2027届高考数学一轮复习----平面向量的数量积

**基本信息** 平面向量的数量积专项训练以基础计算为起点，通过坐标法、几何转化等技巧构建数量积运算体系，衔接定义与几何应用，发展运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础过关|单选8题、多选3题、填空3题|向量垂直条件、坐标运算、投影向量公式、几何图形转化|从数量积定义到坐标表示，结合模长、夹角、投影的推导，应用于几何与实际情境，体现数学语言的精确表达| |素养提升|2题|参数方程、中点转化法|综合几何图形（三角形、矩形）中的动态问题，深化数量积的工具性，培养数学思维的严谨性|

微练(四十二)　平面向量的数量积 　　　　　　　　　　　　　 基础过关 一、单项选择题 1.已知平面向量a=(1,2),b=(m,-1)若(a-b)⊥(a+b),则m=(　　) A.1 B.-2 C.2 D.±2 2.已知向量a=(2,1),b=(1,m),若a·(2a+b)=15,则|a-b|=(　　) A. B. C.2 D. 3.平面向量a,b满足|a|=2,|b|=3,|a+b|=4,则b在a方向上的投影向量为(　　) A.a B.a C.a D.a 4.(2026·武汉模拟)在圆的内接四边形ABCD中,AD=2,CD=4,BD是圆的直径,则=(　　) A.12 B.-12 C.20 D.-20 5.已知平面向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=|b|=1,|c|=,则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 6.(2026·深圳模拟)已知a,b是夹角为120°的两个单位向量,若向量a+λb在向量a上的投影向量为2a,则λ=(　　) A.-2 B.2 C.- D. 7.长江流域内某地南北两岸平行,已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|=10 km/h,水流的速度v2的大小|v2|=6 km/h,如图,设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π),若游船从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处,则cos θ=(　　) A.- B.- C.- D. 8.已知在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=2,BC=CD=1,P是腰AD上的动点,则|2-|的取值范围为(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题 9.(2026·长沙模拟)已知向量a,b满足|a+2b|=|a|,a·b+a2=0,且|a|=2,则(　　) A.|b|=2 B.a+b=0 C.|a-2b|=6 D.a·b=4 10.已知向量a=(2,1),b=(1,-1),c=(m-2,-n),其中m,n均为正数,且(a-b)∥c,则下列说法正确的是(　　) A.a与b的夹角为钝角 B.向量a在b上的投影向量为b C.2m+n=4 D.mn的最大值为2 11.设Ox,Oy是平面内相交成60°角的两条数轴,e1,e2分别是与x轴,y轴正方向同向的单位向量.若=xe1+ye2,则把有序实数对(x,y)叫做向量在斜坐标系Oxy中的坐标,记作=(x,y).则下列说法正确的是(　　) A.若=(2,1),则||= B.若=(2,1),=,则A,B,C三点共线 C.若=(3,2),=(2,-3),则⊥ D.若=(2,0),=(0,3),=(4,1),则四边形OACB的面积为 三、填空题 12.已知向量a=(-1,1),b为非零向量,写出一个满足b⊥(b-2a)的向量b的坐标为　　　　.  13.已知平面向量a,b是非零向量,(2a-b)⊥(2a+b),向量b在向量a上的投影向量为-a,则=　　　　,向量a,b的夹角是　　　　.  14.(2026·重庆调研)已知在矩形ABCD中,AB=4,BC=2,点E为边AB的中点,点F为线段BC上的动点,则的取值范围是　　　　.  素养提升 15.在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则的取值范围是(　　) A.[-5,3] B.[-3,5] C.[-6,4] D.[-4,6] 16.已知坐标平面内=(1,5),=(7,1),=(1,2),O为坐标原点,P是线段OM上的一个动点(P可以和O,M重合).当取最大值时,则cos∠APB的值为　　　　　.  微练(四十二)　平面向量的数量积 1.D　解析　因为a=(1,2),b=(m,-1),所以a-b=(1-m,3),a+b=(m+1,1),又因为(a-b)⊥(a+b),所以(1-m)(m+1)+3=0,所以1-m2+3=0,解得m=±2. 2.B　解析　由题设2a+b=(5,2+m),又a·(2a+b)=12+m=15,解得m=3,则a-b=(2,1)-(1,3)=(1,-2),故|a-b|=.故选B. 3.C　解析　由|a+b|====4可得a·b=,而b在a方向上的投影向量为a=a=a=a.