2.3 实数（知识梳理+达标检测）-2026-2027学年苏科版八年级上册数学《典例全解·题型通关》

该初中数学资料系统梳理了实数知识体系。从无理数的定义及常见形式入手，通过夹逼法确定无理数范围，进而学习实数的分类、与数轴的一一对应关系，最后掌握实数的概念性质及运算规则，形成完整的学习支架。 知识链路按“概念-范围-分类-数轴表示-性质-运算”逻辑展开，知识梳理清晰且配有图表辅助理解。达标检测题涵盖选择、填空、解答，注重无理数识别、范围估计及运算应用，通过“一看二用三查”培养运算能力和推理意识，助力学生用数学眼光观察和思维分析。

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 2.3 实数（知识梳理+达标检测） 知识点一无理数 1、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 2、常见的无理数的形式。 （1）开方开不尽的数的方根，如，； （2）π及化简后含而的数； （3）具有特殊结构的数，如0.3030030003...（相邻两个3之间依次多一个0） 知识点二确定无理数的范围 1、由于无理数是无限不循环小数，我们不可能写出一个无理数的小数点后的所有数字，但我们可以采用“夹逼法”用有理数来确定一个无理数的范围，如3.14<m<3.15，要估计带根号的无理数（如算术平方根和立方根）的范围，可以通过平方运算或立方运算来确定。 知识点三实数及其分类 1、实数：有理数和无理数统称为实数。 2、实数的分类。 （1）按定义分类。 （2）按性质分类。 知识点四实数与数轴上的点的关系 1、用数轴上的点表示无理数数轴上表示正无理数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；表示负无理数-b(b>0）的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是b个单位长度。 2、实数与数轴上的点的对应关系实数与数轴上的点一一对应。 说明：“一一对应”有两层含义：①每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；②数轴上的每一个点都表示一个实数。 3、实数的大小比较。 （1）对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大； （2）正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数；两个负实数比较大小，绝对值大的反而小。 知识点五实数的有关概念和性质 1、有理数的绝对值、倒数、相反数的意义，在实数范围内都仍然适用。 知识点六实数的运算 1、实数的运算：有理数的运算性质与运算律在实数范围内仍然适用。 （1）在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算； （2）运算顺序：先乘方、开方，再乘、除，最后加、减；同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的； （3）一般情况下，在进行实数运算的过程中，要做到“一看、二用、三查”。 一看：看式子的结构特点，判断能否运用运算律或公式； 二用：运用运算律或公式进行计算； 三查：检查过程和结果是否正确。 一、选择题 1．估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】D 【解答】解：， ， 则估计的值在4和5之间． 2．实数在两个相邻的整数m与之间，则整数m是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，通过确定与被开方数相邻的完全平方数，得到无理数的范围，再结合不等式性质求出的范围，进而确定整数的值. 【解答】解：∵ ∴ 即不等式两边同时加3，得，即 ∵在整数与之间 ∴ 故选：A. 3．下列判断中，你认为正确的是（　　） A．0 的倒数是0 B．是分数 C．大于1 D．的值是 【答案】C 【分析】根据倒数的定义，实数的分类，实数大小比较，算术平方根的概念，逐一判断各选项即可． 【解答】解：选项A ∵0不能作为分母，∴0没有倒数，A错误； 选项B ∵是无理数，∴也是无理数，分数属于有理数，因此不是分数，B错误； 选项C ∵，，且，，，∴，C正确； 选项D 表示的算术平方根，∴，不是，D错误． 综上，答案选C． 4．如图，数轴上A，B两点表示的数分别是和，A是线段的中点，则点C所表示的实数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，再根据右边的点减去左边的点表示数轴上两点之间的距离，据此求解即可． 【解答】解：设点表示的数为， ∵点B关于点A的对称点为C， ，即， 解得， 点C所表示的实数为． 5．在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（     ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【分析】根据算术平方根，立方根，无理数等内容，按照程序框图求解即可． 【解答】解：输入x的值是64时，取算术平方根可得，， 是有理数，则取立方根，可得， 是有理数，则取算术平方根，可得， 为无理数，则输出， 即． 二、填空题 6．在 ，， （每两个6之间依次多1个1），，0，中，有理数有______个． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的定义，整数与分数统称有理数，无限不循环小数是无理数，只需逐个判断各数，即可得到有理数的个数，即可求解． 【解答】解： 是有限小数，属于分数，是有理数； 是分数，是有理数； （每两个之间依次多 个 ）是无限不循环小数，是无理数； 中 是无限不循环小数，故是无理数； 是整数，是有理数； 开方开不尽，是无理数； 综上，有理数共有 个． 7．一个无理数x满足条件，请任意写出一个x为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】估算无理数的大小即可得出答案． 【解答】解：， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 8．因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为．类比以上推理，的小数部分为______． 【答案】/ 【分析】本题考查无理数的估算，通过比较立方数确定整数部分，再求小数部分． 【解答】解：， ， ， 的整数部分为4， 的小数部分为， 故答案为：． 9．如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数为_______ 【答案】 【分析】根据正方形的面积公式求出的长，则可求出的长，再根据点A表示的数即可得到答案． 【解答】解：∵正方形的面积为3， ∴， ∴， ∵点A在数轴上，且表示的数为， ∴则数轴上点E所表示的数为 ． 10．已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为_____．（用“＜”连接） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较、算术平方根和绝对值的非负性，熟练掌握非负数的性质是解题的关键． 根据平方、算术平方根和绝对值的非负性，三个非负数的和为0，则每个数都为0，求出a，b，c的值，再比较大小即可． 【解答】解：∵，，，且， ∴ ，，， ∴ ，，， ∴ ，，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．用计算器求下列各式的近似值：（结果精确到0.001） （1）； （2）； （3） （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】本题主要考查了用计算器计算算术平方根和立方根，解题的关键在于能够熟练使用计算器进行计算． （1）利用计算器进行求解即可得到答案； （2）利用计算器进行求解即可得到答案； （3）利用计算器进行求解即可得到答案； （4）利用计算器进行求解即可得到答案． 【解答】（1）解： （2） （3） （4）． 12．下列各数，哪些是无理数？ ，，，，，，，． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了无理数的识别，求一个数的算术平方根，求一个数的立方根，解题的关键是掌握无理数的定义． 先利用算术平方根和立方根的定义对原数进行化简，再根据无理数的定义进行求解即可． 【解答】解：无理数是无限不循环的小数，且，， ∴是无理数的有，，． 13．已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） ，， （2） 【分析】（1）根据立方根和算术平方根的定义列方程求出和，再估算的大小得到它的整数部分，即可求出； （2）将，，的值代入计算出结果，再求这个结果的平方根即可． 【解答】（1）解：的立方根是，的算术平方根是， ，， ， 将代入，得，解得， ， ， 是的整数部分， ； （2）解：将，，代入得：， 的平方根为， 即的平方根是． 14．如图，已知点A、B是数轴上的两点，点A对应的数为，点B在点A的右侧，点C为数轴上一动点，设点B对应的数为m，点C对应的数为x，若． （1）求m的值； （2）对于数轴上三点，若其中两点关于另一点对称，则称这三点为“优美关系”，如果点A、点B、点C为“优美关系”，求x的值． 【答案】（1）； （2）或或． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，轴对称的性质． （1）直接根据数轴上两点间的距离作答即可； （2）分三种情况作答即可． 【解答】（1）解：∵点A对应的数为，点B在点A的右侧，， ∴点B对应的数为， 即； （2）解：如图，当点B、点C关于点A对称时， ∴， 即； 如图，当点A、点B关于点C对称时， ∴， 即； 如图，当点A、点C关于点B对称时， ∴， 即； 综上所述，x的值为或或． 15．（1）如图，展示了六个面积分别为，，，，，的正方形，根据正方形面积公式（其中表示正方形的边长，表示正方形的面积），则面积为的正方形的边长为______；（用二次根式表示） （2）观察图形中面积为和的两个正方形边长在数轴上的位置，请比较这两个正方形边长的大小，并借助数轴解释理由； （3）如果两个正数，那么．请借助下图进行解释． 【答案】（1）；（2）面积为的正方形边长小于面积为的正方形边长，理由见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查了正方形的面积公式，实数大小的比较，算术平方根的应用，读懂图形是解答关键. （1）根据正方形面积公式求解； （2）观察图形，利用在数轴上右边的数总比左边的大,边长长的正方形面积也大来求解； （3）利用从图中可以看到，面积大的正方形，它的边长也长来求解. 【解答】解：根据正方形面积公式（其中表示正方形的边长，表示正方形的面积），则面积为的正方形的边长为. 故答案为：； （2）面积为的正方形边长小于面积为的正方形边长. 理由如下： 从图中可以看到，面积为的正方形在面积为正方形的左边，所对应的边长在数轴上的位置为在的左边. 在数轴上右边的数总比左边的大， 所以小于， 即， 所以面积为的正方形边长小于面积为的正方形边长； （3）从图中可以看到，面积大的正方形，它的边长也长. 设两个正方形的面积分别为和，根据正方形面积公式，它们的边长分别为和. 因为面积大于，所以对应的边大于， 所以两个正数，那么. 16．如图，这是一个数值转换器． （1）当输入x的值为9时，输出______． （2）小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． （3）小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 【答案】（1） （2）输入x的值可能是，理由见解析 （3）2或4 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，无理数的识别，正确理解题意是解题的关键． （1）先计算9的算术平方根，由结果为无理数则输出，若为有理数则把计算的结果作为新数输入再取算术平方根，直至结果为无理数输出即可； （2）运算无意义，则输入的数没有算术平方根，即输入的数为负数，据此可得答案； （3）第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为的平方，第二次取算术平方根后输出的结果为，则输入的数为的平方的平方，据此可得所有可能输入的数，进而得到答案． 【解答】（1）解：是有理数， 是无理数， ∴当输入x的值为9时，输出； （2）解：输入x的值可能是，理由如下： ∵运算无意义，即输入的数没有算术平方根， ∴输入的数为负数， ∴输入x的值可能是； （3）解：当第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为2， 当第二次取算术平方根后输出的结果为时，则第一次取算术平方根后的结果为2， ∴输入的数为， 同理可得当第三次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为，……， ∴输入的数可以为2或4． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 2.3 实数（知识梳理+达标检测） 知识点一无理数 1、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 2、常见的无理数的形式。 （1）开方开不尽的数的方根，如，； （2）π及化简后含而的数； （3）具有特殊结构的数，如0.3030030003...（相邻两个3之间依次多一个0） 知识点二确定无理数的范围 1、由于无理数是无限不循环小数，我们不可能写出一个无理数的小数点后的所有数字，但我们可以采用“夹逼法”用有理数来确定一个无理数的范围，如3.14<m<3.15，要估计带根号的无理数（如算术平方根和立方根）的范围，可以通过平方运算或立方运算来确定。 知识点三实数及其分类 1、实数：有理数和无理数统称为实数。 2、实数的分类。 （1）按定义分类。 （2）按性质分类。 知识点四实数与数轴上的点的关系 1、用数轴上的点表示无理数数轴上表示正无理数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；表示负无理数-b(b>0）的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是b个单位长度。 2、实数与数轴上的点的对应关系实数与数轴上的点一一对应。 说明：“一一对应”有两层含义：①每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；②数轴上的每一个点都表示一个实数。 3、实数的大小比较。 （1）对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大； （2）正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数；两个负实数比较大小，绝对值大的反而小。 知识点五实数的有关概念和性质 1、有理数的绝对值、倒数、相反数的意义，在实数范围内都仍然适用。 知识点六实数的运算 1、实数的运算：有理数的运算性质与运算律在实数范围内仍然适用。 （1）在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算； （2）运算顺序：先乘方、开方，再乘、除，最后加、减；同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的； （3）一般情况下，在进行实数运算的过程中，要做到“一看、二用、三查”。 一看：看式子的结构特点，判断能否运用运算律或公式； 二用：运用运算律或公式进行计算； 三查：检查过程和结果是否正确。 一、选择题 1．估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 2．实数在两个相邻的整数m与之间，则整数m是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．下列判断中，你认为正确的是（　　） A．0 的倒数是0 B．是分数 C．大于1 D．的值是 4．如图，数轴上A，B两点表示的数分别是和，A是线段的中点，则点C所表示的实数为（     ） A． B． C． D． 5．在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（     ） A． B． C．2 D．8 二、填空题 6．在 ，， （每两个6之间依次多1个1），，0，中，有理数有______个． 7．一个无理数x满足条件，请任意写出一个x为________． 8．因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为．类比以上推理，的小数部分为______． 9．如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数为_______ 10．已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为_____．（用“＜”连接） 三、解答题 11．用计算器求下列各式的近似值：（结果精确到0.001） （1）； （2）； （3） （4）． 12．下列各数，哪些是无理数？ ，，，，，，，． 13．已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 14．如图，已知点A、B是数轴上的两点，点A对应的数为，点B在点A的右侧，点C为数轴上一动点，设点B对应的数为m，点C对应的数为x，若． （1）求m的值； （2）对于数轴上三点，若其中两点关于另一点对称，则称这三点为“优美关系”，如果点A、点B、点C为“优美关系”，求x的值． 15．（1）如图，展示了六个面积分别为，，，，，的正方形，根据正方形面积公式（其中表示正方形的边长，表示正方形的面积），则面积为的正方形的边长为______；（用二次根式表示） （2）观察图形中面积为和的两个正方形边长在数轴上的位置，请比较这两个正方形边长的大小，并借助数轴解释理由； （3）如果两个正数，那么．请借助下图进行解释． 16．如图，这是一个数值转换器． （1）当输入x的值为9时，输出______． （2）小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． （3）小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 学科网（北京）股份有限公司 $