第26讲 三角形的内切圆（6类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版

第26讲 三角形的内切圆 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利用内心的性质求角度 题型2 利用内心的性质求长度 题型3 利用内心的性质求周长或面积 题型4 利用内心的性质求半径 题型5 三角形内心有关的应用 题型6 三角形内切圆与外接圆的综合应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 内切圆、内心、角平分线、距离相等、面积法、外接圆。 1. 理解三角形内切圆的概念，知道内心是三条角平分线的交点。 2. 掌握内心的性质：内心到三角形三边的距离相等，且等于内切圆半径。 3. 能根据已知条件求三角形内切圆的半径（如利用面积法：S=r(a+b+c) ）。 4. 理解三角形内切圆与外接圆的区别（内心是角平分线交点，外心是垂直平分线交点），体会类比学习法。 学习重点:三角形内切圆的概念及内心的性质，面积法求内切圆半径。 学习难点:理解内心到三边距离相等的几何意义，以及运用面积法S=r(a+b+c)求内切圆半径的推导与应用，并区分内心与外心。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 三角形的内切圆 1．三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心： 三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等. (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). (3) 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部 内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部. 【易错提醒】 三角形内切圆圆心是三条角平分线交点，到三边距离相等。易错：易混淆内心与外心，错把中垂线交点当作内切圆圆心 即时即练1．如图，在中，，点I是的内心，连接，则的度数是（    ） 　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形内心的定义，先由三角形内角和定理求出的度数，再由内心的定义得到分别平分，根据角平分线的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵点I是的内心， ∴分别平分， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，在中，，是的内切圆，与三边分别相切于点D，E，F．若，则的长为______，（结果保留π） 【答案】 【分析】连接，根据内切圆的性质得到，，然后证明四边形为正方形，求出，再由弧长公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的内切圆， ∴， ∵， ∴四边形为正方形，， ∴， ∴的长． 3．如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1） 内心是三角形三条角平分线的交点，故平分，平分．在中，，因此，再由三角形内角和定理得． （2）设半径为r，由切线长定理得，，．于是三边可表示为，，．利用勾股定理建立关于的方程，即可求得答案． （3）由（2）知，，．直角三角形的外心位于斜边中点，设斜边的中点为，则到切点的距离为，而且，在中利用勾股定理可求得外心与内心的距离． 【详解】（1）解：是的内切圆， 平分，平分， 在中，， ， ， ． （2）解：设半径为r，连接、， 是的内切圆，切点分别为、、， 由切线长定理得：，，， ，，， 四边形是正方形，， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得： 或 （舍去负值）， 的半径． （3）解：由（2）知，，， 设斜边的中点为，则是的外心， 分别连接， ，， ， ， 是内切圆半径，， ， 在中，由勾股定理得： ， 的外心和内心的距离为． 题型1 利用内心的性质求角度 【例1】（2026·山东青岛·一模）如图，是的内切圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理可得，再由三角形内切圆的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内切圆， ∴平分， ∴， ∴， ∴． 【例2】（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据三角形内心性质推出，再利用圆周角定理得到，最后根据三角形内角和求解，即可解题． 【详解】解：连接， 点是的内心，， ， ， 点是外接圆的圆心， ， ． 【技巧归纳】 三角形内心是角平分线交点，熟记内角推导公式，用两个内角快速表示内心夹角，代入已知角度列式计算即可 【变式1-1】（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）如图所示，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】连接，先根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得，，则，然后根据四边形内角和计算的度数． 【详解】解：连接，如图，    ∵， ∴， ∵是的内切圆与、、分别相切于点D、E、F， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为___________． 【答案】/10度 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、三角形内角和定理； 连接，由点I是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵点I是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点O是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型2 利用内心的性质求长度 【例3】（2026·河北邯郸·一模）如图所示，在中，已知，，，则其内心O和外心M之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆与各边的切点分别为E，F，N，连接，根据切线的性质，证明四边形是正方形，设，，得，根据解方程组，勾股定理求解即可． 