2027届高考数学一轮复习----平面向量基本定理及坐标表示

**基本信息** 聚焦平面向量基本定理及坐标表示，以题载法构建“概念-运算-应用”逻辑链条，培养数学抽象与几何直观素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|14题（单选8/多选3/填空3）|待定系数法（线性表示）、共线条件（坐标比例）、坐标法（几何图形）、充要条件分析|从基本定理（基底表示）到坐标运算（加减/共线），衔接几何图形（三角形重心/平行四边形）| |综合提升|2题（素养填空）|奔驰定理应用、坐标化建模（正六边形/直角三角形）|深化定理应用与几何问题代数化，构建“概念-运算-综合应用”完整链条|

微练(四十一)　平面向量基本定理及坐标表示 　　　　　　　　　　　　　 基础过关 一、单项选择题 1.若向量a=(2,1),b=(-1,2),c=,则c可用向量a,b表示为(　　) A.c=a+b B.c=-a-b C.c=a+b D.c=a-b 2.(2026·长沙质检)设k∈R,下列向量中可与向量q=(1,-1)构成一个基底的是(　　) A.b=(k,k) B.c=(-k,-k) C.d=(k2+1,k2+1) D.e=(k2-1,k2-1) 3.已知向量a=(m,2)与b=(-2,-4)共线,则2a-b=(　　) A.(10,8) B.(4,8) C.(0,0) D.(1,2) 4.(2026·宜昌模拟)在△ABC中,G为△ABC的重心,设=a,=b,则=(　　) A.a-b B.-a+b C.-a+b D.a-b 5.(2026·海口模拟)已知向量a=(1,2),b=(k,-1),则“k=-”是“a∥b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知点A(3,2),B(5,1),则与方向相反的单位向量为(　　) A. B. C. D. 7.设点A(2,0),B(4,2),若点P在直线AB上,且||=2||,则点P的坐标为(　　) A.(3,1) B.(1,-1) C.(3,1)或(1,-1) D.(3,1)或(1,1) 8.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=1,以AC为直径的半圆上有一点M,=λ+λ,则实数λ等于(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题 9.已知向量a=(2,-1),b=(-1,3),则下列向量与2a+b平行的是(　　) A. B.(1,-3) C.(1,-2) D. 10.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(m+1,m-2),若点A,B,C能构成三角形,则实数m可以是(　　) A.-2 B. C.1 D.-1 11.如图,在▱OACB中,E是AC的中点,F是BC上的一点,且=4,若=m+n,其中m,n∈R,则(　　) A.m+n= B.m-n= C.2m=3n D.3m=2n 三、填空题 12.已知向量=(m,2),=(1,3),=(-4,-2).若B,C,D三点共线,则m=　　　　.  13.已知点A(-1,1),B(3,2),D(0,5),若=3,AC与BD交于点M,则点M的坐标为　　　　.  14.(2026·济南模拟)在正六边形ABCDEF中,BD,CF相交于点P,若=x+y,则x+y=　　　　.  素养提升 15.奔驰定理:如图,已知O是△ABC内的一点,△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,SB,SC,则SA·+SB·+SC·=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论,因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo(如图)很相似,故形象地称其为“奔驰定理”.设O为三角形ABC内一点,且满足:+2+3=3+2+,则=　　　　.  16.根据毕达哥拉斯定理,以直角三角形的三条边为边长作正方形,从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和.现在对Rt△CDE按上述操作作图后,得到如图所示的图形,若=x+y,则x-y=　　　　.  微练(四十一)　平面向量基本定理及坐标表示 1.A　解析　设c=xa+yb,易知所以c=a+b.故选A. 2.C　解析　对于A,B,若k=0,则b=(0,0),c=(0,0),均不满足构成基底的条件,所以A,B不符合题意;对于C,因为∀k∈R,k2+1≠0,且(k2+1)×(-1)-(k2+1)×1=-2(k2+1)≠0恒成立,所以d与q不共线,满足构成基底的条件,所以C符合题意;对于D,若k=±1,则e=(0,0),不满足构成基底的条件,所以D不符合题意. 3.B　解析　因为a=(m,2),b=(-2,-4)共线,所以-4m=-4,解得m=1,所以a=(1,2)⇒2a=(2,4),所以2a-b=(4,8).故选B. 4.A　解析　如图,设F为AB的中点,由于G是△ABC的重心,所以CG=2GF,则===(+).因为=a,=b,所以=-=a-b,=-b,所以=(a-2b)=a-b. 5.C　解析　当k=-时,b=,a=-2b,充分性成立;由a=(1,2),b=(k,-1),若a∥b,则2k=-1,解得k=-,必要性成立,故“k=-”是“a∥b”的充要条件. 6.B　解析　因为A(3,2),B(5,1),所以=(2,-1),则||==,所以与方向相反的单位向量为-=.故选B. 7.C　解析　因为A(2,0),B(4,2),所以=(2,2).因为点P在直线AB上,且||=2||,所以=2=-2,故=(1,1)或=(-1,-1),故P点坐标为(3,1)或(1,-1). 8.A　解析　以B为原点,BC,BA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系.则A(0,1),C(1,0),AC=,则以AC为直径的圆的圆心为AC的中点D.则以AC为直径的圆的方程为+=,设M(x,y),则=(x,y),=(1,0),=(0,1),=λ+λ=(λ,λ),所以由点M在圆+=上,可得+=,即4λ2-(1+)λ=0,解得λ=或λ=0(舍去). 9.AD　解析　因为a=(2,-1),b=(-1,3),所以2a+b=(3,1),故若向量(x,y)满足3y-x=0,则该向量与2a+b平行.检验易知A,D符合题意. 10.ABD　解析　若A,B,C三点不共线即可构成三角形.因为=-=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),=-=(m+1,m-2)-(1,-3)=(m,m+1).假设A,B,C三点共线,则1×(m+1)-2m=0,即m=1.所以只要m≠1,A,B,C三点就可构成三角形.故选ABD. 11.ABC　解析　在▱OACB中,=,=,=+,因为E是AC的中点,所以==,所以=+=+,因为=4,所以==,所以=+=+,因为=m+n,所以=+,所以所以m+n=,m-n=,2m=3n. 12.-1　解析　因为向量=(m,2),=(1,3),则=-=(1-m,1),而=(-4,-2),又B,C,D三点共线,则有∥,因此-2(1-m)+4=0,解得m=-1. 13.　解析　结合题意,设C(x,y),M(x1,y1),易得=(x-3,y-2),=(1,4),由=3,可得(x-3,y-2)=3(1,4),解得即C(6,14).因为=3,所以△DMA∽△BMC,所以==,所以=,即(x1+1,y1-1)=(7,13)=,解得即点M的坐标为. 14.　解析　以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AE所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设正六边形ABCDEF边长为1,则A(0,0),B(1,0),F,P,=(1,0),=,=,由=x+y,则=x(1,0)+y,所以则x+y=. 15.　解析　因为O为三角形ABC内一点,且满足+2+3=3+2+,所以+2+3=3(-)+2(-)+(-)⇒3++2=0,因为SA·+SB·+SC·=0,所以===. 16.-　解析　建立如图所示的平面直角坐标系.设DC=2a,则EC=a,DE=a,A(0,0),B(2a,0),D(0,2a),DF=(+1)a,所以xF=(+1)a·cos 30°,yF=2a+(+1)a·sin 30°,即F,所以=,=(2a,0),=(0,2a),因为=x+y,所以=x(2a,0)+y(0,2a),则则2ax-2ay=a-a,化简得x-y=-. 学科网（北京）股份有限公司 $