1.3 三角形全等的判定（讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦三角形全等的判定核心知识点，系统梳理SSS、SAS、ASA、AAS四种判定定理，结合尺规作图原理（SSS），通过易错辨析（SSA、AAA不能判定全等）和综合题型（辅助线、图形变换），构建从基础定理到实际应用的完整学习支架。 该资料通过对比表格（如四大判定定理对比）培养抽象能力与几何直观，“解题贴士”和“易错提醒”强化推理意识，如SSS判定中工人师傅用角尺平分角的实例。规范符号语言与作图步骤提升数学语言表达，课中随学随练助教师高效授课，课后分层练习（基础通关、素养提升）帮学生查漏补缺。

第一章 三角形 1.3 三角形全等的判定 课标要点 1.经历三角形全等判定条件的探究过程，掌握普通三角形全等的四种判定方法：边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS），准确理解每种判定定理的对应边角条件，明确“对应”的核心要求，清楚区分各类判定定理的适用场景。 2.能结合已知条件、图形隐含条件（公共边、公共角、对顶角、平行边角关系等），分析、筛选合适的全等判定定理，完成三角形全等的推理判定。 3.掌握三角形全等证明的基本解题思路与书写规范，能够按照几何证明格式，规范书写已知、求证、证明过程，做到推理步步有据、逻辑清晰、格式标准。 4.理解“边边角（SSA）、角角角（AAA）”不能判定三角形全等的原因，能准确辨析易错判定条件，规避全等判定中的常见误区。 5.能利用三角形全等的判定与性质，结合三角形内角和、边角关系等知识，解决线段相等、角相等的证明问题和简单几何综合问题，提升几何演绎推理能力。 6.熟练掌握完整尺规作图步骤，保留全部作图痕迹；理解作图原理为SSS全等判定（同圆、等圆半径相等，构造三边对应相等的全等三角形，实现角度相等）；能独立完成作图，可用于后续作平行线、作三角形题型。 学习重难点 重点： 1.熟练掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种普通三角形全等判定定理。 2.能根据题干已知条件和图形隐含条件，灵活、准确选择合适的判定方法证明三角形全等。 3.掌握几何全等证明的规范书写格式，步骤完整、依据准确，养成严谨的几何书写习惯。 4.利用三角形全等判定与性质，证明线段相等、角相等，解决基础几何证明与计算题型。 难点： 1.精准辨析各类全等判定定理的差异，准确区分可判定与不可判定的条件，理解SSA、AAA不能判定全等的本质原因，规避易错点。 2.从复杂图形中挖掘隐藏条件（公共边、公共角、对顶角、垂直、平行产生的等角等），自主补齐全等判定所需条件。 3.多步递进型几何推理，先推导边角条件，再判定全等，最后利用全等性质得出结论，构建完整逻辑推理链。 4.解决全等三角形的变式、旋转、翻折类几何题型，突破图形变换带来的识图难点，精准定位对应边角关系。 知识点 判定定理一：边边边（SSS） 1.判定定理：三边分别相等的两个三角形全等（简写成：边边边，或SSS）。 2. 标准符号语言： 在△ABC和△DEF中 ∴ △ABC≌△DEF（SSS） 3.三角形的稳定性：当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全确定，这个性质叫作三角形的稳定性。 随学随练 1．（2026·山西运城·三模）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．在验证结论时，判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵角尺两边相同的刻度分别与点重合， ∴， ∵，， ∴． 2．（2026·云南保山·二模）如图，是线段的中点，，．求证：． 【答案】 证明：是线段的中点， ． 在和中， ，                         ． 【分析】根据中点的性质得到，再由证明三角形全等． 【详解】略 知识点 判定定理二：边角边（SAS）（重点） 1.判定定理二：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成：边角边，或SAS）。 2.标准符号语言 在△ABC和△DEF中 ∴ △ABC≌△DEF（SAS） 易错提醒 容易混淆“夹角”和“对角”，误用SSA判定全等。只要不是两边中间的角，无论角度数值多大，都不能用SAS，SSA无全等判定效力，考试直接判错。 随学随练 1．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）如图，已知，要使，则需添加的条件是_____（填一个即可）． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，核心是结合已知条件选择合适的判定方法．已知，且是与的公共边(即)，目前已有一组角和一组边对应相等，根据全等三角形的、、判定定理，补充对应条件即可． 【详解】解：以添加为例， 在和中， ，，， ． 故答案为：(答案不唯一)． 2．（2026·云南昆明·二模）如图，在和中，，，． 求证：． 【答案】证明：在和中 ， 【分析】根据题干的条件，由“边角边”证明两三角形全等即可． 【详解】略． 知识点 判定定理三：角边角（ASA）（重点） 1.判定定理三：两个角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成：角边角，或ASA）。 2.标准符号语言 在△ABC和△DEF中 ∴ △ABC≌△DEF（ASA） 易错提醒 审题时务必看清边的位置：夹边用ASA，对边用AAS。书写定理简写必须精准对应，不可混用、错写，简写错误会扣除步骤分。 随学随练 1．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形可知两角及夹边是已知条件即可判断． 【详解】解：由图可知，左上角和左下角可测量，为已知条件， 两角的夹边也可测量，为已知条件， 故可根据即可得到与原图形全等的三角形，即亮亮画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等． 2．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，一块三角形模具碎成了三块，可以只带其中一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具，你选择带的那块编号是________． 【答案】 【分析】要配一块与原来一样的三角形模具，即要构造一个与原三角形全等的三角形，需根据全等三角形的判定定理寻找包含足够条件的碎片． 【详解】第块只保留了一个角和部分边，无法确定三角形的形状和大小； 第块不包含完整的边和角，无法确定三角形的形状和大小； 第块保留了两个角和这两个角的夹边，根据全等三角形的判定定理“角边角”，即两角及其夹边对应相等的两个三角形全等， 带第块去商店，可以配一块与原来一样的三角形模具． 3．（2026·云南昆明·一模）如图，与相交于点，，．求证：． 【答案】 证明：在和中， ， ． 【分析】由“”即可证明． 【详解】略 知识点 判定定理四：角角边（AAS）（重点） 1.判定定理三：两角分别相等且其中一组角的对边相等的两个三角形全等（简写成：角角边，或AAS）。 2.标准符号语言 在△ABC和△DEF中 ∴ △ABC≌△DEF（AAS） 教材延伸 三边相等用SSS，两边夹角用SAS；两角夹边ASA，两角对边AAS；边边角、角角角，判定全等皆无效。 随学随练 1．（25-26八年级上·新疆和田·期末）如图，已知，要根据，判定，则需要补充的一个条件为____________． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定的依据添加合适的条件即可． 【详解】解：补充的一个条件为， ∵，，， ∴， 故答案为： 2．（2026·云南德宏·一模）如图，，，垂足分别为，，．求证：． 【答案】 证明： ，， ， 在和中， ， ． 【分析】先由垂直条件推出两个直角相等，再结合题目给的角相等和公共边，用判定两个三角形全等． 【详解】略 知识点 尺规作图 1.已知三边（），作三角形： 步骤一：作线段 AB=c； 步骤二：以点A为圆心，为半径作弧，以 B 为圆心，为半径作弧，两弧相交于点 C； 步骤三：连接 AC，BC，△ABC 即为所求。（如图1） 图1 图2 图3 2.已知两边及夹角（边：角：），作三角形： 步骤一：作线段 AB=； 步骤二：以A为顶点作∠DAB=α； 步骤三：在射线AD上截取AC=； 步骤四：连接BC，△ABC 即为所求。（如图2） 3.已知两角及夹边（角：，边：），作三角形： 步骤一：作线段 AB=； 步骤二：以A为顶点作∠DAB=α，以B为顶点作∠EBA=β，AD与BE相较于点C，△ABC 即为所求。