2027届高考数学一轮复习----平面向量的概念及线性运算

**基本信息** 平面向量同步练通过“基础过关+素养提升”分层设计，以14:3题量配比实现从概念运算到综合应用的梯度巩固，适配一轮复习基础夯实与能力进阶需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关|向量概念、线性运算、共线条件、几何应用|单选聚焦运算（如向量化简），多选辨析概念（如共线判定），填空强化共线参数求解，培养运算能力与推理意识| |素养提升|复杂几何情境（平行四边形、等腰直角三角形）、动态参数问题|结合高考模拟题，通过向量模的最值、面积计算等综合题，发展几何直观与模型观念|

微练(四十)　平面向量的概念及线性运算 　　　　　　　　　　　　　 基础过关 一、单项选择题 1.化简2(a-3b)-3(a+b)的结果为(　　) A.a+4b B.-a-9b C.2a+b D.a-3b 2.(2026·T8检测训练)已知点G为△ABC的重心,若=λ+μ,则λ-μ=(　　) A.0 B.1 C. D.3 3.已知点O为△ABC的外接圆的圆心,且++=0,则△ABC的内角A为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 4.(2026·佛山质检)在△ABC中,=a,=b,若=2,=2,线段AD与BE交于点F,则=(　　) A.a+b B.a-b C.-a+b D.-a-b 5.(2026·沈阳模拟)已知a,b为两个不共线的向量,=a+b,=2a-b,=λa+μb(λ,μ∈R),若A,B,C三点共线,则2λ+μ=(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 6.已知a是单位向量,向量b满足|a-b|=3,则|b|的最大值为(　　) A.2 B.4 C.3 D.1 7.(2026·枣庄质检)已知D为线段AB上的任意一点,O为直线AB外一点,A关于点O的对称点为C.若=x+y,则x-y的值为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 8.在△ABC中,D是AB边上的点,满足AD=2DB,点E在线段CD上(不含端点),且=x+y(x,y∈R),则的最小值为(　　) A.3+2 B.4+2 C.8+4 D.8 二、多项选择题 9.(2026·厦门调研)下列能化简为的是(　　) A.-+ B.+(+) C.(+)+(-) D.+- 10.下列说法正确的是(　　) A.若a与b是非零向量,则“a与b同向”是“a=b”的必要不充分条件 B.若与共线,则A,B,C三点在同一条直线上 C.a与b是非零向量,若a与b同向,则a与-b反向 D.设λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线 11.设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是(　　) A.若=+,则点M是边BC的中点 B.若=2-,则点M在边BC的延长线上 C.若=--,则点M是△ABC的重心 D.若=x+y,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的 三、填空题 12.已知e1,e2为平面内两个不共线的向量,=2e1-3e2,=λe1+6e2,若M,N,P三点共线,则λ=　　　　.  13.已知向量a,b不共线,且c=λa+2b,d=a+(2λ-3)b,若c与d反向共线,则实数λ的值为　　　　.  14.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|-|a-b|的取值范围是　　　　.  素养提升 15.(2026·石家庄质量检测)在平行四边形ABCD中,+=,λ∈[,3],则cos∠BAD的取值范围是(　　) A. B. C. D. 16.(2026·佛山模拟)等腰直角△ABC中,点P是斜边BC上一点,若=+,则△ABC的面积为　　　　.  17.已知点P是△ABC所在平面内的一点,且=+t(t∈R),若点P在△ABC的内部(不包含边界),则实数t的取值范围是　　　　.  微练(四十)　平面向量的概念及线性运算 1.B　解析　2(a-3b)-3(a+b)=2a-6b-3a-3b=-a-9b. 2.B　解析　如图,延长AG交BC于点D,则=+=-,因为=λ+μ·,且,不共线,所以λ=,μ=-,所以λ-μ=1. 3.A　解析　由++=0,得+=.又点O为△ABC的外接圆的圆心,所以||=||=||.根据加法的几何意义,四边形OACB为菱形,且∠CAO=60°,因此∠CAB=30°.故选A. 4.B　解析　如图所示,由=2,=2可得D,E分别为BC,AC的中点,由三角形中线的性质可得=,又=(+)=(a+b),所以=×(a+b)=(a+b),因此=+=-b+(a+b)=a-b. 5.D　解析　由=a+b,=2a-b,=λa+μb,则=-=a-2b,=-=(λ-1)a+(μ-1)b,因为A,B,C三点共线,设=t(t∈R),则(λ-1)a+(μ-1)b=ta-2tb,所以则2λ+μ=3. 6.B　解析　解法一:设=a,=b,因为|a-b|=3,即|-|=||=3,即||=3,所以点B在以A为圆心,3为半径的圆上,又a是单位向量,则||=1,故||的最大值为||+||=1+3=4,即|b|的最大值为4. 解法二:因为b=a-(a-b),所以|b|≤|a|+|a-b|=1+3=4,所以|b|的最大值为4. 7.C　解析　因为A关于点O的对称点为C,所以=-,又=x+y,所以=x-y,又因为A,B,D三点共线,所以x-y=1. 8.B　解析　因为=x+y(x,y∈R),且AD=2DB,所以=+y,又点E在线段CD上(不含端点),所以+y=1,且x>0,y>0,所以=+==4++≥4+2=4+2,当且仅当=时,等号成立,所以的最小值为4+2.故选B. 9.ABC　解析　对于A,-+=+=,符合题意;对于B,+(+)=(+)+=+=,符合题意;对于C,(+)+(-)=(+)+(-)=0+=,符合题意;对于D,+-=-≠,不符合题意.故选ABC. 10.ABC　解析　根据向量的有关概念可知A,B,C正确,对于D,当λ=μ=0时,a与b不一定共线,故D错误. 11.ACD　解析　若=+,则点M是边BC的中点,故A正确;若=2-,即有-=-,即=,则点M在边CB的延长线上,故B错误;若=--,即++=0,则点M是△ABC的重心,故C正确;如图,若=x+y,且x+y=,可得2=2x+2y,设=2,则B,C,N三点共线,且M为AN的中点,则△MBC的面积是△ABC面积的,故D正确.故选ACD. 12.-4　解析　因为M,N,P三点共线,所以存在实数k使得=k,即2e1-3e2=k(λe1+6e2),又e1,e2为平面内两个不共线的向量,可得解得λ=-4. 13.-　解析　由于c与d反向共线,则存在实数k使c=kd(k<0),于是λa+2b=k[a+(2λ-3)b],整理得λa+2b=ka+(2λk-3k)b.由于a,b不共线,所以有整理得2λ2-3λ-2=0,解得λ=2或λ=-.又因为k<0,所以λ<0,故λ=-. 14.[-2,2]　解析　|a|=1,|b|=2⇒1=|b|-|a|≤|a±b|≤|a|+|b|=3.所以⇒-2≤|a+b|-|a-b|≤2,a,b反向共线,左侧等号成立,a,b同向共线,右侧等号成立,所以|a+b|-|a-b|的取值范围是[-2,2]. 15.A　解析　如图,在平行四边形ABCD中,令=,=,因为+=,所以+=,以AE,AF为邻边作平行四边形AEGF,则+==,所以点G一定在AC上.在△AEG中,AE=1,EG=AF=3,AG=λ,∠AEG=π-∠BAD,所以cos∠BAD=-cos∠AEG=-=-=,又λ∈[,3],所以cos∠BAD∈,故选A. 16.　解析　如图,过点P作AB,AC的垂线交AB,AC分别于点E,F,由于=+,所以=,=,则||=4,||=1,所以在等腰直角△ABC中,PE=1,BE=1,所以AB=5,故△ABC的面积S=×5×5=. 17.　解析　=+t,其中t为实数,当点P在线段BC上时,=+,如图,在AB上取一点D,使得=,在AC上取一点E,使得=,则=+t=+t.由图可知,若点P在△ABC的内部(不包含边界),则0<t<1,解得0<t<. 学科网（北京）股份有限公司 $