【详解】解：设圆与各边的切点分别为E，F，N， 连接， 根据切线的性质，得， 故四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 根据切线长定理，得， 设，， ，，， ， 故， 解得， 点M是圆的外心， 故点M是斜边的中点， 故， 连接， 根据勾股定理，得， 故选：C． 【例4】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、，由切线的性质得，由三角形的面积求解即可． 【详解】解：过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、， 是的内切圆，且半径为， ， ， ， 解得， 故选：D． 【技巧归纳】 利用内心到三边距离相等（内切圆半径），结合面积法求内切圆半径，再借助勾股、相似求解相关线段长度 【变式2-1】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． (1)求的长． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设， 则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2）解：，，， ∴半周长， 又， ， ， 则的长为． 【变式2-2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，等边三角形ABC的外接圆的半径OA的长为3，则其内切圆半径的长为________． 【答案】1.5 【分析】因为三角形为等边三角形，所以外接圆和内切圆共圆心，均为，过点作于点，利用直角三角形中对应边为斜边一半，求得长即为内切圆半径． 【详解】解：过点作于点，如图： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 即其内切圆半径的长为， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了等边三角形的内切圆和外接圆共圆心，熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 题型3 利用内心的性质求周长或面积 【例5】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，的内切圆的半径为2，三个切点分别为，若，则的面积是（   ） A．14 B．24 C．28 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内切圆与切线长定理的应用，根据题意利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：连接，， 是的内切圆，切点分别为，，， ，，，， 又， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形， ， 设，则，， 在中 ， 解得：，， ，，或，， ． 故选：B． 【例6】（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 【答案】C 【分析】此题重点考查三角形的周长、三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出，是解题的关键．设与、、、直线分别相切于点、、、，由的周长为，，求得，由，，求得，由，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与、、、直线分别相切于点、、、， 的周长为，， ， ，， ， ， ，， ， 剪下的三角形的周长为， 故选：C． 【技巧归纳】 利用内心到三边距离相等，借助三角形面积等于周长一半乘内切圆半径，变形求解周长或内切圆半径，进而算出面积 【变式3-1】（2025八年级上·上海青浦·专题练习）如图，已知的周长是20，点为三角形内心，连接、，于点，且，则的面积是______． 【答案】30 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心．连接，过点作于点，于点，可得，根据，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，于点， 点为三角形内心，， ， ． 故答案为：30． 【变式3-2】（2025九年级上·江苏泰州·专题练习）如图， 的周长为，， 是的内切圆，的切线与、分别交于点、， 则的周长为_______ ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的切线长定理，三角形的内切圆，掌握圆的切线长定理是解答本题的关键．设与各边的切点分别为、、，与相切于点，根据切线长定理可得，，， ，，再由的周长为，，列式进行等量代换即可求得的周长． 【详解】解：如图，设与各边的切点分别为、、，与相切于点， ，，， ，， ，即， ， 的周长为， ， ， 即， ，   的周长为： ． 故答案为：． 题型4 利用内心的性质求半径 【例7】（2025·安徽·模拟预测）在边长为4的正方形内有一个等腰，连接，若，则内切圆的半径为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质、三角形的内切圆，根据正方形的性质及已知条件判断E为正方形的中心，为等腰直角三角形，根据等面积法即可求出内切圆的半径． 【详解】解：如图： ∵正方形的对角线互相垂直且平分，，为等腰三角形， ∴E即为正方形的中心， ∴为等腰直角三角形， 其中， 设的内切圆半径为r，周长为C， 则利用等面积法可得， 则， 故选：D． 【例8】（23-24九年级上·天津河西·期末）一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，等边三角形的性质，构造内切圆半径，三角形边的一半，圆心和顶点连线形成的直角三角形，利用30度直角三角形和勾股定理即可求解． 