卷3 三角函数与解三角形-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮创新示范卷（人教A版）

创新示范卷（三） 三角丞函数与解三角形 本试卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.) 1.已知角a的终边过点P(一8m,-6sin30),且cosa=- ，则m的值为 A.一2 B.一3 c 2 2.设函数f(x)(x∈R)是以π为最小正周期的周期函数，且当x∈ 时，f(x)=sinx;当x∈ [x时，f)=cos,则fx 2 B c号 D, 2 3.在锐角△ABC中，cosA=cos2B,则号的一个可能的取值为 ( 剂 A号 B C.2 D.3 和 4.已知a∈ -sin2a 4cos a A.6+4√2 B.6-4√2 C.17+12√2 D.17-12√2 5.托勒密定理：在圆内接四边形中如图，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和， 即AC·BD=AB·CD十AD·BC.已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的 圆周上，AC,BD是其两条对角线，BD=4√3，且△ACD为正三角形，则四边形 ABCD的面积为 ( ) 解 製 A.163 B.16 C.123 D.12 6.已知w>0,p∈R,函数f(x)=sin(wx十p)图象相邻的两个对称中心之间的距离为d1,函数 g(x)=2tan(owx十p)图象相邻的两个对称中心之间的距离为d2,则有 Ad B.d=d C.d1=2d2 D.d1=4d2 7.已知函数f(x)=sin(ax+g。>0,<登)且f(一f-2,当u取最小的可能值时， p= ) A晋 B C.- 12 D.-君 8已知△ABC是镜角三角形，内角A,B,C所对应的边分别为a,b6若。2-8=c,则年的取 值范围是 ) √3√2 B.(2-3,1) C.(2-√3，√2-1) D.(√2+1，√3+2) 3’2 3-1 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求.全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.) 3sin2x-1,sinx≥0， 9.已知函数f(x) x∈(0,2π)，若方程f(x)=a士1有6个根，则a的值可 sin2x-1,sin x<0, 能为 A.0 c号 D.1 10.设a∈0，引9e(0,)则下列计算正确的是 A.cos(a十B)<cos(a-B) B.若sima+)eosa+)-石则tana=2 C若tana+tan-c0a则2g-a-奇 D,若1P2+B0,则e+g- 1 11.已知f(x)是定义在闭区间上的偶函数，且在y轴右侧的图象是函数y =sin(wx十p)(w>0,0<p<x)图象的一部分（如图所示），则( A.f(x)的定义域为[一π，π] B.当x=否时，f(x)取得最大值 C.当x<0时，f(x)的单调递增区间为 经引 D当<0时，)有且只有两个零点一登和 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.已知a,9c（0,写，且sin(2a+)+2sin2acos月=3sin月，则cosp的最小值为 13,记锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b6,若2c0sC=的号，则B的取值范国是 a 14,若函数）=mm+w>0)在〔一晋，8上具有单调性，且x=行为f)的-个零点，则 f在一，上单调递 (填增或减)，函数y=f(x)一lgx的零点个数为 3-2 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(13分)在△ABC中，AB=2,D为AB的中点，CD=√3. (1)若BC=√6，求AC的长； (2)若∠BAC=2∠BCD,求AC的长， 16.（15分)丰义村位于海盐县通元镇，在村民的共同努力下近年来先后获得“浙 江省新时代美丽乡村精品村”和“全国乡村治理示范村”称号，完成了从传统 自然村落到网红景区村的华丽变身.目前村里有一块三角形区域ABC待开 发使用，其中AB=√3，BC=1,AC=2(单位：百米).现规划于该区域中建造一座观景亭O,始 终满足OB⊥OC. (1)求区域OBC的最大面积； (2)当∠0CB=F时，求OA的值； (3)若打算从观景亭出发铺设三条垂直到达区域边界的景观道，其中到达边界AB的景观道 造价为1百元/米，到达边界AC,BC的景观道造价为√3百元/米.目前村委会筹集到2万元项 目资金，问：这部分资金能否保障无论观景亭选址何处，工程均能顺利完工？ 3-3 17.(15分已知函数f)=3a6oe竖+号ain r-停a(w>0e>0)在-个 周期内的图象如图所示，其中点A为图象上的最高点，点B,C为图象与x B 轴的两个相邻交点，且△ABC是边长为4的正三角形. (1)求w与a的值； (2若f)8,且∈（号号）求x+1D的值 18.(17分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别记为a,b,c,且tanA=cosB-sinC cos C+sin B' 1)若B=石求C的大小 (2)若a=2,求b十c的取值范围. 19.(17分)定义有序实数对(a,b)的“跟随函数”为f(x)=asin x十bcos x(x∈R) (1)记有序数对(1，一1)的“跟随函数”为f(x),若f(x)=0,x∈[0,2π]，求满足要求的所有x 的集合； 烯 (2)记有序数对(0,1)的“跟随函数”为f(x),若函数g(x)=f(x)十√3sinx|,x∈[0,2π]与直 线y=k有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围； (3)已知a=2,若有序数对(a,b)的“跟随函数”y=f(x)在x=x。处取得最大值，当b在区间 (0,√3]变化时，求tan2x。的取值范围. 3-4 创新示范卷（三） 数学答题卡 姓 名 准考证号 条形码粘贴区（居中) 缺考 注意事项 填涂样例 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真在规定位置贴 ☐ 正确填涂 好条形码。 违纪 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米及以上黑色字 错误填涂 迹的签字笔书写，要求字体工整，笔迹清楚。 3.严格按照题号在相应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效 ☑xO 4.保持卡面清洁，不装订，不要折叠，不要破损。 】0力三 选择题 (共58分，1~8小题，每小题5分，9~11小题，每小题6分) 正确填涂 1ABCD4ABCD 7ABCD 10ABCD 2ABCD5ABC☑D 8A B C D 11ABCD 请在各题 3ABCD6ABCD9ABCD 非选择题 (需用0.5毫米黑色签字笔书写) 答 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 区域内作答 12. 13. 14 ,超出边框的答案无效 解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡（三）第1页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 16.(15分) 0 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡（三）第2页（共4页） 考生 考生务必将姓名、座号用0.5毫米黑色签字笔认真填写在书写框内，座 姓名 座号 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字.填写样例：若座号02，则填 必填 写为02 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡（三）第3页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡（三）第4页（共4页）创新示范卷 (3)由(2)，f(x)≥a在(0，十∞)上恒成立，取等当且仅 当ax十lnx=0. 也即f(x)=a的根为ax十lnx=0的根，下讨论方程 ax十lnx=0的根的个数. 化简得a=-ln工，令h(x）=-ln(x>0), x h'(x)=n2,令h'(x)=0得x=e, 故当0<x<e时，h'(x)<0,h(x)单调递减； 当x>e时，h'(x)>0,h(x)单调递增. 故h(x)=h(e)=-上，又h(1)=0, e 且当x→0时，h(x)→十oo;x十∞时，h(x)→0. 故当a<一上时，方程h(r)=a无实根；当a=一】时， e 方程h(x)=a有一个实根；当一】<a<0时，方程 h(x)=a有两个实根；当a≥0时，方程h(x)=a有一个 实根 综上所述，当a<-】时，方程f(x)=a无实根；当a= 日时，方程f)=a有-个实根；当一日<a<0时， e 方程f(x)=a有两个实根；当a≥0时，方程f(x)=a 有一个实根. 创新示范卷（三） 选择题答案速查 题号1234567 8 9 1011 答案CABAC C D C BC AD BCD 1.C[由题意得点P(-8m,-3),r=√64m+9, 所以c0sa= -8m 二4 √64m+95' 所以m>0,解得m=号.] 2.A[:T=,且当x[受x时，f)=cosz, f(传)-f3x+)-f(）-os=-合] 3.B[在锐角△ABC中，A,B∈(0,2) 则2B∈(0，π)，文cosA=cos2B, 所以A=2B, 0<2B<受 又{0<B<号 ,所以晋<B<晋 6 0x-3B<8 所以 号<asB<9, 所以号-品含-如沿-2B sin B =2osB∈(WEw),所以号的-个可能的取值为2， 3 故符合题意的只有B.] 4A[因为e(受)（骨+）am(骨-少， 所以共品吕合×十温总mK-1, 解得tana=-3-2√2或tana=-3十2√2（舍）， Isin 2asin'a+cos'a2sinacos a 4cos"a 4cosa a'a-2tna+1 (ana-1)2=}(-3-2E-102=6+4E.] 答案 参考答案 5.C[设AC=AD=CD=a,由托勒密定理可知AB·CD +AD·BC=AC·BD, 即a·AB+a·BC=a·BD, 所以AB十BC=BD=4√3， 又周为∠ABD=∠ACD=-号， ∠CBD=∠CAD=音， 因比，SAD=SAAID十SAn=号AB·BDsin答十 合BC·BDsn吾-9(AB+BG·BD=9X43 =123.] 6.C[函数f(x)=sin(aux+p)的最小正周期为T,=2r 剥4=受=吾，画数g)=2an(ar十p)的最小正月期 为工，=无，则d= -号-无因此，d=24门 .D[由题意可知f)m=f(爱)小)=f(晋) 当w取最小值时，最小正周期T最大，Tx=2· (停晋），所以==经-2 而fx)=sin(2x+p)在x=号时取得最大值，故2X号 十9=受+2kx,k∈Z,则p=-晋+2kx,k∈Z,又p< 受，所以p=一晋放选D] 6 8.C[因为a2-b=bc,得a2=b2+bc.由余弦定理得a2= b2+c2-2bccos A, 所以b+bc=b2+c2-2 bccos A,即b=c-2 bcos A. 由正弦定理得sinB=sinC-2 sin Bcos A,因为C=π (A++B),sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 以sinB=sin Acos B-cos Asin B,即sinB=sin(A-B). 因为△ABC是锐角三角形，所以0<A<受，0<B<受， 所以-吾<A-B<受， 又y=nx在（一登，受）上单调递增，所以B=A-B, 则A=2B. 因为△ABC是锐角三角形，所以0<B<受，0<A=2B <受，0<C=x-3B<受， 所以看<B<骨由正孩定里得年。nnC sin B sin B sin B sin 2B+sin(x-3B)sin 2B+sin 3B sin B sin2B+sin 2Bcos B+cos2Bsin B 1 -2cos B+2cos B+2cos B-1 4cos B+2cos B-1' ◆osB=因为看<B<景片以e(号号) y=4+2-1-4+)广-在e(号)上单 递增， 当=竖时=1+区，当4=号时=2+5 故6 1 .711 故a十。+24长气2十5'1+2 =(2-3w2-1)] -7 数 9.BC[由sinx≥0且x∈(0,2π)，解得x∈(0，π]，此时 13 f(z)-3sin'-1-2-2c0s 2 由sinx<0且x∈(0,2x),解得x∈（π，2x),此时f(x)= sin'x-1=- 11 2 2 cos 2x, 13 2-2cos2z,x∈(0，π]， 所以f(x)= 11 2 cos2x,x∈（π，2x), 13 13 且f()-是-号osx=2,fw)=是 cos2x=-1, f(）)=--as3x=0, 11 作出∫(x)的图象如图所示，由 方程f(x)=a士1有6个根， 2 y=f(x) y=a+1 2元 显然a+1>a-1,所以f(x)= 2π a-1有4个不同的实根，f(x) -y=a- =a十1有2个不同的实根， 即y=f(x)与y=a一1有4个不同的交点，y=f(x)与y =a十1有2个不同的交点， 所以1010，解得04<1，故特合题意的只有B.C] `10<a+1<2 10.AD[对于A,因为a∈(（0，登)Bc(0,受)） 则cos(a+B)=cos acos B-sin asin B,cos(a-β)= cos acos B-+sin asin B,故cos(a-β)-cos(a十B)= 2sin asin B>0, 所以cos(a十)<cos(a-B),正确； 对于B,图为m(a+)o(+)=m(2a+受) 1 2c0s2a=-，所以0s2a=- 而cos2a=1-2sin',所以sina=号，又a∈(0，受）， 所以sina=YE,cos】 3,c0sg=￥ 3 所以tana=√2，错误； 对于C,由tana+tanB= 1得，sinc+sin2=1 cos a'cos a'cos B cos a 所以sin acos3+cos asin B=cosB, 即sin(a+)=sin(受-因为a∈(0，）B∈ (0,登）所以a+c0,,受-c(0,受）， 则a+B=受-月或a十叶受-日=，即a+2卵=受或 a=罗（不合题意，舍去)，错误； 时于D品+品用学 1 cos'a-sin'acos B sin B +器}器。。+器昌 sin B sin a+cos a sin B' 周为十dg0,片以器品+器月0， Ep cos asin B-sin asin B+sin acos B+cos acos B=0, 即sin(a十)+cos(a+B)=0, 所以Esim(e+B+)=0,即i(a++)=0, 因为a+c(0,x,所以a+计要∈（年，买） 所以e+计=x,所以a十B=不，正确] 答案 1,BCD[由题图得f0)=sinp=?,且位于增区间上， 所以9=吾+2，k∈Z,又因为0<p<x,所以9=若， f()=sim(+晋)=-1， 3T、2π】 431 ∫5o+吾-经+2x,∈z,=2+3谈，k∈z, 则 2r>8π 0<<是， 得 (ω9’ 所以u=2,所以fx)=sim(2x+晋)x≥0， 由图可知，原点右侧的第二个家点为答+子=管+晋 晋所以的定义装为[一晋晋]，故A错 当xo,]时)=sim(x+号) 因为f(看)=sm受=1为最大值，则当x=吾时， f(x)取得最大值，故B正确； 当>0时，令受+2k≤2x+百<+2m,则哥+m ≤x≤弩+，∈z 又因为x[,] 所以当之0时)的减区同为[后]， 因为函数f(x)为偶函数， 所以当<0时，)的单洞递增区同为[一智，一音]， 故C正确； 当e[p,晋】时2+晋[2◆ sm(2x+看）-0，得2x+晋=元或2，则x-登或 因为函数f(x)为偶函数，所以当x<0时，f(x)有且只 有两个幸点一受和一比，故D正确] 12.解析：由sin(2a+B)+2sin2 acos B=3sinB,得 3sin2 2c+cos2 asin=3sinB,由B∈(（0，音）得 cos≠0，则3sin2a十cos2 atan B=3tanB,则tanB= 3sin 2a 6sin acos a 3tan a 3 3coa 2 4sin'e+2co t tan a 因为a∈(o,号），所以iana∈0，则2lana+ana ≥2反，音且收当ane-号时等子成之，从而a如C 33√2 2√24 又Bc(（0,骨），所以当anB取得最大值时，cosB取得 最小值，且最小值为24 17 答案.234 17 13.解折：因为2osC=的-号，所以2 l=85-d, 由余弦定理可得：2 abcos C=a2十b2-c2, 可得谷-。2-号，在锐角△ABC中，由余孩定理 可得： 8 创新示范卷 cos B=a'tc a2+c2- 3 29 2ac Zac 2ac 3 · q"s 因为a+6>c2 6+e2>a2,即 a-go-e>d 即2>2， 所以C<2 a√3 a 答案（后，） 14.解析：因为八在（一晋，悉）上具有单调性， 所以音 又因为()=(+)0， 所以2π 9 =kr(k∈ZD,即w=2k -ED, 只有=1，w=3特合要求，此时f)=sin(3z+登)】月 当x(吾8)时3x+∈(，受) 所以八x)在（吾，器）上单润适增。 因为f)=sin(3x+受)的最大值为1，而1g10=1,3x <10<2,作出函数y=f(x)与y=lgx的图象，由图 可知，这两个函数的图象共有9个交点，所以函数 y=f(x)-lgx的零点个数为9. y y=sin3x+受) y=lgx 1 01 答案：增9 15.解：(1)如图，在△DBC中，CD =√3，BC=√6，BD=1, 根据余弦定理，得cos∠DBC =BD+BC-CD 2BD·BC 12+(W6)2-(3)2_√6 2×1×W6 3 又在△ABC中，08∠ABC-有，BC=5,AB=2, 根据余弦定理，得cos∠ABC=AB+BC-AC 2AB·BC 22+(W6)2-AC_√6 2×2×√6 31 解得AC=√2. (2)如图，延长BA,使AE=AC 则△AEC为等腰三角形， ∠AEC=∠ACE, ∠BAC=∠AEC+∠ACE =2∠AEC, 又∠BAC=2∠BCD,所以 D ∠BCD=∠AEC,所以∠BDC =∠BCE, 答案 参考答案 所以△BDC∽△BCE, 器品 AICHAE-O CB 所以先C-Bc=8+AC CB 又AC=AD+DC,BC=BD+DC, 所以ACI2=|AD+DC12=|AD12+|DC2+21AD1· |DCIcos∠BDC, IBCI2=IBD+DC12=IBD2+DC12+2BDI. IDCI cos∠ADC, 所以|AC2+|BCI2=2(|AD12+|DC12) =2[12+(√5)2]=8， 所以AC2+AC+2=8,即AC2+AC-6=0, 解得AC=2或AC=一3（舍）. 16.解：(1)记∠OCB=0,则OB=sin6,OC=cos6,S△cB= 2sin0cos0=子sin20K子（百米）.当且仅当20=受， 即0=冬取等号，故区战OBC面积的最大值为子 (2)此时OB=2,∠0CB=∠AB0=若， 在△ABO中，OA=√AB+OB-2AB·OBcos∠ABO (3)易得OD=sin20,OE= sin dcos 0,-ossin 记造价为y万元，则y=OD十√3 A OE+3OF=sin0+3sin 0cos 0 +5 oin(答-0） -合sin(29+吾)十号<子，(0=吾时取到最大值） 故这部分资金可以保障无论观景亭选址何处，工程均 能顺利完工 1.解，由已知可得f)=a(停coar+7ner =asn(ar+子）： B0=Z=4T=8,∴w=2= 由题中图象可知，正三角形ABC的高即为函数f(x)的 最大值a,得a=号BC-=25 2由1)加，)=26n(子+晋）8g m(+)(9号) “+登∈（登，受）} ao(x+)-(传)-号 ∴x,+1D=2sin(经x,+圣+号) =25sm[(经+答)+] =2[血（+答）+（+）m] =2(×号+是×) 51 -9 数 18.解：(1)因为tanA=cosB-sinC cos C+sin B' 所以sinA=cosB-sinC cos A cos C++sin B' Ep sin Acos C+sin Asin B=cos Acos B-cos Asin C, Ep sin Acos C+cos Asin C=cos Acos B-sin Asin B, 所以sin(A+C)=cos(A+B),即sinB=cos(A+B), 而A,B∈(0,0，所以B+A+B=受或B-(M+B)=受， 所以A+2B=受或A=一受（会去）， 又因为B=晋，所以A=晋，所以C= (2②)由（1①得A+2B=受，因为品A b sin A sin B sin C' 所以b=asin B_2sinB 2sin B 2sin B sin A sin A sin(答-2B） cos 2B' c=asin C_2sin C 2sin(爱+B 2cos B sin A sin A sm(受-2B） cos 2B' 则b十c= 2(sin B+cos B)2(sin B+cos B) cos 2B cos2B-sin2B 2 √2 cos B-sin B co(B+) 0<B<π 又由0<受一-2B<元，得0<B<子， 0<+B<x 所以平<B+至<受，所以0<co(B+）<号， 所以b十c∈(2，+∞). 19.解：(1)由题意f(x)=sinx-cosx=0,sinx=cosx, tanx=1,x=kπ十T(k∈Z), A 又x∈[02]，所以x=晋我， 即所家聚合为{任贸} (2)由题意f(x)=cosx,则g(x)=cosx十√3|sinx|, x∈[0，π]时，g(x)=cosx十√3sinx +号inz-2sin(z+看） x∈（π，2x]时，g(x)=cosx-√3sinx 作出函数y=g(x),x∈[0,2π]的图象，如图， 在[，晋][，]上递 增，在（和（肾2]上 递减， f(x)mx=2,f(0)=f(2π)=1， 由图象可知，1≤k<2时， 函数g(x)=f(x)+√3|sinx|,x∈[0,2π]的图象与直 线y=及有且仅有四个不同的交点， 所以k的范围是[1,2). (3)由题意f(x)=2sinx+bcos xi=√4+bsin(x+p), 其中cosp= 46sin 9= 2 b 4+6 答案 学 易知x十9=2kr+受，k∈Z时，f(x)a=V4十B,x =2kr+受-p(k∈Z, sinx,=sin2kx十分一9=cosp,同理cosz,=sinp) tan o= sin Zo_cos2」 cos o sin 2cos o tan 2xo= 2tan xo sin 2singcos= 1-tan zo 1 cos'g sino-cos sin 46 4+6 46 =4 b2 4 4+B一4+6 b(0时，函数y=6-合是增函数，因此6一合 ( 从而44∈[-45,0，即an2x,∈[-45,0. b一b 创新示范卷（四） 选择题答案速查 题号1234 567 8 9 10 11 答案CC DD C A BA CD AD BCD 1.C[复数1=a十i,22=1-2i, 则之1·z2=(a+i)(1+2i)=(a-2)+(2a+1)i, 依题意，得8一2=0， 12a+1≠0， 解得a=2,即1=2十i, 所以|x1|=√22+1=5.] 2.C[如图，建立平面直角坐标系，设y 正方形ABCD边长为6， 则B(6,0),D(0,6),C(6,6),E(6,3), F(3,6), A=号A店+名D=号(6,0)+ g0.60-45 .G(4,5),EG=(-2,2),EF=(-3,3), G=号，A=号] 3.D[E为线段AD的中点，则CE=司 (CA十CD),又D满足BC=3BD, CD=号CB=号AB-AC, B 3 c店-i+导店-A1-AaC 3 4.D[由于a=(1,1),b=(1,-1),.a+b=(1,1)+(, -λ)=(1+λ，1-)，a+b=(1,1)+μ(1，-1)=(1+4， 1-).文(a十b)⊥(a+b),.(a十b)·(a十b)=0,即 (1+λ)(1十)+(1-λ)(1-)=0，解得=-1.] 5.C[由正孩定理可知AB-lAC=2R,R为三角形的 sin C sin B 外接圆的半径，所以动点P满足OP=OA十 A(ARL AB+ACLAC)-OA+2AR(AB+AC). sin C sin B 为AB十AC是以AB,AC为邻边的平行四边形的对角线 A为起，点的向量，经过BC的中，点， 所以P点的轨迹一定通过三角形ABC的重心.] 10