2.1 等式的性质与不等式的性质【重点•题型】精讲-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦等式与不等式的性质这一核心知识点，系统梳理不等式基本性质、常用结论（如倒数关系、同向正数乘积规律等）及作差比较法四步骤，构建从性质理解到方法应用的学习支架，为比较大小、求范围等题型提供基础。 资料以生活情境题（如买大米平均单价、糖水浓度）引导学生用数学眼光观察现实，通过作差比较法和性质判断培养数学思维中的推理能力，多样化题型助力学生用数学语言表达数量关系，课中辅助分层教学，课后帮助学生查漏补缺。

专题2.1 等式的性质与不等式的性质 【知识点一、不等式的基本性质】 【知识点二、常用结论】 1.a>b，ab>0⇒<； 2.b<0<a⇒>； 3.a>b>0，c>d>0⇒>； 4.若a>b>0，m>0，则>；<(b－m>0)；<；>(b－m>0)． 【知识点三、作差比较法的四个步骤】 重难点题型1 利用不等式性质判断不等关系的真假 1．（25-26高二下·上海奉贤·期末）以下不等式正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】举反例排除选项A，B，D，结合不等式性质判断C. 【详解】对于选项A，取，，，， 满足，，但，A错误； 对于选项B，取，，，， 满足，但，B错误； 对于选项C，因为，所以，C正确； 对于选项D，取，， 满足，但，D错误； 2．（25-26高一上·湖北孝感·期末）下列命题是假命题的为（    ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】判断命题的真假、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的性质逐项验证即可求解. 【详解】对于A：由，所以，故A正确； 对于B：由，得，所以，又，所以，故B正确； 对于C：当时，，故C错误； 对于D：由，所以，所以，故D正确. 3．（25-26高一下·浙江·期中）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.92 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【详解】当时，，故A不成立； 当时，满足，此时， 故B不成立； 当时，满足， ，故，故C不成立； ，， ， ，故成立． 4．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）（多选题）下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【难度】0.88 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【详解】若 ，则，即，A选项正确； 当，，满足 ，但，B选项错误； 当，，满足 ，但，C选项错误； 若 ，有，则，即，D选项正确. 5．（24-25高一上·江苏镇江·期末）（多选题）下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【难度】0.72 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【详解】对于A：当时， ，故A错误； 对于B：因为，则，故得，故B正确； 对于 C：若取，，满足， 因，，，显然不满足，故 C错误； 对于D：由，得且， 因，可得，故D正确. 重难点题型2 利用不等式性质比较大小 1．（25-26高一上·重庆璧山·期中）在生活中大家都有到超市购物的情况，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈每次买大米的习惯有所不同.爸爸每次都买50块钱的，而妈妈则每次都买10斤.这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈各买了两次大米，两次大米的价格是不一样的，我们规定谁的平均单价低谁就合算，则（    ）更合算. A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】作差法比较代数式的大小、计算几个数的平均数 【分析】由题意，先计算爸爸和妈妈两次买米的平均单价，再用作差法比较大小，即得解. 【详解】设第一次买的大米是元/斤，第二次买的大米是元/斤，依题意，， 则爸爸两次买的大米共斤，妈妈两次买的大米共用了元， 设爸爸两次买米的平均单价为元/斤，妈妈两次买米的平均单价为元/斤. 则，， 由，即， 所以爸爸买米的方式更合算. 故选：A. 2．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）设，，则（    ） A． B． C． D．与的大小与有关 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】应用作差法比较大小即可. 【详解】由，所以. 故选：C 3．（2026·安徽合肥·三模）设，，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由不等式的性质证明不等式 【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合不等式的性质判断. 【详解】充分性：若，由不等式的性质可知成立， 必要性：若成立，但不一定成立， 例如：，成立，但不满足， 所以是的充分不必要条件. 4．（25-26高三上·山东菏泽·期中）两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定_______（填第一种或者第二种）方式比较经济. 【答案】第二种 【难度】0.65 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】设第一次和第二次购物时价格分别为，，若每次购，根据条件，可求出按第一种策略购买的平均价格，若按第二种策略，设每次花元钱，则可求得按第二种策略购买的平均价格，利用作差法，即可比较二者的大小，进而可求得答案. 【详解】按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为，购， 第二次购物时的价格为元，仍购， 两次购物的平均价格为； 若按第二种策略购物，第一次花元钱，能购物品， 第二次仍花元钱，能购物品， 两次购物的平均价格为， 比较两次购的平均价格：， 第一种策略的平均价格不小于第二种策略的平均价格， 因而用第二种策略比较经济. 故答案为：第二种. 5．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知，则与的大小关系为______． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法比较大小. 【详解】由，得， 所以. 故答案为： 6．（25-26高三·全国·一轮复习）若，则与的大小关系是_______．（用“>”连接） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】作差法比较代数式的大小、作商法比较代数式的大小 【分析】法一：通过作商法可判断，法二：通过作差法可判断； 【详解】方法一（作商法）：因为， 所以， 所以． 方法二（作差法）：，即． 故答案为： 7．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）（1）比较大小：与； （2）设，比较与的大小. 【答案】（1）. （2）. 【难度】0.65 【知识点】作差法比较代数式的大小、作商法比较代数式的大小 【分析】（1）利用作差法比较大小. （2）利用作商法比较大小. 【详解】（1） ， 因为，所以， 即. （2）由，得，，， 因此， 所以. 8．已知，试比较与的大小. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】作商法比较代数式的大小 【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【详解】， ，. 两数作商 ， . 重难点题型3 利用不等式性质求变量范围 1．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）设，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、由已知条件判断所给不等式是否正确、既不充分也不必要条件 【分析】根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】由且可得； 若，可取，则且不成立. 所以且是的充分不必要条件. 故选：A 2．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知，则的取值范围为______ 【答案】 【难度】0.7 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】利用不等式待定系数配凑求解 【详解】设 展开得 对比系数列方程得，解得 所以 因为， 所以，即 ，两不等式相加得，即 3．（25-26高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围为___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】利用不等式的性质求解即可. 【详解】由于， 则，所以, 即, 则的取值范围为; 故答案为： 4．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】利用不等式的性质即可求解. 【详解】，，， 的取值范围是. 故答案为： 5．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 【答案】(1) (2) 【难度】0.88 【知识点】作差法比较代数式的大小、利用不等式求值或取值范围 【详解】（1），， ， ； （2）， ． 6．（25-26高二下·山西晋中·阶段检测）（1）已知，求的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【难度】0.72 【知识点】利用不等式求值或取值范围、根据线性规划求最值或范围 【分析】（1）根据对进行变形，再根据不等式的性质计算求解； （2）用待定系数法将变形，根据已知范围确定的范围． 【详解】（1）， ∴，，， ， 且， ， 的取值范围为． 设， 解得，即， ， ， 又， ， 即的取值范围为． 重难点题型4 不等式的综合性质 1．（2026·四川·二模）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金是（   ） A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】作差法比较代数式的大小 【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则， 再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，，所以，. 所以，令，且. 则， 当或时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 综上所述：顾客购得的黄金是无法确定的. 2．“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势.民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好.现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为___________平方米. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】根据已知条件列不等式，从而求得正确答案. 【详解】设改造前的窗户面积为，窗户增加的面积为，， 依题意，即， 所以改造前的窗户面积最大为平方米. 故答案为：. 3．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）（1）已知集合，，是否存在实数，使得，若存在，试求出实数的值；若不存在说明理由. （2）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立. 【答案】（1） （2）见详解. 【难度】0.65 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据集合的包含关系求参数、作差法比较代数式的大小 【分析】（1）根据题目条件，即是的子集，中的元素必须是中的元素. （2）糖水变甜意味糖水浓度变大，分别表示添加糖前后的糖水浓度，，根据浓度变化列出不等式，再通过作差法证明该不等式成立. 【详解】（1）因为，所以，即是的子集， ，或， 当时，解得，此时中元素为，不满足集合的互异性，舍去， 当时，解得或， 当时，，满足， 当时，此时中元素为，不满足集合的互异性，舍去， 因此，实数的值为2. （2）因为克糖水中含有克糖，所以糖水的浓度为， 再添加克糖，此时糖水的质量为克，糖的质量为克，所以糖水的浓度为， 糖水变甜了，糖水的浓度变大了，故.， 由于， 所以，即， 因此，不等式成立. 4．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. (1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； (2)已知，，是三角形的三边，求证：. 【答案】(1)，证明见解析； (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】作差法比较代数式的大小、由不等式的性质证明不等式 【分析】（1）写出“糖水不等式”，再利用作差证明即得； （2）利用“糖水不等式”，结合不等式的性质推理得证. 【详解】（1）“糖水不等式”为：实数，则， 由，得， 所以. （2）由（1）及，，是三角形的三边，得，则， 同理， 所以. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（25-26高二下·广西柳州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的性质逐一验证即可求解. 【详解】对于A，由，所以，故A错误； 对于B，由，所以，，所以，故B错误； 对于C，若，由，所以，故C错误； 对于D，若，则，故D正确. 2．（2026·重庆·二模）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.9 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】对于ABD，举反例即可，对于C，利用不等式的基本性质即可证明. 【详解】对于A：当时，不等式不成立，故A错误； 对于B：取，则，故B错误； 对于C：因为，所以，即，故C正确； 对于D：取，则，故D错误. 3．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测），，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法判断即可. 【详解】因为，， 所以 ， 所以. 故选：B. 4．（25-26高一下·河南商丘·阶段检测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.72 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【详解】根据题意可知， 由可得，又， 所以，即的取值范围是. 5．（25-26高一下·广东·阶段检测）火车站有某公司待运的甲种货物306吨，乙种货物230吨．现计划用、两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知7吨甲种货物和3吨乙种货物可装满一节型货箱，5吨甲种货物和7吨乙种货物可装满一节型货箱，据此安排、两种货箱的节数，下列方案满足要求的是（   ） A．货箱27节，货箱23节 B．货箱26节，货箱24节 C．货箱31节，货箱19节 D．货箱30节，货箱20节 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】设安排种型号的货箱节，种型号的货箱节，根据题意列出、满足的约束条件，求出的取值范围，进而得出答案. 【详解】设安排种型号的货箱节，种型号的货箱节， 则，，， 则， 解得，， 解得， 所以，则或或，共3种方案， 满足题意的只有D选项． 二、多选题 6．（23-24高一上·云南文山·阶段检测）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．设，，若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AC 【难度】0.75 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】使用不等式的性质进行分析. 【详解】对于选项，，因为，所以， 当或时，，则，即， 当时，，，则，选项正确 对于B选项，当为正数，为负数时不成立，选项错误； 对于选项，若，，则，所以，选项正确； 对于D选项，若，，当时，，选项错误. 三、填空题 7．（24-25高一上·上海·期中）若，设 ，则的大小关系为____. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】作差计算，根据差值即可比较大小. 【详解】因为恒成立， 所以. 故答案为：. 8．（25-26高二下·上海·期末）已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】利用不等式的性质来确定的取值范围. 【详解】，，又因为， ，即． 四、解答题 9．（2026高三·全国·专题练习）已知，求的取值范围． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】令，，用含和的表达式表示出和，并将其代入中，即可得解． 【详解】令，，则. 解方程组可得 所以. 因为，所以，所以. 所以的取值范围为． 故答案为： 10．已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】（1）通过待定系数法将表示为与的线性组合，分别求出各部分范围后相加； （2）由已知求出的取值范围，再与的范围相乘得到结果； （3）将表示为与的线性组合，求出范围后再相加. 【详解】（1）设，则， 所以，解得， 所以． 因为，所以．① 因为，所以．② ①＋②得，，所以． （2）∵，，∴，∴， 所以． （3）设，则， 所以，解得 所以． 因为，所以．③ 因为，所以． ④ ③＋④得，，所以． 11．（2026高一·全国·专题练习）火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货箱共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货箱，甲种货物和乙种货物可装满一节型货箱. (1)据此安排，两种货箱的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货箱的运费是万元，每节型货箱的运费是万元，哪种方案的运费最少？ 【答案】(1)三种 (2)安排型货箱30节，型货箱20节时运费最少 【难度】0.65 【知识点】用不等式表示不等关系、利用不等式求值或取值范围 【分析】（1）根据不等关系列出相应不等式以及方程，解出型货箱的节数，可分为三种方案； （2）根据相应货箱的运费，得出方案三运费最少. 【详解】（1）设安排两种货箱分别为节，节， 则可列不等式组， 利用不等式即可解得， ，或，或. 共有三种方案： 方案一，安排型货箱28节，型货箱22节； 方案二，安排型货箱29节，型货箱21节； 方案三，安排型货箱30节，型货箱20节. （2）共有三种方案，运费分别为： 安排两种货箱分别为28节，22节，运费为万元 安排两种货箱分别为29节，21节，运费为万元. 安排两种货厢分别为30节，20节，运费为万元. 易知安排型货箱30节，型货箱20节时，运费最少，为31万元. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 等式的性质与不等式的性质 【知识点一、不等式的基本性质】 【知识点二、常用结论】 1.a>b，ab>0⇒<； 2.b<0<a⇒>； 3.a>b>0，c>d>0⇒>； 4.若a>b>0，m>0，则>；<(b－m>0)；<；>(b－m>0)． 【知识点三、作差比较法的四个步骤】 重难点题型1 利用不等式性质判断不等关系的真假 1．（25-26高二下·上海奉贤·期末）以下不等式正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．（25-26高一上·湖北孝感·期末）下列命题是假命题的为（    ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26高一下·浙江·期中）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）（多选题）下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（24-25高一上·江苏镇江·期末）（多选题）下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 重难点题型2 利用不等式性质比较大小 1．（25-26高一上·重庆璧山·期中）在生活中大家都有到超市购物的情况，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈每次买大米的习惯有所不同.爸爸每次都买50块钱的，而妈妈则每次都买10斤.这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈各买了两次大米，两次大米的价格是不一样的，我们规定谁的平均单价低谁就合算，则（    ）更合算. A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 2．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）设，，则（    ） A． B． C． D．与的大小与有关 3．（2026·安徽合肥·三模）设，，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 4．（25-26高三上·山东菏泽·期中）两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定_______（填第一种或者第二种）方式比较经济. 5．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知，则与的大小关系为______． 6．（25-26高三·全国·一轮复习）若，则与的大小关系是_______．（用“>”连接） 7．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）（1）比较大小：与； （2）设，比较与的大小. 8．已知，试比较与的大小. 重难点题型3 利用不等式性质求变量范围 1．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）设，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知，则的取值范围为______ 3．（25-26高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围为___________． 4．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知，，则的取值范围是________． 5．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 6．（25-26高二下·山西晋中·阶段检测）（1）已知，求的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 重难点题型4 不等式的综合性质 1．（2026·四川·二模）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金是（   ） A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定 2．“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势.民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好.现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为___________平方米. 3．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）（1）已知集合，，是否存在实数，使得，若存在，试求出实数的值；若不存在说明理由. （2）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立. 4．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. (1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； (2)已知，，是三角形的三边，求证：. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（25-26高二下·广西柳州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2026·重庆·二模）已知，则（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测），，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 4．（25-26高一下·河南商丘·阶段检测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·广东·阶段检测）火车站有某公司待运的甲种货物306吨，乙种货物230吨．现计划用、两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知7吨甲种货物和3吨乙种货物可装满一节型货箱，5吨甲种货物和7吨乙种货物可装满一节型货箱，据此安排、两种货箱的节数，下列方案满足要求的是（   ） A．货箱27节，货箱23节 B．货箱26节，货箱24节 C．货箱31节，货箱19节 D．货箱30节，货箱20节 二、多选题 6．（23-24高一上·云南文山·阶段检测）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．设，，若，则 C．若，，则 D．若，，则 三、填空题 7．（24-25高一上·上海·期中）若，设 ，则的大小关系为____. 8．（25-26高二下·上海·期末）已知，，则的取值范围是________． 四、解答题 9．（2026高三·全国·专题练习）已知，求的取值范围． 10．已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 11．（2026高一·全国·专题练习）火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货箱共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货箱，甲种货物和乙种货物可装满一节型货箱. (1)据此安排，两种货箱的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货箱的运费是万元，每节型货箱的运费是万元，哪种方案的运费最少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $