第16讲 极值与最值·分类练习-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 聚焦极值与最值，以考点-考法分层设计，覆盖判断、求解、参数问题及综合应用，通过典型模拟题培养抽象能力与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求函数的极值与极值点|19题|含导数图象判断、具体/含参函数极值、综合应用|从概念（导数与极值关系）到应用（含参讨论、综合切线/不等式）| |根据极值求参数|13题|已知极值/极值点/个数求参数范围|由极值概念逆向推导参数，强化逻辑推理| |求函数的最值|5题|具体/含参函数最值、与方程/不等式综合|以极值为基础，拓展至区间最值求解| |根据最值求参数及应用|13题|已知最值、恒成立/存在性问题求参数|结合最值性质解决参数问题，提升应用意识|

第16讲 极值与最值 · 分类练习（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 B B C D A 6 7 8 9 10 D 见解析 D 11 12 13 14 15 见解析 见解析 见解析 BD AB 16 17 18 19 20 见解析 见解析 见解析 见解析 B 21 22 23 24 25 A B A C B 26 27 28 29 30 D B 见解析 31 32 33 34 35 见解析 见解析 见解析 36 37 38 39 40 见解析 见解析 41 42 43 44 45 A 1(答案不唯一，2、3均可) [0,1] 见解析 B 46 47 48 49 50 C 见解析 见解析 见解析 见解析 考点一：求函数的极值与极值点 考法1：根据导数图象与概念判断极值点 1.（2026·马鞍山一模）函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间上的极值点有（ 　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】根据给定的函数图象确定的变号零点个数即可. 函数的图象与轴有3个公共点，从左到右依次记为， 当时，；当时，；当时，， 当且仅当时取等号，则函数在上单调递增，在上单调递减， 因此函数在处取得极大值，在处取得极小值，所以极值点个数为2. 对应选项B. 【点拨】通过观察导函数图象与轴的交点及两侧符号变化，可直接判定原函数的极值点位置. 2.（2024·全国·专题练习）若函数存在一个极大值与一个极小值满足，则至少有（ 　　）个单调区间. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】若函数存在一个极大值与一个极小值，则至少有3个单调区间， 若有3个单调区间， 不妨设的定义域为，若，其中可以为，可以为， 则在上单调递增，在上单调递减，(若定义域为内不连续不影响总体单调性)， 故，不合题意， 若，则在上单调递减，在上单调递增，有，不合题意； 若有4个单调区间， 例如的定义域为，则， 令，解得或， 则在上单调递增，在上单调递减， 故函数存在一个极大值与一个极小值，且，满足题意，此时有4个单调区间， 综上所述：至少有4个单调区间. 对应选项B. 【点拨】结合极大值与极小值的大小关系，可推断出函数图象的起伏情况，进而确定单调区间的最小数量. 3.（2024·全国·专题练习）已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ 　　） A. B. 函数在处取得最大值，在处取得最小值 C. 函数在处取得极大值，在处取得极小值 D. 函数的最小值为 【答案】C 【解析】由题图可知，当时，，所以函数在上单调递增， 又，所以，故A不正确． 因为，，且当时，；当时，； 当时，．所以函数在处取得极大值，但不一定取得最大值，在处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确． 由题图可知，当时，，所以函数在上单调递减，从而，所以D不正确． 对应选项C． 【点拨】导函数的正负直接决定原函数的增减性，据此可分析出函数在各点处的极值情况及大小关系. 4.（2024·全国·模拟预测）已知函数的导函数为，则“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的（ 　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】只有当在上有两个变号零点时，在上才有两个极值点，故充分性不成立；若在上有两个极值点，则在上有两个变号零点，则在上至少有两个零点，故必要性不成立. 综上，“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的既不充分也不必要条件， 对应选项D. 【点拨】导函数的零点不一定是极值点，只有当导数在零点两侧变号时，原函数才取得极值. 考法2：求具体函数的极值与极值点 5.（2026·广东广州·一模）函数在区间上的极值点个数为（ 　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】由函数，可得， 令，即，可得或， 因为，可得， 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增， 所以在上递增，在上递减，在上递增， 在上递增，在上递减，在上递增， 其中两侧函数的单调性相同，可得不是函数的极值点， 所以在区间的极值点为，共有4个. 对应选项A. 【点拨】求导后将极值点问题转化为三角方程的求解，结合给定区间找出所有符合条件的变号零点. 6.（2026·湖北新八校·一模）函数的极大值点为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，易得在，递增，在递减，则极大值点为，对应选项A. 【点拨】对三次函数求导，通过分解因式确定导数的符号变化，从而准确定位极大值点. 7.（2026·河南郑州·二模）函数的所有极值点之和为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】，令，解得，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增. 所以在取得极大值，在取得极小值，所以函数所有极值点之和为. 【点拨】求导后得到一元二次方程，其两个不相等的实数根即为极值点，利用韦达定理或直接求根即可得解. 8.（2026·安徽淮北·二模）已知均为实数，若的解集是且，则函数的极大值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】因为原不等式的解集是且， 故、为的零点， 则或（舍） 所以， 则， ，得或；，得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 则的极大值为. 故答案为：. 【点拨】由不等式的解集特征可反推出三次函数的零点及因式结构，进而求导确定极大值. 9.（2025·河南金科新未来·5月联考）已知函数的定义域和值域相同. （1）求； （2）记的导函数为，求的极小值. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）若，则的定义域为，值域为，不符合题意； 若，则的定义域为，值域为，则有，解得. 综上所述，. （2），定义域为，，记， 则. 当时，时，.所以在上单调递减，在上单调递增.因此的极小值为. 故的极小值为1. 【点拨】利用函数定义域与值域相同这一条件锁定参数值，随后通过求导分析单调性得出极小值. 考法3：含参函数的极值点个数问题 10.（2026·福建福州宁德·二模）已知函数有且仅有个极值点、、，且，则（ 　　） A. 为奇数 B. 为奇数 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】求导得出，令可得或或，对、的大小以及、的奇偶性进行分类讨论，利用列表的形式分析函数的单调性，结合极值点的定义可得出合适的选项. 因为函数，该函数的定义域为， （1）当时，， 由可得或，此时函数不可能有三个极值点，舍去； （2）当且时， ， 由可得或或， 因为函数有且仅有个极值点、、，且， 则且，符合题意， ①若，则，， 则，所以，，， 若、都为奇数，则、都为偶数，列表如下： 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 单调递增 此时函数只有一个极值点，不符合题意； 当为奇数，为偶数，则为偶数，为奇数，列表如下： 单调递增 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 此时函数有两个极值点，不符合题意； 当为偶数，为奇数时，同理可知，函数有两个极值点，不符合题意； 当、均为偶数时，、均为奇数，列表如下： 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 此时函数有个极值点，符合题意，且，，， 此时，则； ②当时，同理可知、均为偶数，且，，， 此时，则. 故D选项正确. 【点拨】对含参函数求导后，需根据参数的大小及指数的奇偶性分类讨论导数的符号变化，从而确定极值点个数. 11.（2026·山东名校联盟·5月核心素养评估）已知函数. 若函数有极大值点，求证. 【答案】见解析 【解析】由题意，， 因为有极大值点，所以，即， 所以， 所以， 要证，即证， 即证， 因为，所以， 所以，即， 因为且， 当时，，即证， 当时，，即证， 所以只需证对任意且恒成立， 令， 则， 所以在上单调递增， 当时，，即， 当时，，即， 所以对任意且恒成立， 所以得证. 【点拨】利用极值点处导数为零的条件消去参数，将目标不等式转化为只含的单变量不等式，构造新函数进行证明. 考法4：含参函数的极值求解与讨论 12.（2026·广东中山·二模）已知函数. （1）若，求的极小值； （2）讨论导函数的单调性. 【答案】（1） （2）见解析 【解析】（1）当时，，的定义域为， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值． （2）的定义域为， ， 令，则， 当时，恒成立，所以即在上单调递增． 当时，由，得，由，得， 所以即在上单调递减，在上单调递增. 【点拨】求导后，根据参数的符号分类讨论导函数的单调性，进而分析原函数的极值情况. 13.（2025·广东江门·一模）已知函数. 当时． （i）设，讨论函数在上的单调性； （ii）证明：对任意的，有． 【答案】（i）在上单调递增；（ii）证明见解析. 【解析】 （i）时，且，则，故在上单调递增； （ii）令，则， 由，则， 由（i）知，，即在上恒成立， 所以在上单调递增，故， 因为，所以在上单调递增，则， 所以， 综上，对任意的，有. 【点拨】将双变量不等式证明转化为单变量函数的最值问题，通过构造差函数并分析其单调性完成证明. 考法5：极值与切线、单调性、对称性等综合 14.（2026·安徽安庆·二模）（多选）已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于任意的正整数，则（ 　　） A. B. 是极小值点 C. D. 【答案】BD 【解析】由题意得的定义域为，则， 而极值点满足，则，结合题意得， 可得方程的根出现在时，即时， 而，，， 结合零点存在性定理得，， 对于A，由已知得，， 则，不满足，故A错误， 对于B，令，且， 令，则， 令，， 当时，，则在上单调递增， 而，，则， 由零点存在性定理得存在作为零点， 即存在作为零点， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增， 而，，， 则，由零点存在性定理得存在作为零点， 令，，令，， 可得在上单调递减，在上单调递增， 则是的极小值点，故B正确， 对于C，由已知得，， 则，而， ，而，则，得到， 由正弦函数性质得在上单调递减， 则，得到，故C错误， 对于D，由题意得，， 满足，由已知得，则， 可得， 令，且， 而，当时，， 则在上单调递增，则， 即，故D正确. 【点拨】极值点满足的超越方程无法直接求解，需利用零点存在性定理确定其所在区间，再结合函数的单调性与周期性逐项分析. 15.（2025·山东名校考试联盟·二模）（多选）已知函数，则（ 　　） A. 一定有两个极值点 B. 若，则或 C. 过点作曲线的切线有且仅有一条 D. 当时， 【答案】AB 【解析】由题设， 当或时，，则在、上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以分别为极大值点、极小值点，A对； 由，令，则， 所以或，故对于，则或，B对； 由且，则处的切线为，过， 由，则处的切线过， 所以过的切线至少有两条，C错； 由，， 所以，故，D错. 【点拨】通过导数确定极值点与切线，结合三次函数的中心对称性，可快速计算出对称点处的函数值之和. 16.（2026·山东济南·二模）已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若存在，使，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）当时，，则， 所以， 又， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）易知的定义域为，且， 因为，令，得到或（舍去）， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以. 又由题意知，存在，使， 所以. 令，则， 令， 则， 所以当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以， 所以， 所以在上单调递增， 又，所以当时，， 故的取值范围为. 【点拨】将存在性问题转化为函数最小值小于给定表达式，分离参数后构造新函数，通过求导寻找最值. 考法6：极值与不等式证明及恒成立问题 17.（2026·山东德州·三模）已知函数. 求的极值； 【答案】极大值为，无极小值 【解析】的定义域为，， 令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在处取得极大值，极大值为，无极小值. 【点拨】对含有对数的函数求导，通过分析导函数的符号变化直接得出极值. 18.（2026·江苏苏锡常镇四市·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）. （1）求的极值； （2）证明：. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2）见解析 【解析】（1）因为，所以. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （2）因为，所以在点处的切线方程为， 即，所以. 设，则. 设，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以的最大值为， 即，所以在上单调递减. 因为，所以当时，；当时，， 所以，不等式得证. 【点拨】求出切线方程后，构造原函数与切线函数的差函数，通过二次求导分析其单调性与最值，从而证明不等式. 19.（2025·山东青岛·一模）已知函数，. （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个极值点，记极大值和极小值分别为，，证明：. 【答案】（1）在和上单调递增，在上单调递减 （2）见解析 【解析】（1）当时，，， 则， 当或时，； 当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. （2）由，，得， 因为函数有两个极值点，所以方程有两个不相等的实根， 设为，且，因为函数在时的图象关于轴对称， 所以，即， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以分别是函数的极大值点和极小值点， 即，， 又，即， 则， 又，则， 设，， 则，即函数在上单调递减， 所以，即. 【点拨】利用极值点满足的方程消去参数，将极值之差转化为关于单变量的函数，利用导数求其最值即可得证. 考点二：根据极值、极值点求参数 考法7：已知极值求参数 20.（2024·贵州·模拟预测）已知函数在处取得极大值，则（ 　　） A. 8 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以，解得， 经检验，符合题意，所以. 故选：B 【点拨】利用极值点处导数为零及函数值列方程组求出参数，务必进行充分性检验以排除伪极值点. 21.（2024·陕西商洛·三模）若函数无极值，则的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为，所以，因为无极值，所以，解得，所以的取值范围为． 故选：A. 【点拨】三次函数无极值等价于其导函数（二次函数）恒大于等于或恒小于等于零，利用判别式即可求解. 22.（2024·湖南长沙一中·阶段练习）函数在区间上存在极值，则的最大值为（ 　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】函数的定义域为， ， 令，， 所以当时，，当时，， 所以在单调递增，单调递减， 所以， 又因为当时，，则， ， ， 所以存在唯一，使得， 所以函数在时，时， 所以函数在单调递增，单调递减， 所以要使函数在区间上存在极值， 所以的最大值为3， 故选:B. 【点拨】先通过求导确定函数的唯一极值点，再根据极值点必须落在给定区间内建立不等式求解参数最大值. 23.（2024·江苏扬州新华中学·开学考试）若是函数的极大值点，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】， 令，得： 当，即 此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增，符合是函数的极大值点， 反之，当，即，此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增，是函数的极小值点，不符合题意； 当，即，恒成立，函数在上单调递增，无极值点. 综上得：. 故选：A. 【点拨】求导后得到两个可能的极值点，通过比较它们的大小关系确定单调区间，从而锁定极大值点对应的参数范围. 考法8：已知极值点求参数 24.（2025·江西·5月联考）已知是函数的极值点，则（ 　　） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】由，得.因为是的极值点，所以，得，经检验知当时，满足是的极值点. 【点拨】利用极值点处导数为零求出参数的唯一候选值，再通过分析单调性验证其是否确为极值点. 25.（2024·全国·专题练习）已知函数在处取得极小值，则实数的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为函数， 则， 要使函数在处取得极小值，则， 故选：B. 【点拨】求导后分解因式，根据极小值点左减右增的特征，确定两个根的大小关系，从而得出参数范围. 26.（2026·江苏南京·二模）已知函数有两个极值点，且，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】已知函数有两个极值点， 则有两个不等的实数根， 所以，解得， 且，， 由，得或， 当时，， 即， 因为，所以， 即， 即，解得，不符合题意，舍去； 当时，， 即， 即， 即， 解得，符合题意. 故答案为：. 【点拨】本题考查极值点与导数零点的关系，以及利用韦达定理处理极值点相关问题，解题的关键是将极值点转化为导函数的零点，再结合韦达定理求解. 27.（2026·安徽黄山·一模）若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由，求导可得 令，可得：或， 当时，即，恒成立，在定义域上单调递减，不符合题意； 当时，因为，所以， 由，得，由，得或， 即在和单调递减，在单调递增， 即函数在处取得极小值，不符合题意； 当时，因为，所以， 由，得，由，得或， 即在和单调递减，在单调递增， 即函数在处取得极大值，符合题意； 综上实数的取值范围为， 故答案为： 【点拨】本题考查根据函数的极值点求参数范围，解题的关键是正确求导并对极值点的大小进行分类讨论，从而确定函数的单调性与极值情况. 考法9：根据极值点个数求参数范围 28.（2025·江西九师联盟·5月检测）已知函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为，所以， 因为函数恰有两个极值点，所以有两个变号零点， 所以方程有两个不相等的实数根， 即方程有两个不相等的实数根， 令，则， 令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 所以在处取得极大值，极大值为，无极小值， 又当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以要使方程有两个不相等的实数根， 需满足或，解得或， 即实数的取值范围是. 故选：D. 【点拨】本题考查根据极值点个数求参数范围，解题的关键是将极值点个数问题转化为导函数零点个数问题，再利用分离参数法构造函数求解. 29.（2024·广东梅州梅江区梅州中学·模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】的定义域是，， 令， 所以在区间上，递减；在区间上，递增. 要使有两个极值点，则， 此时， 构造函数， 所以在上递增，所以， 所以， 所以实数的取值范围为. 故选：D 【点拨】将极值点问题转化为导函数方程的根的个数问题，利用导数分析辅助函数的单调性与最值，从而确定参数范围. 30.（2026·湖南长沙长郡中学·二模）函数. （1） 时，求在处的切线方程； （2） 若有两个极值点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）当时，，， 又，，所以在处的切线方程为， 即. （2）， 由题可知在有两个变号零点， 由，得，令，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 又，，，，所以， 由有两个极值点，则，故. 【点拨】本题考查利用导数求切线方程以及根据极值点个数求参数范围，解题的关键是将极值点个数问题转化为方程根的个数问题，再利用分离参数法构造函数求解. 31.（2026·江西九江·二模）已知函数. （1） 在处 切线的斜率为，求的值； （2） 若函数有两个极值点， （i） 求的取值范围； （ii） 证明：. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 （1）对求导： ， 因为在处切线斜率为，所以， 所以， 解得； （2）（i）函数的定义域为，极值点满足， 即， 整理得， 该方程在有两个不同正根， 所以判别式，解得， 两根之和，两根之积， 综上； （ii）由（i）知， 先计算： ， 代入， 且， 所以， 要证， 即证， 整理得， 令， 求导， 因为， 由零点存在定理，存在唯一的隐零点， 使得， 即， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 因此在处取得最大值， 将代入： ， 令， 由对勾函数性质知在上单调递增， ， 因此， 即， 故. 【点拨】利用韦达定理处理极值点之和与积，将双变量不等式转化为关于参数的单变量不等式，通过构造函数求最值完成证明. 考法10：极值点结合不等式与切线综合求参数 32.（2026·山东东营·一模）已知函数， 若函数在处取得极值， （i）求的值； （ii）已知，若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（i） （ii） 【解析】（i）由，得， 因为在处取得极值，所以， 当时，， 当或时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，符合题意，故. （ii）由（i）知，则， 即在上恒成立， 令，则， 令，则， ，所以在上单调递增， 又，所以存在，使得， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 又，所以当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增， 所以，所以. 【点拨】分离参数后，将恒成立问题转化为求新函数的最小值，通过多次求导分析单调性锁定最值. 考点三：求函数的最值 考法11：求具体函数的最值 33.（2026·山东滨州·二模）已知函数，则函数的最大值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】，令，得或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以. 【点拨】求导确定极值点，比较极值与区间端点处的函数值，即可找出最大值. 34.（2024·云南昆明一中·阶段练习）已知函数在区间上最大值为，最小值为，则的值是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由题意，，，在上， 故函数单调递增，所以，，， 故的值是. 故答案为： 【点拨】通过求导发现函数在给定闭区间上单调递增，最值即在区间两端点处取得. 考法12：求含参函数的最值 35.（2025·福建百校联考·5月押题）已知函数. （1）求函数的极值点； （2）若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 【答案】（1）为极小值点，无极大值点 （2） 【解析】（1）函数的定义域为， 又， 所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以为的极小值点，无极大值点. （2）当，即时，在上单调递增， 所以在处取得最小值，，不符合题意； 当，即，此时在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得； 当，即，此时在上单调递减， 所以，不符合题意； 综上可得. 【点拨】本题考查利用导数求函数的极值点以及含参函数在闭区间上的最值，解题的关键是根据极值点与区间的相对位置关系进行分类讨论. 36.（2024·全国·模拟预测）已知函数．讨论函数的最值； 【答案】当时，无最值；当时，的最小值为，无最大值 【解析】函数的定义域为，， 当时，，在上单调递增，无最值； 当时，令，得，所以在上单调递减； 令，得，所以在单调递增， 所以的最小值为，无最大值． 综上，当时，无最值；当时，的最小值为，无最大值． 【点拨】根据参数的符号分类讨论导函数的零点情况，从而确定函数的单调性与最值. 37.（2024·江西上饶六校联盟·5月模拟）已知函数. （1）若，求的极值； （2）若，求的最大值. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） 【解析】（1）当时，，定义域为， 因为， 当时，当时， 从而在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，极小值为，无极大值. （2）①若，对任意的实数，当且时， 由于，， 所以，所以不合题意. ②若，. 当时，当时， 从面在上单调递减，在上单调递增. 故. 因此，所以. 设，则， 所以在上单调递增，在上单调递减. 从而的最大值为. 当且仅当时取等号，此时，，满足， 故的最大值为. 【点拨】由恒成立条件分离出参数，将转化为关于的单变量函数，利用导数求其最大值. 考法13：最值与不等式、方程综合 38.（2025·江西·5月联考）已知为坐标原点，直线与函数的图象分别交于两点，则面积的最大值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】作出的图象可知，在上单调递增，在上单调递减，且，所以当时，，设，则.令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，则，故面积的最大值为. 【点拨】将三角形面积表示为关于的函数，利用导数求出该面积函数的最大值. 39.（2025·江西重点中学盟校·第二次联考）已知函数，若，则的最小值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由题意可得，所以， 所以，所以，又，所以， 因为在上单调递增，所以，所以， 令，则.由，得；由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以.故答案为. 【点拨】通过同构变形找出变量间的内在联系，将目标式转化为关于单变量的函数，利用导数求其最小值. 40.（2026·山东德州·二模）已知函数. 求在上的最大值； 【答案】 【解析】因为， 则， 因为，所以， 所以，， 所以，在单调递增， 所以. 【点拨】通过分析导函数中各项的取值范围，判定导数恒非负，从而确定函数单调递增，最大值在右端点取得. 考点四：根据最值求参数及综合应用 考法14：已知最值求参数 41.（2026·湖北随州·三模）已知，函数的最大值为，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】结合函数图像分析，从而得到当与相切时，取得最小值，进而构造函数，求导，分析函数的单调性，从而求出最值，进而得到的最小值． 依题意可得函数的定义域为， 由函数的最大值为0， 即在上恒成立， 即的图象在的下方， 结合图象可得，当函数的图象过原点，且与相切时，取得最小值， 根据对称性，不妨只考虑的情况， 即当与相切时，取得最小值， 即在上恒成立， 令，即时，取得最小值， 则，令，则， 又时，，即在上单调递增； 时，，即在上单调递减， 所以，解得． 故选：A 【点拨】将最值问题转化为两函数图象的上下位置关系，利用相切时的临界状态求出参数的最小值. 42.（2024·山东实验中学·一模）若函数在区间上存在最小值，则整数的取值可以是＿＿＿＿＿＿. 【答案】1(答案不唯一，2、3均可) 【解析】因为，则. 由可得，由可得或， 所以，函数的减区间为，增区间为、， 所以，函数的极大值为，极小值为， 令，其中，则，解得， 因为函数在区间上存在最小值，则，解得， 所以，整数的取值集合为. 故答案为：1(答案不唯一，2、3均可). 【点拨】求出极值点后，根据最小值在极小值点处取得，列出极小值点落在给定区间内的不等式组求解. 43.（2024·福建泉州·阶段练习）已知函数的最小值为，则的取值范围为＿＿＿＿＿＿. 【答案】[0,1] 【解析】函数定义域为，，显然， 当时，，当时，函数在上单调递减，，因此， 当时，函数在上单调递减，其取值集合为， 函数在上单调递增，函数值集合为，因此存在，使得， 而，于是，不符合题意， 当时，，令，，当时，， 即在上单调递增，，，即有， 当时，，即，当且仅当时取等号，因此， 当时，，显然当时，，函数在上单调递减， ，不符合题意， 综上得，， 所以则的取值范围为. 故答案为： 【点拨】本题考查根据函数的最值求参数范围，解题的关键是去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，再利用导数研究其单调性与最值. 44.（2025·河南南阳一中·三模）已知函数，其中. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，若在区间上的最小值为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）当时，，则， 所以，则， 故所求切线方程为. （2）依题意，令，则，即， 解得或， ①当时，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以在上的最小值为， 令，即，即，即， 令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以，当且仅当时等号成立， 所以的解为. ②当时，， 所以在上单调递减， 所以在上的最小值为，不合题意. ③当时，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以在上的最小值为或， 又， 因为，所以，即， 所以，即，所以； 若，解得，与矛盾. 综上所述，. 【点拨】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究含参函数在闭区间上的最值，解题的关键是正确求导并对参数进行分类讨论，从而确定函数的单调性与最值情况. 考法15：最值结合不等式恒成立与存在性求参数 45.（2026·山东德州·二模）若存在，对任意的，都有，则当取到最大值时，的值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】若存在，对任意的，都有， 则对任意的恒成立， 设，则， 令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 所以， 设，则， 令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值， 所以当取到最大值时，的值为. 故选：A. 【点拨】本题考查利用导数解决不等式恒成立与存在性问题，解题的关键是将问题转化为求函数的最值，再构造函数利用导数求解. 46.（2026·湖北十堰一模）已知函数，为的导函数，若，使得，则实数的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意，定义域为， 因为恒成立，所以， 当且仅当，即时取等号， 则的值域为，且在上单调递增， 由，得， 因为，使得， 所以，即， 令，则，解得或（舍）， 所以，解得， 则实数的最小值为. 【点拨】将存在性与任意性问题转化为函数值域的包含关系，利用基本不等式求出导函数的最值是解题的关键. 47.（2026·安徽皖江名校联盟·最后一卷）已知函数. （1）求函数的单调区间和极值； （2）若恒成立，求实数. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值 （2） 【解析】（1）由已知得，， 令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 在处取得极小值，极小值为，无极大值. （2）由（1）知， 又，， ，， 所以，，使得， 当时，， 当时，， 因为恒成立， 所以当时，， 当时，， 所以也是的零点， 即， 又， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 又因为，且， 所以，即，即， 所以在上有两个零点， 不妨设为，则， 因为也是的零点，所以， 所以，即， 即， 所以， 此时，在上单调递减，在上单调递增， 且，，， 所以在上有两个零点，符合题意， 综上，. 【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，以及根据不等式恒成立求参数，解题的关键是根据两个函数的符号关系，转化为两函数具有相同的零点，再结合零点存在性定理求解. 考法16：极值最值与隐零点及放缩法综合证明 48.（2026·湖南长沙南雅中学·适应性保温训练）已知函数. （1）在处切线的斜率为，求的值； （2）若函数有两个极值点， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】（1）对求导： ， 因为在处切线斜率为，所以， 所以， 解得； （2）（i）函数的定义域为，极值点满足， 即， 整理得， 该方程在有两个不同正根， 所以判别式，解得， 两根之和，两根之积， 综上； （ii）由（i）知， 先计算： ， 代入， 且， 所以， 要证， 即证， 整理得， 令， 求导， 因为， 由零点存在定理，存在唯一的隐零点， 使得， 即， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 因此在处取得最大值， 将代入： ， 令， 由对勾函数性质知在上单调递增， ， 因此， 即， 故. 【点拨】利用韦达定理处理极值点之和与积，将双变量不等式转化为关于参数的单变量不等式，通过构造函数求最值完成证明. 49.（2026·安徽合肥·三模）已知函数，其中. 设为在内的极小值点，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】由题知，，即， 要证，即证， 令，则， 令，得， 再令，， 当时，，则单调递减， 所以，单调递减， 所以，从而，可得单调递减， 所以有， 则有， 因此. 【点拨】利用极值点方程替换参数，构造新函数并多次求导分析单调性，从而完成不等式的放缩证明. 50.（2026·河南濮阳·二模）已知函数. （1）令，讨论函数的单调性； （2）若函数有极大值点，求证. 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 （2）证明见解析 【解析】（1）由题意，，定义域为， ， 当时，，在上单调递增； 当时，令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）因为有极大值点，所以，即， 所以， 所以， 要证，即证， 即证， 因为，所以， 所以，即， 因为且， 当时，，即证， 当时，，即证， 所以只需证对任意且恒成立， 令， 则， 所以在上单调递增， 当时，，即， 当时，，即， 所以对任意且恒成立， 所以得证. 【点拨】利用极值点处导数为零消去参数，将目标不等式转化为关于的单变量不等式，构造函数求最值即可得证. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 极值与最值 · 分类练习 考点一：求函数的极值与极值点 考法1：根据导数图象与概念判断极值点 1.（2026·马鞍山一模）函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间上的极值点有（ 　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.若函数存在一个极大值与一个极小值满足，则至少有（ 　　）个单调区间. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3.已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ 　　） A. B. 函数在处取得最大值，在处取得最小值 C. 函数在处取得极大值，在处取得极小值 D. 函数的最小值为 4.已知函数的导函数为，则“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的（ 　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考法2：求具体函数的极值与极值点 5.（2026·广州一模）函数在区间上的极值点个数为（ 　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6.（2026·湖北新八校一模）函数的极大值点为（ 　　） A. B. C. D. 7.（2026·郑州二模）函数的所有极值点之和为＿＿＿＿＿＿. 8.（2026·淮北二模）已知均为实数，若的解集是且，则函数的极大值为＿＿＿＿＿＿. 9.（2025·金科新未来5月联考）已知函数的定义域和值域相同. （1）求； （2）记的导函数为，求的极小值. 考法3：含参函数的极值点个数问题 10.（2026·福州二模）已知函数有且仅有个极值点、、，且，则（ 　　） A. 为奇数 B. 为奇数 C. 若，则 D. 若，则 11.（2026·山东名校联盟5月评估）已知函数. 若函数有极大值点，求证. 考法4：含参函数的极值求解与讨论 12.（2026·中山二模）已知函数. （1）若，求的极小值； （2）讨论导函数的单调性. 13.（2025·江门一模）已知函数. 当时． （i）设，讨论函数在上的单调性； （ii）证明：对任意的，有． 考法5：极值与切线、单调性、对称性等综合 14.（2026·安庆二模）（多选）已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于任意的正整数，则（ 　　） A. B. 是极小值点 C. D. 15.（2025·山东名校考试联盟二模）（多选）已知函数，则（ 　　） A. 一定有两个极值点 B. 若，则或 C. 过点作曲线的切线有且仅有一条 D. 当时， 16.（2026·济南二模）已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若存在，使，求的取值范围. 考法6：极值与不等式证明及恒成立问题 17.（2026·德州三模）已知函数. 求的极值； 18.（2026·苏锡常镇四市二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）. （1）求的极值； （2）证明：. 19.（2025·青岛一模）已知函数，. （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个极值点，记极大值和极小值分别为，，证明：. 考点二：根据极值、极值点求参数 考法7：已知极值求参数 20.已知函数在处取得极大值，则（ 　　） A. 8 B. C. 2 D. 21.若函数无极值，则的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 22.函数在区间上存在极值，则的最大值为（ 　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 23.若是函数的极大值点，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 考法8：已知极值点求参数 24.（2025·江西5月联考）已知是函数的极值点，则（ 　　） A. 2 B. C. 1 D. 25.已知函数在处取得极小值，则实数的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 26.（2026·南京二模）已知函数有两个极值点，且，则＿＿＿＿＿＿. 27.（2026·黄山一模）若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为＿＿＿＿＿＿. 考法9：根据极值点个数求参数范围 28.（2025·江西九师联盟5月检测）已知函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 29.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围（ 　　） A. B. C. D. 30.（2026·长沙长郡中学二模）函数. （1） 时，求在处的切线方程； （2） 若有两个极值点，求的取值范围. 31.（2026·九江二模）已知函数. （1） 在处 切线的斜率为，求的值； （2） 若函数有两个极值点， （i） 求的取值范围； （ii） 证明：. 考法10：极值点结合不等式与切线综合求参数 32.（2026·东营一模）已知函数， 若函数在处取得极值， （i）求的值； （ii）已知，若在上恒成立，求实数的取值范围. 考点三：求函数的最值 考法11：求具体函数的最值 33.（2026·滨州二模）已知函数，则函数的最大值为＿＿＿＿＿＿. 34.已知函数在区间上最大值为，最小值为，则的值是＿＿＿＿＿＿. 考法12：求含参函数的最值 35.（2025·福建百校联考5月押题）已知函数. （1）求函数的极值点； （2）若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 36.已知函数．讨论函数的最值； 37.（2024·上饶六校联盟模拟）已知函数. （1）若，求的极值； （2）若，求的最大值. 考法13：最值与不等式、方程综合 38.（2025·江西5月联考）已知为坐标原点，直线与函数的图象分别交于两点，则面积的最大值为＿＿＿＿＿＿. 39.（2025·江西重点中学盟校联考）已知函数，若，则的最小值为＿＿＿＿＿＿. 40.（2026·德州二模）已知函数. 求在上的最大值； 考点四：根据最值求参数及综合应用 考法14：已知最值求参数 41.（2026·随州三模）已知，函数的最大值为，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 42.若函数在区间上存在最小值，则整数的取值可以是＿＿＿＿＿＿. 43.已知函数的最小值为，则的取值范围为＿＿＿＿＿＿. 44.（2025·南阳一中三模）已知函数，其中. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，若在区间上的最小值为，求的值. 考法15：最值结合不等式恒成立与存在性求参数 45.（2026·德州二模）若存在，对任意的，都有，则当取到最大值时，的值为（ 　　） A. B. C. D. 46.（2026·十堰一模）已知函数，为的导函数，若，使得，则实数的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 47.（2026·皖江名校联盟最后一卷）已知函数. （1）求函数的单调区间和极值； （2）若恒成立，求实数. 考法16：极值最值与隐零点及放缩法综合证明 48.（2026·长沙南雅中学适应性保温训练）已知函数. （1）在处切线的斜率为，求的值； （2）若函数有两个极值点， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 49.（2026·合肥三模）已知函数，其中. 设为在内的极小值点，求证：. 50.（2026·濮阳二模）已知函数. （1）令，讨论函数的单调性； （2）若函数有极大值点，求证. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $