2.3 二次函数与一元二次方程、不等式【重点•题型】精讲-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程、不等式核心知识点，系统梳理一元二次不等式概念、二次函数零点、解集等基础内容，重点构建三者解的对应关系，延伸至含参数不等式解法、恒成立问题、分式不等式及根的分布，形成完整知识链。 资料通过7大重难点题型分层设计，涵盖选择、填空、解答及综合应用，如企业工资调整问题，培养学生抽象能力（数学眼光）、推理能力（数学思维），助力教师授课，学生课后可通过题型训练查漏补缺，提升应用意识（数学语言）。

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 【知识点一、一元二次不等式的概念】 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 【知识点二、二次函数的零点】 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点. 【知识点三、一元二次不等式解集的概念】 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集． 【知识点四、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系】 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 知识点诠释： （1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集. 【知识点五、一元二次不等式恒成立问题】 (1)转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立 (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题. 【知识点六、简单分式不等式的解法】 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” 重难点题型1 一元二次不等式的解法 1．不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D．或 2．（25-26高二下·浙江嘉兴·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）不等式的解集为________． 重难点题型2 含有参数的一元二次不等式的解法 1．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 2．（24-25高一上·湖北·阶段检测）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的解集为 3．（25-26高一上·天津河东·阶段检测）当时，关于的不等式 的解集为（   ） A． B． C．或 D． 4．（多选题）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 5．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知关于的不等式的解集为或，则的解集为__________ 6．（25-26高三上·辽宁大连·期中）已知二次不等式的解集为，则实数的取值范围为______. 7．（2025·上海·模拟预测） 的解集为 ，则 的解集为 ______． 重难点题型3分式不等式的解法 1．（25-26高一上·辽宁大连·期中）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 2．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·山东威海·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·新疆·三模）不等式的解集为__________. 5．（2026·贵州毕节·二模）不等式的解集是______. 6．（25-26高一上·天津河西·阶段检测）不等式的解集是______. 重难点题型4一元二次方程根的分布问题 1．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 2．“”是“方程只有一个解”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 4．关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·重庆·期末）（多选题）已知关于的方程，则下列结论中错误的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 6．（25-26高一上·山东青岛·期中）（多选题）已知关于的方程，则下列结论中正确的是（   ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 7．（多选题）已知关于的方程，则下列结论正确的是（    ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 重难点题型5恒成立问题 1．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知命题为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·湖南湘西·期末）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为（    ） A．6 B． C． D．8 4．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是________． 5．（25-26高一上·江西景德镇·期中）已知，，若关于的不等式在恒成立，则的取值范围是________. 重难点题型6有解问题 1．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知命题．若命题为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·云南·期中）若，且不等式有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是______． 4．（24-25高一上·江苏苏州·阶段检测）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是___________． 5．（24-25高一上·山东青岛·阶段检测）若，满足不等式，求实数的取值范围__________. 6．若存在，使不等式成立，则a的取值范围为______. 重难点题型7综合问题 1．（2025高一上·安徽·竞赛）某企业原有200名科技人员，年人均工资a万元（）．现加大对某芯片研发力度，该企业把原有200名科技人员调整成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且）．