（如图3） 4.已知∠AOB，作∠AˊOˊBˊ，使∠AˊOˊBˊ=∠AOB： 步骤一：以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA，OB于点C，D； 步骤二：作一条射线O’A’，以点O’为圆心，OC为半径作弧，交O’A’于点C’； 步骤三：以点C’为圆心，CD长为半径作弧，交弧于点D’； 步骤四：过点Oˊ，D’作射线O’B’，∠A’O’B’即为所求。（如图4） 5.过直线AB外一点P作直线CD，使得AB∥CD： 步骤一：在直线AB上取一点F，过点P，F作直线PF； 步骤二：作∠EPD=∠EFB； 步骤三：延长DP得直线CD，CD即为所求。（如图5） 图4 图5 易错提醒 禁止使用直尺刻度测量长度、角度，禁止徒手描摹圆弧；所有线段长度、角度相等均通过圆规截弧实现，作图痕迹（圆弧、辅助线）必须全部保留，遗漏痕迹直接扣分。 随学随练 1．（25-26七年级下·河南郑州·期中）已知：线段，，（如图）． 求作：，使，，． 【答案】见解析 【分析】画射线，以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交的两边于点，；以相同长度为半径，B为圆心画弧，交于点F，以F为圆心，为半径画弧，两弧交于点E，作射线；以B为圆心，a为半径画弧交射线于点C，以B为圆心，c为半径画弧交射线于点A，连接即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 2．（2026·陕西西安·三模）如图，已知，请用尺规作图法在边上求作点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】解：如图所示：点即为所求. 【分析】以为顶点，为一边，与点在的同侧作射线使得，交于点，则点即为所求. 【详解】略 3．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，点是线段上的一点，请用尺规过点作直线，使，交线段于点．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：直线即为所求． 【分析】以为一边，在的同侧作，交于点即可． 【详解】略 拓展 四大三角形全等判定定理对比 判定定理 判定条件 核心关键 是否可推导唯一三角形 特殊性质/备注 SSS（边边边） 三组对应边相等 无需角度条件 是 三角形具有稳定性；等角作图核心原理 SAS（边角边） 两组对应边+一组夹角相等 必须是夹角，SSA不能判定全等 是 易混淆易错点：两边非夹角无法判定 ASA（角边角） 两组对应角+一组夹边相等 边为两角的公共夹边 是 边角位置固定，唯一性强 AAS（角角边） 两组对应角+一组对边相等 边为其中一角的对边，非夹边 是 可由内角和180°+ASA推导得出 活学活用 1．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，请在下列五个条件中任选三个作为命题的题设，其余两个作为命题的结论，进行证明． ①；②；③；④；⑤． 题设： 结论： 证明： 【答案】 题设：①；②；③； 结论：④；⑤． 证明：∵， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴． 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，根据题意选择三个条件，然后证明出，然后根据全等三角形的性质证明即可． 【详解】略 2．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图所示，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连接． (1)你认为与相等吗？并说明理由； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)，理由如下： 因为点为中点， 所以． 在和中， ， 所以， 所以； (2) 【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质，进行解答即可； （2）根据全等三角形的判定与性质、垂直的定义，进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， 所以， 所以． 因为是的中点，， 所以， ． 又因为， 所以， 所以． 拓展 三类三角形尺规作图对比 作图类型 已知条件 作图核心顺序 依托定理 作图唯一性 已知三边作三角形 三条线段边长 定基准边→双弧交汇→连线成型 SSS 唯一 已知两边及夹角作三角形 两条边、一个夹角 定基准边→作等角→截边长→连线 SAS 唯一 已知两角及夹边作三角形 两个角、一条夹边 定基准边→两端作等角→射线交汇 ASA 唯一 活学活用 1．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知线段，和，请用尺规作图，作，使，，．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】先作出，然后在边上截取得到点B，在边上截取得到点C，连接即可得到符合要求的图形． 【详解】解：如图所示，即为所求． 拓展 全等与作图综合扩展 1.绝对不能判定全等的情况：SSA（两边及非夹角）、AAA（三角对应相等）均无法判定三角形全等。AAA仅能证明三角形相似，形状相同、大小不一定相同；SSA无法固定三角形形状，存在两种作图可能。 2.全等与作图综合题型：考试常考“先作图、再证明”，即按条件尺规作图后，利用全等定理证明所作图形符合题干要求，融合实操与推理。 活学活用 1．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，点D是外一点，连接，已知，． (1)在内求作一点M，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，尺规作图： （1）以点A为圆心，的长为半径画弧，再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，即可； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点M即为所求； （2）解：，， ． ． ， ． ． 题型 用SSS证三角形全等 解题贴士 优先找公共边，通过线段和差等量代换补齐第三组边。 ▌例1．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，若，，则可得．其判定依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，利用证明三角形全等即可． 【详解】解：在和中， ，，， ， 故选：A． ▌例2．（2026·云南昆明·一模）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：， ， ． 在与中 ， ． 【分析】根据得出，根据“”即可证明． 【详解】略 ▌对点练1-1．（25-26八年级上·河北邢台·期末）学了全等三角形的判定后，嘉嘉编了这样一个题目：“如图，，，，求证：”．老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知条件是________． 【答案】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据即可得到，则可以确定这个条件多余． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴可以去掉的一个已知条件， 故答案为：． ▌对点练1-2．（2026·云南昭通·一模）如图，已知点A、B、E、D在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】 解：， ， 即． 在和中， ， ． 【分析】根据“”直接证明全等即可． 【详解】略 ▌对点练1-3．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，相交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形判定及性质．根据题意可证明，继而利用全等性质即可得到本题答案． 【详解】证明：如图，连接， 在与中，， ， ． 题型 用SAS证三角形全等 解题贴士 先证边等→再证夹角等→最后写SAS结论。 ▌例1．（2026·贵州遵义·二模）下列三角形中，一定是全等三角形的是（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【详解】解：A、①和②只有一组角对应相等，无法证明全等，不符合题意； B、①和③两边对应相等，且两边的夹角对应相等， ∴可以根据证明全等，符合题意； C、③和④相等的角不是对应边的夹角，无法证明全等，不符合题意； D、①④相等的角不是对应边的夹角，无法证明全等，不符合题意． ▌例2．（2026·云南临沧·二模）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】由可得，进而可证明． 【详解】略 ▌对点练1-1．（25-26八年级上·湖北黄石·期末）如图，在中，．将从点处沿虚线剪开，若，当线段BD的长度为__________时，剪下的两个三角形全等． 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，当时，利用即可证明两个三角形全等． 【详解】解：如图所示，当时，， 则， ∴， 故答案为：2． ▌对点练1-2．（2026·湖北襄阳·一模）如图，点C在线段上，，且，．连接，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】根据平行线的性质得，再根据即可得证． 【详解】略 ▌对点练1-3．（2026·四川乐山·中考真题）如图，已知，．求证：． 【答案】证明：在和中， ，，， ， ． 【分析】利用证明，即可证明． 【详解】略 题型 用ASA证三角形全等 解题贴士 1）判定核心：两组对应角相等＋两角所夹的对应边相等； 2）适用场景：题干有平行、垂直、公共边、两角条件充足。 ▌例1．（2026·云南文山·一模）如图，点，都在线段上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即． 在和中， ∵， ∴． 【分析】根据角边角的证明方法证明即可． 【详解】略 ▌对点练1-1．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，，，垂足分别为D，E，．下列选项中，可以直接作为判定的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由判定，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴可以直接作为判定的依据是． ▌对点练1-2．（2026·陕西渭南·模拟预测）如图，在中，平分，延长至点，使得，连接，．求证：． 【答案】证明：∵平分， ∴ ∵， ∴ ∴． 【分析】证明即可． 【详解】略 ▌对点练1-3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，，，，垂足分别为，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 【分析】证明即可． 【详解】略 题型 用AAS证三角形全等 解题贴士 角度条件多、缺少夹边时，优先用AAS判定。 ▌例1．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，点，，，在同一直线上，已知，，添加下列一个条件，不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：已知，， ，即， A选项，当时，， B选项，当时，不能判定， C选项，当时，， D选项，当时，． ▌例2．（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，点在同一直线上，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵ ∴， ∵， ∴． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·山东·期中）如图，，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以为______________（写出一个即可）． 【答案】或或（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使两个三角形全等，熟记三角形的判定定理是解决问题的关键． 根据题意，可知，，添加，由即可证明；添加，由即可证明；添加，由即可证明；从而得到答案． 【详解】解：如图所示： ，， 添加时， 在和中， ， ； 添加时， 在和中， ， ； 添加时， 在和中， ， ； 故答案为：或或（答案不唯一）． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，已知，，．试说明：． 【答案】证明：∵， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】先证明，再解答即可 【详解】略 ▌对点练1-3．（2026·陕西·一模）如图，，点在上，与交于点，且为的中点．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． 【分析】先利用平行线的性质得出，再通过判定和全等，最后根据全等三角形对应边相等得出结论． 【详解】略 题型 尺规作图 解题贴士 1）作已知等角：原理为SSS全等，通过截取等弧保证两角相等，必须保留作图圆弧痕迹； 2）作三角形：三边条件用SSS作图；两边夹角用SAS作图；两角夹边用ASA作图； 3）过直线外一点作平行线：先作同位角/内错角等于已知角，利用等角平行原理作图； 4）得分规范：保留所有作图痕迹，不擦圆弧，标注字母与垂足。 ▌例1．（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）如图，已知线段a，b和，用直尺和圆规作一个，使得 ，．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图—作三角形，先作射线，再以点A为圆心，线段的长为半径画弧交射线于D，接着以点D为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于B，再接着作，最后以点A为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于C，连接，则即为所求． 【详解】解：如图所示，即为所求． ▌对点练1-1．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，，．利用圆规与无刻度直尺作三角形，使得，且满足．（不写过程和证明，保留作图痕迹） 【答案】 如图，三角形即为所求． 【分析】本题主要考查尺规作三角形，熟练掌握尺规作角等于已知角、作线段等于已知线段是解题的关键． 先作， 在射线上截取， 在射线上截取，再连接即可． 【详解】略 ▌对点练1-2．（2026·西藏日喀则·三模）尺规作图：如图，已知，求作，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】本题考查基本尺规作图，利用作一个角等于已知角的方法即可作出符合要求的． 【详解】解：即为所求． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，点是的边延长线上一点，请使用尺规作图法在上方求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】以点为圆心，任意半径画弧交于点，交于点，以点为圆心，为半径画弧交于点，以点为圆心，为长度画弧，两弧交于点，作射线，点即为所作． 【详解】解：点即为所作， 题型 全等三角形与尺规作图综合 解题贴士 1）从作图痕迹中提取等边、等角条件，匹配SSS/SAS/ASA/AAS证全等； 2）利用全等对应边角相等，转移已知条件，求解未知边长、角度。 ▌例1．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图1，已知，，线段，求作． 作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法． 根据题中的图形，可以得到 ，，，再根据全等三角形的判定方法，求解即可． 【详解】解：由作图可知， ，，， 则这个作图的依据是：两角及夹边对应相等的两个三角形全等，即． 故选C． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·湖南益阳·期末）（1）已知的直角边和斜边分别等于如图所示的线段a、c的长，请用直尺和圆规作出．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在下面的网格图中的顶点都在格点上，请在网格图中找出所有符合条件的点D，使得． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，尺规作三角形， （1）作直线l，在直线l上取点C，以点C为圆心，a为半径画弧，交l于点B，D，然后作出的垂直平分线，以点B为圆心，以c为半径画弧，交的垂直平分线于点A，连接即可； （2）根据全等三角形的判定求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，点D即为所求． ▌对点练1-2．（25-26七年级上·山东泰安·期中）尺规作图． 已知：（如图）． 求作：，使与全等． 要求： (1)不写作法，保留作图痕迹； (2)写出作图时选取的相等的边或角． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作三角形，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）利用，作射线，截取，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，即可； （2）根据进行作答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）由作图，． 题型 全等三角形辅助线问题 解题贴士 1）中线倍长法：遇中线，延长中线至两倍长，构造SAS全等，转移边角； 2）公共边/公共角法：图形共边共角直接用作条件，快速凑全等要素； 3）截长补短法：线段和差题型，长截短、短补长，构造全等转化线段。 ▌例1．（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，，，分别是的边，，上的中线，三条中线相交于点，下列说法错误的是（   ） A．点是的重心 B．和的面积相等 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质，重心的定义，全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形的中线性质是解答的关键． 根据三角形中线的性质，重心的定义，全等三角形的判定与性质逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：，，分别是的边，，上的中线，三条中线相交于点， ∴点是的重心，故A正确， ∴，， ∴ ∴ ∴ 同理可得 ∴ ∴ 又∵是的中点，则 ∴，故B正确， ∵不一定成立， ∴不一定成立，故C错误； 如图，延长至，使得，连接， ∵是的中点， ∴， 又， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，故D正确 故选：C． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·广东潮州·期中）如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)5 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）先根据角平分线得，再根据就可得出，即可得出结论； （2）在上截取，先证，再证，即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 分别是、的角平分线， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，在上截取，连接， 分别是、的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中， 是 边上的中线，，，若 边的长为整数，求 边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 至点 ，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．                B．               C．                D． (2)根据小明的方法思考，可得 的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②， 是的中线，交 于点 ，交 于点 ，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长 至点 ，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，， ， ，连结 、，取 的中点 ，连结．若，则　　　　． 【答案】(1)B (2)2（或3，4，5，6之一） (3)证明：如图③，延长 至点 ，使，连接． 同（1），可证， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴． (4)4 【分析】（1）由题意知，，，可得； （2）由得，在中，根据三角形三边关系可得，进而即可求解； （3）倍长 至E，连 ，同（1）可证， 得出，结合，可得，由等边对等角可得，等量代换后可得，根据等角对等边即可得出结论； （4）倍长 至G，连，同（1），可证，进而证明，可得. 【详解】（1）解：在和中， ， ， 故选：B； （2）解： ， ， 在中，，，，， ∴， 即， ∵ 为整数，， ∴ 的长可以为 2，3，4，5，6 中之一. （3）略 （4）解：如图，延长至点 ，使，连， ∴， 同（1），可证， ∴. ∵ ， ∴， ∵， ∴. 在 中，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，中线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握倍长中线的辅助线作法是解题的关键． 基础通关 1．（25-26七年级下·山西晋中·期末）判定两个三角形全等的方法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 任意三角形全等的判定方法包括，，，，这些方法可用于判定三角形全等，直角三角形还有专属判定方法， 即两边及其中一边的对角对应相等，不能判定两个三角形全等，因此是错误的判定方法． 2．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图，做一个角平分仪，其中，，将角平分仪上的顶点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点、画一条射线，则，所以，就是的平分线，其中判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在和中， ， ∴． 3．（2026·河北邯郸·二模）如图，甲、乙两人分别沿不同的路线从地到地的路程分别为和．下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长、交于点，易证明，则、，进而求出和，根据三角形三边关系得到，据此求出和的关系． 【详解】解：延长、交于点， 由图甲可知，、，由图乙可知，、， 、， 在和中， ， ， 、 、， ， 、， ， ． 4．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，已知，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；再以点为圆心，大于的长为半径画弧，分别交，于点，，连接，，则，其全等的依据是________．（填“”或“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】根据作图过程和全等三角形的判定可得答案． 【详解】解：由作图过程得，， 在和中， ∴． 5．（25-26七年级下·上海虹口·期末）如图，已知在的方格中，点、、、、均在格点上，那么____________度． 【答案】90 【分析】取格点F，连接，，得到，得到，进而求解即可． 【详解】解：取格点F，连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26七年级下·陕西渭南·期末）如图，在和中，，，．试说明． 【答案】证明：∵，，， ∴， ∴． 【分析】直接利用证明即可. 【详解】略 7．（2026·广东广州·二模）如图，已知，，．求证：． 【答案】证明：， ， 在和中， ， ， ． 【分析】先根据平行线的性质证明，再根据全等三角形的判定证明，即可证明结论． 【详解】略 8．（2026·云南昭通·一模）如图：在四边形中对角线平分，；求证：． 【答案】见解析 【分析】由平分得，结合，，根据证明，进而得． 【详解】证明：平分， ， 在和中， ， ， ． 9．（2026·福建厦门·三模）如图，点B， E， C， F在同一条直线上， ，，，求证：． 【答案】证明：∵点B， E， C， F在同一条直线上， ， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴． 【分析】根据，得到，证明，即可得证. 【详解】略 10．（2026·云南昆明·二模）如图，在和中，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据两边及其夹角相等证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 11．（2026·湖北随州·二模）如图，与相交于点O，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，平行线的性质；先由平行线的性质可得，，再结合，即可判定，进而得出． 【详解】证明：， ∴，， 在和中， ∴， ∴． 12．（2026·江苏南京·一模）如图，在中，平分，延长至点，使得，连接，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵平分， ∴ ∵， ∴ ∴． 素养提升 1．（25-26七年级下·广东佛山·期中）已知：如图，点E，F在上，，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是_________．理由是： 【答案】 ②， 理由：∵， ∴， 在和中 ∴； ③； ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴. 若选①，满足的是边边角，不能判定两个三角形全等. 【分析】根据全等三角形的判定方法结合平行线的性质逐一判断证明即可. 【详解】略. 2．（25-26七年级上·山东烟台·期中）为了测量一幢高楼高，在旗杆与楼之间选定一点P，测得旗杆顶C视线与测楼顶A视线两线夹角为，即．量得P到楼底距离与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为米，计算楼高是多少米？ 【答案】25米 【分析】利用全等三角形的判定方法得出，进而得出的长． 【详解】解：由题意知，米， ∵， ， 在和中， ， ∴， ， 米，米， 米， 答：楼高是25米． 3．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图，点，，，在同一条直线上，，相交于点，，，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由如下： 因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 在和中， ， 所以， 所以， 所以； (2) 【分析】（1）根据平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，进行解答即可； （2）根据全等三角形的性质、三角形的内角和定理，进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， 所以，， 所以． 4．（25-26七年级下·陕西渭南·期末）如图，已知点，，，在一条直线上，，，． (1)请说明； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵ ∴． (2) 【分析】（1）根据三角形的判定证明即可； （2）利用三角形内角和，全等三角形的性质，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴． ∵，， ∴； 5．（25-26七年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，分别是，边上的中点，与交于点． (1)若，求； (2)求证：； (3)点在线段上（点不与点，点重合），连接并延长到点，连接，若平分四边形的面积．求证：． 【答案】(1)10； (2)分别是边上的中点， 分别是的中线，． 如下图，连接， ，， ． ， ， ； (3)证明：连接， 是边上的中点， ， ， 平分四边形的面积， ， ， ． 是边上的中点， ， ， ， ． 在和中， ， ， ． 【分析】（1）先求出，根据三角形的面积公式可得答案； （2）由三角形面积和中线的性质，先证，再根据中线的性质，证，即可得答案； （3）由三角形面积、三角形的中线、平分四边形的面积，证明，再证，得，再证，得，即可得答案． 【详解】（1）解：是边上的中点， ； （2）略； （3）略． 6．（25-26七年级下·山西运城·期末）阅读与思考 再探判定三角形全等的条件 几何主要研究图形形状、大小、位置，若两个三角形形状相同，大小也相同．即这两个三角形全等．它们通过平移、旋转或轴对称变化可完全重合． 回顾探究判定方法过程：根据条件作三角形，若只可作出唯一的三角形，即可知这些条件可作为三角形全等的判定方法．小红在已知两边及其一边对角作三角形时，也可作出唯一三角形，小丽也同样作出唯一三角形． 小红：已知． 如图． 小丽：已知． …… 任务： (1)按照小丽的条件，作出（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)按照小丽，小红所给条件，作出唯一三角形，但“”未作为判定三角形全等方法，一定有“”不成立的情况，类比小红、小丽的思路画图举出反例并进行适当的标注说明（作图工具不限）． (3)木工师傅拿一些木条制作四边形模型．已有模型框架如图，木条钉在同一点处．此时平分，是上固定一点，选取两根长度相等的木条，将两根木条的一端都钉在处，另一端分别钉在木条上，师傅钉完后发现有两种不同形状模型．如图1，如图2． 通过测量发现模型2中四边形面积比模型1中四边形面积大，且．此时四边形的面积为______，请说明钉出两种不同模型的原因． 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2)解：如图，，即为所求； (3)20，两边和其中一边的对角确定，且这个对角为锐角，作出的三角形不唯一 【分析】（1）根据要求逐步作图即可； （2）作，在角的一边上截取，再以为圆心，为半径画弧交角的另一边于，进一步完成作图即可； （3）证明当时，或，在图2中，，，可得，而不全等，可得当时，全等，进一步分析求解. 【详解】（1）解：作直线，过作直线的垂线，在垂线上截取，在直线上取点，且，则即为所求； 作图略 （2）解：作，在角的一边上截取，再以为圆心，为半径画弧交角的另一边于，则， 显然：，两个三角形不全等. 作图略 （3）解：如图，在图2的上截取，连接， 在图1中， ∵平分， ∴，，， 此时不一定全等， 当时， ∴或， 在图2中，，， ∴，而不全等， ∵， ∴当时， ∴全等， ∴的面积相等， ∵模型2中四边形面积比模型1中四边形面积大， ∴的面积为， ∵， ∴的面积为， ∴模型1中四边形面积为； ∴钉出两种不同模型的原因是：两边和其中一边的对角确定，且这个对角为锐角，作出的三角形不唯一. 7．（25-26七年级下·贵州毕节·期末）【探究】 (1)如图1，是 的中线，且，延长至点，使，连接 ，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ．                【应用】 (2)提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是 的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 (3)根据以上经验，如图3，，，，连接 、 ，是的中点，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明：如图3，是的中点，延长至点，使，连接， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，根据三角形内角和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）按照边角边证明三角形全等即可． （2）按照（1）中方法延长，使，利用三角形全等证明，再利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求出的取值范围． （3）按照（1）中方法延长，使，证明、即可证明出结论． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 在和中， ∴， （2）解：如图2，是 的中线，，，延长至点，使，连接，则， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴在，根据三角形三边关系得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）略 迁移创新 1.（河北沧州·三模）如图，甲、乙二人分别从地前往地，若，两地之间的距离为千米，甲行走的路线为千米．若乙行走的路线为整数千米，则乙行走的路线可能为________千米．（写出一个合理的答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】延长、交于点，连接，证明得到，，推出千米，由三角形的三边关系得，，推出，由，得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，延长、交于点，连接， 由题意可得千米，千米， ，，， ， ，， 千米， ，， ， 即， ， ， ， ， 乙行走的路线可能为（答案不唯一）． 2．（25-26七年级下·广东佛山·期末）利用三角形全等测距离． (1)任务1：目测出操场上与你距离相等的两个点 方案：第一步：在C点处面向B点的方向站好，调整帽子，使视线从A点通过帽檐正好落在B点； 第二步：转过一个角度，保持刚才的姿态，视线从D点通过帽檐正好落在F点． 示意图： 原理： ，， ． 又，， （______ ）， ______． (2)任务2：测量输电线路长度 任务简介：如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A、B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出A、B间的距离，请你设计一个方案，测出A、B间的距离，并作出示意图． 方案：第一步：________________________； 第二步：________________________； （可适当添加步骤）…… 示意图（请按方案补充完整） 【答案】(1)，， (2)在池塘外取可同时到达、的点，连接AC并延长至点，使；连接并延长至点，使； 测量的长度，的长度就是、两点间的距离． 【分析】（1）由 ， 可得两个直角相等，根据条件可以看出两角夹一边，即判定两个三角形全等，进而得到三角形对应边相等； （2）通过构造 ，得到，通过测量的长度即可． 【详解】（1）∵ ， ， ∴， ∵，， （）， （2）第一步：在池塘外取可同时到达、的点，连接并延长至点，使；连接并延长至点，使； 第二步：测量的长度，的长度就是、两点间的距离． 在和中， ， ，， ∴ ， ∴ 图略 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角形 1.3 三角形全等的判定 课标要点 1.经历三角形全等判定条件的探究过程，掌握普通三角形全等的四种判定方法：边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS），准确理解每种判定定理的对应边角条件，明确“对应”的核心要求，清楚区分各类判定定理的适用场景。 2.能结合已知条件、图形隐含条件（公共边、公共角、对顶角、平行边角关系等），分析、筛选合适的全等判定定理，完成三角形全等的推理判定。 3.掌握三角形全等证明的基本解题思路与书写规范，能够按照几何证明格式，规范书写已知、求证、证明过程，做到推理步步有据、逻辑清晰、格式标准。 4.理解“边边角（SSA）、角角角（AAA）”不能判定三角形全等的原因，能准确辨析易错判定条件，规避全等判定中的常见误区。 5.能利用三角形全等的判定与性质，结合三角形内角和、边角关系等知识，解决线段相等、角相等的证明问题和简单几何综合问题，提升几何演绎推理能力。 6.熟练掌握完整尺规作图步骤，保留全部作图痕迹；理解作图原理为SSS全等判定（同圆、等圆半径相等，构造三边对应相等的全等三角形，实现角度相等）；能独立完成作图，可用于后续作平行线、作三角形题型。 学习重难点 重点： 1.熟练掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种普通三角形全等判定定理。 2.能根据题干已知条件和图形隐含条件，灵活、准确选择合适的判定方法证明三角形全等。 3.掌握几何全等证明的规范书写格式，步骤完整、依据准确，养成严谨的几何书写习惯。 4.利用三角形全等判定与性质，证明线段相等、角相等，解决基础几何证明与计算题型。 难点： 1.精准辨析各类全等判定定理的差异，准确区分可判定与不可判定的条件，理解SSA、AAA不能判定全等的本质原因，规避易错点。 2.从复杂图形中挖掘隐藏条件（公共边、公共角、对顶角、垂直、平行产生的等角等），自主补齐全等判定所需条件。 3.多步递进型几何推理，先推导边角条件，再判定全等，最后利用全等性质得出结论，构建完整逻辑推理链。 4.解决全等三角形的变式、旋转、翻折类几何题型，突破图形变换带来的识图难点，精准定位对应边角关系。 知识点 判定定理一：边边边（SSS） 1.判定定理：三边分别相等的两个三角形全等（简写成：边边边，或SSS）。 2. 标准符号语言： 在△ABC和△DEF中 ∴ △ABC≌△DEF（SSS） 3.三角形的稳定性：当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全确定，这个性质叫作三角形的稳定性。 随学随练 1．（2026·山西运城·三模）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．在验证结论时，判定的依据是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·云南保山·二模）如图，是线段的中点，，．求证：． 知识点 判定定理二：边角边（SAS）（重点） 1.判定定理二：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成：边角边，或SAS）。 2.标准符号语言 在△ABC和△DEF中 ∴ △ABC≌△DEF（SAS） 易错提醒 容易混淆“夹角”和“对角”，误用SSA判定全等。只要不是两边中间的角，无论角度数值多大，都不能用SAS，SSA无全等判定效力，考试直接判错。 随学随练 1．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）如图，已知，要使，则需添加的条件是_____（填一个即可）． 2．（2026·云南昆明·二模）如图，在和中，，，． 求证：． 知识点 判定定理三：角边角（ASA）（重点） 1.判定定理三：两个角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成：角边角，或ASA）。 2.标准符号语言 在△ABC和△DEF中 ∴ △ABC≌△DEF（ASA） 易错提醒 审题时务必看清边的位置：夹边用ASA，对边用AAS。书写定理简写必须精准对应，不可混用、错写，简写错误会扣除步骤分。 随学随练 1．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，一块三角形模具碎成了三块，可以只带其中一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具，你选择带的那块编号是________． 3．（2026·云南昆明·一模）如图，与相交于点，，．求证：． 知识点 判定定理四：角角边（AAS）（重点） 1.判定定理三：两角分别相等且其中一组角的对边相等的两个三角形全等（简写成：角角边，或AAS）。 2.标准符号语言 在△ABC和△DEF中 ∴ △ABC≌△DEF（AAS） 教材延伸 三边相等用SSS，两边夹角用SAS；两角夹边ASA，两角对边AAS；边边角、角角角，判定全等皆无效。 随学随练 1．（25-26八年级上·新疆和田·期末）如图，已知，要根据，判定，则需要补充的一个条件为____________． 2．（2026·云南德宏·一模）如图，，，垂足分别为，，．求证：． 知识点 尺规作图 1.已知三边（），作三角形： 步骤一：作线段 AB=c； 步骤二：以点A为圆心，为半径作弧，以 B 为圆心，为半径作弧，两弧相交于点 C； 步骤三：连接 AC，BC，△ABC 即为所求。（如图1） 图1 图2 图3 2.已知两边及夹角（边：角：），作三角形： 步骤一：作线段 AB=； 步骤二：以A为顶点作∠DAB=α； 步骤三：在射线AD上截取AC=； 步骤四：连接BC，△ABC 即为所求。（如图2） 3.已知两角及夹边（角：，边：），作三角形： 步骤一：作线段 AB=； 步骤二：以A为顶点作∠DAB=α，以B为顶点作∠EBA=β，AD与BE相较于点C，△ABC 即为所求。（如图3） 4.已知∠AOB，作∠AˊOˊBˊ，使∠AˊOˊBˊ=∠AOB： 步骤一：以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA，OB于点C，D； 步骤二：作一条射线O’A’，以点O’为圆心，OC为半径作弧，交O’A’于点C’； 步骤三：以点C’为圆心，CD长为半径作弧，交弧于点D’； 步骤四：过点Oˊ，D’作射线O’B’，∠A’O’B’即为所求。（如图4） 5.过直线AB外一点P作直线CD，使得AB∥CD： 步骤一：在直线AB上取一点F，过点P，F作直线PF； 步骤二：作∠EPD=∠EFB； 步骤三：延长DP得直线CD，CD即为所求。（如图5） 图4 图5 易错提醒 禁止使用直尺刻度测量长度、角度，禁止徒手描摹圆弧；所有线段长度、角度相等均通过圆规截弧实现，作图痕迹（圆弧、辅助线）必须全部保留，遗漏痕迹直接扣分。 随学随练 1．（25-26七年级下·河南郑州·期中）已知：线段，，（如图）． 求作：，使，，． 2．（2026·陕西西安·三模）如图，已知，请用尺规作图法在边上求作点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 3．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，点是线段上的一点，请用尺规过点作直线，使，交线段于点．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 拓展 四大三角形全等判定定理对比 判定定理 判定条件 核心关键 是否可推导唯一三角形 特殊性质/备注 SSS（边边边） 三组对应边相等 无需角度条件 是 三角形具有稳定性；等角作图核心原理 SAS（边角边） 两组对应边+一组夹角相等 必须是夹角，SSA不能判定全等 是 易混淆易错点：两边非夹角无法判定 ASA（角边角） 两组对应角+一组夹边相等 边为两角的公共夹边 是 边角位置固定，唯一性强 AAS（角角边） 两组对应角+一组对边相等 边为其中一角的对边，非夹边 是 可由内角和180°+ASA推导得出 活学活用 1．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，请在下列五个条件中任选三个作为命题的题设，其余两个作为命题的结论，进行证明． ①；②；③；④；⑤． 题设： 结论： 证明： 2．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图所示，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连接． (1)你认为与相等吗？并说明理由； (2)若，，，求的长． 拓展 三类三角形尺规作图对比 作图类型 已知条件 作图核心顺序 依托定理 作图唯一性 已知三边作三角形 三条线段边长 定基准边→双弧交汇→连线成型 SSS 唯一 已知两边及夹角作三角形 两条边、一个夹角 定基准边→作等角→截边长→连线 SAS 唯一 已知两角及夹边作三角形 两个角、一条夹边 定基准边→两端作等角→射线交汇 ASA 唯一 活学活用 1．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知线段，和，请用尺规作图，作，使，，．（保留作图痕迹，不写作法） 拓展 全等与作图综合扩展 1.绝对不能判定全等的情况：SSA（两边及非夹角）、AAA（三角对应相等）均无法判定三角形全等。AAA仅能证明三角形相似，形状相同、大小不一定相同；SSA无法固定三角形形状，存在两种作图可能。 2.全等与作图综合题型：考试常考“先作图、再证明”，即按条件尺规作图后，利用全等定理证明所作图形符合题干要求，融合实操与推理。 活学活用 1．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，点D是外一点，连接，已知，． (1)在内求作一点M，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求的度数． 题型 用SSS证三角形全等 解题贴士 优先找公共边，通过线段和差等量代换补齐第三组边。 ▌例1．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，若，，则可得．其判定依据是（    ） A． B． C． D． ▌例2．（2026·云南昆明·一模）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·河北邢台·期末）学了全等三角形的判定后，嘉嘉编了这样一个题目：“如图，，，，求证：”．老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知条件是________． ▌对点练1-2．（2026·云南昭通·一模）如图，已知点A、B、E、D在同一条直线上，，，．求证：． ▌对点练1-3．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，相交于点．求证：． 题型 用SAS证三角形全等 解题贴士 先证边等→再证夹角等→最后写SAS结论。 ▌例1．（2026·贵州遵义·二模）下列三角形中，一定是全等三角形的是（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．①④ ▌例2．（2026·云南临沧·二模）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·湖北黄石·期末）如图，在中，．将从点处沿虚线剪开，若，当线段BD的长度为__________时，剪下的两个三角形全等． ▌对点练1-2．（2026·湖北襄阳·一模）如图，点C在线段上，，且，．连接，．求证：． ▌对点练1-3．（2026·四川乐山·中考真题）如图，已知，．求证：． 题型 用ASA证三角形全等 解题贴士 1）判定核心：两组对应角相等＋两角所夹的对应边相等； 2）适用场景：题干有平行、垂直、公共边、两角条件充足。 ▌例1．（2026·云南文山·一模）如图，点，都在线段上，，，．求证：． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，，，垂足分别为D，E，．下列选项中，可以直接作为判定的依据是（　　） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（2026·陕西渭南·模拟预测）如图，在中，平分，延长至点，使得，连接，．求证：． ▌对点练1-3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，，，，垂足分别为，，．求证：． 题型 用AAS证三角形全等 解题贴士 角度条件多、缺少夹边时，优先用AAS判定。 ▌例1．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，点，，，在同一直线上，已知，，添加下列一个条件，不能判定的是（     ） A． B． C． D． ▌例2．（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，点在同一直线上，．求证：． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·山东·期中）如图，，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以为______________（写出一个即可）． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，已知，，．试说明：． ▌对点练1-3．（2026·陕西·一模）如图，，点在上，与交于点，且为的中点．求证：． 题型 尺规作图 解题贴士 1）作已知等角：原理为SSS全等，通过截取等弧保证两角相等，必须保留作图圆弧痕迹； 2）作三角形：三边条件用SSS作图；两边夹角用SAS作图；两角夹边用ASA作图； 3）过直线外一点作平行线：先作同位角/内错角等于已知角，利用等角平行原理作图； 4）得分规范：保留所有作图痕迹，不擦圆弧，标注字母与垂足。 ▌例1．（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）如图，已知线段a，b和，用直尺和圆规作一个，使得 ，．（保留作图痕迹，不写作法） ▌对点练1-1．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，，．利用圆规与无刻度直尺作三角形，使得，且满足．（不写过程和证明，保留作图痕迹） ▌对点练1-2．（2026·西藏日喀则·三模）尺规作图：如图，已知，求作，使．（保留作图痕迹，不写作法） ▌对点练1-3．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，点是的边延长线上一点，请使用尺规作图法在上方求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 题型 全等三角形与尺规作图综合 解题贴士 1）从作图痕迹中提取等边、等角条件，匹配SSS/SAS/ASA/AAS证全等； 2）利用全等对应边角相等，转移已知条件，求解未知边长、角度。 ▌例1．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图1，已知，，线段，求作． 作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·湖南益阳·期末）（1）已知的直角边和斜边分别等于如图所示的线段a、c的长，请用直尺和圆规作出．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在下面的网格图中的顶点都在格点上，请在网格图中找出所有符合条件的点D，使得． ▌对点练1-2．（25-26七年级上·山东泰安·期中）尺规作图． 已知：（如图）． 求作：，使与全等． 要求： (1)不写作法，保留作图痕迹； (2)写出作图时选取的相等的边或角． 题型 全等三角形辅助线问题 解题贴士 1）中线倍长法：遇中线，延长中线至两倍长，构造SAS全等，转移边角； 2）公共边/公共角法：图形共边共角直接用作条件，快速凑全等要素； 3）截长补短法：线段和差题型，长截短、短补长，构造全等转化线段。 ▌例1．（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，，，分别是的边，，上的中线，三条中线相交于点，下列说法错误的是（   ） A．点是的重心 B．和的面积相等 C． D． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·广东潮州·期中）如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中， 是 边上的中线，，，若 边的长为整数，求 边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 至点 ，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．                B．               C．                D． (2)根据小明的方法思考，可得 的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②， 是的中线，交 于点 ，交 于点 ，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长 至点 ，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，， ， ，连结 、，取 的中点 ，连结．若，则　　　　． 基础通关 1．（25-26七年级下·山西晋中·期末）判定两个三角形全等的方法错误的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图，做一个角平分仪，其中，，将角平分仪上的顶点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点、画一条射线，则，所以，就是的平分线，其中判定的依据是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·河北邯郸·二模）如图，甲、乙两人分别沿不同的路线从地到地的路程分别为和．下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，已知，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；再以点为圆心，大于的长为半径画弧，分别交，于点，，连接，，则，其全等的依据是________．（填“”或“”或“”或“”）． 5．（25-26七年级下·上海虹口·期末）如图，已知在的方格中，点、、、、均在格点上，那么____________度． 6．（25-26七年级下·陕西渭南·期末）如图，在和中，，，．试说明． 7．（2026·广东广州·二模）如图，已知，，．求证：． 8．（2026·云南昭通·一模）如图：在四边形中对角线平分，；求证：． 9．（2026·福建厦门·三模）如图，点B， E， C， F在同一条直线上， ，，，求证：． 10．（2026·云南昆明·二模）如图，在和中，，，．求证：． 11．（2026·湖北随州·二模）如图，与相交于点O，，，求证：． 12．（2026·江苏南京·一模）如图，在中，平分，延长至点，使得，连接，．求证：． 素养提升 1．（25-26七年级下·广东佛山·期中）已知：如图，点E，F在上，，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是_________．理由是： 2．（25-26七年级上·山东烟台·期中）为了测量一幢高楼高，在旗杆与楼之间选定一点P，测得旗杆顶C视线与测楼顶A视线两线夹角为，即．量得P到楼底距离与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为米，计算楼高是多少米？ 3．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图，点，，，在同一条直线上，，相交于点，，，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 4．（25-26七年级下·陕西渭南·期末）如图，已知点，，，在一条直线上，，，． (1)请说明； (2)若，，求的度数． 5．（25-26七年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，分别是，边上的中点，与交于点． (1)若，求； (2)求证：； (3)点在线段上（点不与点，点重合），连接并延长到点，连接，若平分四边形的面积．求证：． 6．（25-26七年级下·山西运城·期末）阅读与思考 再探判定三角形全等的条件 几何主要研究图形形状、大小、位置，若两个三角形形状相同，大小也相同．即这两个三角形全等．它们通过平移、旋转或轴对称变化可完全重合． 回顾探究判定方法过程：根据条件作三角形，若只可作出唯一的三角形，即可知这些条件可作为三角形全等的判定方法．小红在已知两边及其一边对角作三角形时，也可作出唯一三角形，小丽也同样作出唯一三角形． 小红：已知． 如图． 小丽：已知． …… 任务： (1)按照小丽的条件，作出（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)按照小丽，小红所给条件，作出唯一三角形，但“”未作为判定三角形全等方法，一定有“”不成立的情况，类比小红、小丽的思路画图举出反例并进行适当的标注说明（作图工具不限）． (3)木工师傅拿一些木条制作四边形模型．已有模型框架如图，木条钉在同一点处．此时平分，是上固定一点，选取两根长度相等的木条，将两根木条的一端都钉在处，另一端分别钉在木条上，师傅钉完后发现有两种不同形状模型．如图1，如图2． 通过测量发现模型2中四边形面积比模型1中四边形面积大，且．此时四边形的面积为______，请说明钉出两种不同模型的原因． 7．（25-26七年级下·贵州毕节·期末）【探究】 (1)如图1，是 的中线，且，延长至点，使，连接 ，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ．                【应用】 (2)提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是 的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 (3)根据以上经验，如图3，，，，连接 、 ，是的中点，证明：． 迁移创新 1.（河北沧州·三模）如图，甲、乙二人分别从地前往地，若，两地之间的距离为千米，甲行走的路线为千米．若乙行走的路线为整数千米，则乙行走的路线可能为________千米．（写出一个合理的答案即可） 2．（25-26七年级下·广东佛山·期末）利用三角形全等测距离． (1)任务1：目测出操场上与你距离相等的两个点 方案：第一步：在C点处面向B点的方向站好，调整帽子，使视线从A点通过帽檐正好落在B点； 第二步：转过一个角度，保持刚才的姿态，视线从D点通过帽檐正好落在F点． 示意图： 原理： ，， ． 又，， （______ ）， ______． (2)任务2：测量输电线路长度 任务简介：如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A、B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出A、B间的距离，请你设计一个方案，测出A、B间的距离，并作出示意图． 方案：第一步：________________________； 第二步：________________________； （可适当添加步骤）…… 示意图（请按方案补充完整） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $