精品解析：福建厦门外国语学校等校2025～2026学年第二学期八年级期末考试数学

2025~2026学年第二学期八年级期末考试 数学 （试卷满分：150分考试时间：120分钟） 注意事项： 1．全卷三大题，25小题，试卷共6页，另有答题卡． 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题意．） 1. 若在实数范围内有意义，则实数的值可以是（ ） A. 3 B. 5 C. 0 D. 2. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 在我市举行的诗词朗诵比赛中五位评委给某位选手的评分分别为90，92，86，88，90．则这组数据的众数是（ ） A. 86 B. 88 C. 90 D. 92 4. 一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 对数据进行分组时，若遵循“组内离差平方和最小”原则，其目的是（ ） A. 使组内数据差异最小 B. 使组内数据差异最大 C. 使组内数据没有差异 D. 使组间数据差异最小 6. 如图，在三角形中，点，分别是的中点，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将沿虚线剪去一个角后，得到四边形，则裁剪前后（ ） A. 面积不变 B. 周长变小 C. 外角和变大 D. 外角和变小 8. 如图，在中，为的中点，恰好平分，若，则的周长为（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 9. 已知直线经过点，且，，则关于直线：和直线：的结论正确的是（ ） A. B. C. 与交于点 D. 与交于点 10. 如图，菱形的对角线相交于点，点为边上一动点（不与点重合），于点于点，若，，则的最小值为（ ） A. 7.2 B. 4.8 C. 3.6 D. 2.4 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 有一组数据3，5，6，7，5，6，5，4，则这组数据的中位数为___________． 12. 将直线向上平移2个单位后经过点，则的值为___________． 13. 设关于的方程的两个实数根分别为，若，那么实数的值是___________． 14. 在投掷实心球的比赛中，甲、乙两人各投掷了10次，球的落地位置如图所示．已知两人10次投掷所得的平均成绩相同，甲、乙两人这10次成绩的方差的大小关系为___________． 15. 如图，在矩形中，，将矩形翻折，使得点落在边上的点处，折痕交于点，则的长为___________． 16. 平行四边形的顶点坐标分别为．已知函数（k、b为实数），其中k、b满足，它的函数图象与平行四边形的边恰好有两个交点，则的取值范围是___________． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2） 18. 已知一次函数的图象经过点，A，，试比较，b大小关系，并说明理由． 19. 如图，在中，，是边上的中线，过点作，过点作，，相交于点． 求证：四边形是菱形． 20. 某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）分别求A，B两名选手平均成绩？ （2）如下表格：求表中的，． 选手 最小值、四分位数、最大值和方差 最小值 最大值 方差 A 6 9 10 1.75 B 8 8 9 10 10 0.75 （3）对上面数据进行分析时，可以从平均数、方差角度进行分析，也可以从四分位数、箱线图角度进行分析．请选择一个角度说明，从他们中选拔一人参加青少年射击比赛，你将选谁？ 21. 定义：如果关于的一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“关联方程”． （1）若关于的一元二次方程为“关联方程”，证明：为“关联方程”的根； （2）已知是关于的“关联方程”，若是该“关联方程”的一个根，求的值． 22. 现有两种算法，用来计算某项运动在特定条件下，经过不同的运动时间（分钟）时能量消耗值（千卡），某测试者进行测试，记录了部分数据如下： （分钟） 0 10 20 30 40 50 60 70 A算法（千卡） 0 50 98 150 203 250 300 350 B算法（千卡） 0 50 98 138 178 200 220 230 （1）两种算法中，能量消耗值都可以大致看作关于运动时间的函数，观察数据，推测种算法中与的函数关系式可大致表示为___________； （2）在同一平面直角坐标系中绘制出两种算法对应的函数图象； （3）某实验小组利用这两种算法，设计了一款测试运动能量消耗值的智能手环，其显示能量消耗值的规则为：①若两种算法计算的能量消耗值之差的绝对值小于25千卡，则手环显示种算法的能量消耗值；②若两种算法计算的能量消耗值之差的绝对值大于或等于25千卡，则动态算法开始计算的平均数，手环上显示的能量消耗值是所得的平均数（动态算法计算时间忽略不计）． 这次测试中，该测试者运动35分钟时，手环显示的能量消耗值是___________千卡． 23. 我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为，定义有序数对为该方程的特征数对（其中）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 举例说明：方程①：，特征数对； 方程②：，特征数对； 验证：因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”．