调整后，研发人员的年人均工资比调整前增加了，技术人员的年人均工资为万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员年总工资的1.5倍，求调整后的技术人员最少有多少人？ (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资； ②技术人员的年人均工资始终不低于调整前200名科技人员的年人均工资． 请问是否存在这样的实数m？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． 2．（25-26高一下·山东潍坊·期中）设函数. (1)若，解关于x的不等式； (2)求不等式的解集 3．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 4．（25-26高一下·浙江宁波·强基计划）已知二次函数图象经过，， (1)求二次函数解析式 (2)若二次函数的顶点为D，P为线段CD上一点，若C，D到直线AP的距离分别为，，求的最大值 （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（25-26高一下·江苏连云港·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）已知集合，．若，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·重庆·阶段检测）“”是“”的（     ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高三下·四川德阳·阶段检测）已知命题：关于的方程有两个不相等的实根，若为真命题，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·四川成都·期末）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·天津滨海新区·期中）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·山西太原·期中）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·江苏南京·期中）若“，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一下·浙江·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 10．（25-26高一上·福建·期中）已知为任意实数，关于的方程，则（   ） A．当时，方程有两实数根 B．当时，方程有两异号的实数根 C．当时，方程有两实数根，，则 D．若方程有两个实数根，，且，，则 三、填空题 11．使有意义的x的取值范围是________． 12．关于的不等式：，当时，不等式的解集为__________. 13．（25-26高一下·上海·期中）不等式的解集是___________．. 14．（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）若不等式 对一切实数恒成立，则的取值范围__________． 15．（24-25高一上·全国·课后作业）“，”为真命题，则实数的取值范围为__________. 16．（25-26高一上·北京·阶段检测）若命题，为假命题，则实数的取值范围是_____. 四、解答题 17．（25-26高二下·上海·期末）已知是实数，不等式． (1)若，求上述关于的不等式的解集． (2)若上述不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 【知识点一、一元二次不等式的概念】 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 【知识点二、二次函数的零点】 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点. 【知识点三、一元二次不等式解集的概念】 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集． 【知识点四、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系】 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 知识点诠释： （1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集. 【知识点五、一元二次不等式恒成立问题】 (1)转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立 (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题. 【知识点六、简单分式不等式的解法】 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” 重难点题型1 一元二次不等式的解法 1．不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【难度】0.92 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【详解】由不等式，得， 解得，所以原不等式的解集为. 2．（25-26高二下·浙江嘉兴·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.92 【知识点】并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【详解】，， 所以，即 3．（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.92 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【详解】因为，故. 4．（25-26高三·全国·一轮复习）不等式的解集为________． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】将不等式化为标准型，先求方程的两根，即可得解. 【详解】将不等式化为， 方程的两根为 所以不等式的解集为， 则不等式的解集为. 故答案为： 重难点题型2 含有参数的一元二次不等式的解法 1．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【难度】0.6 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值 【详解】不等式 可化为， 当 时，不等式为 ，不满足对任意的 恒成立； 当 时， 的图象开口向下，不满足题意， 所以 ，且 ，所以 ， 所以 ，且 ； 所以 ，当且仅当 ， 即 时等号成立，所以 的最小值为 . 2．（24-25高一上·湖北·阶段检测）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的解集为 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由一元二次不等式的解集得到，，再依次判断A、B、C，再由一元二次不等式的解法求解集判断D. 【详解】由题设是的两个根，且，A错， 所以，故，B、C错， 由，D对. 故选：D 3．（25-26高一上·天津河东·阶段检测）当时，关于的不等式 的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】由，不等式可化为，因为的解集为，，结合一元二次不等式解法可得结论. 【详解】因为，， 方程的解集为，且， 所以不等式的解集为，故D正确． 故选：D 4．（多选题）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由不等式的解集的特征判断A；利用解集可得、、间关系，即可判断B；利用、、间关系，计算即可判断C、D. 【详解】对于选项A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对于选项B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对于选项C：，由，故，即， 所以不等式的解集为，故C错误； 对于选项D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 5．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知关于的不等式的解集为或，则的解集为__________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】先由原不等式的解集确定二次方程的根与的符号，再通过根与系数的关系得到、与的关系，代入目标不等式后化简求解. 【详解】由的解集可知，，且方程的根为和. 由根与系数的关系，，得；，得. 将、代入，得. 因，两边除以得，即. 因式分解得，解得. 故答案为：. 6．（25-26高三上·辽宁大连·期中）已知二次不等式的解集为，则实数的取值范围为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由题意可得，再结合解集可得有两根，从而可求解. 【详解】由二次不等式的解集为 可得，且有两根为，， 因为二次函数开口向下，则得，解得或， 又，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 7．（2025·上海·模拟预测） 的解集为 ，则 的解集为 ______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由不等式 的解集为 ，可得到且,代入一元二次不等式求解即可. 【详解】由题干知，不等式 的解集为 ， 可得到，代入一元二次不等式得 ， 由于，所以，即 . 故答案为： 【点睛】 重难点题型3分式不等式的解法 1．（25-26高一上·辽宁大连·期中）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】分式不等式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】将分式不等式等价转化为整式不等式组，结合二次不等式的解法求解即可. 【详解】分式不等式等价于：，即. 解得或. 故不等式的解集为或. 2．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】分式不等式、解不含参数的一元二次不等式 【详解】方法一：由，得， 化简得，即， 等价于，解得. 所以原不等式的解集为. 方法二：由，得或， 化简得或（舍去），所以， 所以原不等式的解集为. 3．（25-26高一上·山东威海·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】分式不等式、解不含参数的一元二次不等式、判断命题的必要不充分条件 【分析】求解出不等式的解集，结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】解不等式，得；解不等式，得， 而集合真包含于集合， 所以“”是“”的必要不充分条件． 4．（2026·新疆·三模）不等式的解集为__________. 【答案】或. 【难度】0.82 【知识点】分式不等式、解不含参数的一元二次不等式 【详解】由可得， 故或， 故不等式的解集为或. 5．（2026·贵州毕节·二模）不等式的解集是______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】分式不等式、解不含参数的一元二次不等式 【详解】不等式，即，化简得， 等价于，解得， 所以不等式的解集. 6．（25-26高一上·天津河西·阶段检测）不等式的解集是______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分式不等式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先将分式不等式转化为整式不等式组，考虑分母不为零的条件，求解整式不等式后确定解集范围，再结合选项判断正确答案. 【详解】因为， 所以 所以  即 故答案为： 重难点题型4一元二次方程根的分布问题 1．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即 ，解得. 故选：B. 2．“”是“方程只有一个解”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、一元二次方程根的分布问题 【分析】利用充分性，必要性的定义判定即可. 【详解】若，则方程为， 即，则其只有一个解； 若方程只有一个解，则或，所以或， 所以“”是“方程只有一个解”的充分不必要条件. 故选：B 3．关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】探求命题为真的充要条件、一元二次方程根的分布问题 【分析】根据实数是不是为零进行分类讨论，结合根的判别式及韦达定理即可得解. 【详解】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 当方程有二个负根时，则有， 当方程有一个负根一个正根时，则有， 综上所述：当关于x的方程至少有一个负根时，有， 即关于x的方程至少有一个负根的充要条件是. 故选：D. 4．关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】利用一元二次方程根的分布可得答案. 【详解】因为方程有两个不相等的正实数根， 所以，解得且. 故选：A. 5．（25-26高一上·重庆·期末）（多选题）已知关于的方程，则下列结论中错误的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】探求命题为真的充要条件、判断命题的充分不必要条件、一元二次方程根的分布问题 【分析】利用二次方程根的分布求出实数的取值范围，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，当时，方程为，， 即方程无实数解，A错； 对于B选项，若方程有两个正根，则，解得， 即方程有两个正根的充要条件是，B错； 对于C选项，若方程无实数根，则，解得， 故方程无实数根的一个充分不必要条件是，C对； 对于D选项，若方程有一个正根一个负根，设这两根分别为、，则，解得， 故方程有一个正根一个负根的充要条件是，D错. 故选：ABD. 6．（25-26高一上·山东青岛·期中）（多选题）已知关于的方程，则下列结论中正确的是（   ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】充要条件的证明、根据二次函数零点的分布求参数的范围、判断命题的必要不充分条件、一元二次方程根的分布问题 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可判断各选项. 【详解】因为，可得或， 所以方程有两个根的充要条件是或， 则方程有一个正根一个负根的充要条件是，故A正确； 方程有两个正根的充要条件是，故B正确； 方程无实根的充要条件是，所以必要条件不可能是，故C错误； 当时，方程无实数根，故D错误； 故选：AB. 7．（多选题）已知关于的方程，则下列结论正确的是（    ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】充要条件的证明、判断命题的必要不充分条件、一元二次方程根的分布问题 【分析】A将代入方程左侧使其值小于零即可；B依据以及韦达定理即可判断；C根据求出其充要条件再判断；D化简得出方程无实根. 【详解】A选项，方程有一个正根一个负根，等价于，即， 是方程有一个正根一个负根的充要条件，A正确； B选项，方程有两个正根，等价于，即， 是方程有两个正根的充要条件，B正确； C选项，方程无实数根，等价于，即， 而是的必要不充分条件， 则方程无实数根的一个必要条件是，C正确； D选项，当时，方程无实数根，D错误． 故选：ABC． 重难点题型5恒成立问题 1．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知命题为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】分和两种情况讨论，结合一元二次不等式的解集可求得实数的取值范围. 【详解】因为命题为真命题， 所以不等式的解集为， 若，则不等式可化为，满足题意； 若，则根据一元二次不等式解集的形式可知：， 解得，综上所述，实数的取值范围是. 故选：D. 2．（2026高三·全国·专题练习）不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】分离参数，利用基本不等式求出最值. 【详解】不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，，则， ，当且仅当时等号成立，， ，所以. 的最小值为. 3．（25-26高一上·湖南湘西·期末）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为（    ） A．6 B． C． D．8 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】参变分离可得，再根据基本不等式求解最小值即可. 【详解】由在区间恒成立，可得， 即在区间恒成立. 因为，则，当且仅当，时等号成立， 所以，故，即的最大值为， 故选：A. 4．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】分和两类情况，结合不等式对应的二次函数的图像可得实数的取值范围. 【详解】当时，不等式为，显然恒成立，符合题意； 当时， 因为关于的不等式对任意恒成立， 所以二次函数的图像在轴的下方， 所以，解得， 综上，可得的取值范围是． 故答案为： 5．（25-26高一上·江西景德镇·期中）已知，，若关于的不等式在恒成立，则的取值范围是________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】将问题转化为当时，恒成立；当时，恒成立的问题，由此可得为方程的根，代入可得之间关系，结合基本不等式可求得的取值范围. 【详解】，当时，；当时，； 当时，恒成立；当时，恒成立； 是方程的一根，，即， 此时，方程根为和，满足题意； ； 时，（当且仅当时取等号），， ，即的取值范围为. 故答案为：. 重难点题型6有解问题 1．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知命题．若命题为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】由题意得为真命题，令函数，讨论函数的对称轴，即可求得函数的最小值，建立不等式即可求得实数的取值范围. 【详解】由题意得命题的否定为真命题， 令函数，则函数对称轴， 当，即，函数最小值为， 由题意得，即.∴ 当，即，函数最小值为， 由题意得，即或，∴. ∴， 故选：A. 2．（25-26高一上·云南·期中）若，且不等式有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、基本不等式“1”的妙用求最值、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据题意，利用基本不等式，求得取得最小值，转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由且 可得， 当且仅当时，即时，取得最小值， 因为不等式有解，可得，即， 解得或，所以实数的取值范围为. 故选：A. 3．（2026高三·全国·专题练习）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据一元二次函数的性质进行求解即可. 【详解】不等式在区间内有解，即在区间内有解， 那么，设. 根据二次函数的性质可知，所以. 故答案为：. 4．（24-25高一上·江苏苏州·阶段检测）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】把关于的不等式在上有解的问题，利用分离参数求最值转化为，在上有解，再求，的最小值即可. 【详解】要使不等式在上有解， 则，在上有解， 令，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故时，， 因此要使不等式在上有解， 则， 故答案为：. 5．（24-25高一上·山东青岛·阶段检测）若，满足不等式，求实数的取值范围__________. 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题、解不含参数的一元二次不等式 【分析】将问题转化为有解问题，再分类讨论、与三种情况，结合判别式与二次函数的性质即可得解. 【详解】因为，满足不等式，即有解， 当时，不等式可化为，显然有解，满足题意； 当时，则，解得或； 当时，由二次函数的性质可知必有解， 综上，或. 故答案为：或. 6．若存在，使不等式成立，则a的取值范围为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、基本不等式求和的最小值 【分析】利用分离参变量思想，再用换元法转化到对钩函数求最小值，即可得到取值范围. 【详解】由， 因为，所以，令， 由， 构造函数， 即，当且仅当时取等号， 所以 故答案为：. 重难点题型7综合问题 1．（2025高一上·安徽·竞赛）某企业原有200名科技人员，年人均工资a万元（）．现加大对某芯片研发力度，该企业把原有200名科技人员调整成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且）．调整后，研发人员的年人均工资比调整前增加了，技术人员的年人均工资为万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员年总工资的1.5倍，求调整后的技术人员最少有多少人？ (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资； ②技术人员的年人均工资始终不低于调整前200名科技人员的年人均工资． 请问是否存在这样的实数m？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)50 (2)存在， 【难度】0.57 【知识点】一元二次不等式的实际应用、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）根据题意得到不等式，求出答案； （2）由两个条件得到不等式，结合基本不等式求出答案 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为万元， 则，（），化简得， 解得， 因为且，所以， 所以调整后的技术人员的人数最少为50人； （2）假设存在实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件， 由条件①得，整理得； 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以， 由条件②得，解得； 又因为，所以． 所以． 2．（25-26高一下·山东潍坊·期中）设函数. (1)若，解关于x的不等式； (2)求不等式的解集 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【难度】0.62 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）把函数解析式代入不等式，原不等式转化为，由，得到不等式解集为； （2）分=0， 0，0，三种情况去讨论. 其中，对于0，再对2个根进行大小比较讨论. 【详解】（1）当时，函数化简为,代入不等式， 得，得，得原不等式转化为， 由分母不为0，得，所以得， 所以，所以， 得不等式解集为； （2）， 当=0，即时，，则的解集为， 当0，方程的两个根为 当0，即时，二次项系数，抛物线开口向上，且， 不等式的解集为. 当0，即， 当时，，不等式化为， 解集为， 当时，二次项系数，抛物线开口向下，且 不等式的解集为， 当时，二次项系数，抛物线开口向下，且 不等式的解集为， 综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 3．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. (2) 【难度】0.68 【知识点】求二次函数的值域或最值、解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】（1）由题意得，结合方程的两根即可求得答案； （2）法一：利用分离参数法得对于恒成立，恒成立，求 的最小值即可求解； 法二：对不等式转化可得，对于恒成立，令，分别讨论对称轴在区间的位置结合单调性即可求解. 【详解】（1）依题意可得：，即， 其对应方程的两根为， 当，即时，不等式的解集为或； 当，即时，解集为R； 当，即时，不等式的解集为或； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. （2）（1）法一：因为，所以对于恒成立， 因为，所以，因此恒成立. 即. 令，则， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，时取等号. 故，所以. 即实数的取值范围为. 法二：因为，所以， 即对于恒成立， 令，对称轴， 当时，即时， 函数在上单调递增，所以，因此， 又因为，所以. 当时，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，因此， 又因为，所以， 当时，即时， 函数在上单调递减，所以， 因此，又因为，所以不存在. 综上：. 4．（25-26高一下·浙江宁波·强基计划）已知二次函数图象经过，， (1)求二次函数解析式 (2)若二次函数的顶点为D，P为线段CD上一点，若C，D到直线AP的距离分别为，，求的最大值 【答案】(1) (2) 【难度】0.62 【知识点】求二次函数的解析式 【分析】（1）根据给定条件，设出二次函数的两根式，再利用待定系数法求出解析式. （2）由（1）求出点的坐标，借助两点间距离公式确定形状，利用三角形面积求出最大值. 【详解】（1）由二次函数图象经过，设该二次函数解析式为， 又该函数图象过点，则，解得， 所以所求函数解析式为，即. （2）由（1）知，则点，， ，，为定值， 过分别作，垂足分别为，则， ， 因此当且仅当最小，即线段为斜边上的高时，最大， 所以. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（25-26高一下·江苏连云港·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.92 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【详解】由可得，所以不等式的解集为 2．（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）已知集合，．若，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】根据并集结果求集合或参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】先化简集合，再分析，利用的性质，得或，要使，需保证补上未覆盖的部分且无遗漏，因此关键是让唯一的“漏洞点”落在内，即，解得． 【详解】， ①当时，， 此时，满足条件． ②当时，对所有成立，所以， 要使，需要（否则会是一个不在中的点），即． 综上，的取值范围是． 3．（25-26高二下·重庆·阶段检测）“”是“”的（     ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】分式不等式、判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解，再根据充分性和必要性的定义判断即可． 【详解】或， 因为是或的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件． 4．（25-26高三下·四川德阳·阶段检测）已知命题：关于的方程有两个不相等的实根，若为真命题，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据全称命题的真假求参数、全称命题的否定及其真假判断、一元二次方程根的分布问题 【详解】若为真命题，则命题为假命题，所以关于的方程没有两个不相等的实根， 即：有两个相等的实根或者没有实根，则， 解得：，所以的取值范围是. 5．（24-25高一上·四川成都·期末）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【详解】当时，原不等式化为，显然恒成立； 当时，不等式对一切恒成立，则有 且，即， 解得， 综上可得，. 6．（25-26高二下·天津滨海新区·期中）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.63 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题 【详解】原全称命题“”为假命题， 则其否定“”为真命题，即方程在上有解， 的取值范围就是函数在上的值域. ，这是开口向上，对称轴为的二次函数，. 则最小值在处取得：；最大值在端点处取得：. 因此的值域为，即. 7．（25-26高一上·山西太原·期中）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】应用分类讨论，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】当，则，在上显然不成立， 当，则或，得或， 综上，实数的取值范围是. 故选：D 8．（25-26高一上·江苏南京·期中）若“，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】根据已知在R上能成立，分类讨论参数，结合二次函数的性质求参数范围. 【详解】由题设，为真命题， 所以在R上能成立， 当，即时，在R上能成立，满足要求， 当，即时，的图象开口向上，满足要求， 当，即时，只需，则， 所以，即， 综上，. 故选：B 二、多选题 9．（25-26高一下·浙江·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由不等式的解集的特征可得A；利用解集可得、、间关系，即可得B；利用、、间关系，计算可得C、D. 【详解】对A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对C：，由，故，即，故C正确； 对D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 10．（25-26高一上·福建·期中）已知为任意实数，关于的方程，则（   ） A．当时，方程有两实数根 B．当时，方程有两异号的实数根 C．当时，方程有两实数根，，则 D．若方程有两个实数根，，且，，则 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、根据二次函数零点的分布求参数的范围、一元二次方程根的分布问题 【分析】利用判别式和根与系数关系逐项判断即得. 【详解】对于A，因为，当时，有，方程有两实数根，故A正确； 对于B，当时，有，所以方程有两异号的实数根，故B正确； 对于C，当时，方程变为，即无实数解，故C错误； 对于D，若方程有两个实数根，且，等价于， ，所以，得，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 11．使有意义的x的取值范围是________． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】要使有意义，须使被开方数大于或等于零，解相应的一元二次不等式即得. 【详解】要使有意义，须使，即. 解得或. 所以使有意义的x的取值范围是或. 故答案为：或. 12．关于的不等式：，当时，不等式的解集为__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】将不等式分解因式可得答案. 【详解】由得， 由，得， 解得，或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 13．（25-26高一下·上海·期中）不等式的解集是___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】分式不等式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由不等式分式求解即可. 【详解】因为，所以，即，解得，所以不等式的解集是. 14．（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）若不等式 对一切实数恒成立，则的取值范围__________． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】分二次项系数和两种情况讨论，当时结合一元二次不等式恒成立的条件求解参数范围. 【详解】若不等式对一切实数恒成立的问题，需分和两种情况讨论： 当时： 此时不等式变为：， 该式对所有实数恒成立，故符合条件； 当时： 此时不等式为二次不等式，需满足：， ， 令，即：， 结合，解得：， 综上，的取值范围是. 15．（24-25高一上·全国·课后作业）“，”为真命题，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的恒成立问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】由题可得在上恒成立，再利用基本不等式即得. 【详解】由，，可得， 令，则由题意知只需. 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，所以. 故答案为：. 16．（25-26高一上·北京·阶段检测）若命题，为假命题，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】由命题的否定为真命题，得到，，进而可求解. 【详解】由题意可知：，为真命题， 即，， 又当时，，当时取等号， 所以， 即实数的取值范围是， 故答案为： 四、解答题 17．（25-26高二下·上海·期末）已知是实数，不等式． (1)若，求上述关于的不等式的解集． (2)若上述不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.78 【知识点】基本不等式求和的最小值、解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）将看作整体，然后由二次不等式解法可得答案； （2）由题可得，然后由基本不等式求得最小值可得答案. 【详解】（1）原不等式等价于 或， 又， 或， 则不等式解集为： ； （2）由题设可得恒成立，即， 注意到 ，当且仅当时取等号，从而. 1 学科网（北京）股份有限公司 $