故选C. 4.B　解析　由题知∠BAD=∠BCD=90°,AD=2,CD=4,所以=(+)·=+=||·||cos∠BDA-||||cos∠BDC=||2-||2=4-16=-12.故选B. 5.B　解析　平面向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=|b|=1,|c|=,故a+b=-c,所以(a+b)2=c2,所以a2+2a·b+b2=3,所以a·b=,则cos<a,b>==,又<a,b>∈[0,π],故<a,b>=,故选B. 6.A　解析　a+λb在向量a上的投影向量为a=2a,即=2,即(a+λb)·a=|a|2+λ|a|·|b|cos 120°=1-λ=2,解得λ=-2.故选A. 7.B　解析　由题意知(v1+v2)·v2=0,则v1·v2+=|v1||v2|·cos θ+=60cos θ+36=0,所以cos θ=-. 8.C　解析　建立如图所示的直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),D,C,则=m=,0≤m≤1,所以P,故2-=2-=,故|2-|==,由于0≤m≤1,故+≤7,故|2-|∈,故选C. 9.ABC　解析　因为|a+2b|=|a|,所以|a+2b|2=|a|2,即a2+4a·b+4b2=a2,整理可得a·b+b2=0,再由a·b+a2=0,且|a|=2,可得a2=b2=4,所以|b|=2,a·b=-4,A正确,D错误;cos<a,b>==-1,即向量a,b的夹角<a,b>=π,故向量a,b共线且方向相反,所以a+b=0,B正确;|a-2b|====6,C正确. 10.CD　解析　对于A,向量a=(2,1),b=(1,-1),则a·b=2-1=1>0,又a,b不共线,所以a,b的夹角为锐角,故A错误;对于B,向量a在b上的投影向量为=b,故B错误;对于C,a-b=(1,2),若(a-b)∥c,则-n=2(m-2),变形可得2m+n=4,故C正确;对于D,由2m+n=4,且m,n均为正数,得mn=(2m·n)≤=2,当且仅当m=1,n=2时,等号成立,即mn的最大值为2,故D正确. 11.ABD　解析　对于A,由题意得=2e1+e2,故=(2e1+e2)2=4+4e1·e2+=4|e1|2+4|e1|·|e2|cos 60°+|e2|2=4+4×1×1×+1=7,故||=,A正确;对于B,由题意得=2e1+e2,=-e1-e2,所以=-2,所以A,B,C三点共线,B正确;对于C,由题意得=3e1+2e2,=2e1-3e2,所以=6-5e1·e2-6=6-5×1×1×-6=-≠0,故不垂直,C错误;对于D,因为=(2,0),=(0,3),=(4,1),所以=(2,1),=(4,-2),=(-2,3),||==2,||==3,所以||=|2e1+e2|=,||====,||====2,在△ABC中,由余弦定理的推论知cos∠BAC===,所以sin∠BAC==,所以四边形OACB的面积为S△OAB+S△ABC=×2×3×+×××=,D正确. 12.(-2,0)(答案不唯一)　解析　设b=(x,y),则b-2a=(x+2,y-2),又b·(b-2a)=0,所以x(x+2)+y(y-2)=0,即(x+1)2+(y-1)2=2,又b为非零向量,所以满足条件的一个向量b=(-2,0). 13.-1　　解析　因为(2a-b)⊥(2a+b),所以(2a-b)·(2a+b)=4a2-b2=0,即|b|=2|a|,又向量b在向量a上的投影向量为==2cos<a,b>·a=-a,所以cos<a,b>=-,又<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=,所以==2×=-1. 14.[8,20]　解析　解法一:=+=+.设=λ(0≤λ≤1),则=λ,则=+=+λ.所以=·(+λ)=λ+=12λ+8.因为0≤λ≤1,所以12λ+8∈[8,20],即∈[8,20]. 解法二:如图所示,以D为坐标原点,DA,DC所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则D(0,0),E(2,2),=(2,2),设F(a,4),则0≤a≤2,=(a,4),则=2a+8.因为0≤a≤2,所以2a+8∈[8,20],即∈[8,20]. 15.D　解析　解法一:以C为坐标原点,建立如图坐标系,因为PC=1,所以P在以C为圆心,1为半径的圆上,所以设P(cos θ,sin θ),又A(3,0),B(0,4),所以=(3-cos θ)×(-cos θ)+(-sin θ)×(4-sin θ)=cos2θ-3cos θ-4sin θ+sin2θ=1-3cos θ-4sin θ=1-5sin(θ+φ),所以的取值范围是[-4,6]. 解法二:取AB的中点D,连接PD,则=-=-=-,又PD∈,所以的取值范围是[-4,6]. 16.　解析　因为点P在线段OM上,所以设=λ=(λ,2λ),λ∈[0,1],则=-=(1-λ,5-2λ),=-=(7-λ,1-2λ),=(1-λ)(7-λ)+(5-2λ)(1-2λ)=5λ2-20λ+12=5(λ-2)2-8,所以当λ=0时,取得最大值为12,此时=(1,5),||=,=(7,1),||=5,所以cos∠APB=cos<,>===. 学科网（北京）股份有限公司 $