解答下列问题： （1）已知关于的方程（为整数）是“全整根方程”．若其特征数对为，求的值； （2）某同学利用工具生成了“全整根方程”A：与“全整根方程”，且它们互为“关联全整根方程”，求一个满足条件的的值． 24. 在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点使得，且，则称点为的“等垂点”．例如：在三点中，因为，且，所以点为1的“等垂点”． （1）①点，，___________3的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点，则点是4的“等垂点”，则点的坐标为___________； （2）如图2，，在轴上，在一次函数上，若一次函数上存在6的“等垂点”，求6的“等垂点”的坐标； （3）若在直线上存在无数个10的“等垂点”，且直线与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，点在内，，连接，设，则的面积关于的表达式为___________． 25. 如图，在正方形中，点是对角线上的一个动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为点，连接，． （1）如图1，若点恰好落在对角线上，连接，求的度数； （2）如图2，连接、，若，试判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）如图3，连接、，记的面积为，的面积为，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期八年级期末考试 数学 （试卷满分：150分考试时间：120分钟） 注意事项： 1．全卷三大题，25小题，试卷共6页，另有答题卡． 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题意．） 1. 若在实数范围内有意义，则实数的值可以是（ ） A. 3 B. 5 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数非负，据此求出x的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得， ∴四个选项中，只有B选项中的数字符合题意． 2. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程需要满足三个条件：整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、方程是一元二次方程，故此选项符合题意； C、方程，即方程中未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 3. 在我市举行的诗词朗诵比赛中五位评委给某位选手的评分分别为90，92，86，88，90．则这组数据的众数是（ ） A. 86 B. 88 C. 90 D. 92 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数的定义，找出一组数据中出现次数最多的数即可得到结果． 【详解】∵这组数据为，，，，，其中出现次，其余数字各出现次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是． 4. 一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵一次函数中，， 此函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 5. 对数据进行分组时，若遵循“组内离差平方和最小”原则，其目的是（ ） A. 使组内数据差异最小 B. 使组内数据差异最大 C. 使组内数据没有差异 D. 使组间数据差异最小 【答案】A 【解析】 【分析】离差平方和反映组内数据的差异程度，离差平方和越小，组内数据差异越小，据此可得答案． 【详解】解：∵离差平方和是衡量组内数据离散程度（即数据差异大小）的统计量，离差平方和的数值越小，说明组内数据的差异越小， ∴遵循“组内离差平方和最小”原则的目的是使组内数据差异最小． 6. 如图，在三角形中，点，分别是的中点，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理即可得到答案． 【详解】解：∵在三角形中，点，分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． 7. 如图，将沿虚线剪去一个角后，得到四边形，则裁剪前后（ ） A. 面积不变 B. 周长变小 C. 外角和变大 D. 外角和变小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形面积，构成三角形的三边关系，多边形的外角．结合有关知识对选项逐一分析即可． 【详解】解：选项A，裁剪后的图形减少了一个小三角形的面积，故裁剪后的面积变小了，所以选项A不符合题意； 选项B，如图，裁剪后四边形的周长为，故裁剪后的周长变小了，所以选项B符合题意； 因为任意四边形的外角和均为，故裁剪前后图形的外角和不变，所以选项C，D不符合题意． 8. 如图，在中，为的中点，恰好平分，若，则的周长为（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质（对边平行）、平行线的性质（内错角相等）、角平分线的定义、等腰三角形的判定（等角对等边）和线段中点的性质，求出和的长，进而计算周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵E为的中点， ∴， ∴，， ∴的周长为． 9. 已知直线经过点，且，，则关于直线：和直线：的结论正确的是（ ） A. B. C. 与交于点 D. 与交于点 【答案】C 【解析】 【分析】先根据直线经过点得出a与b的关系，再结合一次函数的图象与性质判断两直线的位置关系，最后联立两直线方程求解交点即可得到结论． 【详解】∵ 直线经过点， ∴ 将代入解析式得，即． A：，，两直线平行要求，即，∵，∴A错误； 联立和的解析式： ， 得，整理得， ∵ ，即，两边同除以得， 将代入得， ∴ 与的交点为， ∴ C正确，D错误， 取，，画出两函数图象如图， 观察图象知：和不垂直，故选项B错误． 10. 如图，菱形的对角线相交于点，点为边上一动点（不与点重合），于点于点，若，，则的最小值为（ ） A. 7.2 B. 4.8 C. 3.6 D. 2.4 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质得到，，，利用勾股定理求出的长，证明四边形是矩形，得到，则当时，的值最小，即的值最小，利用等面积法求出此时的值即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， 在中，由勾股定理得， 如图所示，连接， ∵于点E，于点F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，即的值最小， 此时满足， ∴， ∴的最小值为． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 有一组数据3，5，6，7，5，6，5，4，则这组数据的中位数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据中位数的定义，先将数据按从小到大排序，再根据数据个数为偶数，取中间两个数的平均数求解即可． 【详解】解：将这组数据从小到大排列为：，，，，，，，， 这组数据共有个，个数为偶数，因此中位数为排列后中间两个数的平均数， 即中位数为． 12. 将直线向上平移2个单位后经过点，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平移规则得到平移后直线的解析式，再将已知点代入解析式即可求解的值． 【详解】解：由题意得，直线向上平移个单位后，新直线的解析式为， ∵新直线经过点， ∴将代入得， 解得． 13. 设关于的方程的两个实数根分别为，若，那么实数的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由根与系数的关系得到，则可得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程的两个实数根分别为， ∴， ∴， ∴， 此时，故符合题意． 14. 在投掷实心球的比赛中，甲、乙两人各投掷了10次，球的落地位置如图所示．已知两人10次投掷所得的平均成绩相同，甲、乙两人这10次成绩的方差的大小关系为___________． 【答案】 【解析】 【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．通过观察图形中点的分布离散程度即可判断． 【详解】解：由题意得，甲的10次投掷落点分布比较分散，偏离平均成绩的程度较大，即波动较大， 乙的10次投掷落点分布比较集中，偏离平均成绩的程度较小，即波动较小， 故． 15. 如图，在矩形中，，将矩形翻折，使得点落在边上的点处，折痕交于点，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质，矩形的性质，勾股定理进行求解即可. 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵折叠， ∴，， 在中，由勾股定理，得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， 故的长为. 16. 平行四边形的顶点坐标分别为．已知函数（k、b为实数），其中k、b满足，它的函数图象与平行四边形的边恰好有两个交点，则的取值范围是___________． 【答案】或且 【解析】 【分析】根据得到，代入函数解析式，可得函数恒过定点和，且点在平行四边形内部，分和两种情况讨论，结合图象确定恰好有两个交点时的临界值即可求解． 【详解】解：， ， 函数为， ， 当时，恒成立，即的分支恒过定点， ， 当时，恒成立，即的分支恒过定点， 平行四边形的顶点坐标分别为， 点在平行四边形内部，轴与平行四边形交于点和， 当时，代入的分支得， 即函数与轴交点为， 若，当的分支经过点时，如图： 代入得，解得，此时函数图象与平行四边形有个交点， 当时，函数图象与平行四边形的边恰好有两个交点，如图： 当的分支经过点时，代入得，解得，此时函数图象与平行四边形有个交点，如图： 当时，函数图象与平行四边形的边恰好有两个交点，如图： 时，符合条件的的范围是或， 若，此时， 当时，解得，此时函数图象与平行四边形的边恰好有两个交点，如图： 当时，解得，此时函数图象与平行四边形的边恰好有两个交点，如图： 时，所有都满足条件， 综上，的取值范围是或且． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得，.  【小问2详解】 解：， ， 或， 解得，. 18. 已知一次函数的图象经过点，A，，试比较，b大小关系，并说明理由． 【答案】解：，理由如下： ∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴y随x的增大而增大， 又∵一次函数的图象经过点A，，且， ∴． 【解析】 【分析】利用待定系数法求出k的值，则可判断函数的增减性，根据增减性即可得到答案． 【详解】略 19. 如图，在中，，是边上的中线，过点作，过点作，，相交于点． 求证：四边形是菱形． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】先证明四边形BDCE是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线性质证CD==BD． 【详解】证明：∵BE∥CD，CE∥AB， ∴四边形BDCE是平行四边形． ∵∠ACB=90°，CD是AB边上的中线， ∴CD==BD， ∴平行四边形BDCE是菱形． 【点睛】此题考查了菱形的判定．根据菱形定义，先证明平行四边形，再证一组邻边相等是关键． 20. 某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）分别求A，B两名选手平均成绩？ （2）如下表格：求表中的，． 选手 最小值、四分位数、最大值和方差 最小值 最大值 方差 A 6 9 10 1.75 B 8 8 9 10 10 0.75 （3）对上面数据进行分析时，可以从平均数、方差角度进行分析，也可以从四分位数、箱线图角度进行分析．请选择一个角度说明，从他们中选拔一人参加青少年射击比赛，你将选谁？ 【答案】（1）； （2）， （3）解：选择B选手参加青少年射击比赛，理由如下： B选手平均成绩更高，方差更小， 则成绩更稳定，能力更强， 因此，选择B选手参加青少年射击比赛． 【解析】 【分析】（1）根据平均数的定义进行计算即可； （2）先把A选手的成绩从小到大排列，再根据四分位数的定义求解即可； （3）根据平均数和方差进行决策即可． 【小问1详解】 解：选手A的平均成绩为： ， 选手B的平均成绩为： ； 【小问2详解】 解：选手A的成绩从小到大排列为：6，7，8，9，9，9，10，10， 方法一：下四分位数为，则，即； 上四分位数为，则，即； 方法二：∵， ∴第，第个数的平均数为下四分位数，下四分位数， ∵， ∴第，第个数的平均数为上四分位数，上四分位数， 【小问3详解】 略 21. 定义：如果关于的一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“关联方程”． （1）若关于的一元二次方程为“关联方程”，证明：为“关联方程”的根； （2）已知是关于的“关联方程”，若是该“关联方程”的一个根，求的值． 【答案】（1）证明：∵ 一元二次方程为“关联方程” ， ∴，即，  把代入方程左边，得左边，  ∴ 左边右边， ∴为“关联方程”的根； （2）或 【解析】 【分析】由定义得，再把代入方程左边可得左边右边，即可求证； 由定义得，由是该“关联方程”的一个根得，进而得到，再解方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是关于的“关联方程”， ∴， ∴， ∵是该方程的一个根， ∴， 整理得， 把代入，得，  因式分解，得，  解得或． 22. 现有两种算法，用来计算某项运动在特定条件下，经过不同的运动时间（分钟）时能量消耗值（千卡），某测试者进行测试，记录了部分数据如下： （分钟） 0 10 20 30 40 50 60 70 A算法（千卡） 0 50 98 150 203 250 300 350 B算法（千卡） 0 50 98 138 178 200 220 230 （1）两种算法中，能量消耗值都可以大致看作关于运动时间的函数，观察数据，推测种算法中与的函数关系式可大致表示为___________； （2）在同一平面直角坐标系中绘制出两种算法对应的函数图象； （3）某实验小组利用这两种算法，设计了一款测试运动能量消耗值的智能手环，其显示能量消耗值的规则为：①若两种算法计算的能量消耗值之差的绝对值小于25千卡，则手环显示种算法的能量消耗值；②若两种算法计算的能量消耗值之差的绝对值大于或等于25千卡，则动态算法开始计算的平均数，手环上显示的能量消耗值是所得的平均数（动态算法计算时间忽略不计）． 这次测试中，该测试者运动35分钟时，手环显示的能量消耗值是___________千卡． 【答案】（1）； （2）根据表中数据描点，连线，所画图形如下： （3）158 【解析】 【分析】（1）根据大部分满足，少数数据略有偏差，所以定正比例函数为； （2）把表格里每一组全部在坐标系里描成点，算法所有点用平滑线依次连接，算法连线同理，区分开两条曲线； （3）先用相邻两点线性估算时的值，算出两者差的绝对值，和25比较大小，如果小于25，直接取算法数值；如果大于等于25，取两者平均数． 【小问1详解】 解：观察表格数据，时间每增加分钟，能量消耗值大概增加千卡， 与的函数关系式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 先求时的值 时，；时，， 间隔10分钟，差值，每分钟增加， 时，； 时，；时，； 间隔10分钟，差值，每分钟增加4； 时，， 计算差值绝对值：， 根据规则，手环显示算法数值，即千卡． 23. 我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为，定义有序数对为该方程的特征数对（其中）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 举例说明：方程①：，特征数对； 方程②：，特征数对； 验证：因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”．解答下列问题： （1）已知关于的方程（为整数）是“全整根方程”．若其特征数对为，求的值； （2）某同学利用工具生成了“全整根方程”A：与“全整根方程”，且它们互为“关联全整根方程”，求一个满足条件的的值． 【答案】（1） （2） 满足条件的一个的值为（答案不唯一，也符合要求） 【解析】 【分析】 （1）先对原方程因式分解得到两根，再根据特征数对的定义列出关于的方程组，求解得到符合条件的； （2）先求出方程的特征数对，再根据“关联全整根方程”的定义得到与的关系，结合方程是全整根方程的条件，找出满足所有要求的即可. 【小问1详解】 解：， ， 解得方程的两个根为和， 特征数对为， ， 由得， 当时，，符合条件， 当时，，舍去， 故； 【小问2详解】 解：对方程：， ， 解得方程的两根为和， ∴方程的特征数对：，， 对于方程：， 由根与系数的关系得，， ，， ∴， ∵两个方程互为“关联全整根方程”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设方程两根为（为正整数），则，， 代入得， ∴， 将分解为两个大于1的正整数乘积，得： ， ∴或； ∴一个满足条件的为或12. 24. 在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点使得，且，则称点为的“等垂点”．例如：在三点中，因为，且，所以点为1的“等垂点”． （1）①点，，___________3的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点，则点是4的“等垂点”，则点的坐标为___________； （2）如图2，，在轴上，在一次函数上，若一次函数上存在6的“等垂点”，求6的“等垂点”的坐标； （3）若在直线上存在无数个10的“等垂点”，且直线与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，点在内，，连接，设，则的面积关于的表达式为___________． 【答案】（1）①不是；②或 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）①根据等垂点的定义，进行判断即可；②分两种情况：点在点上方和下方，分别画出图形求解即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，进行求解即可； （3）特殊点法求一次函数解析式，根据等积法求的高，根据，求出，根据三角形面积公式写出表达式即可． 【小问1详解】 解：①∵点，，， ∴，，， ∴，， 则不是3的“等垂点”． ②当点C在点B上方时，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点E，   ∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 当点C在点B下方时，过点B作轴的平行线，过点C作于点F，轴于点H，过点A作于点E，如图所示：    ∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴，，，， 同理得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：设，， 当时，如图，过作轴于点，   ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵点在上， ∴， 解得， ∴． 当时，如图，∵与轴的交点坐标为，记为点， 此时，， ∴满足题意． 综上所述：或． 【小问3详解】 解：∵直线上存在无数个10的“等垂点”，如图， 过作轴于，设，，而， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴，即， ∴在直线上， ∴，， ∴， 如图，过点分别作轴于点Q，轴于点H，交于点N，    ∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴． 25. 如图，在正方形中，点是对角线上的一个动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为点，连接，． （1）如图1，若点恰好落在对角线上，连接，求的度数； （2）如图2，连接、，若，试判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）如图3，连接、，记的面积为，的面积为，若，求的值． 【答案】（1） （2）解：，，理由如下： 如图，延长交于点， 点关于直线的对称点为点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）利用正方形性质得，，由轴对称得，利用等腰三角形内角和算出，作差可求得； （2），，理由如下：延长交于点，由轴对称得，，进而由两直线平行，内错角相等得，由角的构成、直角三角形两锐角互余以及同角的余角相等得，从而利用“”证，，从而可推出结论； （3）作，交的延长线于点，作，交的延长线于点，连接交于点，设正方形的边长为，利用正方形对角线性质、勾股定理求；由轴对称得，推出，由平角定义推出，则是等腰直角三角形，从而可求出，，，最后再利用三角形面积公式分别表示出与再求解即可． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，，，， 点关于直线的对称点为点， ， ， ， ； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图，作，交的延长线于点，作，交的延长线于点，连接交于点， 设正方形的边长为， 四边形是正方形， ，，， ， ， 点关于直线的对称点为点， ，，，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $