精品解析：四川德阳市高中2024-2025学年高二下学期教学质量监测考试数学试卷

德阳市高中2023级第二学年教学质量监测考试 数学试卷 说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回． 2．本试卷满分150分，120分钟完卷． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．） 1. 含有个元素的集合的非空真子集的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据集合子集的计数性质，含有个元素的集合，其所有子集的总个数为， 非空真子集是指既不是空集，也不等于原集合， 因此需要从总子集数中排除空集、原集合共2个不符合要求的子集， 所以该集合的非空真子集个数为． 2. 复数在复平面上对应点的坐标为，则复数（ ） A. 实部为3 B. 虚部为 C. 模长为5 D. 共轭复数 【答案】C 【解析】 【分析】由对应点坐标写出对应复数，再根据复数的定义得结论． 【详解】复数在复平面上对应点的坐标为，则，实部为，虚部为3，模为，，正确的是C． 3. 根据四川省委省政府有关文件精神，德阳市既支教阿坝州若尔盖，又支教甘孜州．在德阳市教育局统一协调组织下，某学校今年派出6名教师前往两地支教，若每个地区至少派送2名支教老师．则不同派送的种数为（ ） A. 50 B. 64 C. 35 D. 128 【答案】A 【解析】 【详解】若每个地区至少派送2名支教老师，则不同的分组方案为2人、4人或3人、3人： 若是2人、4人，则共有种分组方法，然后分到两地，有种分配方法，则共有种方法； 若是3人、3人，则共有种分组方法，然后分到两地，有种分配方法，则有种方法； 综上，共有 种方法. 4. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为单调递增，，所以，即， 因为，所以，又，即， 因为，所以， 综上 5. 已知某同学第一次投篮命中率为0.6．第一次投篮不中的条件下第二次投篮命中的概率为0.8．第一次投篮命中的条件下第二次投篮命中的概率为0.5．则该同学第二次投篮不中的概率为（ ） A. 0.38 B. 0.34 C. 0.28 D. 0.24 【答案】A 【解析】 【分析】利用全概率公式求得第二次命中的概率后可得． 【详解】第二次命中的概率为, 所以第二次投篮不中的概率为． 6. 已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，，，则三棱锥外接球的体积为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可以将其补成一个长方体，该三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球，外接球的直径等于长方体的体对角线长度. 已知，，则长方体的体对角线 ， 因此，外接球半径. 球的体积 7. “千年一面，中江挂面”，近年来，中江挂面村火遍全网．这不仅为中江带来了大量游客，还使中江手工挂面供不应求，销售额大幅提升．已知某手工挂面加工企业2024年10月—2025年2月销售额对应如下表．且用最小二乘法得到销售额关于月份序号的回归直线方程为，则2025年1月销售额（ ） 时间 2024年10月 2024年11月 2024年12月 2025年1月 2025年2月 月份序号 1 2 3 4 5 销售额（万元） 13.5 15.0 17.0 20.5 A. 19.0（万元） B. 18.8（万元） C. 18.6（万元） D. 18.4（万元） 【答案】A 【解析】 【分析】利用线性回归直线恒过样本中心点的性质，先求的均值代入回归方程得到的均值，再列方程求解即可． 【详解】， 由线性回归方程的性质可知，回归直线必过样本中心点， 将代入回归方程，得，  ， 令，解得． 8. 中，、、所对的边分别为、、．下列说法正确的是（ ） A. 当，，时，有2解 B. 存在非等边，使得三角成等差数列且三边成等比数列 C. 的取值范围是 D. 的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理、正弦函数的性质以及二倍角的正弦余弦公式逐项计算判断即可. 【详解】对于A，根据余弦定理，得. 化简得，因为判别式. 所以无解，A错误； 对于B，设等差数列的公差为，则设， 则根据得，解得. 设等比数列的公比为，所以， 由余弦定理. 两边除以得，解得. 此时三边为，为等边三角形，与非等边矛盾，所以B错误； 对于C，，由于，所以， 所以，所以，所以C错误； 对于D，， 令. 求导得. 令，则， 解得或（舍去）， 即时取最大值为 ，所以D正确. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 等比数列的前项和，则（ ） A. B. 公比 C. 任意3项不可能成等差数列 D. 、、（）一定成等比数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，可得，，，由等比数列的定义求得，，可判断AB，所以，再验证CD即可得解. 【详解】等比数列的前项和， 当时，， 当时，， 当时，， 则公比，，所以，则A，B正确； 所以， 设等比数列中的三项，且成等差数列， 则，即， 则，由于， 即与都为偶数，所以等式不成立， 即任意3项不可能成等差数列，C正确； 若、、（）成等比数列， 则，即， 可得， 因为，所以上式不成立，D错误. 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】A、B、C选项赋予x值进行求解，D选项运用二项式求解. 【详解】对于A选项，令，则原式等于，即，故A选项错误； 对于B选项，令，则原式等于，又因为， 故，故B选项正确； 对于C选项，令，则原式等于， 即，由B选项得，故C选项错误； 对于D选项，， 则，， 故，则D选项正确. 11. 已知，（）是平面内两定点，动点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 若为定值，则曲线是椭圆，且其离心率为 B. 若为定值，则曲线是双曲线，且其离心率为 C. 若到点的距离比到轴距离多，则曲线是抛物线，且其准线方程为 D. 若直线与斜率之和为定值，则直线与为曲线的渐近线 【答案】AD 【解析】 【详解】若为定值，由可知曲线是椭圆，且其离心率为，故A正确； 若为定值，由可知曲线是双曲线的右支，双曲线离心率为，故B错误； 由题知，，解得和， 曲线为抛物线和射线的组合，不是抛物线，故C错误； 若直线与斜率之和为定值，则，则， 由于该飘带函数的渐近线为与，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案直接填在答题卡上） 12. ．若，则__________． 【答案】## 【解析】 【详解】因为，所以， 故. 13. 已知圆：关于直线对称，则圆上任意一点到原点的距离的最小值为__________．（请用数字作答） 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，点在直线上， 因为原点到直线的距离为， 则圆心到原点的距离的最小值为， 则圆上任意一点到原点的距离的最小值为 14. 已知函数，是等差数列．、、三点不共线．、、三点共线，向量，则__________． 【答案】2023 【解析】 【分析】先利用三点共线的向量性质得到，再结合等差数列性质和的对称关系，配对求和并加上中间项，即可得到结果. 【详解】因为、、三点共线，向量，所以， 又因为是等差数列， 所以，且， 因为， 所以， 所以， 且， 所以 . 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数（，，）的图象如图所示． （1）求的最小正周期及解析式； （2），求的值域． 【答案】（1） 最小正周期， （2） 【解析】 【分析】（1）根据图象及特殊角三角函数，结合题意，可确定函数的解析式； （2）求得的解析式，结合二倍角公式，利用二次函数给定区间上的值域的求法可求得的值域. 【小问1详解】 由图可知的最大值为，最小值为，所以. 由图象过，得. 因为，且在的减区间上，所以. 因为在距离原点最近的增区间上，所以. 所以. 所以的最小正周期为，解析式为； 【小问2详解】 . 因为，所以当时，取得最小值，最小值为； 当时，取得最大值，最大值为； 所以的值域为． 16. 已知有公共焦点的椭圆（）与抛物线（）交于点． （1）求椭圆与抛物线的标准方程； （2）过与抛物线相切的直线交椭圆于另一点，求的面积． 【答案】（1） 抛物线标准方程为，椭圆标准方程为 （2） 的面积为 【解析】 【分析】（1）通过已知点求出抛物线方程，结合共焦点的条件求出椭圆方程； （2）求过切线与抛物线方程联立求出切线的斜率进而求出切线方程，接着联立切线方程和椭圆方程求出交点坐标，从而求出三角形的面积. 【小问1详解】 已知在抛物线上， 代入可得，解得， 故抛物线标准方程为，焦点为， 因为椭圆与抛物线共焦点，所以椭圆半焦距，即， 又在椭圆上，代入可得 ， 化简可得，联立，解得， 所以椭圆标准方程为. 【小问2详解】 ， 设过点与抛物线相切的切线斜率为，则切线方程为， 即， 代入抛物线方程，可得 ， 化简可得 ， ，解得， 因此切线方程为，即， 切线方程与椭圆方程联立可得，消得， 化简可得 ，解得，， 将代入可得，即， 令切线方程，则， 所以. 17. 如图，圆柱中，底面圆的直径为2，为下底面圆圆周上一点（与、不重合）． （1）求证：； （2）当为弧中点时，平面与平面所成角为，求此时直线与圆柱底面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由线线垂直证平面，进而得证； （2）以为原点，为轴，建立空间直角坐标系，设圆柱的高为，根据面面角的余弦值求出，所以直线与圆柱底面所成角为. 【小问1详解】 平面平面，， 又为圆的直径，， 平面平面, 平面，而平面， 所以； 【小问2详解】 以为原点，为轴，建立空间直角坐标系， 设圆柱的高为， 则 所以， 且平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为，则， 不妨令，则， 又平面与平面所成角为， 则， 所以，且 则直线与圆柱底面所成角为. 18. 近期，高中周末双休引起热议，为调查在校高中学生对国家双休政策的支持情况，某中学数学社团在校园内对学生展开随机调查，得到下表．（数据单位：人） 支持 不支持 成绩优秀 60 30 成绩不优秀 90 30 （1）根据该数学社团的调查结果判断，有无90%把握认为支持双休政策与学生成绩是否优秀有关？ 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 附：． （2）若该数学社团的调查结果可靠，某文学社团按相同方式在该校园内另随机调查了14位同学．其中成绩优秀且支持双休的人数为，请参考数学社团的调查数据，估算和； （3）该校准备从数学社团调查的210名同学中用“按比例分层抽样”的方法抽取7位同学座谈、并准备在参与座谈的同学中选取5人组成新的调查小组．假设新的调查小组中支持双休但成绩不优秀的人数为，求的分布列． 【答案】（1） 没有90%的把握认为支持双休政策与学生成绩是否优秀有关 （2） ， （3） 答案见解析 【解析】 【小问1详解】 由列联表可得(成绩优秀支持人数)，(成绩优秀不支持人数)，(成绩不优秀支持人数)，(成绩不优秀不支持人数)，则， 所以， 由题可知，把握对应的临界值为，因为， 所以没有把握认为支持双休政策与学生成绩是否优秀有关. 【小问2详解】 随机抽取一名学生，该学生为成绩优秀且支持双休的概率， 由题意得， 所以，. 【小问3详解】 分层抽样的抽样比为，则抽取的7人中支持双休但成绩不优秀的共人，其余共4人， 因此的可能取值为， ；；， 因此的分布列为 . 19. 已知函数（，为常数）． （1）若是偶函数，求的极值； （2）若函数有2个零点，． ①求的取值范围． ②求证． 【答案】（1）极大值为，无极小值； （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义列等式求解参数a的值；再求的导函数，通过分析导函数的正负确定的单调性，进而求极值； （2）①确定的定义域，同时根据对数有意义的条件得到a的初步范围；求的导函数，分析的单调性求出最值，结合零点个数列不等式求得参数范围；②不妨设，将证明转化为，即证；构造辅助函数，利用函数单调性完成证明. 【小问1详解】 由题意知的定义域为， 是偶函数，故，即， 即得，而不恒等于0， 故，即； 此时，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 故在时取得极大值，极大值为，无极小值； 【小问2详解】 ①，定义域为， 且，则， ，由于，故， 令 ，则， 当时，，此时对恒成立， 则在上单调递增，此时至多有1个零点，不符合题意； 当时，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 且当和时，， 则在时取极大值，也是最大值， 即， 要使有2个零点，．需 ， 解得，即的取值范围为． ②由题意可设，其中，， 由于，在上单调递减，可知， 若，则，此时成立， 若，且， 要证，即证，由于在上单调递增， 只需证， 又因为，所以只需证，即 ， 设， ， 因为，故，由，故，则， 故 ，即得 ， 由于，故，结合，得 ， 则可得此时成立， 综合可知. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德阳市高中2023级第二学年教学质量监测考试 数学试卷 说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回． 2．本试卷满分150分，120分钟完卷． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．） 1. 含有个元素的集合的非空真子集的个数为（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面上对应点的坐标为，则复数（ ） A. 实部为3 B. 虚部为 C. 模长为5 D. 共轭复数 3. 根据四川省委省政府有关文件精神，德阳市既支教阿坝州若尔盖，又支教甘孜州．在德阳市教育局统一协调组织下，某学校今年派出6名教师前往两地支教，若每个地区至少派送2名支教老师．则不同派送的种数为（ ） A. 50 B. 64 C. 35 D. 128 4. 若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知某同学第一次投篮命中率为0.6．第一次投篮不中的条件下第二次投篮命中的概率为0.8．第一次投篮命中的条件下第二次投篮命中的概率为0.5．则该同学第二次投篮不中的概率为（ ） A. 0.38 B. 0.34 C. 0.28 D. 0.24 6. 已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，，，则三棱锥外接球的体积为（） A. B. C. D. 7. “千年一面，中江挂面”，近年来，中江挂面村火遍全网．这不仅为中江带来了大量游客，还使中江手工挂面供不应求，销售额大幅提升．已知某手工挂面加工企业2024年10月—2025年2月销售额对应如下表．且用最小二乘法得到销售额关于月份序号的回归直线方程为，则2025年1月销售额（ ） 时间 2024年10月 2024年11月 2024年12月 2025年1月 2025年2月 月份序号 1 2 3 4 5 销售额（万元） 13.5 15.0 17.0 20.5 A. 19.0（万元） B. 18.8（万元） C. 18.6（万元） D. 18.4（万元） 8. 中，、、所对的边分别为、、．下列说法正确的是（ ） A. 当，，时，有2解 B. 存在非等边，使得三角成等差数列且三边成等比数列 C. 的取值范围是 D. 的最大值为 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 等比数列的前项和，则（ ） A. B. 公比 C. 任意3项不可能成等差数列 D. 、、（）一定成等比数列 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，（）是平面内两定点，动点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 若为定值，则曲线是椭圆，且其离心率为 B. 若为定值，则曲线是双曲线，且其离心率为 C. 若到点的距离比到轴距离多，则曲线是抛物线，且其准线方程为 D. 若直线与斜率之和为定值，则直线与为曲线的渐近线 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案直接填在答题卡上） 12. ．若，则__________． 13. 已知圆：关于直线对称，则圆上任意一点到原点的距离的最小值为__________．（请用数字作答） 14. 已知函数，是等差数列．、、三点不共线．、、三点共线，向量，则__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数（，，）的图象如图所示． （1）求的最小正周期及解析式； （2），求的值域． 16. 已知有公共焦点的椭圆（）与抛物线（）交于点． （1）求椭圆与抛物线的标准方程； （2）过与抛物线相切的直线交椭圆于另一点，求的面积． 17. 如图，圆柱中，底面圆的直径为2，为下底面圆圆周上一点（与、不重合）． （1）求证：； （2）当为弧中点时，平面与平面所成角为，求此时直线与圆柱底面所成角的大小． 18. 近期，高中周末双休引起热议，为调查在校高中学生对国家双休政策的支持情况，某中学数学社团在校园内对学生展开随机调查，得到下表．（数据单位：人） 支持 不支持 成绩优秀 60 30 成绩不优秀 90 30 （1）根据该数学社团的调查结果判断，有无90%把握认为支持双休政策与学生成绩是否优秀有关？ 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 附：． （2）若该数学社团的调查结果可靠，某文学社团按相同方式在该校园内另随机调查了14位同学．其中成绩优秀且支持双休的人数为，请参考数学社团的调查数据，估算和； （3）该校准备从数学社团调查的210名同学中用“按比例分层抽样”的方法抽取7位同学座谈、并准备在参与座谈的同学中选取5人组成新的调查小组．假设新的调查小组中支持双休但成绩不优秀的人数为，求的分布列． 19. 已知函数（，为常数）． （1）若是偶函数，求的极值； （2）若函数有2个零点，． ①求的取值范围． ②求证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $