 △0AB的面积为S0=号×89×9=26 2 7 15分 7 【命题立意】改编自选必一P114T2,考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系. 17.(15分) 如图，在四面体ABCD中，BD=BC=BA,∠DBC=90°，AB⊥平面BCD,M是AB的中 点，P是CM的中点，点Q在线段AD上，且AQ=3QD. (1)求证：PQ∥平面BCD: (2)求平面PQM与平面BCD夹角的余弦值. 数学试题第6页（共10页） 【答案】(I)以B为原点，分别以射线BC、BD、BA方向为x、y、z轴正方向建立空间直角坐 标系，不妨设BD=2,由已知得B(0,0,0),C(2,0,0),D(0,2,0),A(0,0,2). .1分 由M是AB中点，得M(0,0,1). 2分 P是CM中点，故P(1,0,): 3分 由4AQ=3QD,得Q0号号)因此P0=(-1号0)， 5分 平面BCD的法向量为元1=(0,0,1). 6分 因为PQ·元1=0，且PQ￠平面BCD,因此PQ∥平面BCD. 7分 (2)设平面PQM的法向量为元2=(x,y,z), 已知P0=(-1多0)，Pi=(-1,0,}) 8分 由P-0得 -+号y=0 2 PM=0 1 令=1，解得y=号，2=2，即元=(1，号，2.11分 -x+5z=0 因为平面BCD的法向量为元1=(0,0,1). 12分 wm民a-高最 2 6 V1+告+4 14分 所以平面角PQM与平面BCD夹角的余弦值为号. 15分 解法2：(1)取MB的中点N,连结PN、QN,由P是CM的中点可得PN∥BC.1分 由BCC平面BCD,PN丈平面BCD,因此PN∥平面BCD. 2分 由M是AB的中点得AN=3NB,又AQ=3QD. 3分 所以QN∥DB,而DBC平面BCD,QN4平面BCD,因此QN∥平面BCD 由QN∩PN=N得，平面PQN∥平面BCD. 4分 因为PQC平面PQN,所以PQ∥平面BCD. ….5分 (2)以B为原点，分别以射线BC、BD、BA方向为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系， 不妨设BD=2,由己知得B(0,0,0),C2,0,0),D0,2,0),A(0,0,2).6分 由M是AB中点，得M0,0,1):P是CM中点，故P(1,0,2)· 7分 由4Q=3QD,得Q(0号因此P0-(-1号.0) 设平面PQM的法向量为元2=(x,y,z, 己知P风=(-1号.0）p7=(←1,0.2）.3分 P风=0得 由 人+号=0 令如=1，解得y=号，2=2即=1，号，2引.1分 2 2·PM=0 -x+号=0 因为平面BCD的法向量为元1=(0,0,1). .12分 数学试题第7页（共10页） 元1元2 故cos(,》=两 2 6 V1+告+4 7 14分 所以平面PQM与平面BCD夹角的余弦值为号 15分 【命题立意】改编自必修二P170T11,考查线面平行的证明、二面角 18.(17分) 已知函数f(x)=(x2-2x)e-ac,a∈R. (1)若a=0,求函数f(x)在(1，f(1)处的切线方程： (2)若fx)≥0在(0，+∞)恒成立，求a的取值范围： (3)若fx)有三个零点，求a的取值范围 【答案】(1)y=-ex:(2)a∈(-0，-e];(3)a∈(-e,-2)U(-2,0) 【解析】 (1)若a=0,fx)=(x2-2c)e, f1)=-e.…1分 又f(）=(x2-2)e四.…2分 .f'(1)=-e.…3分 .函数f(x)在(1，f1)处的切线方程为：y=-x.…5分 (2fc)=x[(x-2)e-a]≥0， x>0,.(c-2)e-a≥0. 即证a≤(C-2)e.…7分 令g(x)=(x-2)e,x∈(0，+∞) ∴g(x)=(x-1)e 令g(x)>0,·.c>1 ∴.当c>1,g(x)递增：当0<c<1,9(x)递减. …9分 .g(D)min=g(1=-e.…l0分 ∴.a∈(-0，-e].… 11分 (3):f(0)=0,∴.0是fx)的一个零点. …12分 ∴.当x≠0时，令f(x)=x[(x-2)e-a]=0, 则方程a=(x-2)e有两个不同的非零解。 …13分 可转化y=a与y=g(x)有两个非零交点.…14分 由(2)可知g(x)在(-00,1)递减，在(1，+∞)递增， ∴g(c)nmn=-e,又'g(0)=-2 且当D→十00，g(x)→十0；D→-00，g(x)→0.…16分 当a=-2时，g(x)=-2的解c=0,不满足非零条件. .a∈(-e,-2）U(-2,0）.…17分 y=-3 y=-e 【命题立意】改编自选必二P95例7，导数几何意义、恒成立问题、零点 数学试题第8页（共10页） 19.(17分) 一场电影观影中，影院内有(n≥2)个座位，且每个座位都有人坐，现在观众依次检票进入影 院.已知第一位进场的观众不慎将电影票落在了检票处且无法取回，该观众忘记了自己的座位号， 他将在个座位中随机选择一个位置坐下.后面进场的观众，若位置未被占据，则将在自己的位置 上坐下；若位置被占据，则将在剩余的位置中随机选一个坐下， (1)若n=3,求第3位进场的观众选对位置的概率： (2)若=4，记X为电影院内最终坐错位置的人数，求X的数学期望E(X): (3)证明：无论n取何值，最后一位进场的观众坐错位置的概率都相等. 【答案】 【解析】(1)设第k位观众的本座位为k,记A=“第一位进场的观众选1号位”，B=“第一 位进场的观众选2号位”，C=“第二位进场的观众选1号位”. …1分 P氏A= …2分 P(BC-×- .11 …3分 又：A与BC互斥，∴P[AU(BC]=右+号=号 …4分 (2)解法1：X的可能取值为0,2,3,4.… …5分 PX=0)=1 … …6分 Px=2)-}×号+×号+- 2424 …7分 Prx==×号×号+×+×号 1 …8分 Px=国=xg×-动 2=24· …9分 EX)-0×}+2×贵+3x生+4×7-岩 …10分 解法2：设Y=“第位进场的观众选错位置”， P()=3 4 …5分 (= …6分 P(=+ 1 1 1 …7分 P=+1×+×号+1×号× 2 …8分 x=20-2P0-星+}+号+号-8 …10分 (3)证明：最后一位观众坐错位置，则最后一号位置一定被占据， 解法1： 有0人坐错：则乃=1 …11分 有2人坐错：则R-只n+只n2+只ng+…中片方+为1 1.1 1.1 …12分 有3人坐错：则乃=11 n2-1n-2干nn-1n-3十…+·1。·1 1 1.1 .1 +1.1 +元‘n-2'n-3+元n-21 大+L. 数学试题第9页（共10页） 以此类推，可发现R:R,R,R,R中的项可视为多项式片X+)(X+n2 …(X+行)0X+分)中的系数。…14分 构造多顶式X+)X+n2…(X+)X+号》，记作a式， 要求P+P+R+P+…+Pn的和，即求a式中系数的和. …15分 令a式中X=1,则2R-号号…青号)-方 -nn-1n-2n-3 …16分 “无论n取何值，最后一位进场的观众坐错位置的概率都相等，均为 2 …17分 解法2： 设P(n)为n个座位时，最后一位观众坐对的概率. ①当n=2时，观众2选对位置的摄率P2)=号 …11分 ②当n=长时，P(=号 那么，当n=k+1时，有以下3种情况： 10.观众1选座位1，后续观众都选对；………12分 2”.观众1选座位k+1,最后一位观众一定坐错： …13分 3.观众1选座位(2≤i≤k),此时观众i相当于新的观众1，问题转化为k个座位后的情况. …14分 :Pk+0-+×1+中×0+会×号-2号-分 …16分 由数学归纳法，对任意n≥2，Pm)=号 即最后一位观众坐错的概率恒为：。 …17分 【命题立意】原创题。本题考查概率与期望，递推归纳思想，培养逻辑推理与分类讨论能力。 数学试题第10页（共10页）秘密★启用前〔考试时间：2026年7月3日下午15：00一17：00)〕 2024级高二下学期教学质量监测 数学 (本试卷满分150分，考试用时120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本 试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.设集合A={x∈Z1x2-2x-3≤0}，B={1,3},则CB= A.{2} B.{-1,0} C.{0,2} D.{-1,0,2} 2复数于的共轭复数是 A.2+i B.2-i C.-2+i D.-2-i 3.已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则 A.f(x)有3个零点 B.x3是f(x)的极小值点 C.函数f(x)在区间(x,x)上单调递减 D.f(x)的最大值是f(x,) 4.已知e1,e2是两个不共线的向量，a=2e1-3e2,b=4e1+ke2.若a与b是共线向量，则实数k= A.-6 B.-3 C.3 D.6 高二数学第1页（共4页） 5.已知fx)是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时(x)=2-x,则f()= A.-I 4 c.- 0.2 6已知cms(7-a)=号ae(0,子)，则os(子+a）= B.-2 c D.-5 7.如图，现要对某市的5个区域地图进行着色，有4种颜色可供选择，要求有公共边的两个地区不 能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 A.48种 B.72种 C.96种 D.108种 8.已知等比数列an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,且满足a1>1,a22s·a26>1, L2025-1 0si<0,则 A.S2025>S2026 B.a224a3026-1<0 C.T2os是数列{Tn}中的最大项 D.若Tn<1,则n的最小值为4051 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知女儿身高y(单位：cm)关于父亲身高x(单位：cm)的经验回归方程y=0.8x+29,则 A.y与x具有正的线性相关关系 B.当父亲身高为170cm时，女儿身高一定为165cm C.若父亲身高每增加1cm,则女儿身高平均增加0.8cm D.若残差越小，说明模型的拟合效果越好 高二数学第2页（共4页） 10.已知a>0且a≠1，指数函数f(x)=a,对数函数g(x)=log,x,则 A.若f(x)的图象过点(2,4)，则g(f(1))=2 B.函数y=f(x-1)的图象过定点(1,1) C.若f(3)>f(2),则g(1og23)>g(1og32) .当a>1时，对任意(0，+0)，都有）≥西) 11.我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫做 “优美曲线”的顶点.对于“优美曲线”C:x2+y2=Ix+Iyl,则 A.曲线C围成的图形面积为π+2 B.曲线C上任意两个顶点间的最大距离为22 C.若点M(a,b)在曲线C上，则1a+b+3I最小值为2 D.若直线kx-y+2=0与曲线C有公共点，则k的取值范围为(-∞，-1]U[1,+∞) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若抛物线C:y2=2px(p>0)上一点M(6,y)到焦点F的距离为9，则p= 13.已知圆柱的高为3，它的两个底面的圆周在直径为6的同一个球的球面上，则该圆柱的表面积 为 14.为测量某海岛主峰的海拔高度，勘测船在海平面上的A点测得主峰顶点Q的仰角为30°，沿北 偏东45°方向航行22km后到达B点，测得Q的仰角为45°，且此时主峰位于B点的正北方向， 则该海岛主峰的海拔高度为k(海平面海拔视为0，结果保留最简根式) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。 15.(13分) 已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1=3,9a3+2a2=1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn=logsa,求数列{bn}的前n项和Sn 高二数学第3页（共4页） 16.(15分) 已知椭圆c客+1(a>6>0)的离心第为2 2,焦距为2. (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的左焦点F,作倾斜角为60°的直线1，直线1与椭圆C相交于A,B两点，0为坐 标原点，求△OAB的面积 17.(15分) 如图，在四面体A-BCD中，BD=BC=BA,∠DBC=90°，AB⊥平面BCD,M是AB的中点，P是 CM的中点，点Q在线段AD上，且AQ=3QD. (1)求证：PQ∥平面BCD; (2)求平面角PQM与平面BCD夹角的余弦值 18.(17分) 已知函数f(x）=(x2-2x)e-ax,a∈R. (1)若a=0,求函数f(x)在(1，f(1))处的切线方程； (2)若f(x)≥0在(0，+∞)恒成立，求a的取值范围； (3)若f(x)有三个零点，求a的取值范围。 19.(17分) 一场电影观影中，影院内有(n≥2)个座位，且每个座位都有人坐，现在观众依次检票进入影 院.已知第一位进场的观众不慎将电影票落在了检票处且无法取回，该观众忘记了自己的座位号， 他将在个座位中随机选择一个位置坐下.后面进场的观众，若位置未被占据，则将在自已的位置 上坐下；若位置被占据，则将在剩余的位置中随机选一个坐下. (1)若n=3,求第3位进场的观众选对位置的概率； (2)若n=4,记X为电影院内最终坐错位置的人数，求X的数学期望E(X); (3)证明：无论取何值，最后一位进场的观众坐错位置的概率都相等. 高二数学第4页（共4页）