2027届高考数学一轮复习----教考衔接平面向量

**基本信息** 聚焦平面向量核心问题，以教材典题为源，通过多路径解法、梯度变式及高考链接，系统构建向量几何应用与平行垂直问题的解题方法体系，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |教材典题|2组（含5题+1综合题）|向量系数问题：共线向量分解、坐标法、几何辅助线；平行垂直问题：坐标运算、数量积应用、共线定理|从教材基础概念（向量共线、数量积）出发，推导核心方法，形成“概念-解法-应用”逻辑链| |创新变式|9题|系数关系拓展、最值问题转化、参数方程应用|通过条件变式（中点→分点、定值→最值）深化方法迁移，衔接知识内在联系| |链接高考|5题|高考真题解法迁移、综合问题分解|直接对接高考高频考点，强化从教材到高考的能力转化，体现数学语言表达的简洁性|

教考衔接4　平面几何中的向量方法(系数问题) 一、教材典题·研解法 【题源】　(人教A版必修第二册P40·3题)如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N.设=m,=n,求m+n的值. 解题路径 路径1 选择交点O,利用两次共线 路径2 选择交点N,利用两次共线 路径3 利用坐标法:建立直角坐标系 路径4 几何作图法:作辅助线 尝试解答: 二、创新变式·提升练 【变式1】　在△ABC中,点O是BC上的一点,若=λ(λ≠0),过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N.设=m,=n,则m,n,λ三者的关系为_____________. 【变式2】　如图,在△ABC中,=λ,=μ,直线AM交BN于点Q,=,则(　　) A.λ+μ=1 B.λμ= C.(λ-1)(2μ-3)=1 D.(2λ-3)(μ-1)=1 【变式3】　如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,=n(m,n>0),则+的最小值为(　　) A.2 B.3 C. D.5 【变式4】　如图,在△ABC中,点O是线段BC上的点,且满足||=3||,过点O的直线分别交直线AB,AC于点M,N,且=m,=n,其中m>0且n>0,若+的最小值为3,则正数t的值为(　　) A.2 B.3 C. D. 三、链接高考·体验练 1.(经典高考题)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,且有AD=AB,BE=BC,若=λ1+λ2(λ1,λ2∈R),则λ1+λ2的值为_____________. 2.(经典高考题)如图,在△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90°,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若=m+(m为常数),则CD的长度是_____________. 教考衔接5　平面向量的平行、垂直问题 一、教材题组·加固练 人教A版必修第二册 1 2 3 4 5 P36·9题 P16·例8 P36·10题 P60·8题 P21·例13 【选题说明】本组题以平面向量的平行、垂直为载体,考查平面向量相关运算,突出考查转化与化归思想、方程思想.通过改变条件或变换设问,可以将教材问题变换为高考试题. 【题1】　已知|a|=3,b=(1,2),且a∥b,求a的坐标. 【题2】　已知a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,a-b共线,求实数t的值. 【题3】　已知a=(4,2),求与a垂直的单位向量的坐标. 【题4】　已知向量a=(1,0),b=(1,1).当λ为何值时,a+λb与a垂直? 【题5】　已知|a|=3,|b|=4,且a与b不共线.当k为何值时,向量a+kb与a-kb互相垂直? 二、创新变式·提升练 【变式1】　已知向量a=(1,3),b=(3x-1,x+1),c=(5,7),若(a+b)∥(a+c),且c=ma+nb,则m+n的值为(　　) A.2 B. C.3 D. 【变式2】　若非零向量a,b满足|a|=3|b|,(2a+3b)⊥b,则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 【变式3】　设向量a,b满足|a|=2,b=(2,1),且a与b的方向相反,则a的坐标为_____________. 【变式4】　已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,则k=_____________. 【变式5】　已知向量a=(1,2),b=(-2,1),c=(m,n),满足(a+2b)⊥c,请写出一个符合题意的向量c的坐标_____________. 三、链接高考·体验练 1.(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则(　　) A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1 3.(2021·全国乙卷)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ=_____________. 教考衔接4　平面几何中的向量方法(系数问题) 一、教材典题·研解法 题源　解　解法一:连接AO,因为点O是BC的中点,则=(+)=(m+n)=m+n,又因为M,O,N三点共线,所以m+n=1,即m+n=2. 解法二:连接BN,如图,因为=m,=n,即=+=+(-)=+=+,又因为M,O,N三点共线,所以+=1,整理得m+n=2. 解法三:如图,以点O为坐标原点,边BC所在的直线为x轴建立直角坐标系,令B(-a,0),C(a,0),A(x,y),由=m,=n,则求得点M,点N,又因为M,O,N三点共线,所以∥,即=,化简得1-m=n-1,所以m+n=2. 解法四:如图,作BH∥AC交MN于点H,因为点O为BC的中点,则BH=CN,所以==,又因为=m,=n,即AB=mAM,AC=nAN,则=,即1-m=n-1,所以m+n=2.易验证点N,C重合时依然成立. 二、创新变式·提升练 变式1　λ=　解析　因为=+=+,又因为M,O,N三点共线,所以+=1,即λ=. 变式2　C　解析　由题意得,==(+)=[+(1-μ)]=[+(1-μ)(-)]=[μ+(1-μ)]=μ+,因为Q,M,A三点共线,故μ+=1,化简整理得(λ-1)(2μ-3)=1.故选C. 变式3　C　解析　由题意得=(+)=+,因为M,O,N三点共线,所以+=1,+==+++2·=,当且仅当=,即n=2m=时,等号成立.故选C. 变式4　B　解析　=+=+=+(-)=+=+,因为M,O,N三点共线,所以+=1,因为m>0,n>0,t>0,所以+==++++2=+,当且仅当=时取等号,所以+=3,所以(+3)(-)=0,所以=,所以t=3.故选B. 三、链接高考·体验练 1.　解析　=-=-=(-)-=-+,又因为,不共线,=λ1+λ2,所以λ1=-,λ2=,所以λ1+λ2=. 2.0或　解析　因为A,D,P三点共线,所以可设=λ(λ>0),因为=m+,则λ=m+,即=+,若m≠0且m≠,又B,D,C三点共线,所以+=1,即λ=,因为AP=9,所以AD=3,因为AB=4,AC=3,∠BAC=90°,所以BC=5,设CD=x,∠CDA=θ,则BD=5-x,∠BDA=π-θ.则根据余弦定理的推论可得cos θ==,cos(π-θ)==,因为cos θ+cos(π-θ)=0,即+=0,解得x=,所以CD的长度为.当m=0时,=,C,D重合,此时CD的长度为0,当m=时,=,B,D重合,此时PA=12,不合题意,舍去.故答案为0或. 教考衔接5　平面向量的平行、垂直问题 一、教材题组·加固练 题1　解　设a的坐标为(x,y),因为|a|=3,所以=3,即x2+y2=9,因为a∥b,所以2x-y=0,联立所以a的坐标为. 题2　解　由a,b不共线,易知向量a-b为非零向量.由向量b-ta,a-b共线,可知存在实数λ,使得b-ta=λ,即a=b.由a,b不共线,必有t+λ=λ+1=0,否则,不妨设t+λ≠0,则a=b.由两个向量共线的充要条件知,a,b共线,与已知矛盾.由解得t=.因此,当向量b-ta,a-b共线时,t=. 题3　解　设与a垂直的单位向量为e=(x,y).则所以e=或e=. 题4　解　因为a=(1,0),b=(1,1),所以a+λb=(1+λ,λ),因为a+λb与a垂直,所以(a+λb)·a=0,所以(1+λ,λ)·(1,0)=0,即1+λ=0,所以λ=-1.即λ=-1时,a+λb与a垂直. 题5　解　a+kb与a-kb互相垂直的充要条件是(a+kb)·(a-kb)=0,即a2-k2b2=0.因为a2=32=9,b2=42=16,所以9-16k2=0,解得k=±.也就是说,当k=±时, a+kb与a-kb互相垂直. 二、创新变式·提升练 变式1　C　解析　由题意,得a+b=(3x,x+4),a+c=(6,10),因为(a+b)∥(a+c),所以30x=6x+24,解得x=1,所以b=(2,2).则c=ma+nb=(m+2n,3m+2n)=(5,7),即故m+n=3.故选C. 变式2　C　解析　根据题意,设a与b的夹角为θ,因为(2a+3b)⊥b,所以(2a+3b)·b=0,即2a·b+3|b|2=0,即2|a||b|cos θ+3|b|2=0,又|a|=3|b|,结合已知条件可知cos θ=-,θ∈[0,π],故θ=.故选C. 变式3　(-4,-2)　解析　设a=(x,y),x<0,y<0,则x-2y=0且x2+y2=20,解得x=4,y=2(舍去),或x=-4,y=-2,即a=(-4,-2). 变式4　-　解析　c=(3,1)+(k,0)=(3+k,1),a·c=3(3+k)+1×1=10+3k=0,得k=-. 变式5　(4,3)(答案不唯一)　解析　根据题意,a+2b=(-3,4),且(a+2b)⊥c,则(a+2b)·c=-3m+4n=0,即m=n,当n=3时,m=4,则c=(4,3)(答案不唯一). 三、链接高考·体验练 1.D　解析　解法一(向量法+坐标法):因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,即b2=4a·b.因为a=(0,1),b=(2,x),所以b2=4+x2,a·b=x,得4+x2=4x,所以(x-2)2=0,解得x=2,故选D. 解法二(坐标法):因为a=(0,1),b=(2,x),所以b-4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x)-(0,4)=(2,x-4).因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以2×2+x(x-4)=0,所以(x-2)2=0,解得x=2,故选D. 2.D　解析　因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ),因为(a+λb)⊥(a+μb),所以(a+λb)·(a+μb)=0,所以(1+λ)·(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,整理得λμ=-1.故选D. 3.　解析　解法一:因为a∥b,所以a=kb,即(2,5)=k(λ,4),得 解法二:因为a∥b,所以2×4-5λ=0,解得λ=. 学科网（北京）股份有限公司 $