【详解】解：如图：等边的内切圆O切于D，连接，则，， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）． 故选：C． 【技巧归纳】 运用面积法，三角形面积等于周长一半乘内切圆半径，变形列式求解；直角三角形可套用专属内切圆公式快速计算 【变式4-1】（25-26九年级上·广西钦州·阶段检测）如图，已知是的内切圆，切点分别为，，，若，，，则内切圆的半径为____． 【答案】2 【分析】本题主要考查切线长定理和直角三角形内切圆半径的求法，求解直角三角形内切圆半径是解题的关键． 首先利用切线长定理求出三角形各边的长度，然后验证出三角形为直角三角形，进而根据等面积法计算半径即可． 【详解】解：∵是的内切圆，切点分别为，，， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴ ∴是直角三角形， 设内切圆的半径为 ∴ 即 解得， 故答案为：． 【变式4-2】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，．若的周长为36，则的长为________． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形内切圆、切线长定理．由切线长定理可得，，，从而得出的值，再由三角形周长得出的值，设，列出关于x的方程求解x的值，即可得出的值． 【详解】解：∵的内切圆分别与，，相切于点D，E，F， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵的周长为36， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， 即的长为8， 故答案为：8． 题型5 三角形内心有关的应用 【例9】（2026·河南商丘·模拟预测）三角形有“四心”——内心，外心，重心，垂心（三条高线所在直线的交点）．任意一个三角形的________心都在该三角形内部，则横线上填的四心种类共有（     ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】分别判断三角形四心在任意三角形中的位置，统计满足“任意三角形中都在内部”的心的个数即可得到答案． 【详解】解：内心是三角形内角平分线的交点，任意三角形的内心都在三角形内部； 重心是三角形中线的交点，任意三角形的重心都在三角形内部； 外心是三角形三边垂直平分线的交点，钝角三角形的外心在三角形外部，直角三角形的外心在斜边中点，因此外心不满足条件； 垂心是三角形高线所在直线的交点，钝角三角形的垂心在三角形外部，直角三角形的垂心在直角顶点，因此垂心不满足条件． 综上所述，满足条件的心共有种． 【例10】（2026·青海西宁·二模）下列说法正确的是（     ） A．三点确定一个圆 B．到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的内心 C．三角形三条高的交点是三角形的重心 D．直角三角形的外心在斜边上 【答案】D 【详解】选项A：只有不在同一直线上的三点才能确定一个圆，选项A错误，不符合题意； 选项B：到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的外心，到三角形三边距离相等的点才是三角形的内心，所以B错误，不符合题意； 选项C：三角形三条高的交点是三角形的垂心，三角形三条中线的交点才是三角形的重心，所以C错误，不符合题意； 选项D：直角三角形的外心是其斜边的中点，因此直角三角形的外心在斜边上，所以D正确． 【技巧归纳】 内心是三条角平分线交点，到三边距离相等；常用面积法求内切圆半径，推导角度关系式求解边角问题 【变式5-1】（2026·河北·模拟预测）如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连接，．点为的内心，且，则半圆的半径为_____． 【答案】/ 【分析】过作于，于，于，根据已知条件推出四边形是正方形，根据等腰直角三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：过作于，于，于， ∵， ∴四边形是矩形， ∵是的内心， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式5-2】（25-26九年级上·浙江·期中）如图，在中，截三条边所得的弦长相等，连结，，则___________． 【答案】/130度 【分析】本题考查的是垂径定理，三角形的内心及三角形内角和定理，解题的关键是掌握这些内容． 先利用截的三条边所得的弦长相等，得出即O是的内心，从而，进一步求出的度数． 【详解】解：如图， ∵在中，，截的三条边所得的弦长相等， ∴O到三角形三条边的距离相等，则O是的三条角平分线的交点，即O是的内心， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型6 三角形内切圆与外接圆的综合应用 【例11】（25-26九年级上·天津宝坻·阶段检测）若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心的性质，由于、都是等边三角形，因此它们的外心与内心重合；可过内切圆的圆心O分别作、的垂线，连接、；在构建的含特殊角的直角三角形中，用的半径分别表示出、的长，进而可求出它们的比值． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴它们的内心与外心重合． 如图，过点O作的垂线，交于E，连接、． 设圆O的半径为R． 中，∵， ∴，即． 中，∵， ∴，即． ∴． 故答案为：． 【例12】（23-24九年级上·四川德阳·阶段检测）今有一个直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，则该直角三角形的内心与外心的距离是__________步（注：“步”为长度单位）． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的内切圆的内心与外心，根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，以及求出外接圆的半径． 【详解】解：根据勾股定理得：斜边为， 设该直角三角形内切圆的半径为r，则有： 解得，； 如图，建立平面直角坐标系： 此时，， 内切圆圆心的坐标为，外接圆圆心的坐标为，即， ∴该直角三角形的内心与外心的距离（步） 故答案为：． 【技巧归纳】 区分内外圆圆心定义，外接圆用圆周角、正弦定理求半径，内切圆用面积法求半径，结合边角关系综合计算线段与角度 【变式6-1】（2023·江苏扬州·模拟预测）如图，我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正方形和大正方形的面积分别为49和289，则图中直角三角形内切圆的半径为______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆的性质，正方形的性质及勾股定理的应用，同时也利用了完全平方公式和一元二次方程，综合性强，能力要求高．解决本题的关键是掌握三角形的内切圆的性质． 设内切圆的圆心为O，连接、，则四边形为正方形，设直角三角形内切圆的半径为r，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到，根据已知条件得，，接着利用完全平方公式进行代数变形，最后解关于r的一元二次方程即可． 【详解】解：如图，设内切圆的圆心为O，连接、， ， 则四边形为正方形， 设直角三角形内切圆的半径为r， ， ， ， ， ， 而， ①， 小正方形和大正方形的面积分别为49和289， ，， ②，负值舍去， 把代入①得，③， 把③代入②中，得： ， ， 负值舍去， 直角三角形内切圆的半径为3， 故答案为： 【变式6-2】（2025·江苏泰州·三模）如图，点是的内心，点是的外心． (1)请仅用没有刻度的直尺在上一个作一个点，使得． (2)试判断点是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由．（如需画草图，请使用图2） 【答案】(1) 如图所示，点D为所求： (2) 点是图中的外心，理由如下： 如图，连接， 由（1）知， ∴，即， ∴， ∴点在以点D为圆心，为半径的圆上，即是的外心． 【分析】本题考查了三角形外心与内心，弧与弦的关系，圆周角定理．熟记三角形外心与内心的性质是解题的关键． （1）连接，并延长交于点，连接，由三角形内心的性质可得平分，平分，得到，根据圆周角定理可得，推出，进而求出，即可得到； （2）如图，连接，由（1）知，圆周角定理可得，推出，进而得到点在以点D为圆心，为半径的圆上，即是的外心． 【详解】（1）解：∵点是的外心， ∴是的外接圆， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 一、单选题 1．（2025九年级·全国·专题练习）下列说法错误的是（    ） A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切 B．一个三角形有且只有一个内切圆 C．一个圆有且只有一个外切三角形 D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内切圆、三角形外接圆、圆外切三角形、等边三角形的性质，能熟记以上知识点是解此题的关键． 根据三角形内切圆、三角形外接圆、圆外切三角形、等边三角形的性质，逐一判断即可． 【详解】解：A、三角形的内切圆与三角形的三边都相切，该选项说法正确，不符合题意； B、任何三角形都有唯一的内心（角平分线的交点），因此一个三角形有且只有一个内切圆，该选项说法正确，不符合题意； C、一个圆可以有无数个外切三角形（例如，通过改变与圆相切的直线位置，可以形成不同的三角形），该选项说法错误，符合题意； D、等边三角形的内心与外心重合，因此内切圆与外接圆是同心圆，该选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 2．（2026九年级·广西·专题练习）如图，等边三角形的内切圆的半径为2，则的边长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】连接，，，解直角三角形求得，进而得出结果． 【详解】解：如图， 连接，，设与相切于点，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵是的内切圆， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，切线的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 3．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）在中，，是的内切圆，连接、，则C的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再由是的内切圆得到，最后根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵， ， ∵是的内切圆， ， ， ， 故选： C． 4．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图点为的外心，点为的内心，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了外心和内心的概念，圆周角定理，三角形内角和定理．由点为的外心，，则，故有，然后通过角平分线定义和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵点为的外心，， ∴， ∴， ∵点为的内心， ∴， ∴， 故选：D． 5．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，是的外接圆，且为的直径，点E为的内心，的延长线交于点F，连接．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】连接交于点G，作于点H，证明，得到，，证明是等腰直角三角形，得到，则，利用等积法得到，即可得到答案． 【详解】解：连接交于点G，作于点H， ∵点E为的内心， ∴，， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴ 故选：B 【点睛】此题考查了勾股定理、圆周角定理、三角形内心的性质、垂径定理的推论、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理、三角形内心的性质、垂径定理的推论是解题的关键． 二、填空题 6．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，、在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）、，使为的外心，则的长度是______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据为的外心，可得，从而以点为圆心，以长为半径作圆，交格点为点，点，然后利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：如图：连接，以点为圆心，以长为半径作圆，交格点为点，点， 由题意得：， 的长度是， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，点为的内心．若，则___________． 【答案】/70度 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，根据已知条件可得，进而得出，然后根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵点O是的内心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知的面积是24，周长为12，则的内切圆的半径为______． 【答案】4 【分析】本题主要考查三角形内切圆．如图所示，点O是内切圆圆心，D、E、F分别是切点，设圆O的半径为r，利用三角形面积法可得由此即可求解． 【详解】解：如图所示，点O是△ABC内切圆圆心，D、E、F分别是切点，设圆O的半径为r， ∴， ∴ ， ∵的面积是24，周长为12， ∴， ∴， ∴的内切圆的半径为4， 故答案为：4． 9．（24-25九年级上·广西钦州·阶段检测）如图，在中，，点为的外心，，，是的内切圆．则的长为________． 【答案】 【分析】如图：过点P作于D、于E、于F，根据三角形的内心性质得到，根据切线长定理可得、、，得到四边形是正方形，根据勾股定理求出，得到，设，，，求得， ，进而得到，最后根据勾股定理求解即可． 本题主要考查了直角三角形的内心与外心、三角形内心性质、三角形外心性质、勾股定理，切线长定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图：过点P作于D、于E、于F。 ∵点P是内切圆的圆心， ∴，、、， ∴四边形是正方形， ∵中，， ，， ∴， 设，，， 则，解得：， ∴，。 ∵点O为的外心， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是的外接圆，是的直径，I为的内心，连接，，，且．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内心和外心，等腰直角三角形以及勾股定理．延长交于M点，连接，利用垂径定理求得，利用三角形的内心定义证明得到为等腰直角三角形，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：延长交于M点，连接， 在中斜边经过圆心O， ， ∵， ∴， 在中，I为三个角平分线的交点， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，则，， 在中，，即， 解得（负值已舍）， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，为的平分线，请用尺规作图法，求作的内心．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点M即所求： 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是解答本题的关键． 如图：作的角平分线交于M，点M即为所求． 【详解】略 12．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，点是的内心，的延长线与的外接圆交于点，与交于点，延长，相交于点，的平分线交于点． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形内心的性质得，再利用圆内接四边形的性质得，则，从而得到，则可判断； （2）根据三角形内心的性质得，然后证明得到． 【详解】（1）证明：∵点是的内心， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵点是的内心， ∴， ∵， 即， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、三角形的外心、圆周角定理、圆内接四边形等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．注意数形结合思想的应用． 13．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，是圆的内接三角形，点在弦上，且点为的内心． (1)求证：； (2)若为直径，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆的综合，涉及三角形内心，圆周角定理，勾股定理等知识点； （1）由内心可得，，则，即可得到，得到； （2）作交的延长线于点F，由为直径，得到，则，，在中求出，再证明，得到，则，最后根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵点为的内心， ∴，， 由题意得， ∴， ∴， ， ∴， ∴； （2）解：作交的延长线于点F， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，中，，点是的内心．点在边上．以点为圆心．长为半径的圆恰好经过点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，延长交于，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长交于，利用三角形内心性质，以及等腰三角形性质，证明， ，再根据切线判定定理证明即可； （2）根据等腰三角形性质得到，再利用勾股定理计算求解，即可解题． 【详解】（1）证明：延长交于， 点是的内心． 分别平分， ， 中，， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线； （2）解：由（1）知， ，，平分， ， ， =． 【点睛】本题考查了三角形内心性质，等腰三角形性质，切线判定定理，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 15．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)若，，求外接圆的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】本题考查了三角形的内心、圆周角定理、勾股定理、弧与弦的关系等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键． （1）先根据三角形内心的定义可得，，再根据圆周角定理可得，然后证出，根据等腰三角形的判定即可得证； （2）连接，先根据圆周角定理可得是的直径，，再求出，然后在中，利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵是的内心， ∴，， 由圆周角定理得：， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，连接， ∵是的外接圆，且， ∴是的直径， ∴， ∵是的内心， ∴， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴外接圆的半径为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第26讲三角形的内切圆 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1利用内心的性质求角度 题型2利用内心的性质求长度 题型3利用内心的性质求周长或面积 题型4利用内心的性质求半径 题型5三角形内心有关的应用 题型6三角形内切圆与外接圆的综合应用 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.理解三角形内切圆的概念，知道内心是三条角平分线的交点。 内切圆、内心、角平 2.掌握内心的性质：内心到三角形三边的距离相等，且等于内切圆半径。 分线、距离相等、面 3.能根据已知条件求三角形内切圆的半径（如利用面积法：S=2 积法、外接圆。 r(a+b+))。 4.理解三角形内切圆与外接圆的区别（内心是角平分线交点，外心是垂直平 分线交点)，体会类比学习法。 学习重点：三角形内切圆的概念及内心的性质，面积法求内切圆半径。 学习难点：理解内心到三边距离相等的几何意义，以及运用面积法S=(阳+b+c)求内切圆半径的推导 与应用，并区分内心与外心。 02教材全解 ◇知1识框架 1/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 与三角形各边都相切的圆 定义 圆心是三条角平分线的交点 内心与外心概念混清 高频易错点 内切圆半径是圆心到边的距离 面积公式中周长对应关系错误 三角形纳切圆的圆心 内切圆半径计算 高频考点 内心 到三角形三边距离相等 内心与角平分线性质应用 三角形的内切圆 内心性质 是三条角平分线的交点 三条垂直平分线交点 外心 内心一定在三角形纳部 到三个顶点距离相等 与三角形外接圆的区别 利用面积公式s=(a+b+c)r/2 三条角平分线交点 一般三角形 r=25/(a+b+c) 内心 内切圆半径求法 到三边距离相等 r=(a+b-c)/2 直角三角形 a、b为直角边c为斜边 知|识1精I讲 知识点01三角形的内切圆 1.三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2.三角形的内心： 三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三边的距离都相 等 (1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形： (②)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半 即S=一PrS为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径) (3)三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心（三角形外 三角形三边中垂线的 (1)到三角形三个顶点的距 接圆的圆心) 交点 离相等，即OA=0B=0C;(2) 外心不一定在三角形内部 内心（三角形内 三角形三条角平分线 (1)到三角形三边距离相等； 切圆的圆心) 的交点 (2)OA、OB、OC分别平分 ∠BAC、∠ABC、∠ACB;(3) 内心在三角形内部. 2/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【易错提醒】 三角形内切圆圆心是三条角平分线交点，到三边距离相等。易错：易混淆内心与外心，错把 中垂线交点当作内切圆圆心 即时即练1.如图，在△ABC中，∠A=-60°，点I是△ABC的内心，连接B,CI,则∠BIC的度数是 ) A.110° B.120° C.130° D.140° 2.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，⊙0是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点D,E, F.若BD=I,则EF的长为一， (结果保留π) E 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90,⊙0是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F, 6 E (1I)连接OA、OB,则∠AOB=】 (2)若BD=6,AD=4,求⊙0的半径 3)在(2)的条件下，Rt△ABC的外心和内心的距离等于 3/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 03 题型突破 题型1利用内心的性质求角度 【例1】(2026山东青岛一模)如图，⊙0是△ABC的内切圆，∠B0C=117°，则∠A的度数为() A A.54 B.55o C.56° D.60° 【例2】(25-26九年级上山东临沂期末)如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连 接OB,IA.若∠CAI=36°，则∠OBC的度数为() A.16° B.18o C.20° D.36° 【技巧归纳】 三角形内心是角平分线交点，熟记内角推导公式，用两个内角快速表示内心夹角，代入已知 角度列式计算即可 【变式1-1】(25-26九年级上：宁夏吴忠期末)如图所示，△ABC的内切圆O0与AB、BC、AC分别相 切于点D、E、F,若∠DEF=55°，则∠A的度数是 4/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 【变式1-2】(25-26九年级上江苏宿迁期末)如图，点0是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心， 连接OB、LA.若∠CAI=40°，则∠OBC的度数为 题型2利用内心的性质求长度 【例3】(2026河北邯郸一模)如图所示，在Rt△ABC中，己知∠C=90°，AC=8cm,BC=6cm,则其 内心O和外心M之间的距离是() M A.10cm B.5cm c.√5cm D.2cm 【例4】(25-26九年级上河北石家庄·阶段检测)如图，在△ABC中，AB=12,AC=6,O0为△ABC的 内切圆，且半径为V万，若△ABC的面积为14W厅，则BC的长为() B A. 7 B.8 C.9 D.10 【技巧归纳】 利用内心到三边距离相等（内切圆半径），结合面积法求内切圆半径，再借助勾股、相似求 解相关线段长度 【变式2-1】(2025九年级上全国·专题练习)如图，△ABC的内切圆⊙0与BC,CA,AB分别相切于点 5/14 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D,E,F,AB=5cm,BC=7cm,CA=6cm. 9 (1)求AF的长. (2)已知S△MBc=6N6cm',求OD的长. 【变式2-2】(2025九年级全国·专题练习)如图，等边三角形ABC的外接圆⊙0的半径OA的长为3，则 其内切圆半径的长为 B 题型3利用内心的性质求周长或面积 【例5】(25-26九年级上福建福州期中)如图，在RtABC中，∠C=90°，△ABC的内切圆的半径为 2,三个切点分别为D,E,F,若AB=10,则△ABC的面积是() B F ●O D A.14 B.24 C.28 D.10+10W2 【例6】(25-26九年级上江苏南通·期中)如图，△ABC是一张周长为24m的三角形的纸片， BC=7cm ，⊙0是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN,则 剪下的三角形的周长为() 6/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.12cm B.11cm C.10cm D.随直线MN的变化而变化 【技巧归纳】 利用内心到三边距离相等，借助三角形面积等于周长一半乘内切圆半径，变形求解周长或内 切圆半径，进而算出面积 【变式31】(2025八年级上·上海青浦专题练习)如图，已知△ABC的周长是20，点0为三角形内心， 连接OB、OC,OD⊥BC于点D,且OD=3,则△ABC的面积是 【变式32】(2025九年级上：江苏泰州：专题练习)如图，△ABC的周长为20cm,AC=8cm,⊙0是 △ABC的内切圆，⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N,则△BMN的周长为一 cm. A M 题型4利用内心的性质求半径 【例T】(2025·安徽模拟预测)在边长为4的正方形ABCD内有一个等腰△ABE,连接DE、CE,若 ∠DEA=∠CEB=90°，则△CDE内切圆的半径为() A. B.1 C.22-1 D.2W2-2 【例8】(23-24九年级上天津河西期末)一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径 为() 7/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.1 5 C 3 D.5 【技巧归纳】 运用面积法，三角形面积等于周长一半乘内切圆半径，变形列式求解：直角三角形可套用专 属内切圆公式快速计算 【变式41】(25-26九年级上：广西钦州阶段检测)如图，已知O0是△ABC的内切圆，切点分别为D, E,F,若AE=2,CD=4,BF=6,则内切圆的半径r为一 B D 【变式42】(25-26九年级上安徽阜阳期末)如图，△ABC的内切圆O0分别与AB,BC,AC相切于 点D,E,F,且AD=6,BE=4.若△ABC的周长为36，则CF的长为 题型5三角形纳心有关的应用 【例9】(2026河南商丘模拟预测)三角形有“四心”一一内心，外心，重心，垂心（三条高线所在直线 的交点)·任意一个三角形的 心都在该三角形内部，则横线上填的四心种类共有()种. A.1 B.2 C.3 D.4 【例10】(2026·青海西宁·二模)下列说法正确的是() A.三点确定一个圆 B.到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的内心 C.三角形三条高的交点是三角形的重心 D.直角三角形的外心在斜边上 8/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【技巧归纳】 内心是三条角平分线交点，到三边距离相等：常用面积法求内切圆半径，推导角度关系式求 解边角问题 【变式51】(2026河北模拟预测)如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，连接AC,BC.点 I为△ABC的内心，且∠B01=45°，0I=V2,则半圆0的半径为一 【变式5-2】(25-26九年级上浙江期中)如图，在△ABC中，∠A=80,⊙0截△ABC三条边所得的弦长 相等，连结OB,OC,则∠BOC= 题型6三角形内切圆与外接圆的综合应用 【例1山(2526九年级上天津宝坻阶段检测)若等边4B℃内接于等边BC的内切圆，则8的值 为() A.月 B.② 2 D 3 【例12】(23-24九年级上四川德阳·阶段检测)今有一个直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长 直角边)长为5步，则该直角三角形的内心与外心的距离是 步（注：“步”为长度单位）· 9/14 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 弦 股15 勾8 【技巧归纳】 区分内外圆圆心定义，外接圆用圆周角、正弦定理求半径，内切圆用面积法求半径，结合边 角关系综合计算线段与角度 【变式61】(2023·江苏扬州模拟预测)如图，我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角 形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正方形和大正方形的面积分别为49和289，则图中直角三角 形内切圆的半径为 【变式62】(2025江苏泰州三模)如图，点I是△ABC的内心，点0是△ABC的外心. A A Q.1 Q.1 B 图① 图② (I)请仅用没有刻度的直尺在BC上一个作一个点D,使得BD=D, (2)试判断点D是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由.（如需画草图，请使用图2） 04 过关检测 一、单选题 1.(2025九年级全国·专题练习)下列说法错误的是() A.三角形的内切圆与三角形的三边都相切B.一个三角形有且只有一个内切圆 10114 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.一个圆有且只有一个外切三角形 D.等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆 2.(2026九年级广西专题练习)如图，等边三角形ABC的内切圆⊙0的半径为2，则△ABC的边长为 () 0. B A.25 B.4 c.45 D.65 3.(25-26九年级上江苏准安·期中)在△ABC中，∠A=50°，⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC, 则∠BOC的度数为() A.105° B.110 C.115° D.125 4.(25-26九年级上福建福州期中)如图点0为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，∠B0C=160°，则 ∠BIC的度数为() C A.115° B.120° C.125° D.130° 5.(2425九年级上湖北武汉阶段检测)如图，⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙0的直径，点E为 △ABC的内心，BE的延长线交⊙O于点F,连接CF.若BC=5,CE=V10,则AC的长为() E 11/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3 B.4 C.5 D.25 二、填空题 6.(24-25九年级上·江苏镇江期末)如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1， 在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C,使O为△ABC的外心，则BC的长度是 7.(25-26九年级上·江苏南京·阶段检测)如图，点O为△ABC的内心.若∠BOC=125°，则∠A= B 8.(25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测)己知△ABC的面积是24，周长为12，则△ABC的内切圆的半径 为 9.(24-25九年级上广西钦州阶段检测)如图，在△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC的外心，BC=12, AC=16,⊙P是△ABC的内切圆.则OP的长为 B 0 10.(25-26九年级上江苏泰州：阶段检测)如图，⊙0是△ABC的外接圆，AB是⊙0的直径，I为△ABC 的内心，连接AI,BI,OI,且OI⊥AI.若AB=10,则BI的长为 A 三、解答题 12114 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 11.(2024陕西西安·模拟预测)如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，请用尺规作图法，求作 △ABC的内心.（保留作图痕迹，不写作法） B D 12.(23-24九年级上·全国课后作业)如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙0交 于点D,与AC交于点E,延长CD,BA相交于点F,∠ADF的平分线交AF于点G. C I)求证：DG‖AC (2)求证：AD=ID 13.(25-26九年级上湖北武汉阶段检测)如图，△ABC是圆的内接三角形，点E在弦AD上，且点E为 △ABC的内心 D (I)求证：BD=ED: ②)若BC为直径，且BD=5,AC=3W2,求AD的长. 14.(25-26九年级上新疆乌鲁木齐阶段检测)如图，△ABC中，AC=BC,点I是△ABC的内心.点O 在边BC上.以点O为圆心.OB长为半径的圆恰好经过点I,连接CI,BI. 13/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：CI是⊙0的切线： (②)若AC=BC=5,AB=6,延长CI交AB于D,求CD的长. 15.(25-26九年级上：江苏泰州期中)如图，E是△ABC的内心，AE的延长线交△ABC的外接圆于点 D A C (I)求证：BD=DE: (②)若∠BAC=90°，DE=3V2,求△ABC外接圆的半径. 14/14